二次函数的应用（销售与利润问题、动态几何问题）专项训练-2026年中考数学一轮复习

二次函数的应用（销售与利润问题、动态几何问题）专项训练 二次函数的应用（销售与利润问题、动态几何问题）专项训练 考点目录 二次函数的应用：销售与利润问题 二次函数的应用：动态几何问题 考点一 二次函数的应用：销售与利润问题 例1．（25-26九年级上·河北唐山·期末）随着汽车数量的不断增加，停车成为一个难题．政府规划利用一块矩形空地修建一个小型停车场，布局如图所示．已知，，阴影部分为车位，需要硬化，其余部分均是宽度为的车道．已知硬化的面积为． (1)求车道的宽度的值； (2)该停车场共有个车位，据调查分析，当每个车位日租金为元时，可全部停满；若每个车位的日租金每上涨1元，就会少租出2个车位．每个车位日租金上涨多少元时，停车场日租金收入最高，且最高日租金是多少元？ 【答案】(1)车道的宽度的值为 (2)每个车位日租金上涨元时，停车场日租金收入最高，最高日租金为元 【详解】（1）解：由题意，阴影部分车位拼接后形成的矩形长为米，宽为米， ， 展开化简为：， 因式分解得：， 解得或(舍去)； 故车道的宽度的值为． （2）解：设每个车位日租金上涨元，停车场日租金收入为元， 则每个车位的日租金为元，租出的车位数量为个， ， ， 该二次函数开口向下， 所以当时，有最大值，(元)． 故每个车位日租金上涨元时，停车场日租金收入最高，最高日租金为元． 例2．（25-26九年级上·海南·期中）某网店销售一种文具袋，成本为30元/件，每天的销售量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示． (1)求与之间的函数关系式； (2)每天销售该文具袋所得利润为3000元，那么销售单价应定为多少元？ (3)如果规定每天的销量不低于240件，那么当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)销售单价应定为40元或60元 (3)当销售单价为元时，每天获取的利润最大，最大利润是3840元 【详解】（1）解：设与之间的函数关系式为， 由图象代入点，得， 解得， ∴与之间的函数关系式为； （2）解：由题意得，， 整理得，， 解得， ∴销售单价应定为40元或60元； （3）解：由题意得，， 解得， 设利润为，则， 配方得，， ∵， ∴当时，随着的增大而增大，而， ∴当时，取得最大值，为， ∴当销售单价为元时，每天获取的利润最大，最大利润是3840元． 例3．（25-26九年级上·云南曲靖·期末）某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件． (1)若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？ (2)每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？最大盈利是多少元？ 【答案】(1)每件衬衫应降价20元 (2)每件衬衫降价15元时，商场平均每天盈利最多，最大盈利是1250元 【详解】（1）解：设每件衬衫应降价元， 由题意，得：， 整理，得， 解得， ∵尽快减少库存， ∴； 答：每件衬衫应降价20元； （2）解：设每天的利润为元，则， ∵， ∴抛物线的开口向下， ∴当时，的值最大为； 答：每件衬衫降价15元时，商场平均每天盈利最多，最大盈利是1250元． 例4．（25-26九年级上·江苏宿迁·期末）某电商平台以每件60元的成本采购一种商品．在一段时间内，每日销售量（单位：件）与销售单价（单位：元）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示． (1)求这段时间内与之间的函数表达式； (2)在这段时间内，若平台规定销售单价不低于90元，且每日销售量需不少于260件．问当销售单价定为多少时，平台获得利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)当销售单价为108元时，平台获得利润最大，最大利润是12480元． 【详解】（1）解：设这段时间内与之间的函数表达式为（为常数）． 函数图象经过点， 解之得. 这段时间内与之间的函数表达式为． （2）解：销售单价不低于90元，且平台还要完成不少于260件的销售任务， ， 即， 解得. 设平台获得利润为元，根据题意，得： 抛物线的对称轴为直线． ， 在范围内，随着的增大而增大， 时，有最大值， 最大值为：． 变式1．（25-26九年级上·陕西·期末）红灯笼象征着阖家团圆，红红火火，挂灯笼成为我国的一种传统文化．某超市在春节前以35元/对的进价购进一批红灯笼，经市场调查发现，红灯笼每对的售价为50元时，每天可售出98对，售价每上涨1元，则每天少售出2对．已知物价部门规定其售价不得高于每对65元，若设每对红灯笼的售价上涨x元，该超市一天售卖红灯笼获得的利润为y元． (1)当每对红灯笼的售价上涨x元（x为正整数）时，平均每天可售出_______对； (2)①求y与x之间的函数解析式； ②当每对红灯笼的售价为多少元时，一天获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)①（，x为正整数）；②当售价为65元时，一天获得的利润最大，最大利润为2040元 【详解】（1）解：∵售价50元时每天售出98对，每上涨1元少卖2对， ∴上涨x元时，少售出对， ∴每天销售量为对， 故答案为：． （2）解：①∵进价为35元/对， 当售价上涨x元时，则每对的售价为元， ∴每对的利润为（元）， ∴， ∵售价不得高于每对65元，即，解得， 又∵， ∴，x为正整数， 即y与x之间的函数解析式为（，x为正整数）； ②在二次函数中，， ∴二次函数开口向下， ∴顶点横坐标为：， ∵， ∴x的最大值为15， ∴售价为：（元）， 当时，， 即当售价为65元时，一天获得的利润最大，最大利润为2040元． 变式2．（25-26九年级上·江西吉安·期末）某品牌快餐店发源于安徽合肥，是一家以中式快餐为特色的全国连锁餐饮企业，该店某种菜品每千克的生产成本（单位：元），每日生产量（单位：千克），若该菜品每日生产量30千克，每千克的生产成本为55元；若每日生产60千克，每千克的生产成本为50元．该菜品每千克的售价（单位：元）与每日生产量（单位：千克）之间的关系可用如图所示的平面直角坐标系中的线段表示． (1)请分别求出与每日生产量之间的函数关系式； (2)请问当日该菜品的生产量为多少千克时，日销售利润最大？并求出最大日销售利润． 【答案】(1)， (2)当日该菜品的生产量为90千克时，日销售利润最大，最大日销售利润为1350元 【详解】（1）解：设与之间的函数关系式为， 将代入， 得，解得， ∴与之间的函数关系式为， 由图可知与之间的函数关系式为， 将代入，得，解得， ∴与之间的函数关系式为； 答：解析式为，； （2）设该菜品日销售利润为元． ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为1350． 答：当日该菜品的生产量为90千克时，日销售利润最大，最大日销售利润为1350元． 变式3．（25-26九年级上·广东东莞·期末）综合与实践 ［问题情境］小莹妈妈的花卉超市以18元／盆的价格新购进了某种盆栽花卉，为了确定售价，小莹帮妈妈调查了附近A，B，C，D，E五家花卉店近期该种盆栽花卉的售价与日销售量情况，记录如下： 售价（元/盆） 日销售量（盆） A 30 40 B 25 50 C 20 60 D 40 20 E 35 30 （1）请将以上调查数据按照售价从小到大的顺序重新整理，填写在下表中： 售价（元/盆） 20 __________ __________ __________ 40 日销售量（盆） 60 __________ __________ __________ 20 [模型建立] （2）设日销售量为y，售价为x，根据数据的变化规律，估计x与y之间的函数关系，求解析式； ［拓广应用］ （3）根据以上信息，小莹妈妈在销售该种花卉中，售价定为多少时，每天能够获得最大利润，并求出最大利润？ 【答案】（1）25，30，35；50，40，30； （2）； （3）售价定为34元时，每天能够获得最大利润512元 【详解】解：（1）根据销售单价从小到大排列得下表： 售价（元/盆） 20 25 30 35 40 日销售量（盆） 60 50 40 30 20 故答案为：25，30，35；50，40，30； （2）观察（1）中表格可知日销售量是售价的一次函数，设日销售量为y盆，售价为x元/盆，一次函数解析式为， 把，代入，得，解得， ∴； （3）设每天获得的利润为w元， 根据题意得， ∵， ∴当时，w取最大值512， ∴售价定为34元/盆时，每天能够获得最大利润512元． 变式4．（25-26九年级上·湖北孝感·期末）数学兴趣小组通过社会调查，帮助某襄阳牛肉面特色店拟定下列销售方案，根据提供的素材，完成探索任务． 如何设计襄阳牛肉面的销售方案 素材1 襄阳牛肉面刚开始出现是在清朝的康熙元年（公元1662年），到今天已经有300多年的历史了．某襄阳牛肉面特色店在网店和实体店同时销售一种襄阳牛肉面，成本价为30元/箱． 素材二 根据市场调查，这种襄阳牛肉面的网店销售价为50元/箱，平均每天销售量是100箱，而销售价每降价元（），平均每天就可以多售出箱． 素材三 这种襄阳牛肉面在实体店的销售价定为60元/箱，根据市场调查，该实体店受网店影响，平均每天的销售量为箱． 问题解决 任务（1） 确定模型 求网店每天销售这种襄阳牛肉面的利润（元）与（元）的函数解析式； 任务（2） 探究销售方案 若在网店每天销售这种襄阳牛肉面获利1760元，则网店销售价格应定为多少元？ 任务（3） 拟定最优方案 这种襄阳牛肉面在网店和实体店同时销售，当网店销售价定为每箱多少元时，该店每天销售这种襄阳牛肉面的总利润最大（总利润网店利润实体店利润），最大利润是多少？ 【答案】（1）（）；（2）应定为38元；（3）最大总利润是4440元 【详解】解：（1）由题意得：， ． （2）当时，， ，解得，（舍去）， （元）， 答：若在网店每天销售这种襄阳牛肉面的利润为1760元，则网店销售的价格应定为38元． （3）设该店每天销售这种襄阳牛肉面的总利润为元， ， ， 当时，，此时， 当网店销售价为每箱48元时，该牛肉面特色店每天销售这种襄阳牛肉面的总利润最大，最大总利润是4440元． 考点二 二次函数的应用：动态几何问题 例1．（24-25九年级上·湖北襄阳·月考）如图，四边形，，，，，，动点Q从点D开始沿的方向匀速运动，运动速度为，动点P从点A开始沿的方向匀速运动，运动速度为．点P和点Q同时出发，O为四边形的对角线的交点，连接并延长交直线于M，连接，设运动的时间为（）； (1)在运动的过程中，是否存在t使D，Q，P，B四点组成梯形，若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由； (2)当，设五边形的面积为，求面积S的取值范围； (3)在运动过程中，当时，是否存在某时刻t，使？ 【答案】(1)存在， (2) (3) 【详解】（1）解：存在使四点组成梯形， 理由如下： 过点作交于， ∵四边形中，，， ∴四边形是矩形， ， ， ， ，， ， ∵四点组成梯形， ∴， ∴， ， 即， 解得； （2）解：， ∴点Q在上运动，点P在上运动， ∵， ， ， ， ， ， ∵， ， ， ， 延长，过点作的垂线，交于点于点， ， ， ∴， ， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ， ∴， ， ∴四边形的面积的面积的面积 ， ， ． （3）解：存在，使， 理由如下： 根据（2）可知，，， ， ， ， ， 解得：． 例2．（25-26九年级上·重庆·月考）材料一：把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛的应用． 例如：若，利用配方法求M的最小值； ； ，， 当时，有最小值． 材料二：分解因式时，细心观察这个式子就会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了，过程为：这种分解因式的方法叫做分组分解法． 利用以上材料解决下列问题： (1)已知的三边长，，，满足，试判断的形状，并说明理由． (2)已知，，是的三边长，，，为整数且满足，求的周长． (3)如图，在中，，，，点从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动，同时，点从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动，当其中任何一点到达终点时，两点均停止运动．设运动时间为，的面积为．当为何值时，的值最大，最大值是多少？ 【答案】(1)等腰三角形，理由见解析 (2) (3) 【详解】（1）解：是等腰三角形，理由如下： ， ， 整理得：， ， ， ， 是等腰三角形； （2）解：， 移项得：， 分组可得：， 分解因式可得：， ，， ，， ， ， 为整数， ， 的周长是； （3）解：在中，，，， 点从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动，所需要的时间为秒， 点从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动，所需要的时间为秒， ， 当运动秒时，，， ， 整理可得：， 当时，的值最大，最大值是． 例3．（25-26九年级上·吉林松原·期末）如图，在中，，，，动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线向终点B运动，当点P不与点A、B重合时，过点P作于点D，以、为邻边作矩形． (1)线段的长为_________； (2)用含t的代数式表示线段的长； (3)设与矩形重叠部分的面积为S，求S关于t的函数关系式． 【答案】(1)5 (2)当时，；当时， (3)当时，；当时， 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴． 故答案为：5． （2）①当点在上时（）， ，， ． 又为公共角， ． 由相似三角形对应边成比例：， 即， 解得： ②当点在上时（）， ，， ． 又为公共角， ． 由相似三角形对应边成比例：， 即， 解得：， 综上所述，当时，；当时，． （3）①当点在上时（）， 设与交于点， 重叠部分面积等于矩形的面积减去面积 矩形的顶点为、、、， 由，得， 即， 解得． 矩形面积，代入和： ， , ， 面积 重叠部分面积 ②当点在上时（）， 由，得， 即， 解得:， 重叠部分面积，代入和，得 ， 化简得：． 综上所述，当时，；当时，． 例4．（25-26九年级上·吉林·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，点与坐标原点重合，．、两点分别从点、同时出发，点以每秒个单位长度的速度沿向终点运动，点以每秒个单位长度的速度沿向终点运动，当一点运动到终点时，另一点也随之停止运动．过点作于点，以、为邻边作矩形．设点的运动时间为秒，矩形和重叠部分图形的面积为． (1)点的坐标是______； (2)当点与点重合时，求的值； (3)求关于的函数解析式，并写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：，，， ， ， ； 故答案为：； （2）解：当点和点重合时，则， 依题意得：，， 则，， ， 解得， 即当点与点重合时，； （3）解：当点与点重合时，依题意得：， 解得， 当点与点重合时，依题意得：， 解得， 当一点运动到终点时，另一点也随之停止运动， ， 分两种情况讨论： 当时，如图， ， ， ； ②当时，如图，交于点， ， ， ， ， ； 综上所述，． 变式1．（25-26九年级上·湖南岳阳·期中）已知：与中，，，，，．现将与按图1的方式摆放，使点与点重合，点、（E）、在同一条直线上，并按如下方式运动． 运动一：如图2，从图1的位置出发，以的速度沿方向向右匀速运动，与相交于点Q，当点Q与点D重合时暂停运动； 运动二：在运动一的基础上，如图3，绕着点C顺时针旋转，与交于点Q，与交于点P，此时点Q在上匀速运动，速度为，当时暂停旋转； 运动三：在运动二的基础上，如图4，以的速度沿向终点F匀速运动，直到点C与点F重合时为止．设运动时间为t（s），中间的暂停不计时，解答下列问题∶ (1)在从运动一到最后运动三结束时，整个过程共耗时 s； (2)在整个运动过程中，设与的重叠部分的面积为S（），求S与t之间的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围； (3)在整个运动过程中，是否存在某一时刻，点Q正好在线段的中垂线上，若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)10 (2) (3)存在，3.5或 【详解】（1）解：根据题意得， 运动一： 是等腰三角形，，， ， 运动一所用时间为：（秒）， 运动二： 当时暂停旋转， ， 运动二所用时间为：（秒）， 运动三： ， 运动三所用的时间为：（秒）， 整个过程共耗时（秒）； 故答案为：10； （2）解：运动一：如图2， 设为，则为， ， 与之间的函数关系式为：， 运动二：如图3，连接， 在和中， ， 与之间的函数关系式为：， 运动三：如图4， 可得四边形为矩形， ， ， ； 与之间的函数关系式为：， 综上可得，； （3）解：存在点，理由如下： 如图5，连接， 运动一： 点在线段的中垂线上， ， ， ，， 解得，， ， ， 此时，为：秒． 如图6， 运动二： 同理：， 过点作交于点，， 在中，， ， ； 运动三时，最大为， 所以无解． 综上，或时，点正好在线段的中垂线上． 变式2．（2025·天津河西·模拟预测）在平面直角坐标系中，为原点，是等边三角形，点，点在第一象限，矩形的顶点，点在轴的正半轴上，点在第二象限，射线经过点边的中点． (1)如图①，点的坐标为______；点的坐标为______； (2)将矩形沿轴向右平移，得到矩形，点的对应点分别为．设，矩形与重叠部分的面积为． ①如图②，当点在的外部，且矩形与重叠部分为五边形时，，与分别相交于点和点，试用含有的式子表示，并直接写出的取值范围； ②当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1)， (2)； 【详解】（1）解：过点作于，延长交、于、，如图所示： 是等边三角形，点， ，，且由等腰三角形三线合一性质可得， 在中，由可得，， 点的坐标为； 的中点是，且轴， 由平行线分线段成比例可得， 即， ， 矩形的顶点， 点的坐标为； 故答案为：，； （2）解：①如图2所示： 由（1）知，，， ， ， ， ， ， ， ， ； ②如图3所示： 当时， ，， ， 随着的增大而增大， 当时，；当时，； 即； 当时， ， 当时，随着的增大而增大， 当时，；当时，； 即； 如图4所示： 当时，设交于，交于， ， ， ， ， ， ， ， ， 当时，随着的增大而增大， 当时，；当时，； 当时，随着的增大而减小， 当时，；当时，； 即； 如图5所示： 当时，， ， 当时，随着的增大而减小， 当时，；当时，； 即； 综上所述，当时，的取值范围为． 变式3．（2025·江苏徐州·模拟预测）在中，已知，，，以所在直线为轴，为坐标原点建立直角坐标系，将绕点按逆时针方向旋转得到（图1）    (1)直接写出C、F两点的坐标． (2)沿轴的负半轴以1米秒的速度平行移动，设移动后秒（图2），与重叠部分的面积为，当点移动到的内部时，求与之间的关系式． (3)若与同时从点出发，分别沿轴、轴的负半轴以1米秒的速度平行移动，设移动后秒（如图3），与重叠部分的面积为，当点移动到的内部时，求与之间的关系式，并求出重叠部分面积的最大值． 【答案】(1)， (2) (3)，重叠部分面积的最大值是 【详解】（1）解：如图，过作轴，过作轴，    ∵在中，已知，，， ∴， ， ， 则，， ∴， ∵将绕点按逆时针方向旋转得到， ∴同理可得，， ∴； （2）解：如图，设与交于点，与轴交于点，    由题意得，，， ，， ， ， ， ， 点移动到的内部， ， 解得：， 与之间的关系式为； （3）解：2秒后，移动到的内部， 当时，如图，，，    由（1）知，则 轴， ， ， ， ， 当时，有最大值； 当时，如图，延长与交于点，   ，即， ， ， ， 当时，有最大值； 综上所述，与之间的关系式为，重叠部分面积的最大值是． 变式4．（24-25九年级上·广东中山·期末）如图1，在中，，，．动点P，Q同时从A点出发，点P沿着的路线以匀速运动，点Q沿着的路线匀速运动，当一个点停止运动，另一个点也随之停止运动，设运动时间为x秒． (1)求的值． (2)如图2，当时，连接，若点P恰好在以为直径的圆上，求点Q的运动速度． (3)设点Q的速度为，记的面积为y平方厘米，求y关于x的函数表达式，并指出x为何值时，y的值最大，最大值为多少？ 【答案】(1) (2)点Q的运动速度为 (3)；当时，最大面积为平方厘米. 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，当时，连接，此时在上， ∵点P恰好在以为直径的圆上， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴点Q的运动速度为； （3）解：当时，连接，此时在上， 过作于， ∵，， ∴， ∴， ∴的面积为， 当时，最大面积为（平方厘米）； 如图，当时，在上，过作于， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积为， 当时， 最大面积为（平方厘米）； 综上：当时，最大面积为平方厘米. 2 学科网（北京）股份有限公司 $二次函数的应用（销售与利润问题、动态几何问题）专项训练 二次函数的应用（销售与利润问题、动态几何问题）专项训练 考点目录 二次函数的应用：销售与利润问题 二次函数的应用：动态几何问题 考点一 二次函数的应用：销售与利润问题 例1．（25-26九年级上·河北唐山·期末）随着汽车数量的不断增加，停车成为一个难题．政府规划利用一块矩形空地修建一个小型停车场，布局如图所示．已知，，阴影部分为车位，需要硬化，其余部分均是宽度为的车道．已知硬化的面积为． (1)求车道的宽度的值； (2)该停车场共有个车位，据调查分析，当每个车位日租金为元时，可全部停满；若每个车位的日租金每上涨1元，就会少租出2个车位．每个车位日租金上涨多少元时，停车场日租金收入最高，且最高日租金是多少元？ 例2．（25-26九年级上·海南·期中）某网店销售一种文具袋，成本为30元/件，每天的销售量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示． (1)求与之间的函数关系式； (2)每天销售该文具袋所得利润为3000元，那么销售单价应定为多少元？ (3)如果规定每天的销量不低于240件，那么当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大？最大利润是多少？ 例3．（25-26九年级上·云南曲靖·期末）某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件． (1)若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？ (2)每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？最大盈利是多少元？ 例4．（25-26九年级上·江苏宿迁·期末）某电商平台以每件60元的成本采购一种商品．在一段时间内，每日销售量（单位：件）与销售单价（单位：元）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示． (1)求这段时间内与之间的函数表达式； (2)在这段时间内，若平台规定销售单价不低于90元，且每日销售量需不少于260件．问当销售单价定为多少时，平台获得利润最大？最大利润是多少？ 变式1．（25-26九年级上·陕西·期末）红灯笼象征着阖家团圆，红红火火，挂灯笼成为我国的一种传统文化．某超市在春节前以35元/对的进价购进一批红灯笼，经市场调查发现，红灯笼每对的售价为50元时，每天可售出98对，售价每上涨1元，则每天少售出2对．已知物价部门规定其售价不得高于每对65元，若设每对红灯笼的售价上涨x元，该超市一天售卖红灯笼获得的利润为y元． (1)当每对红灯笼的售价上涨x元（x为正整数）时，平均每天可售出_______对； (2)①求y与x之间的函数解析式； ②当每对红灯笼的售价为多少元时，一天获得的利润最大？最大利润是多少元？ 变式2．（25-26九年级上·江西吉安·期末）某品牌快餐店发源于安徽合肥，是一家以中式快餐为特色的全国连锁餐饮企业，该店某种菜品每千克的生产成本（单位：元），每日生产量（单位：千克），若该菜品每日生产量30千克，每千克的生产成本为55元；若每日生产60千克，每千克的生产成本为50元．该菜品每千克的售价（单位：元）与每日生产量（单位：千克）之间的关系可用如图所示的平面直角坐标系中的线段表示． (1)请分别求出与每日生产量之间的函数关系式； (2)请问当日该菜品的生产量为多少千克时，日销售利润最大？并求出最大日销售利润． 变式3．（25-26九年级上·广东东莞·期末）综合与实践 ［问题情境］小莹妈妈的花卉超市以18元／盆的价格新购进了某种盆栽花卉，为了确定售价，小莹帮妈妈调查了附近A，B，C，D，E五家花卉店近期该种盆栽花卉的售价与日销售量情况，记录如下： 售价（元/盆） 日销售量（盆） A 30 40 B 25 50 C 20 60 D 40 20 E 35 30 （1）请将以上调查数据按照售价从小到大的顺序重新整理，填写在下表中： 售价（元/盆） 20 __________ __________ __________ 40 日销售量（盆） 60 __________ __________ __________ 20 [模型建立] （2）设日销售量为y，售价为x，根据数据的变化规律，估计x与y之间的函数关系，求解析式； ［拓广应用］ （3）根据以上信息，小莹妈妈在销售该种花卉中，售价定为多少时，每天能够获得最大利润，并求出最大利润？ 变式4．（25-26九年级上·湖北孝感·期末）数学兴趣小组通过社会调查，帮助某襄阳牛肉面特色店拟定下列销售方案，根据提供的素材，完成探索任务． 如何设计襄阳牛肉面的销售方案 素材1 襄阳牛肉面刚开始出现是在清朝的康熙元年（公元1662年），到今天已经有300多年的历史了．某襄阳牛肉面特色店在网店和实体店同时销售一种襄阳牛肉面，成本价为30元/箱． 素材二 根据市场调查，这种襄阳牛肉面的网店销售价为50元/箱，平均每天销售量是100箱，而销售价每降价元（），平均每天就可以多售出箱． 素材三 这种襄阳牛肉面在实体店的销售价定为60元/箱，根据市场调查，该实体店受网店影响，平均每天的销售量为箱． 问题解决 任务（1） 确定模型 求网店每天销售这种襄阳牛肉面的利润（元）与（元）的函数解析式； 任务（2） 探究销售方案 若在网店每天销售这种襄阳牛肉面获利1760元，则网店销售价格应定为多少元？ 任务（3） 拟定最优方案 这种襄阳牛肉面在网店和实体店同时销售，当网店销售价定为每箱多少元时，该店每天销售这种襄阳牛肉面的总利润最大（总利润网店利润实体店利润），最大利润是多少？ 考点二 二次函数的应用：动态几何问题 例1．（24-25九年级上·湖北襄阳·月考）如图，四边形，，，，，，动点Q从点D开始沿的方向匀速运动，运动速度为，动点P从点A开始沿的方向匀速运动，运动速度为．点P和点Q同时出发，O为四边形的对角线的交点，连接并延长交直线于M，连接，设运动的时间为（）； (1)在运动的过程中，是否存在t使D，Q，P，B四点组成梯形，若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由； (2)当，设五边形的面积为，求面积S的取值范围； (3)在运动过程中，当时，是否存在某时刻t，使？ 例2．（25-26九年级上·重庆·月考）材料一：把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛的应用． 例如：若，利用配方法求M的最小值； ； ，， 当时，有最小值． 材料二：分解因式时，细心观察这个式子就会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了，过程为：这种分解因式的方法叫做分组分解法． 利用以上材料解决下列问题： (1)已知的三边长，，，满足，试判断的形状，并说明理由． (2)已知，，是的三边长，，，为整数且满足，求的周长． (3)如图，在中，，，，点从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动，同时，点从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动，当其中任何一点到达终点时，两点均停止运动．设运动时间为，的面积为．当为何值时，的值最大，最大值是多少？ 例3．（25-26九年级上·吉林松原·期末）如图，在中，，，，动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线向终点B运动，当点P不与点A、B重合时，过点P作于点D，以、为邻边作矩形． (1)线段的长为_________； (2)用含t的代数式表示线段的长； (3)设与矩形重叠部分的面积为S，求S关于t的函数关系式． 例4．（25-26九年级上·吉林·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，点与坐标原点重合，．、两点分别从点、同时出发，点以每秒个单位长度的速度沿向终点运动，点以每秒个单位长度的速度沿向终点运动，当一点运动到终点时，另一点也随之停止运动．过点作于点，以、为邻边作矩形．设点的运动时间为秒，矩形和重叠部分图形的面积为． (1)点的坐标是______； (2)当点与点重合时，求的值； (3)求关于的函数解析式，并写出的取值范围． 变式1．（25-26九年级上·湖南岳阳·期中）已知：与中，，，，，．现将与按图1的方式摆放，使点与点重合，点、（E）、在同一条直线上，并按如下方式运动． 运动一：如图2，从图1的位置出发，以的速度沿方向向右匀速运动，与相交于点Q，当点Q与点D重合时暂停运动； 运动二：在运动一的基础上，如图3，绕着点C顺时针旋转，与交于点Q，与交于点P，此时点Q在上匀速运动，速度为，当时暂停旋转； 运动三：在运动二的基础上，如图4，以的速度沿向终点F匀速运动，直到点C与点F重合时为止．设运动时间为t（s），中间的暂停不计时，解答下列问题∶ (1)在从运动一到最后运动三结束时，整个过程共耗时 s； (2)在整个运动过程中，设与的重叠部分的面积为S（），求S与t之间的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围； (3)在整个运动过程中，是否存在某一时刻，点Q正好在线段的中垂线上，若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 变式2．（2025·天津河西·模拟预测）在平面直角坐标系中，为原点，是等边三角形，点，点在第一象限，矩形的顶点，点在轴的正半轴上，点在第二象限，射线经过点边的中点． (1)如图①，点的坐标为______；点的坐标为______； (2)将矩形沿轴向右平移，得到矩形，点的对应点分别为．设，矩形与重叠部分的面积为． ①如图②，当点在的外部，且矩形与重叠部分为五边形时，，与分别相交于点和点，试用含有的式子表示，并直接写出的取值范围； ②当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 变式3．（2025·江苏徐州·模拟预测）在中，已知，，，以所在直线为轴，为坐标原点建立直角坐标系，将绕点按逆时针方向旋转得到（图1）    (1)直接写出C、F两点的坐标． (2)沿轴的负半轴以1米秒的速度平行移动，设移动后秒（图2），与重叠部分的面积为，当点移动到的内部时，求与之间的关系式． (3)若与同时从点出发，分别沿轴、轴的负半轴以1米秒的速度平行移动，设移动后秒（如图3），与重叠部分的面积为，当点移动到的内部时，求与之间的关系式，并求出重叠部分面积的最大值． 变式4．（24-25九年级上·广东中山·期末）如图1，在中，，，．动点P，Q同时从A点出发，点P沿着的路线以匀速运动，点Q沿着的路线匀速运动，当一个点停止运动，另一个点也随之停止运动，设运动时间为x秒． (1)求的值． (2)如图2，当时，连接，若点P恰好在以为直径的圆上，求点Q的运动速度． (3)设点Q的速度为，记的面积为y平方厘米，求y关于x的函数表达式，并指出x为何值时，y的值最大，最大值为多少？ 2 学科网（北京）股份有限公司 $