培优微专题20 圆锥曲线中的拓展问题-【创新教程】2026年高考数学大二轮培优微专题

1数学 可得+=业x十1-红+1)(x,+1) x-1y(x2-1)(kx1+1)(x2-1) 由y,=kx十m, x2+y2=7, =kx1x,十k2十x1十1 14-+,-i,(*) 消去y得(1十k2)x2+2mkx十m2-7=0, .△=4m2k2-4(1+k2)(m2-7)=16+12k2>0, 2k -1 由x1十x2= 2十k2西=2+： 设M(x1,y1),D(x2,y2), -2mk 2k 得x1= 2+-,代入(*)式可得， 则西十许袋， 1+k2 +1-2+e+如，+ 一k 2k k2=当业丝 2+2x2+1 k-1 (kx+m)(kz2+m) x-1 一k 2k 2+k 、2+k2-x2+2-1 k+1 I1X2 kx1x2十km(x1十x2)+m 可得x=一k,即xQ=一k, T2 1 所以OP·OQ=一 ·(-)+0·y0=1(定值). 及2· /m2-7 1+k+km… -2mk1 1+k2 +m2 故OP·OQ为定值. m2-7 培优微专题20 1+k2 研析考点层级突破 =m2-7k2 考点一 m2-7, 例1[解析]根据给定条件，结合蒙日圆的特征求出蒙日圆 :m2=3+4k2, 的方程判断A；求出直线L与蒙日圆的交点坐标计算判断 B;由两圆相切求出m判断C;求出蒙日圆的内接正方形边 k,=m-7=3十4k-7及=-3 长判断D. m2-73+4k2-74’ A,椭圆C:号十1的蒙日圆方程为2十y三 当切线MA的斜率不存在或为家时，：=一也成立， 正确； k1·k2为定值. 对于B,依题意，点P是直线与蒙日圆的交点，则 考点二 例2[解析]先证明出抛物线y2=2px(p>0)在其上一点 {y30解释P(-号号)支P8o, (xo,y)处的切线方程为yy=px十pz: 证明如下： 直线0P的斜率为-号或0，B错误； 由于点(xy)在抛物线y2=2px上， 则y=2px0, 对于C,P点坐标(x)%),直线OP斜率kp=兰，由切点弦 联立∫y=2px, 公式得到MN方兴+学=1bw=经ew Ayoy=px+pxo, 可得2yy=y2+2px, ayo 62 即y2-2yy+y=0,△=0， 一，由点差法可知，OP平分AB,C正确； 所以抛物线y2=2px(p>0)在其上一点(x,yo)处的切线方 程为yoy=px十xo. 对于D,设P(√a+bcos0,√a2+6sin0), 如图所示.设A(1%),B(x2y2),直线AB 则直线MN的方程为xb2√a+bcos0+ 的方程为工=十号， ya2√a2+bsin0-a2b=0, 则原点O到直线MN的距离为d1= a62 联立x=my+登， ，则点P到直线MN的距离 (y=2px, (a2+62)(a'sin20b'cos0) 消去x得y2-2mpy-p2=0, 为d,= 由根与系数的关系可得y2=一p, 1b2 (a2+62)cos20+a2 (a2+62)sin20-a2b21 +y2=2mp, (a2+62)(a'sin20+b cos20) 对于A,抛物线y2=2px在点A处的切 asin 06 cos20 线方程为y1y=px十px, (a2+6)(a'sin20+6'cos20) 即y=虹+艺， a'sin20b cos0 a2+b2 同理可知，抛物线y2=2px在点B处的切线方程为y2y= ∴d1d2= 20 十6=gD正确 pxt 2 [答案]ACD 跟踪训练 联立 yiy=p+ 2 1.解：(1)由题意知2a=4,e=。=之， 3y2 y2y=px 2’ .a=2,c=1,.b2=3, 1桥围C的标农方整为号+苦1。 解得 2p .“蒙日圆”E的方程为x2十y=4十3=7， =支=mp, 2 即x2+y2=7. 所以点P的横坐标为一卫 (2)证明：当切线MA的斜率存在且不为零时，设切线MA 的方程为y=kx十m, 即点P在抛物线的准线上，A正确； Iy=kx十m, 对于B,直线4的斜率为=卫， y1 消去y得(3+4k2)x2+8mkx十4m2-12=0, 直钱么的鲜李为怎一号 .△=64m2k2-4(3+4k2)(4m2-12)=0, 所以名，=p =-1, .m2=3十4k2, y1y2 ·168· 答案精析I 所以AP⊥PB,B正确； 对于D,当AB垂直于x轴时，由抛物线的对称性可知，点P 由y=舌，求导得了=x, 为抛物线的准线与x轴的交点，此时PF⊥AB; 故点A(M)处的切线方程为y一=五(x一x), 当AB不与x轴垂直时， 1 直线AB的斜率为=】 又=营，化简得y=一受， m 直线PF的斜率为k郎=严白=一m, 同理可得点B)处的切钱方程为y=工一号 所以AB·F=-1,则PF⊥AB. y=- 2 x= 工1十x2 综上，PF⊥AB,D正确； 由 解得 2 对于C,lAB|=√1十m·ly-y2l, y=x2x- x1X2 2 y=2 Pp+(） 2 即点D的坐标为 2 2 =√p+m=p√1十m, 所以，SaMB=号AB·PF到 上 又因为D在直线y=一2 =名中my-%·p中 所以受=一 2 即x1x2=-2m=-1,故得m=2 =m+(x+新) 因此直线AB过宠点(@，号)} 法二：设Aa),B),D(0,号 收含时，等子成立，C格说 由y=号，求导得=x, 故点A(y)处的切线方程为y一y=工(x一工)， 「答案7ABD 又x=2y1, 跟踪训练 化简得y1+y=x1x, 2.解析：任取直线l:ax十by十c=0上的一点Q(x,%),则有ax 同理可得点B(x2,y2)处的切线方程为 十十c=0,即为=一号云①，过点Q作抛物线了=2虹 ya+y=xzx. 由于点A,B处的切线都过点D, 的两条切线，切点分别为A,B,则弦AB所在的直线方程为by 1 1 =十)，起0式代入可得：（合。一后）y=,十z,即 因此y一2=ax1%-2=az2, (合y-p小=+台，◆-云y-p=0且加+合y=0, C 以上两个式子说明，点A(),BC)海在直线y一号 =ax上， 可得：弦AB所在约直线过定（后一2） 所以直线AB的方程为y-2=ax, 答案：（-2） 即y=ax+2 考点 例3[解](1)依题意得：椭圆的焦点为F(一1,0)， 因此直线AB过定点(0，号) F2(1,0), 课时冲关高效提能 由椭圆定义知：2a=AF,I十|AF2|, 所以a=√2，c=1,∴.b=1, 1解：1)为2a=4,后=， 所以精圆T的方程为号十y=1 所以a=2,c=1,b=3, (2)设B(1,y),则椭圆下在点B处的切线即为点B关于 所以横司的方报为写十号-1。 由线Γ的极线，共方程为气x十y=1, (2)设点P(x。,y)(x。≠0，y≠0)， 则点P关于C的极线为椭圆C在P点处的切线， 令x=0,yD= 1 ；令y=0,xc=云' 2 y 则直线1的方程为+-1， 3 所以SAcD=xy 所以点A的生标为0， 又点B在椭圆的第一象限上， 所以>0>0，且登+好=1， 40(x一xo), 又直线1的方程为y一%=3x0 所以1=号+≥2受=n, 2 令=0，得点B坐标为0，一兰） 所以以AB为直径的圆的方程为 即1≥2，所以Sn= 1≥2， 31 x1y1 当且仅当号=听且号+听=1，即x=厄=1时取等号， 整理得计矿+（学一是）1=0， 所以室B(1,号）苦，△0CD的面教取最小值亿 令y=0,得x=土1， 所以以AB为直径的圆恒过定点(1,0)和（一1,0） 跟踪训练 12b=2√2 3.证明：法一：由题意知直线AB的斜率存在，设其为，则直线 2.解：(1)由题意可知 c=巨，因为a2=6+c2,所以解得a AB的方程为y=kx十m,A(x1,y),B(x2y2), (a2 代入曲线Cy=苦，化简得2-2kx-2m=0, =2,b=V2. 则x1十x2=2k,x1x2=-2m. 所以所求精园的方程为等十苦-1. ·169· I数学 (2)设A(x1y1),B(x2,y2),Q(x,y),P(4,t), 直线AB的斜率显然存在，设为k,则AB的方程为y=k(x 同理可得为+业=名m=名.。-1，为十业=2 yoy2 3n=3 yo y2 一4)+1. 2 因为A,P,B,Q四点共线，不妨设x2<x<x1<4, 即必= x一3 则|AP1=√1+(4-x),|AQ|=V√1+k(x-x),IQB|= PFIPF2_ √1十k(x-x2),PB|=√1+k(4-x2), 所以QF+RF, + 由|AP|·|QB|=|AQ·1PB|,可得(4-x1)(x-x2)= (x1-x)(4-x2), 化简得2x1x2一(x十x2)(4十x)十8x=0.（*) 法二：设P(y),Q(z1),R(xy2), 联立直线y=(x一4)十1和椭圆的方程， 设PQ=APF1,PR=rPF。,则有西=1一)-入 得+=1 {y1=(1-a)y% (y=(x-4)+1 +1 消去y,得(2k2+1)x2十4k(1-4k)x y 1-0z-]+[1-0]-=1 +2(1-4k)2-4=0, 4 3 △=16k2(1-4k)2-4(2k2+1)(32k F F B 一16k-2)>0,得12k2-8k-1<0, 消去为可得21-20。-2--2以， 4 由韦达定理，得x1十x2= 2x0+8 4k(1-4k) 解得入=20十5' 2k2+1 21-4k)2-4.代入(*) 同理可得4= 2x,-8 2 2x0-5' 2k2+1 所以,+-片+片-+5+2 PFI PF, 化简得=装=42即中2=工 5 7 -1 3 -3 =号代入上式，得了=4-，化简得2x十y一2 又=y一1 3 +2 =0. (2)不妨设h>0,于是SaR 号IPQl·PRsn∠QPR S△PP,F2 所以点Q总在一条定直线2x十y一2=0上， 合PR,·PE,.Isin_QPR 、培优微专题21 IPQI·IPR 研析考点层级突破 =P·Pn=~ 考点 例1[解](1)设点P的坐标，由题意可得点P的横纵坐标 因此Sa0=X··2FEl=6·2号·2号 2x0+8,2x0-8 的关系，即可得到曲线的标准方程，通过设直线PQ和直线 PR的方程，然后与椭圆的方程联立，即可得到Q,R的坐标 6·816 关系，进而可得QF十RF PFPF2I 为定值，也可通过设出点的 坐标，利用向量共线关系坐标表示，求得坐标的方程组，证明 又因为若=4(1-曾）所以S8o=%· 6-16 PFPF2 S△POR,由题意可 Q十RR为定值：(2)由题意可得a 得△PQR面积的表达式，再由函数的单调性，即可得到 结果. 6·8+9 (1)令P(x,y)且x≠士2，因为 积 pA·km=- 4 设f八)=6·5+9 以2产2-，整理可 所以) ·y 嘉0v. 号+号=1≠0. 则)%+)%+ 117y 所以T的标准方程为学+苦-】 ∈(0wW3, (。)=1+ 117(16y8+27)-32×117y0 (y≠0). (16y+27)2 法一：设P(xo,y),Q(x1y),R(2y2), 256y6-10086+38880, 设直线PQ和直线PR的方程分别为x=my一1，x=ny十1， (16y6+27)2 政立主线P四与指国方医 所以f(y)在(0，W3]上单调递增，当y=√3时取得最大值， (4+3 -1'整理可得(3m2十4) fW)=3×3+9-45,则SA0的最大值为4 25 25 y2-6my-9=0, 3+器 则y十y1= 6m 4十3m2%y= 9 跟踪训练 4+3m2’ (x=ny+1 1,解：1)根据题意得r(0,)F(合0 联立直线PR与椭圆方程 2 1,整理可得(3m2+4) 3y2 4+3= RR,√+品=：>0，得得=2 y2+6ny-9=0, 所以F2(1,0),抛物线C2的标准方程为y2=4x. 6n 9 可得%十%=一3m十4？业=一3m+4' (2)设直线BC为y=虹+寻代入C得 又因为x0=my-1,x=ny十1， 2-a子=0,4=发+10， yoy1 设A(x1y1),B(x2,y2),C(x3,y3),则 所以之之=号号即头= 5 有，十西=k,x西=一4 1 y1 y 3 3 ·170·培优微专题 [培优微专题20]圆锥曲线中的拓展问题 在近几年的高考题中，频繁涉及蒙日圆、阿基米德三角形、极点、极线等拓展知识，这些本不属于高考 考查的范围，但这些内容蕴含了很多圆锥曲线的重要性质，自然成为命题人命题的背景知识和方向. 研析考点层级突破 吉点一 蒙百圆 C.若P为C的蒙日圆上一点，过点P作椭圆C 核心知识 的两条切线，切点分别为M,N,则PO平分椭 圆的切点弦MN. 1在桶圆花计1Q>6>0上任意两条相互垂 D.若O,P到MN的距离分别为d1,d2,则d1· 直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭 圆的中心，半径等于椭圆长半轴与短半轴平方和 4梨 的算术平方根，这个圆叫作椭圆的蒙日圆 [听课记录] 2.蒙日圆在双曲线、抛物线中的推广 规律方法》 《0双曲线。一芳=1。>60)的两条互相案直的 椭圆的蒙日圆的性质 切线PA,PB交点P的轨迹是蒙日圆：x2+y2 设P为蒙日圆上任一点，过点P =a2一b2(只有当a>b时才有蒙日圆如图①). 作椭圆的两条切线，交椭圆于点 (2)抛物线y2=2px(p>0)的两条互相垂直的切线 A,B,O为原点. PA,PB交点P的轨道是该抛物线的准线：x= 性质1：PA⊥PB. 一号，（如图②，可以看作半径无穷大的圆） 性质2：kP·kAB=一 性质3：a·n=一ae·k阳= a2(要径 定理的推广) 性质4：PO平分椭圆的切点弦AB. 图① 图② 性质5：延长PA,PB交蒙日圆O于两点C,D,则 典题例析 CD∥AB. [例门[多选已知椭圆C:会+少2 誉=1,0为原点， 性质6：SAA0B的最大值为空，SAOB的最小值 则下列说法中正确的是 ( 为a62 A.椭圆C的蒙日圆方程为x2十y2=9 a2+b21 B.过直线l:x十2y一3=0上一点P作椭圆C的 性质7：SAPB的最大值为a2+,SAAPB的最小 两条切线，切点分别为M、N,当∠MPN为直 角时，直线OP的斜率为-号 64 值为。2+存 ·115· I数学 跟踪训练 性质4：若直线1与抛物线没有公共点，以1上的点 1定文箱圆c学 y2 为顶点的阿基米德三角形的底边过定点（若直线 =1(a>b>0)的“蒙日圆”的 方程为：ax十by+c=0,则定点的坐标为 方程为x2十y2=a2十b2,已知椭圆C的长轴长 c:-2) 为4，离心率为e=21 性质5：底边为a的阿基米德三角形的面积最大值 (1)求椭圆C的标准方程和它的“蒙日圆”E的 方程； 性质6：若阿基米德三角形的底边过焦点，则顶点Q (2)过“蒙日圆”E上的任意一点M作椭圆C的 的轨迹为准线，且阿基米德三角形的面积最小值 一条切线MA,A为切点，延长MA与“蒙日圆”E 为2. 交于点D,O为坐标原点，若直线OM,OD的斜 典题例析 率存在，且分别设为k1,k2,证明：1·k2为 [例2][多选]过抛物线y2=2印x(p>0)的焦点F作 抛物线的弦与抛物线交于A,B两点，M为AB的中 定值. 点，分别过A,B两点作抛物线的切线1,2相交于 点P.下面关于△PAB的描述正确的是 () A.点P必在抛物线的准线上 B.AP⊥PB C.设A(x1,y1),B(x2,y2),则△PAB的面积S 的最小值为号 D.PF⊥AB [听课记录] … 规律方法》… (1)椭圆或双曲线也具有上述抛物线的阿基米德 三角形类似性质. (2)若椭圆或双曲线的阿基米德三角形中两线夹 角为直角，则该角顶点的轨迹为曲线的蒙日圆。 跟踪训练 2.若直线l:a.x+by十c=0与抛物线C:y2=2px(p> 0)没有公共点，则以1上的点Q为一顶点C的阿基 米德三角形的底边（点Q的对边）过定点，该定点坐 标为 专点三 极点与极线 春点二 阿基米德兰角形 核心知识 1.极点与极线的定义 核心知识 过点P(xo,yo)的动直线交圆锥曲线于A,B两 抛物线的弦与过弦的端点的两条 点，过A,B的切线交点的轨迹叫做点P关于圆 切线所围成的三角形叫做阿基米 锥曲线的极线，点P叫做相应于此极线的极点， 德三角形. 简称极， 性质1：阿基米德三角形底边上的 一个极点与其对应的极线称作一对配极元素，它 中线MQ平行于抛物线的轴， 们之间的关系称作一对配极关系， 2.极点、极线与圆锥曲线的位置关系 性质2：若阿基米德三角形的底边即弦AB过抛物 如图(1)，若点P在圆锥曲线外，则相应的极线L 线内的定点C,则另一顶点Q的轨迹为一条直线. 与点P的切点弦重合，即相应的极线1是由点P 性质3：抛物线以C点为中点的弦平行于Q点的 向圆锥曲线所引的两条切线的切点弦所在直线， 轨迹。 极线1与圆锥曲线有两个交点； ·116 培优微专题 如图(2)，若点P在圆锥曲线内，则极线1是圆锥 规律方法》 曲线经过点P的弦的两端点处的两条切线交点 (1)一般地，若圆M:(x-a)2+（y-b)2=r2, 的轨迹，此时，极线与圆锥曲线相离，它们无 P(xo,yo)是圆外一点（极点），则过点P(xo, 交点； yo)的圆M的切点弦（极线）的方程是(x0一a) 如图(3)，若极点P在圆锥曲线上，则相应的极线 (x-a)+(yo-b)(y-b)=r2 1与在点P处的切线重合，即相应的极线L就是 圆锥曲线在点P处的切线，极线与圆锥曲线有 (2)从代数角度看，在圆锥曲线方程中，以x0x替 唯一交点 换x2,以0y十0严替换x,以0y替换y2,以 2 0十替换工，以6)替换y即可得到点 2 2 P(xo,yo)的极线方程， 四 (3)从几何角度看，如图，设P是 典题例析 不在圆锥曲线上的一点，过P 点引两条割线依次交圆锥曲 [例3] 已加帽调八专+芳 D 线于四点E,F,G,H,连接 EH,FG交于N,连接EG, =1(a>b>0)过点A 1,图其盘距为2 FH交于M,则直线MN为点P对应的极线. 若P为圆锥曲线上的点，则过P点的切线即为 (1)求椭圆下的方程； 极线。 (2)如图，点B为T在第一象限中的任意一点， 由图同理可知，PM为点N对应的极线，PN 过B作T的切线1，L分别与x轴和y轴的正半 为点M所对应的极线.因而将△MNP称为自 轴交于C,D两点，求△OCD面积的最小值， 极三角形. [听课记录] 跟踪训练 3.已知曲线C:y=22,D为直线y=-上的动 点，过D作C的两条切线，切点分别为A,B,证 明直线AB过定点， 117 1数学 课时冲关>高效提能 1已知指国c等+芳=1a>公>0的长销长为4， 02·苏州模拟D已知椭圆C:号+ú 离心率为分，点P是椭圆上异于顶点的任意一 0)的短轴长为22，离心率为 点，过点P作椭圆的切线l,交y轴于点A,直线 (1)求椭圆C的方程； 过点P且垂直于l,交y轴于点B (2)过点P(4,1)的动直线1与椭圆C相交于不 (1)求椭圆的方程； 同的A,B两点，在线段AB上取点Q,满足|AP (2)试判断以AB为直径的圆能否过定点？若 ·QB|=|AQI·|PB,证明：点Q总在某定直 能，求出定点坐标；若不能，请说明理由 线上 ·118