精品解析：河南省新乡市牧野区河南师范大学附属中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题

2023－2024学年第二学期八年级《数学》期中考试试卷 一、选择题（共10小题，每小题3分） 1. 式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组线段，能组成直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 若，则表示实数a的点会落在数轴的（ ） A. 段①上 B. 段②上 C. 段③上 4. 如图所示的是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，中，平分交于E，若，则度数为（　　） A B. C. D. 6. 如图，长方形的边在数轴上，若点A与数轴上表示数的点重合，点D与数轴上表示数的点重合，，以点A为圆心，对角线的长为半径作弧与数轴负半轴交于一点E，则点E表示的数为（ ） A. B. C. D. 1 7. 如图，是的中位线，点F在上，且，若，，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2.5 D. 1.5 8. 如图，O为菱形ABCD的对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，若AC＝6，BD＝8，则线段OE的长为（　　） A. 3 B. C. 5 D. 6 9. 如图，中，，，，在上取一点M（不与点重合），连接，当的长度为整数值时，符合条件的值共有（　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 10. 如图，线段AB上有一动点P从右向左运动，△AEP和△PFB分别是以AP和PB为边的等边三角形，连接两个等边三角形的顶点EF，G为线段EF的中点；C、D为线段AB上两点，且满足AC=BD，当点P从点D运动到点C时，设点G到直线AB的距离为y，点P的运动时间为x，则y与x之间函数关系的大致图象是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（共5小题，每小题3分） 11. 已知最简二次根式与二次根式是同类二次根式，则_______． 12. 如图，平行四边形的活动框架，当时，面积为，将从扭动到，则四边形面积为_______． 13. 如图，网格中每个小正方形的边长均为1，以A为圆心，为半径画弧，交最上方的网格线于点N，则的长是______． 14. 如图1，一个正方体铁块放置在圆柱形水槽内，现以一定的速度往水槽中注水，时注满水槽，水槽内水面的高度与注水时间之间的函数图像如图2所示.如果将正方体铁块取出，又经过____秒恰好将水槽注满. 15. 在矩形中，，若P是射线上一个动点，连接，点A关于直线对称点为M，连接，当P，M，C三点共线时，的长为____． 三、解答题（共8小题，共75分） 16. 计算 （1）． （2）． 17. 某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）．如图，已知，，，．技术人员通过测量确定了． （1）小区内部分居民每天必须从点A经过点B再到点C位置，为了方便居民出入，技术人员打算在绿地中开辟一条从点A直通点C的小路，请问如果方案落实施工完成，居民从点A到点C将少走多少路程？ （2）这片绿地的面积是多少？ 18. 如图，在中，点E，F分别在，上，且平分．若，连结．求证：四边形是菱形． 19. 如图，点A在的边上，于于于C． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求的长． 20. 如图，在中，，分别是的中点，延长到点，使，连接． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）求证：． 21. 一张矩形纸ABCD，将点B翻折到对角线AC上点M处，折痕CE交AB于点E．将点D翻折到对角线AC上的点H处，折痕AF交DC于点F，折叠出四边形AECF． （1）求证：AFCE； （2）当∠BAC＝　 　度时，四边形AECF是菱形？说明理由． 22. 在中，，且． （1）当是锐角三角形时，小明猜想：．以下是他证明过程： 小明的证明过程 如图①，过点作，垂足．设． ∵在中，， 在中， ① ， ∴ ① ． 化简得，． ② ． 其中，①是______；②是______． （2）如图②，当是钝角三角形时，猜想与之间的关系并证明． 23. 如图，在正方形中，点在边上运动，连接，将绕点顺时针旋转得到． （1）如图，作，垂足为，求证：； （2）如图2，点恰好落在边上，求的值； （3）如图3，若，，连接，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023－2024学年第二学期八年级《数学》期中考试试卷 一、选择题（共10小题，每小题3分） 1. 式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0． 【详解】解：依题意有， 即时，二次根式有意义． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次根式的意义和性质，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义，掌握二次根式的意义与性质是解题的关键． 2. 下列各组线段，能组成直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股定理逆定理分别计算并判断．此题考查了勾股定理的逆定理的应用，正确掌握勾股定理逆定理判断直角三角形的方法是解题的关键． 【详解】解：A、∵，∴不能组成直角三角形； B、∵，∴不能组成直角三角形； C、∵，∴不能组成直角三角形； D、，∴能组成直角三角形； 故选：D． 3. 若，则表示实数a的点会落在数轴的（ ） A. 段①上 B. 段②上 C. 段③上 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了二次根式的化简，减法运算及估算，先化简二次根式，计算出的值，再估算出范围，再结合数轴即可得出结果． 【详解】解：∵，即， ， ， ，即， 故实数的点会落在数轴的段②上， 故选：B． 4. 如图所示的是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理计算出大正方形边长的平方，即大正方形的面积，再根据勾股定理可得两个小正方形的边长的平方和等于斜边的平方，即两个小正方形的面积和等于大正方形的面积，从而得出答案． 【详解】由勾股定理得，大正方形边长的平方==25，即大正方形面积为25， ∵两个小正方形的边长的平方和等于斜边的平方， ∴两个小正方形的面积和为25， ∴阴影部分的面积为：25+25=50． 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题关键． 5. 如图，中，平分交于E，若，则度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了平行四边形的性质以及角平分线的定义，关键是掌握平行四边形对边互相平行．首先根据平行四边形的性质可得，，根据平行线的性质可得，，先计算出，然后再计算出的度数，可得答案． 【详解】解∶四边形是平行四边形． ，， ， ， 平分， ， ， ， ， 故选∶B． 6. 如图，长方形的边在数轴上，若点A与数轴上表示数的点重合，点D与数轴上表示数的点重合，，以点A为圆心，对角线的长为半径作弧与数轴负半轴交于一点E，则点E表示的数为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查勾股定理与无理数，实数与数轴．勾股定理求出的长，进而求出点E表示的数即可． 【详解】解：由题意，得：，，， ∴， ∴点表示的数为； 故选A． 7. 如图，是的中位线，点F在上，且，若，，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2.5 D. 1.5 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查三角形中位线定理，直角三角形斜边中线的性质，根据三角形中位线定理求出，根据直角三角形的性质求出，结合图形计算，得到答案. 【详解】解：∵是的中位线， ∴， 在三角形中，是的中点， ∴， ∴ 故选：D. 8. 如图，O为菱形ABCD的对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，若AC＝6，BD＝8，则线段OE的长为（　　） A. 3 B. C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】先证明四边形OCED是平行四边形，再根据菱形的对角线互相垂直求出∠COD=90°，则四边形OCED为矩形，根据菱形的对角线互相平分求出OC、OD，再根据勾股定理求出CD，然后根据矩形的对角线相等求解即可． 【详解】∵DE∥AC，CE∥BD， ∴四边形OCED是平行四边形， ∵四边形ABCD是菱形， ∴∠COD=90°， ∴四边形OCED是矩形， 又∵AC＝6，BD＝8， ∴OC=3，OD=4， ∴, 在矩形OCED中，OE=CD=5， 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形性质，矩形的判定和性质，勾股定理的应用，熟记矩形的判定方法和菱形的性质是解题的关键． 9. 如图，中，，，，在上取一点M（不与点重合），连接，当的长度为整数值时，符合条件的值共有（　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，三角形的面积，垂线段最短． 根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式求出，根据垂线段最短解答即可． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得：， 当时，， ∴ 解得：， ∴， ∴当的长度为整数值时，符合条件的值有2、3、4、5，共4个， 故选：C． 10. 如图，线段AB上有一动点P从右向左运动，△AEP和△PFB分别是以AP和PB为边的等边三角形，连接两个等边三角形的顶点EF，G为线段EF的中点；C、D为线段AB上两点，且满足AC=BD，当点P从点D运动到点C时，设点G到直线AB的距离为y，点P的运动时间为x，则y与x之间函数关系的大致图象是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别延长AE，BF交于点H，则可证得四边形EPFH为平行四边形，利用平行四边形的性质：对角线相互平分，可得G为EF的中点，也是PH的中点，所以G的运动轨迹是三角形HCD的中位线，所以点G到直线AB的距离为y是一个定值，问题得解． 【详解】解：如图，分别延长AE，BF交于点H， ∵∠A＝∠FPB＝60°， ∴AH∥PF， ∵∠B＝∠EPA＝60°， ∴BH∥PE， ∴四边形EPFH为平行四边形， ∴EF与HP互相平分， ∴G为HP的中点， ∵EF的中点为G， ∴P从点C运动到点D时，G始终为PH的中点， ∴G运动的轨迹是三角形HCD的中位线MN， 又∵MN∥CD， ∴G到直线AB的距离为一定值， ∴y与P点移动的时间x之间函数关系的大致图象是一平行于x轴的射线（x≥0），故D正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，利用到的是三角形的中位线定理：三角形的中位线平行且等于第三边的一半，对于此类问题来说是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力，用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图． 二、填空题（共5小题，每小题3分） 11. 已知最简二次根式与二次根式是同类二次根式，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式，化为最简二次根式后，它们的被开方数相同，列出方程求解是解题的关键． 【详解】解：∵最简二次根式与二次根式是同类二次根式，且， ∴， 解得：， 故答案为：． 12. 如图，平行四边形的活动框架，当时，面积为，将从扭动到，则四边形面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，含有角的直角三角形的性质，根据题意可得，，作，交于点，则，从而即可得到．添加适当的辅助线构造直角三角形是解题的关键． 【详解】解：当时，面积为， ， 将从扭动到， ， 作，交于点，如图所示， ， ， 故答案为：． 13. 如图，网格中每个小正方形的边长均为1，以A为圆心，为半径画弧，交最上方的网格线于点N，则的长是______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，则，在中，利用勾股定理求出即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， 由题意知：， 在中，由勾股定理得： ， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，求出的长是解题的关键． 14. 如图1，一个正方体铁块放置在圆柱形水槽内，现以一定的速度往水槽中注水，时注满水槽，水槽内水面的高度与注水时间之间的函数图像如图2所示.如果将正方体铁块取出，又经过____秒恰好将水槽注满. 【答案】4 【解析】 【分析】根据函数图像可得正方体的棱长为10cm，同时可得水面上升从10cm到20cm,所用的时间为16秒，结合前12秒由于立方体的存在，导致水面上升速度加快了4秒可得答案. 【详解】解：由题意可得:12秒时,水槽内水面的高度为10cm,12秒后水槽内水面高度变化趋势改变，正方体的棱长为10cm； 没有立方体时,水面上升从10cm到20cm,所用的时间为:28-12=16秒 前12秒由于立方体的存在，导致水面上升速度加快了4秒 将正方体铁块取出, 又经过4秒恰好将此水槽注满. 故答案：4 【点睛】本题主要考查一次函数的图像及应用，根据函数图像读懂信息是解题的关键. 15. 在矩形中，，若P是射线上一个动点，连接，点A关于直线的对称点为M，连接，当P，M，C三点共线时，的长为____． 【答案】1或9##9或1 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，分两种情况画图：根据当P，M，C三点共线时画出图形，利用点A关于直线的对称点为M，得，，根据勾股定理列出方程即可解决问题．由轴对称的性质得，由平行线的性质得，进而可以解决问题． 【详解】解：①当P，M，C三点共线时，如图1所示： 在矩形中，， ∵点A关于直线的对称点为M， ， , 设， 则，， 在中，根据勾股定理得：， ， ， 的长为1； ②如图2， 由轴对称的性质得， 由平行线的性质得 ， ， 在中，，由勾股定理得， ， ， 综上所述：的长为1或9， 故答案为：1或9． 三、解答题（共8小题，共75分） 16. 计算 （1）． （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先运算二次根式的乘除，然后合并解题； （2）先提取公因式，然后运算乘法解题即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 17. 某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）．如图，已知，，，．技术人员通过测量确定了． （1）小区内部分居民每天必须从点A经过点B再到点C位置，为了方便居民出入，技术人员打算在绿地中开辟一条从点A直通点C的小路，请问如果方案落实施工完成，居民从点A到点C将少走多少路程？ （2）这片绿地的面积是多少？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）连接，利用勾股定理求出，问题随之得解； （2）先利用勾股定理逆定理证明是直角三角形，，再根据三角形的面积公式即可求解． 【小问1详解】 如图，连接， ∵，，， ∴， ∴， 答：居民从点A到点C将少走路程． 【小问2详解】 ∵，．， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ， ∴， 答：这片绿地的面积是． 【点睛】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，掌握勾股定理及其逆定理是解答本题的关键． 18. 如图，在中，点E，F分别在，上，且平分．若，连结．求证：四边形是菱形． 【答案】见详解 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定、角平分线的定义、等角对等边，由平行四边形的性质可得，证明四边形是平行四边形，由角平分线的定义结合平行线的性质得出，推出，即可得证． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ， 又， ， ∴四边形是平行四边形， 平分， ， ， ， ， ， ∴平行四边形是菱形． 19. 如图，点A在的边上，于于于C． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求的长． 【答案】（1）见详解 （2）5 【解析】 【分析】此题考查了矩形的判定与性质以及勾股定理．注意利用勾股定理求线段的长是关键． （1）根据全等三角形的判定和性质以及矩形的判定解答即可； （2）根据全等三角形的性质和勾股定理解答即可． 【小问1详解】 证明：于，于， ． 在与中， ∴， ． ． 又，， ． 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形； 【小问2详解】 解：由（1）知， ， 设，则，． 在中，由得：， 解得． ． 20. 如图，在中，，分别是的中点，延长到点，使，连接． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的判定，中位线，直角三角形斜边中线等于斜边一半的知识，掌握平行四边形的判定和性质，直角三角形斜边中线等于斜边一半是解题的关键． （1）根据点分别为的中点，可得是中位线，，根据可得，根据平行四边形的判定“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”即可求证； （2）根据直角三角形斜边中线等于斜边一半可得，再根据平行四边形的性质可得，，由此即可求证． 小问1详解】 证明：∵点分别为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 证明：在中，为的中点， ∴， ∴, ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴． 21. 一张矩形纸ABCD，将点B翻折到对角线AC上的点M处，折痕CE交AB于点E．将点D翻折到对角线AC上的点H处，折痕AF交DC于点F，折叠出四边形AECF． （1）求证：AFCE； （2）当∠BAC＝　 　度时，四边形AECF是菱形？说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）30，理由见解析． 【解析】 【分析】（1）证出∠HAF＝∠MCE，即可得出AFCE； （2）证出四边形AECF是平行四边形，再证出AF＝CF，即可得出四边形AECF是菱形． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD为矩形， ∴ADBC， ∴∠DAC＝∠BCA， 由翻折知，∠DAF＝∠HAF＝∠DAC，∠BCE＝∠MCE＝∠BCA， ∴∠HAF＝∠MCE， ∴AFCE； （2）解：当∠BAC＝30°时四边形AECF为菱形，理由如下： ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠D＝∠BAD＝90°，ABCD， 由（1）得：AFCE， ∴四边形AECF平行四边形， ∵∠BAC＝30°， ∴∠DAC＝60°． ∴∠ACD＝30°， 由折叠的性质得∠DAF＝∠HAF＝30°， ∴∠HAF＝∠ACD， ∴AF＝CF， ∴四边形AECF是菱形； 故答案为：30． 【点睛】本题考查矩形的性质、平行线的判定、平行四边形的判定与性质、菱形的判定等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 22. 在中，，且． （1）当是锐角三角形时，小明猜想：．以下是他的证明过程： 小明的证明过程 如图①，过点作，垂足为．设． ∵在中，， 在中， ① ， ∴ ① ． 化简得，． ② ． 其中，①______；②是______． （2）如图②，当是钝角三角形时，猜想与之间的关系并证明． 【答案】（1）， （2）；证明见详解 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理，正确添加辅助线是解题的关键． （1）在中根据勾股定理即可表示出，从而得出，然后进行判断即可； （2）过点作的延长线，垂足为，设，在和中分别根据勾股定理表示出，然后仿照（1）中的方法判断即可． 【小问1详解】 解：如图①，过点作，垂足为，设， 在中，， 中，， ， 化简得，， ，， ， ， ． 其中，①是；②是； 故答案为：，； 【小问2详解】 ； 证明：如图， 过点作的延长线，垂足为，设， 在中，， 在中，， ， 化简得，， ，， ， ， ． 23. 如图，在正方形中，点在边上运动，连接，将绕点顺时针旋转得到． （1）如图，作，垂足为，求证：； （2）如图2，点恰好落在边上，求的值； （3）如图3，若，，连接，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质和正方形的性质证明（），可得； （2）如图2，连接，将绕点顺时针旋转得，证明（），得，进而可以解决问题； （3）如图3，过点作于点，证明（），可得，根据勾股定理求出，进而利用三角形的面积即可解决问题． 【小问1详解】 证明： 将线段绕点顺时针旋转得到， ，， 四边形是正方形， ，，， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：如图2，连接，将绕点顺时针旋转得， ，，，， ， ， ， ， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：如图3，过点作于点， ，， ， 四边形是正方形， ， 由旋转可知：，， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题四边形综合题，考查了矩形的判定和性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $