培优微专题19 圆锥曲线中非对称韦达定理的应用-【创新教程】2026年高考数学大二轮培优微专题

1数学 [培优微专题19]圆锥曲线中非对称韦达定理的应用 圆锥曲线的综合问题是高考考查的重点内容，非对称韦达定理的应用在高考中经常出现，常以解答题 的形式压轴出现，难度较大. 研析考点>层级突破 吉点一 分式型 跟踪训练 典题例析 1.(2023·新课标Ⅱ卷)已知双曲线C的中心为坐 [例1] 如图，设F为稀圆C,号 标原点，左焦点为（一2√5,0），离心率为√5. (1)求C的方程； +y2=1的右焦点，过点(2,0) (2)记C的左、右顶点分别为A1,A2,过点(-4,0) 的直线l与椭圆C交于A,B 的直线与C的左支交于M,N两点，M在第二象限， 两点 直线MA1与NA2交于点P,证明：点P在定直 (1)若点B为椭圆C的上顶点，求直线AF的 线上 方程； (2)设直线AF,BF的斜率分别为k1,k2(k2≠ 0求证是为定位 [听课记录] :…规律方法》 非对称结构的常规处理方法有和积转换、配凑、求 根公式（暴力法）、曲线方程代换、第三定义等方 法，将其转化为对称结构计算， 112 培优微专题I 跟踪训练 春点二 比值型 典题例析 2.(2025·济南三模)已知椭圆E: [例2]在平面直角坐标系Oxy中，已知双曲线 >0)的左，右焦点分别为F1,F2椭圆E的离心 京=1(a>0,b>0)的一条渐近线为y= 率为？，椭圆E上的点到右焦点的最小距离 停，且点PswE在C上 为1. (1)求椭圆E的方程； (1)求C的方程； (2)若过右焦点F2的直线l与椭圆E交于B,C (2)设C的上焦点为F,过F的直线L交C于A, 两点，E的右顶点记为A,AB∥CF1,求直线1的 B两点，且AF=7BF,求1的斜率. 方程。 [听课记录] …规律方法》… 比值型问题适用于x1=入x2型，可以采用倒数相 加，但有时得到的可能不是这种形式，而是x1= 入x2十k的形式，此时采用待定系数法，例如x1 -3x2+4,可以转化x1-1=一3(x2-1),得到 x1-1 21 =一3，继续采用倒数相加解决. 113 1数学 课时冲关高效提能 1.已知抛物线关于x轴对称，顶点在坐标原点，焦点 2.如图，椭圆有两顶点 为F,点P(1,2),A(1,y),B(x2,y2)均在抛物 A(-1,0),B(1,0), 线上 过其焦点F(0,1)的 (1)写出该抛物线的方程及其准线方程； 直线1与椭圆交于 (2)若AF=2FB,求直线AB的斜率， C,D两点，并与x轴 交于点P,直线AC 与直线BD交于点Q: (1)当1CD1=}2时，求直线1的方程； (2)当点P异于A,B两点时，求证：OP·OQ为 定值。 ·114·1数学 同理可得 -2m+/2m2-4 -2m-√2m2-4 ICD1=4②1+经) m2+2 m2+2 1+2k2 2m_ 由|AB|+|CDI=6√2， 则色-m沙十当=m+2十为 化简得好好=子，则：=士子 k2 myy2+y2 架+ 答案：士号 2m -2m+√J2m-4 =m2+2 m2+2 √2m2-4 培优微专题19 =-1. 2m+-2m-√2m-4-√/2m2-4 研析考点层级突破 m2+2 m+2 考点一 注：首先结合韦达定理化去y2,然后暴力求根代入，y2, 例1[解])由题意得直线AB的方程为受+y=1,即y 将分子、分母都用含m的式子表示，逐步消元得到结果. 跟踪训练 登+1， 1.解：1)由题意c=25,e=5=台， y=-+1, 联立 2+y2=1, 得-=0， 则a=2,8=16,双南线C的方在为写-品-1 (2)设Mxy),N(x2,y2),过P且与 MN相交的直线方程为x=y一4，联立 y M 解得x=0或x=3, 4 双曲线得(4t2-1)y2-32ty十48=0， 则y十为=-了 32t 所以A信写）而F1,0).所以=1 48 8 故直线AF的方程为y=x一1. 外为=41，则西十西4址°1 BA0M2x (2)证明：设直线AB的方程为x=my十2，A(x1,y1),B(x2, 设直线MA:-当=-马 y2）, y1x1十21 x=my+2, 直线NA2:y业=之-飞 联立x2 12+y2-1, y2x2-2’ 得(m2+2)y2+4my+2=0,则△>0. 联立消去得() 由韦达定理可得从十2=一 Am 2 m2+2y2= 2+2（*) (信+小 y1 化为+8-4十+2》=-2》 求解目标为=西=（一1）_m2十y x-2为(x2-2)为(t2-6) 丛2-2(+为)+2y y2 y2(x1-1)myy2+y2 tyy2一6M x2-1 ·82+ 48 少，y2的系数出现了不对称，可用如下处理手法 t 非对称处理方法一：（少y2转化为y十y2) 由（￥）两式相除，可得y1十y2=-2my1y2, 号朗 t· 所以m=-当十业， 2 所以=my为十4=】 +以光= 2 -6 2一m+为-当十业十2 y一为 - 2 3,解得x=-1,即P在直线x=-1上. 注：y1十y2yy2中，把y2转化成y+y2 考点二 非对称处理方法二：(y1,y2保留y) 例2[解](1)由双曲线标准方程可知，其渐近线方程为y= k1=my1y2十丛= myy2+y k2my1y2+y2my1y2+（y1+y2）-y1 ，所以=台 2+ 可得b2=3a2, 将点P(W3,W2)代入双曲线C的方程可得 =-1. 2m 4m_ -2m m2+2m2+2一1m2十2-为 23=1, 注：y12保留一个，分子、分母统一保留y1,故在分母处配 解得a2=1,b2=3, y1+y2· 所以双曲线C的方程为y- 非对称处理方法三：(y1,y2保留y2) 31. (2)由(1)可知，上焦点F(0,2), 1=myy十y=myy2十(+y2）-y= 设直线l的斜率为k,A(x1,y1),B(x2,y2),则直线l的方程 k2 myy2+ya myy2+y2 为y=kx十2， 2m 4m 2m m+2m2+2y =m2+22 =-1. 联立-号=1 2m m2+2十y (y=kx+2, 整理得(3k2-1)x2+12kx+9=0, 注：y1y2保留一个，分子、分母统一保留y2,故在分子处配 12k y1+y2. 所以西十x2=一3-12=3欢-1 非对称处理方法四：（暴力求根） 又AF=7BF, 由求根公式得y=二2m±√2m-4 即(-x1,2-y1)=7(-x2,2-y2), m2+2 不妨设y1= 可得x1=7x2, ·166· 答案精析 [方法一] 因为1=7， 解得m=士25 5 所以马十2=（x十x2)2 2-50 T1I2 2 所以直线1的方程为z+2,-1=0我一25 5y-1=0. 12k 课时冲关高效提能 即3k2-1】 50 -2= 1.解：(1)由已知条件，可设抛物线的方程为y2=2px(p>0), 9 7 点P(1,2)在抛物线上， 3k2-1 .22=2pX1,解得p=2. 解得k=士2 故抛物线的方程是y2=4x,其准线方程是x=一1. 5 (2)方法一：由(1)可知F(1,0),由于A(x1y1),B(x2y2)均 所以直线1的斜率为士25 在抛物线上， 5 则直线AB的方程可设为x=ty十1， [方法二] 联立y=4x, 12k 1x=ty+1, x1十x2=8x2= 3k2-1' 整理得y2一4ty一4=0， x1x2=7好= 9 所以y十y2=4t,y1y2=-4. 32-1' 又AF=2FB,即(1-x1,-y)=2(x2-1,y2), 即[ 3k 9 2(3k2-1) 7(3k2-1)’ 可得-y=2,即兰=一2， 解得k=士25 则当+业=y十2) 5 y1y2 -2=-3, 所以直线1的斜率为士25 5 5 44-2=-2, 方法三 利用焦点弦定理（此方法只能在小题中使用）： lecosal= λ-1 22故u=一 解得=土 1=士22. 方法二：A(x1,y),B(x2y2),F(1,0), 由题意得AF=-7FB,则A=一7，e=2,a为直线l的倾斜 AF=(1-x1,-y1), 角，则有|2cosa= 3,解得cosa 4 、2 3, 2FB=(22-2,2y2), 则k=tana=±2y5 AF=2FB→1-x1=2x2-2, 1-y1=2y2 5 跟踪训练 →2=3-2,0 2.解：(1)设焦距为2c,由椭圆对称性不妨设椭圆上一点P(x0, 1y1=-2y2,② A,B在抛物线上， yo)(a≥xo≥0)， 易知F2(c,0),则1PF2I=√(x-c)+ =4x1,③ 1y2=4x2,④ =√/z。-c)+6-6 由①0③④联立可得x=合，则为=士厄， 由③-④得(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2), =√（台-2x+d=。-a=a- x0 a 即kB=二业=4 显然zo=a时|PF2ln=a一c, x1一x2y1+y2 4 -2y2+y2 4=士22 a-c=1,解得a=2,c=1,b=3, 2十x2=1, a2=b2+c2 2.解：(1)由已知可得椭国方程为 设1的方程为y一1=(x一0)，k为1的斜率， 所以梢圆E的方程为 =1; 3 C(x1y1),D(x2,y2). (2)设C(x1y1),B(x2y2) (y=kx+1, 因为AB∥CF1,所以CF|:|AB|=|FF2|:|F2A|=2 则由 +x2=1,得(2+)x2+2kx-1=0, 2 1 所以y1=一2y2 可得 x十x=一2+' 2k 段直线1的方程为三my十1，联立得4十号老星孕 -1 (z=my+1 四工2=2+k, (3m2+4)y2+6my-9=0, 所以|CD1=√1+·√(x1+x2)2-4x1x2 y1+y2= 6m 由韦达定理得 3m2+4 -1+及臣-名厄， 2十k2 9 y1y2= 整理得，2=2，所以=士√2， 3m2+4 ∴直线l的方程为y=士√2x十1， 因为=一2， y2 (2)证明：由题可得，P(一专0） 所以当十=y十)2 yA -2= y2 y1 y1y2 5 直线AC的方程为y斗+1D, 2 6m 2 直线BD的方程为y产么一1D 0 A 3m2+4 5 叶， y- 9 2 由{ C 3m2+4 -. ·167· 1数学 可得+=业x十1-红+1)(x,+1) x-1y(x2-1)(kx1+1)(x2-1) 由y,=kx十m, x2+y2=7, =kx1x,十k2十x1十1 14-+,-i,(*) 消去y得(1十k2)x2+2mkx十m2-7=0, .△=4m2k2-4(1+k2)(m2-7)=16+12k2>0, 2k -1 由x1十x2= 2十k2西=2+： 设M(x1,y1),D(x2,y2), -2mk 2k 得x1= 2+-,代入(*)式可得， 则西十许袋， 1+k2 +1-2+e+如，+ 一k 2k k2=当业丝 2+2x2+1 k-1 (kx+m)(kz2+m) x-1 一k 2k 2+k 、2+k2-x2+2-1 k+1 I1X2 kx1x2十km(x1十x2)+m 可得x=一k,即xQ=一k, T2 1 所以OP·OQ=一 ·(-)+0·y0=1(定值). 及2· /m2-7 1+k+km… -2mk1 1+k2 +m2 故OP·OQ为定值. m2-7 培优微专题20 1+k2 研析考点层级突破 =m2-7k2 考点一 m2-7, 例1[解析]根据给定条件，结合蒙日圆的特征求出蒙日圆 :m2=3+4k2, 的方程判断A；求出直线L与蒙日圆的交点坐标计算判断 B;由两圆相切求出m判断C;求出蒙日圆的内接正方形边 k,=m-7=3十4k-7及=-3 长判断D. m2-73+4k2-74’ A,椭圆C:号十1的蒙日圆方程为2十y三 当切线MA的斜率不存在或为家时，：=一也成立， 正确； k1·k2为定值. 对于B,依题意，点P是直线与蒙日圆的交点，则 考点二 例2[解析]先证明出抛物线y2=2px(p>0)在其上一点 {y30解释P(-号号)支P8o, (xo,y)处的切线方程为yy=px十pz: 证明如下： 直线0P的斜率为-号或0，B错误； 由于点(xy)在抛物线y2=2px上， 则y=2px0, 对于C,P点坐标(x)%),直线OP斜率kp=兰，由切点弦 联立∫y=2px, 公式得到MN方兴+学=1bw=经ew Ayoy=px+pxo, 可得2yy=y2+2px, ayo 62 即y2-2yy+y=0,△=0， 一，由点差法可知，OP平分AB,C正确； 所以抛物线y2=2px(p>0)在其上一点(x,yo)处的切线方 程为yoy=px十xo. 对于D,设P(√a+bcos0,√a2+6sin0), 如图所示.设A(1%),B(x2y2),直线AB 则直线MN的方程为xb2√a+bcos0+ 的方程为工=十号， ya2√a2+bsin0-a2b=0, 则原点O到直线MN的距离为d1= a62 联立x=my+登， ，则点P到直线MN的距离 (y=2px, (a2+62)(a'sin20b'cos0) 消去x得y2-2mpy-p2=0, 为d,= 由根与系数的关系可得y2=一p, 1b2 (a2+62)cos20+a2 (a2+62)sin20-a2b21 +y2=2mp, (a2+62)(a'sin20+b cos20) 对于A,抛物线y2=2px在点A处的切 asin 06 cos20 线方程为y1y=px十px, (a2+6)(a'sin20+6'cos20) 即y=虹+艺， a'sin20b cos0 a2+b2 同理可知，抛物线y2=2px在点B处的切线方程为y2y= ∴d1d2= 20 十6=gD正确 pxt 2 [答案]ACD 跟踪训练 联立 yiy=p+ 2 1.解：(1)由题意知2a=4,e=。=之， 3y2 y2y=px 2’ .a=2,c=1,.b2=3, 1桥围C的标农方整为号+苦1。 解得 2p .“蒙日圆”E的方程为x2十y=4十3=7， =支=mp, 2 即x2+y2=7. 所以点P的横坐标为一卫 (2)证明：当切线MA的斜率存在且不为零时，设切线MA 的方程为y=kx十m, 即点P在抛物线的准线上，A正确； Iy=kx十m, 对于B,直线4的斜率为=卫， y1 消去y得(3+4k2)x2+8mkx十4m2-12=0, 直钱么的鲜李为怎一号 .△=64m2k2-4(3+4k2)(4m2-12)=0, 所以名，=p =-1, .m2=3十4k2, y1y2 ·168·