精品解析：吉林省长春市第一零三中学2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷

长春市第一〇三中学校2025-2026学年度上学期九年级数学学科期中大练习 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 下列各式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解方程，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（　　） A. B. C. 5 D. 7 4. 下列各组中的四条线段成比例的是（ ） A ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 5. 如图，△ABC中，若DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式正确的是( ) A. B. C. D. 6. 如图要测量小河两岸相对的两点P、A的距离，可以在小河边取的垂线上的一点C，测得米，，则小河宽为（ ）米 A. B. C. D. 7. 用“尺规作图”将一个三角形分割成一个小三角形和一个四边形，则下列图形中，与不一定相似的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在矩形中，对角线相交于点于点E．若，则边的长是（ ） A. B. C. D. 6 二、填空题（每小题3分，共18分） 9. 计算：______． 10. 一元二次方程的一根是，则方程的另一根是_____． 11. 学校课外生物小组的试验园地是长35米、宽20米的矩形，为便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道（如图），要使种植面积为600平方米，求小道的宽．若设小道的宽为米，则可列方程为 _____． 12. 如图，与是位似图形，且位似中心为O，，若的面积为4，则的面积为_____． 13. 如图，在中，，，，动点P、Q分别从点A、B同时开始运动（运动方向如图所示），点P的速度为，点的速度为，点Q运动到点C后停止，点P也随之停止运动.若使的面积为，则点P运动的时间是_____s． 14. 如图，正方形中，，对角线、相交于点O，过点O作射线、分别交边、于点E、F，且，连结．给出下面四个结论： ①； ②； ③； ④四边形的面积为正方形面积； ⑤若的中点为K，则的最小值为2． 上述结论中，所有正确的序号是________． 三、解答题（共78分） 15. 计算： （1）； （2）． 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 已知关于x一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）当该方程有两个相等的实数根时，直接写出该方程的根． 18. 随着“共享经济”的概念迅速普及，共享汽车也进入了人们的视野，某共享汽车租赁公司年初在某地投放了一批共享汽车，全天包车的租金定为每辆120元．据统计，三月份的全天包车数为25次，在租金不变的基础上，四、五月的全天包车数持续走高，五月份的全天包车数达到64次． （1）若从三月份到五月份的全天包车数月平均增长率不变，求全天包车数的月平均增长率； （2）从六月份起，该公司决定降低租金，尽可能地让利顾客，经调查发现，租金每降价1元，全天包车数增加次，当租金降价多少元时，公司将获利8800元？ 19. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、C均在格点上，D、E是线段AB与网格线的交点，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹． （1）在图①中，画出的中线； （2）在图②中，在上找一点M，连结，使； （3）在图③中，在上找一点Q，连结，使S． 20. 如图，在中，，点为边上的点，连结，作，使边交于点． （1）求证：． （2）若，，，求的长． 21. 如图，在山顶上有一座电视塔，为测量山高，在地面上引一条基线EDC，测得=45°，CD=60m，=30°．已知电视塔高AB=150m，求山高BE的值．（参考数据：1.414，1.732，精确到1m）． 22. “绿色出行，低碳环保”，共享电动车是一种新理念下的交通工具，现有甲、乙两种品牌的共享电动车，收费标准y（元）与骑行时间x（分）之间的函数关系如图所示，请根据图象信息，解答下列问题： （1）甲品牌共享电动车每分钟收费_____________元． （2）当骑行时间不低于10分钟时，求乙品牌共享电动车y与x之间的函数关系式． （3）已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为，若小明需要骑行共享电动车去上班，小明家到单位的距离为，请通过计算帮小明选择哪个品牌的共享电动车更省钱． 23. 【问题呈现】 小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在矩形中，，，O是的中点，E、F分别是直线、上一个动点，连结、、，且，求线段的最小值． 【初步探究】如图①，小明同学发现、的长度不变且互相垂直，可构造相似三角形求的值，下面给出了证明过程． 证明：作于点H（（1）在图①中，用尺规作图完成此步骤） ∵， ∴， 证明过程缺失 （2）请你补全证明过程 【问题解决】求出的值后，将沿的方向平移，使E和F重合，点O的对应点为点G，将两个动线段拼接在一起，转化成两个定点之间的最短距离问题．如图②，过点O作，且．在【问题呈现】的条件下，线段的最小值为___________． 24. 在矩形中，，，点P在折线上，以边向下作等边三角形，射线交线段于点Q，连接． （1）当点Q与点B重合时，线段的长为__________； （2）当点M落在边上时，求等边三角形的面积； （3）当P在边上，是直角三角形时，求长； （4）当点Q将线段分成两部分线段长度比为时，直接写出． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长春市第一〇三中学校2025-2026学年度上学期九年级数学学科期中大练习 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 下列各式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义即可求出答案． 【详解】解：A、原式＝，不是最简最简二次根式，故A不符合题意； B、原式＝3，不是最简最简二次根式，故B不符合题意； C、原式＝，不是最简最简二次根式，故C不符合题意； D、是最简最简二次根式，符合题意 故选：D． 【点睛】本题考查最简二次根式，解题的关键是熟练运用最简二次根式的定义，本题属于基础题型． 2. 用配方法解方程，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】把常数项移到等号的右边，两边同时加上一次项系数一半的平方，再依据完全平方公式将左边写成完全平方式即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即． 故选D． 【点睛】本题考查了解一元二次方程——配方法．熟练掌握用配方法解一元二次方程是解题的关键． 3. 已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（　　） A. B. C. 5 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，解题关键是熟练掌握解一元二次方程的基本步骤．先根据一元二次方程解的定义，把代入关于的一元二次方程得关于的方程，解方程即可． 【详解】解：把代入关于的一元二次方程得： ， ， 故选：C 4. 下列各组中的四条线段成比例的是（ ） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了比例线段，解题的关键是掌握成比例线段的概念，注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等．根据比例线段的定义，让最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等，对选项一一分析，即可得出答案． 【详解】解析：A．，四条线段不成比例，故A不符合题意； B．，四条线段不成比例，故B不符合题意； C．，四条线段不成比例，故C不符合题意； D．，四条线段成比例，故D符合题意． 故选D． 5. 如图，△ABC中，若DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理找准线段的对应关系，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：∵DE∥BC， ∴＝，BD≠BC， ∴≠，选项A不正确； ∵DE∥BC，EF∥AB， ∴＝，EF=BD，＝， ∵≠， ∴≠，选项B不正确； ∵EF∥AB， ∴＝，选项C正确； ∵DE∥BC，EF∥AB， ∴＝，=，CE≠AE， ∴≠，选项D不正确； 故选C． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理；熟练掌握平行线分线段成比例定理，在解答时寻找对应线段是关键． 6. 如图要测量小河两岸相对的两点P、A的距离，可以在小河边取的垂线上的一点C，测得米，，则小河宽为（ ）米 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】在直角三角形APC中根据∠PCA的正切函数可求小河宽PA的长度． 【详解】解：∵PA⊥PB， ∴∠APC=90°， ∵PC=50米，∠PCA=44°， ∴tan44°=， ∴小河宽PA=PCtan∠PCA=50•tan44°米． 故选：C． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解直角三角形的一般过程是：①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案． 7. 用“尺规作图”将一个三角形分割成一个小三角形和一个四边形，则下列图形中，与不一定相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，相似三角形的判定，线段垂直平分线的性质，三角形中位线定理，能根据作图痕迹判断条件是解题的关键． 分别根据作图痕迹，依据相似三角形的判定定理，即可判断． 【详解】解： A、由作图可知，E、F分别为、中点， ∴， ∴，故本选项不符合题意； B、由作图可知，平分，点E在的垂直平分线上， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，故本选项不符合题意； C、由作图可知，， ∴， ∴，故本选项不符合题意； D、由作图知，、是的角平分线，不能说明，故本选项符合题意．   故选：D． 8. 如图，在矩形中，对角线相交于点于点E．若，则边的长是（ ） A. B. C. D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据，得出，，求出，证明垂直平分，得出，根据勾股定理求出． 【详解】解：∵， ∴，， ∵矩形， ∴，，，， ∴， ∴ ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质，垂直平分线判定和性质，勾股定理，解题的关键是证明垂直平分，得出． 二、填空题（每小题3分，共18分） 9. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的化简与减法运算，掌握二次根式的性质是解题的关键．根据二次根式的性质化简，再进行二次根式的减法运算即可求解． 【详解】解：． 故答案为：． 10. 一元二次方程的一根是，则方程的另一根是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若，是该方程的两个实数根，则，据此设方程的另一个根为t，则，解方程即可得到答案． 【详解】解：设方程的另一根为 ， 和t是一元二次方程的两个根， ，解得 ． 故答案为：． 11. 学校课外生物小组的试验园地是长35米、宽20米的矩形，为便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道（如图），要使种植面积为600平方米，求小道的宽．若设小道的宽为米，则可列方程为 _____． 【答案】（或） 【解析】 【分析】将阴影部分分别移到矩形的上边和左边，可得种植面积为一个矩形，根据种植的面积为600平方米列出方程即可． 【详解】解：把阴影部分分别移到矩形的上边和左边，可得矩形的长为米，宽为米， ∴可列方程为（或）． 故答案为：（或）． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，利用平移的知识得到种植面积的形状，进而得到种植面积的长与宽是解决本题的关键． 12. 如图，与是位似图形，且位似中心为O，，若的面积为4，则的面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了位似的性质，位似比等于相似比，位似三角形的面积比等于位似比的平方，解本题的关键是掌握位似的性质．根据位似的性质求解即可． 【详解】解：∵与是位似图形， ， ∴， ∵的面积为， ∴ 故答案为：． 13. 如图，在中，，，，动点P、Q分别从点A、B同时开始运动（运动方向如图所示），点P的速度为，点的速度为，点Q运动到点C后停止，点P也随之停止运动.若使的面积为，则点P运动的时间是_____s． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，勾股定理的应用，理解题意，熟练地建立方程求解是解本题的关键．先求解，设运动时间为，可得，再利用面积建立方程求解，即可求出时间t． 【详解】解：， ， 设运动时间为， ， 的面积为， ， 解得：， 当时，，不成立，舍去， ． 故答案为：． 14. 如图，在正方形中，，对角线、相交于点O，过点O作射线、分别交边、于点E、F，且，连结．给出下面四个结论： ①； ②； ③； ④四边形的面积为正方形面积； ⑤若的中点为K，则的最小值为2． 上述结论中，所有正确的序号是________． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】此题主要考查了正方形性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，勾股定理是解决问题的关键． ①根据正方形性质得，由此得，由此可依据“”判定和全等，据此可对结论①进行判定；②由得，据此可对结论②进行判定；③由得，则，再根据正方形的性质得，据此可对结论④进行判定；④由结论②正确得，在中由勾股定理得，则，再根据为斜边得，则，据此可对结论③进行判定；根据直角三角形斜边中线性质得到，设，利用勾股定理求出，结合完全平方式判断⑤，综上所述即可得出答案． 【详解】解：①∵四边形为正方形，对角线相交于点， ， ， ， ， ， 在和中， ， ，故结论①正确； ②由①的结论正确得：， 故结论②正确； ③结论②正确得：， 在中，由勾股定理得：， ， 在中，为斜边， ， ， ， 故结论③不正确， ④由①的结论正确得：， ， ， ∵四边形为正方形， ， ， ∴， ∴，故结论④正确； ⑤∵， ∴， ∴， ∵的中点为K， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， 当时，最小，最小值为， 故⑤错误； 综上所述：正确的结论是①②④． 故答案为：①②④． 三、解答题（共78分） 15. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）0 （2） 【解析】 【分析】（1）根据二次根式的性质化简后，合并同类二次根式解答即可； （2）根据特殊角的三角函数值，计算即可． 本题考查了二次根式的计算，特殊角的三角函数值的计算，熟练掌握性质和三角函数值是解题的关键． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）利用因式分解法求解即可． （2）利用公式法求解即可． 本题考查了公式法，因式分解法求解方程的根，选择适当解方程的方法是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵， ∴ ∴， 解得． 【小问2详解】 解：∵, 在这里， ∴， 解得，． 17. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）当该方程有两个相等的实数根时，直接写出该方程的根． 【答案】（1）证明见详解 （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式和求解一元二次方程．熟练掌握一元二次方程根的判别式和求解一元二次方程是解题的关键． （1）要证明一元二次方程总有两个实数根，就要利用一元二次方程根的判别式，对于给定的方程得到从而可证明该方程总有两个实数根． （2）当该方程有两个相等的实数根时，由（1）可知，令，求解出的值，然后将其代入回题目中的方程进行求解即可． 【小问1详解】 证明： ∴ 方程总有两个实数根． 【小问2详解】 解：当该方程有两个相等的实数根时，， 由（1）知， ∴， 解得， 将代入， 得，即， 化简得， ∴． 18. 随着“共享经济”的概念迅速普及，共享汽车也进入了人们的视野，某共享汽车租赁公司年初在某地投放了一批共享汽车，全天包车的租金定为每辆120元．据统计，三月份的全天包车数为25次，在租金不变的基础上，四、五月的全天包车数持续走高，五月份的全天包车数达到64次． （1）若从三月份到五月份的全天包车数月平均增长率不变，求全天包车数的月平均增长率； （2）从六月份起，该公司决定降低租金，尽可能地让利顾客，经调查发现，租金每降价1元，全天包车数增加次，当租金降价多少元时，公司将获利8800元？ 【答案】（1）全天包车数的月平均增长率为60% （2）当租金降价70元时，公司将获利8800元 【解析】 【分析】（1）设全天包车数的月平均增长率为x，则四月份的全天包车数为；五月份的全天包车数为，又知五月份的全天包车数为64次，由此等量关系列出方程，求出x的值即可； （2）每辆全天包车的租金全天包车数量列出方程，求解即可． 【小问1详解】 解：设全天包车数的月平均增长率为x， 根据题意可得：， 解得：（不合题意舍去）， 答：全天包车数的月平均增长率为； 【小问2详解】 解：设租金降价a元，则， 化简得：， 解得：． 为了尽可能让利顾客，． 答：当租金降价70元时，公司将获利8800元． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，准确理解题意，准确的找出等量关系列出方程是解决问题的关键． 19. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、C均在格点上，D、E是线段AB与网格线的交点，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹． （1）在图①中，画出的中线； （2）在图②中，在上找一点M，连结，使； （3）在图③中，在上找一点Q，连结，使S． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】此题考查了矩形的性质和平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是关键． （1）根据全等三角形的判定与性质得到的中点F，连接即可； （2）根据相似三角形的判定与性质作的中位线即可； （3）根据相似三角形的判定与性质进行作图即可． 【小问1详解】 解：如图，取格点E，F，G，H，连接相交于点F，则即所求， ∵， ∴ ∴ ∴是的中线 【小问2详解】 如图所示：取格点E，连接交于点M，点M即为所求； ∵ ∴ ∵ ∴ 【小问3详解】 如图，取格点D，连接交于点Q，点Q即为所求， ∵ ∴ ∴ ∴ 20. 如图，在中，，点为边上的点，连结，作，使边交于点． （1）求证：． （2）若，，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形性质与判定，等边对等角，三角形外角的性质，熟知相似三角形的性质与判定条件是解题的关键． （1）先根据等边对等角得到，再利用三角形外角性质和已知条件证明，由此即可证明； （2）根据相似三角形的性质得到 ，据此代值计算即可． 【小问1详解】 证明： ∵, ∴, ∵, ∴, ∴； 【小问2详解】 ∵， ， ∵ , , ， ∴． 21. 如图，在山顶上有一座电视塔，为测量山高，在地面上引一条基线EDC，测得=45°，CD=60m，=30°．已知电视塔高AB=150m，求山高BE的值．（参考数据：1.414，1.732，精确到1m）． 【答案】123m 【解析】 【分析】可设BE=xm，则由题意可得关于x的方程，解方程即可得到BE的值． 【详解】解：设BE=xm，则由题意可得： AB+BE=CD+DE，即150+x=60+DE， ∴DE=90+x, ∵在Rt△BED中，∠BDE=30°， ∴BD=2x， ∴由勾股定理可得：， 即， 解之可得：， 答：山高BE的值为123m． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握方程方法的应用、勾股定理和直角三角形的性质是解题关键． 22. “绿色出行，低碳环保”，共享电动车是一种新理念下的交通工具，现有甲、乙两种品牌的共享电动车，收费标准y（元）与骑行时间x（分）之间的函数关系如图所示，请根据图象信息，解答下列问题： （1）甲品牌共享电动车每分钟收费_____________元． （2）当骑行时间不低于10分钟时，求乙品牌共享电动车y与x之间的函数关系式． （3）已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为，若小明需要骑行共享电动车去上班，小明家到单位的距离为，请通过计算帮小明选择哪个品牌的共享电动车更省钱． 【答案】（1）0.2 （2） （3）小明选择甲品牌的共享电动车更省钱 【解析】 【分析】（1）由20分钟收4元即可得甲品牌共享电动车每分钟收费； （2）用待定系数法可得乙品牌共享电动车在骑行时间不低于10分钟时y与x之间的函数关系式； （3）求出骑行时间，由图象直接可得答案． 【小问1详解】 解：由图可得：甲品牌共享电动车每分钟收费（元） 故答案为：0.2； 【小问2详解】 当时，设乙品牌共享电动车y与x之间的函数关系式是 将，代入得： ， 解得， ∴； 【小问3详解】 小明需要骑行的时间是（分）， 从图象可知，当时，，即骑行甲品牌的共享电动车更省钱， ∴小明选择甲品牌的共享电动车更省钱． 【点睛】本题考查一次函数的应用，解题的根据是读懂题意，能正确识图． 23. 【问题呈现】 小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在矩形中，，，O是的中点，E、F分别是直线、上一个动点，连结、、，且，求线段的最小值． 【初步探究】如图①，小明同学发现、的长度不变且互相垂直，可构造相似三角形求的值，下面给出了证明过程． 证明：作于点H（（1）在图①中，用尺规作图完成此步骤） ∵， ∴， 证明过程缺失 （2）请你补全证明过程 【问题解决】求出的值后，将沿的方向平移，使E和F重合，点O的对应点为点G，将两个动线段拼接在一起，转化成两个定点之间的最短距离问题．如图②，过点O作，且．在【问题呈现】的条件下，线段的最小值为___________． 【答案】【初步探究】（1）尺规作图见解析；（2），补全证明过程见解析． 【问题解决】 【解析】 【分析】本题考查了矩形性质、相似三角形判定与性质、平移性质及两点之间线段最短，解题的关键是补全相似证明得，再通过平移转化为两定点距离求最小值． [初步探究]（1）按照要求完成尺规作图即可． （2）利用矩形性质得、，由得；结合证，得，用、求． [问题解决]平移得且，则，故，最小值为，用勾股定理计算． 【详解】解：（1）在图①中，用尺规作图完成此步骤如下： （2）补全证明过程 证明： ∵四边形是矩形， ∴，，； ∵是中点， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴； ∴； ∴， ∵， ∴． 【问题解决】解：由平移得，， 故四边形是平行四边形，； ∴， 当点G、F、C位于同一直线上时，存在最小值，且最小值为． 在中，； ∵，且， 在中，． 故线段的最小值为：． 24. 在矩形中，，，点P在折线上，以为边向下作等边三角形，射线交线段于点Q，连接． （1）当点Q与点B重合时，线段的长为__________； （2）当点M落在边上时，求等边三角形的面积； （3）当P在边上，是直角三角形时，求的长； （4）当点Q将线段分成两部分线段长度比为时，直接写出． 【答案】（1）2 （2） （3） （4）或 【解析】 【分析】（1）首先根据题意画出图形，然后求出，得到，然后根据勾股定理求解即可； （2）首先根据题意画出图形，求出，得到，然后利用勾股定理求出，得到，然后利用三角形面积公式求解即可； （3）首先得到，，然后利用勾股定理得到，然后证明出，得到，求出，然后利用勾股定理求解即可； （4）根据题意分和两种情况讨论，然后分别根据相似三角形的性质和正切值的概念求解即可． 【小问1详解】 如图所示， ∵是等边三角形 ∴ ∵四边形是矩形 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； 【小问2详解】 如图所示，当点M落在边上时，此时点M和点Q重合， ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵是等边三角形 ∴ ∴等边三角形的面积； 【小问3详解】 如图所示，当P在边上，是直角三角形时， ∴ ∵是等边三角形 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴； 【小问4详解】 如图所示，当时，过点Q作 ∵ ∴四边形是矩形 ∴ ∵ ∴ ∴同理可得，， ∵ ∴，即 ∴ ∴ ∴； 如图所示，当时，过点Q作， ∵， ∴ ∴设，则， ∴ ∴， ∴， ∴ ∴ ∵， ∴ ∵是等边三角形， ∴ ∴ ∴； 综上所述，或． 【点睛】此题考查了四边形综合题，解直角三角形，相似三角形的性质和判定，勾股定理，等边三角形的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点，正确作出辅助线求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $