二次函数：二次函数的图像与性质、最值与比较大小问题、几何动态问题专项训练-2025-2026学年 人教版九年级数学上册

二次函数：二次函数的图像与性质、最值与比较大小问题、几何动态问题专项训练 二次函数：二次函数的图像与性质、最值与比较大小问题、几何动态问题专项训练 考点目录 二次函数的图像与性质 最值与比较大小问题 几何动态问题 考点一 二次函数的图像与性质 例1．（25-26九年级上·内蒙古乌兰察布·阶段练习）关于二次函数，下列说法正确的是（   ） A．函数图象的开口向下 B．函数图象的顶点坐标是 C．该函数的最大值是5 D．当时，y随x 的增大而增大 例2．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）如图是二次函数的图象一部分，其对称轴是，且过点，以下几种说法：①；②；③；④多项式可因式分解为；⑤若、是抛物线上两点，则；其中正确的是（   ） A．①②④ B．①②⑤ C．①③⑤ D．①③④ 例3．（25-26九年级上·江西南昌·阶段练习）如图，二次函数与轴交点的横坐标为，与轴正半轴的交点为，，则下列结论正确的有（    ） ①；②；③；④ A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 例4．（25-26九年级上·云南昆明·期中）二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 例5．（25-26九年级上·云南曲靖·阶段练习）已知二次函数的y与x的部分对应值如表： 下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对称轴为直线；③当时，；④方程有两个相等的实数根．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式1．（25-26九年级上·黑龙江牡丹江·阶段练习）如图，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点在和之间，其部分图像如图所示，则下列结论：①；②；③；④；⑤（为任意实数）；⑥点，，是该抛物线上的点，则．其中正确的个数是（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 变式2．（25-26九年级上·天津·阶段练习）如图所示是抛物线的部分图像，其顶点坐标为，且与x轴的一个交点在点和之间，则下列结论：①；②；③；④（m为任意实数）．其中正确的结论个数是（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 变式3．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段练习）学习完二次函数的图像和性质后，某数学兴趣小组按列表、描点、连线的方法画函数的图象为如图，以下说法：①该函数有最大值；②若函数图象经过点与，则；③当时，y的取值范围是；④若点均在该函数图象上，且，则p与q的大小关系是．其中正确的是（    ） A．②③ B．④③ C．②③④ D．①② 变式4．（25-26九年级上·云南昆明·期中）如图是二次函数的图象，其对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④若，是抛物线上两点，则，其中结论正确的是（　　） A．①② B．②③④ C．②④ D．①③④． 变式5．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）抛物线（是常数，）经过，两点，且．下列四个结论：①；②若，则；③若，则关于的一元二次方程无实数解；④点，在抛物线上，若，，总有，则．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 考点二 最值与比较大小问题 例1．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期中）已知点、 在抛物线上，则与的大小关系是（  ） A． B． C． D．无法确定 例2．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期中）若点、在二次函数的图象上，且，则（  ） A． B． C． D． 例3．（25-26九年级上·江西赣州·阶段练习）二次函数，其中，则y的取值范围是 ． 例4．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期中）已知二次函数，当时，函数的最大值是 ． 例5．（25-26九年级上·浙江温州·阶段练习）求下列二次函数的最大值（或最小值）和对应的自变量的值． (1) (2) 变式1．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）已知，是常数，函数，，若，则（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 变式2．（25-26九年级上·浙江温州·阶段练习）已知点，在抛物线上，若，则下列判断正确的是（） A． B． C． D． 变式3．（25-26九年级上·湖北荆州·阶段练习）已知抛物线，当时，的最大值与最小值的差为3，则的值为 ． 变式4．（25-26九年级上·江西宜春·阶段练习）已知二次函数，当时，的最大值为3，则的值为 ． 变式5．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知二次函数． (1)试说明：该二次函数的图象与x轴必有两个交点． (2)若该二次函数图象的顶点坐标为，求m，n的值． (3)当时，函数有最小值为2，求m的值． 考点三 几何动态问题 例1．（25-26九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B移动，速度为；点Q从点B开始沿边向点C移动，速度为，点P、Q分别从点A、B同时出发，当其中一点到达终点后，另一点也随之停止运动． (1)是否存在时间t，使得直线平分的面积，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由； (2)经过多少秒后，四边形的面积最小，最小是多少？ 例2．（25-26九年级上·湖南长沙·阶段练习）在中，，点从点沿方向以的速度运动，同时点从点沿方向以的速度运动，连接．设运动时间为． (1)___________，___________（用含t的代数式表示）； (2)求四边形的面积与的关系式，并求出为何值时，最大，并求出最大值． (3)是否存在某一时刻，使点在线段的垂直平分线上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 例3．（25-26九年级上·山东·阶段练习）如图，在中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动．如果，两点分别从，两点同时出发，那么的面积随出发时间变化而变化． (1)写出关于的函数解析式及的取值范围． (2)当运动时间为何值时，的面积能否达到？若能，求出值；若不能请说明理由． (3)当运动时间为何值时，的面积能否达到？若能，求出值；若不能请说明理由． 例4．（25-26九年级上·四川达州·阶段练习）如图，在长方形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边终点以速度移动．如果分别从同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为秒（）． (1)填空： ______；（用含的代数式表示） (2)当为何值时，的长度等于？ (3)连接，，记的面积为． ① ______（用含的代数式表示）； ②当______秒时，的最小值为______． 变式1．（25-26九年级上·安徽安庆·阶段练习）在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)当t为何值时，的长度等于？ (2)是否存在t的值，使的面积S最大，若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 变式2．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）如图1，在中，，，，点从点出发，以的速度沿折线运动，同时点从点出发，以的速度沿线段运动，当点到达点时，停止运动．设点运动的时间为，的面积为． (1)请直接写出与的函数关系式，并注明自变量的取值范围； (2)在图2平面直角坐标系中，画出的函数图象，并写出这个函数的一条性质； (3)若的函数图象与直线有两个交点，请直接写出实数的取值范围． 变式3．（25-26九年级上·福建南平·阶段练习）在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)填空：___________，___________（用含t的代数式表示）； (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)是否存在t的值，使的面积S最大，若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 变式4．（24-25九年级上·甘肃酒泉·阶段练习）如图，中，，，，、两点同时分别从、出发，点以每秒个单位的速度沿着向点运动，点以每秒个单位的速度沿着向点运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动． (1)求经过几秒，的长为； (2)设的面积为，点、的运动时间为秒，求与的函数解析式，并写出的取值范围； (3)当点、的运动时间为秒时，求的面积． 2 学科网（北京）股份有限公司 $二次函数：二次函数的图像与性质、最值与比较大小问题、几何动态问题专项训练 二次函数：二次函数的图像与性质、最值与比较大小问题、几何动态问题专项训练 考点目录 二次函数的图像与性质 最值与比较大小问题 几何动态问题 考点一 二次函数的图像与性质 例1．（25-26九年级上·内蒙古乌兰察布·阶段练习）关于二次函数，下列说法正确的是（   ） A．函数图象的开口向下 B．函数图象的顶点坐标是 C．该函数的最大值是5 D．当时，y随x 的增大而增大 【答案】D 【详解】解：∵二次函数，， ∴函数图象的开口向上，故A选项错误，不符合题意； ∵， ∴函数图象的顶点坐标是，该函数有最小值，最小值是，故B、C选项错误，不符合题意； ∴函数图象的对称轴为直线， ∴当时，y随x 的增大而增大，故D选项正确，符合题意； 故选：D 例2．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）如图是二次函数的图象一部分，其对称轴是，且过点，以下几种说法：①；②；③；④多项式可因式分解为；⑤若、是抛物线上两点，则；其中正确的是（   ） A．①②④ B．①②⑤ C．①③⑤ D．①③④ 【答案】B 【详解】解：由图可得，抛物线开口向上，与轴交于负半轴， ∴，， ∵对称轴是直线， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线过点， ∴，即 ∴，故②正确； ∵抛物线过点，对称轴是直线， ∴抛物线也过点， ∴当时，， ∴，故③错误； ∵，， ∴， ∴多项式可因式分解为，故④错误； ∵在抛物线上， ∴关于对称轴对称点为也在抛物线上， ∵， ∴，故⑤正确； ∴综上所述，正确的是①②⑤． 故选：B． 例3．（25-26九年级上·江西南昌·阶段练习）如图，二次函数与轴交点的横坐标为，与轴正半轴的交点为，，则下列结论正确的有（    ） ①；②；③；④ A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【详解】解：由图象可知，当时，，故①正确； 当时，，故②正确； ∵抛物线开口方向向下，抛物线与y轴交于正半轴， ∴，， ∵抛物线与x轴的交点是和，其中， ∴对称轴， ∴， ∴，故③错误； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即，故④正确． 故正确的有3个． 故选：B． 例4．（25-26九年级上·云南昆明·期中）二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】C 【详解】解：二次函数的图象开口向上，与y轴交于负半轴， ∴，， ∴，故③正确； ∵二次函数的图象的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故①错误； ∵根据函数图象可知：当时，， ∴，故②正确； ∵抛物线与轴有两个不同的交点， ∴，故④正确； 综上分析可知：正确的有②③④． 故选：C． 例5．（25-26九年级上·云南曲靖·阶段练习）已知二次函数的y与x的部分对应值如表： 下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对称轴为直线；③当时，；④方程有两个相等的实数根．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：由图表可知，该二次函数的图象如图， ∴抛物线的开口向下，故①正确； ∵与关于抛物线的对称轴对称 ∴对称轴为直线，故②错误； 由函数图像可知，当时，，故③正确； 二次函数与有两个交点， ∴方程有两个不相等的根，故④错误； 综上所述：①③正确，共2个． 故选B． 变式1．（25-26九年级上·黑龙江牡丹江·阶段练习）如图，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点在和之间，其部分图像如图所示，则下列结论：①；②；③；④；⑤（为任意实数）；⑥点，，是该抛物线上的点，则．其中正确的个数是（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵与轴的一个交点在和之间， ∴由抛物线的对称性知，另一个交点在和之间， ∴抛物线与轴的交点在轴的负半轴，即， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴，， ∴，故①错误，②正确； ∵由①知，时，；时，， ∴，， ∴， ∴， ∴，故③正确； ∵，， 即， ∴，故④正确； 由函数图像知当时，函数取得最大值， ∴， 即（为实数），故⑤错误； ∵抛物线的开口向下，且对称轴为直线， ∴抛物线上离对称轴水平距离越小，函数值越大， ∵，，， ∴，故⑥错误； 故选：C． 变式2．（25-26九年级上·天津·阶段练习）如图所示是抛物线的部分图像，其顶点坐标为，且与x轴的一个交点在点和之间，则下列结论：①；②；③；④（m为任意实数）．其中正确的结论个数是（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【详解】解：①抛物线开口向下， ， 对称轴直线， 即， 抛物线交的正半轴， ， ， 所以①错误； ②抛物线与轴的一个交点在点和之间，而抛物线的对称轴为直线， 抛物线与轴的另一个交点在点和之间． 由图象知当时，， ， ， ， 所以②正确； ③抛物线顶点坐标为， 抛物线与直线有唯一一个交点， 即方程有两个相等的实数根， ， ， ， 因此③正确； ④由图象可得时，为最大值， ，即， 所以④错误． 综上所述，正确的结论有②③，共2个， 故选：． 变式3．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段练习）学习完二次函数的图像和性质后，某数学兴趣小组按列表、描点、连线的方法画函数的图象为如图，以下说法：①该函数有最大值；②若函数图象经过点与，则；③当时，y的取值范围是；④若点均在该函数图象上，且，则p与q的大小关系是．其中正确的是（    ） A．②③ B．④③ C．②③④ D．①② 【答案】A 【详解】解：①由函数图象可知，该函数有最小值为0，没有最大值，故①不符合题意； ②由函数图象可知，函数图象关于轴对称， ∴若函数图象经过点与，则，正确，故②符合题意； ③由图象可知，当时，时，对应的值最小，， 当时，对应的值最大，， ∴的取值范围是，故③符合题意； ④点均在该函数图象上， 由函数图象可知，时， ∵， ∴点离对称轴轴的水平距离比点近， ∴，故④不符合题意； 故选：A． 变式4．（25-26九年级上·云南昆明·期中）如图是二次函数的图象，其对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④若，是抛物线上两点，则，其中结论正确的是（　　） A．①② B．②③④ C．②④ D．①③④． 【答案】C 【详解】解：①∵抛物线开口向下，对称轴为直线，与y轴交于正半轴， ∴，，， ∴， ∴，结论①错误； ②抛物线对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，结论②正确； ③∵抛物线的对称轴为直线，当时， ∴当时， ∴，结论③错误； ④，， ∵抛物线的对称轴为直线，，抛物线开口向下， ∴，结论④正确． 综上所述：正确的结论有②④． 故选：C． 变式5．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）抛物线（是常数，）经过，两点，且．下列四个结论：①；②若，则；③若，则关于的一元二次方程无实数解；④点，在抛物线上，若，，总有，则．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：∵ 抛物线（是常数，）经过，两点， ∴ 对称轴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， 故结论①错误； ∵， ∴ 点与距离为， ∵，抛物线开口向下，顶点在y轴左侧，且纵坐标大于1， 当时，，此区间内函数值均大于1， 即， 故结论②正确； 当时，抛物线为， 代入点得， ∴， 设顶点纵坐标， 由①知，即， ∴， ∴， ∴， ∴ 方程无实数解， 故结论③正确； 设对称轴， ∵，开口向下，且总有时， ∴和均在对称轴右侧， 要求当时，， 即， ∴， 解得， 故结论④正确． 综上，正确结论有②③④，一共3个． 故选：C． 考点二 最值与比较大小问题 例1．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期中）已知点、 在抛物线上，则与的大小关系是（  ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【详解】解：∵点、 在抛物线上， ∴，， ， ∴， 故选：A． 例2．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期中）若点、在二次函数的图象上，且，则（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵二次函数的图象开口向下，对称轴为，顶点为， ∴当 时，， ∵，且函数在时单调递减， ∴， 又∵且， ∴且， ∴． 故选：C． 例3．（25-26九年级上·江西赣州·阶段练习）二次函数，其中，则y的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴当时，二次函数有最小值为， 当时，，当时，， ∴y的取值范围是 故答案为：． 例4．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期中）已知二次函数，当时，函数的最大值是 ． 【答案】0 【详解】解：∵二次函数， ∴该函数的对称轴是直线，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小， ∴离对称轴越远，y值越大， ∵， ∴当时，y取得最小值， 当时， 当时，． ∴函数最大值为 0， 故答案为：0． 例5．（25-26九年级上·浙江温州·阶段练习）求下列二次函数的最大值（或最小值）和对应的自变量的值． (1) (2) 【答案】(1)当时，y的最大值为4 (2)当时，y的最小值为 【详解】（1）， ， ∴函数有最大值， ∴当时，y的最大值为4； （2）， ， ∴函数有最小值， ∴当时，y的最小值为 变式1．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）已知，是常数，函数，，若，则（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】C 【详解】解：，， ∴， ∵， ∴， ∴函数随着的增大而增大， ∴当时，， ∵， ∴当时，，即， 故选：C． 变式2．（25-26九年级上·浙江温州·阶段练习）已知点，在抛物线上，若，则下列判断正确的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵点在抛物线上， ∴， ∵点在抛物线上， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ∴， ， ∴， ∴． 故选:D． 变式3．（25-26九年级上·湖北荆州·阶段练习）已知抛物线，当时，的最大值与最小值的差为3，则的值为 ． 【答案】或 【详解】解：∵二次函数， ∴该函数的对称轴是直线， ∴当时，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， ∴当时，当时，， 当时，， ∴， 解得； 当时，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， ∴当时，当时，， 当时，， ∴， 解得； 故答案为：或． 变式4．（25-26九年级上·江西宜春·阶段练习）已知二次函数，当时，的最大值为3，则的值为 ． 【答案】或或 【详解】解：∵， ∴对称轴为直线， ∵， ∴抛物线的开口向下， 当，即时， ∴当时，函数有最大值3， ∴， ， 整理得：， 解得：； 当，即时， ∴当时，函数有最大值3， ∴， 解得：(舍去)，(舍去)； 当，即时， ∴当时，函数有最大值3， ∴， 整理得：， 解得：，； 综上分析可知：a的值为或或； 故答案为：2或或． 变式5．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知二次函数． (1)试说明：该二次函数的图象与x轴必有两个交点． (2)若该二次函数图象的顶点坐标为，求m，n的值． (3)当时，函数有最小值为2，求m的值． 【答案】(1)见解析； (2)，； (3)m的值为或． 【详解】（1）证明：， 当时， ， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根， 二次函数的图象与x轴必有两个交点； （2）抛物线的顶点坐标为，由题意知该二次函数图象的顶点坐标为， ，， 解得， 即m、n的值分别，； （3）二次函数的对称轴为，且，抛物线开口向上， 分三种情况讨论： 情况一：当时，时函数在上y随着x的增大而增大， 当时，函数取得最小值2， 将代入函数：， ， 解得或， ， ； 情况二：当，即时函数在顶点处取得最小值，顶点纵坐标为，由（1）知， 最小值为，但此情况无解； 情况三：当，时，函数在上y随着x的增大而减小， 时，函数取得最小值2， 将代入函数： ， ， 解得或， ， ， 综上：m的值为或 考点三 几何动态问题 例1．（25-26九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B移动，速度为；点Q从点B开始沿边向点C移动，速度为，点P、Q分别从点A、B同时出发，当其中一点到达终点后，另一点也随之停止运动． (1)是否存在时间t，使得直线平分的面积，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由； (2)经过多少秒后，四边形的面积最小，最小是多少？ 【答案】(1)不存在时间t，使得直线平分的面积，理由见解析 (2)经过后，四边形的面积最小，最小是 【详解】（1）解：不存在时间t，使得直线平分的面积，理由如下： 假设存在时间t，使得直线平分的面积， 根据题意得：， ∴， ∵直线平分的面积，即， ∴， ∴， 整理得：， 此时， ∴该方程无解， 即不存在时间t，使得直线平分的面积； （2）解：根据题意得：， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，四边形的面积最小，最小是， 即经过后，四边形的面积最小，最小是． 例2．（25-26九年级上·湖南长沙·阶段练习）在中，，点从点沿方向以的速度运动，同时点从点沿方向以的速度运动，连接．设运动时间为． (1)___________，___________（用含t的代数式表示）； (2)求四边形的面积与的关系式，并求出为何值时，最大，并求出最大值． (3)是否存在某一时刻，使点在线段的垂直平分线上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)；当时，S有最大值，最大值为； (3) 【详解】（1）解：由题意得，， ∵， ∴，； （2）解：∵， ∴， ， ∴ ， ∵， ∴当时，S随t的增大而增大， ∵， ∴当时，S有最大值，最大值为； （3）解：当点P在线段的垂直平分线上时，， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得或（舍去）． ∴当时，点P在线段的垂直平分线上． 例3．（25-26九年级上·山东·阶段练习）如图，在中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动．如果，两点分别从，两点同时出发，那么的面积随出发时间变化而变化． (1)写出关于的函数解析式及的取值范围． (2)当运动时间为何值时，的面积能否达到？若能，求出值；若不能请说明理由． (3)当运动时间为何值时，的面积能否达到？若能，求出值；若不能请说明理由． 【答案】(1)， (2)经过1秒或5秒，的面积为 (3)的面积不能达到 【详解】（1）解：∵，，， ∴， S关于的函数解析式为：； 的取值范围是：． （2）解：设经过秒，的面积为． ∴即， 解得： 答：经过1秒或5秒，的面积为． （3）解：设经过秒，的面积为． ∴即， ∴， ∴方程无解， ∴的面积不能达到． 例4．（25-26九年级上·四川达州·阶段练习）如图，在长方形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边终点以速度移动．如果分别从同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为秒（）． (1)填空： ______；（用含的代数式表示） (2)当为何值时，的长度等于？ (3)连接，，记的面积为． ① ______（用含的代数式表示）； ②当______秒时，的最小值为______． 【答案】(1) (2)当秒时,的长度等于 (3)①；②2；48． 【详解】（1）解：∵，点从点开始沿边向终点以的速度移动， ∴， 故答案为：； （2）解：由题意得，，，， ∴， 解得（不合题意，舍去），， ∴当秒时,的长度等于； （3）解：①根据题意得，，，，，，， ∴ ， 故答案为：； ②由①可知，， ∵， ∴当秒时，取得最小值，最小值为， 故答案为：2，48． 变式1．（25-26九年级上·安徽安庆·阶段练习）在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)当t为何值时，的长度等于？ (2)是否存在t的值，使的面积S最大，若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或2； (2)存在，． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：，； ∴当或2时，的长度等于； （2）解：由题意得， ∵， ∴当时，的面积最大． 变式2．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）如图1，在中，，，，点从点出发，以的速度沿折线运动，同时点从点出发，以的速度沿线段运动，当点到达点时，停止运动．设点运动的时间为，的面积为． (1)请直接写出与的函数关系式，并注明自变量的取值范围； (2)在图2平面直角坐标系中，画出的函数图象，并写出这个函数的一条性质； (3)若的函数图象与直线有两个交点，请直接写出实数的取值范围． 【答案】(1) (2)图见解析，当时，随着的增大而增大；当时，随着的增大而减小； (3) 【详解】（1）解：由题意得，点从点运动到点所需时间为，点从点运动到点所需时间为，点从点运动到点所需时间为， 当时，，， 此时的面积； 当时，，， ∴， 此时的面积； ∴综上，与的函数关系式为； （2）解：画出的函数图象如下： 这个函数的一条性质：当时，随着的增大而增大；当时，随着的增大而减小； （3）解：如图，有2个临界位置， 将代入得，， 解得； 将代入得，， 解得； ∵的函数图象与直线有两个交点， ∴． 变式3．（25-26九年级上·福建南平·阶段练习）在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)填空：___________，___________（用含t的代数式表示）； (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)是否存在t的值，使的面积S最大，若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或2 (3) 【详解】（1）解：∵点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动， ∴； ∵P从点A开始沿边向终点B以的速度移动， ∴， ∵， ∴， 故答案为：；． （2）解：由题意得：， 解得：，； ∴当或时，的长度等于； （3）解：由题意得， ， 当时，的面积最大. 变式4．（24-25九年级上·甘肃酒泉·阶段练习）如图，中，，，，、两点同时分别从、出发，点以每秒个单位的速度沿着向点运动，点以每秒个单位的速度沿着向点运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动． (1)求经过几秒，的长为； (2)设的面积为，点、的运动时间为秒，求与的函数解析式，并写出的取值范围； (3)当点、的运动时间为秒时，求的面积． 【答案】(1)经过秒或秒时，的长为 (2)， (3)当点、的运动时间为秒时，的面积为 【详解】（1）解：在中，，， ， 设点、的运动时间为秒， 由运动知，，， ， 若时，则，即， 解得，， 经检验，均符合题意， 经过秒或秒时，的长为； （2）解：由知，，， ，的取值范围是； （3）解：由知，， 当时，， 即当点、的运动时间为秒时，的面积为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $