培优微专题18 圆锥曲线中的二级结论-【创新教程】2026年高考数学大二轮培优微专题

I数学 5.[多选](2025·邯郸调研三)已知双曲线C:十6 7点AA是双周线E草-若-1a>0.6公0)的 y2 31,则 左，右顶点若直线x-后上存在点P,俊得 A.入的取值范围是(-6,3) B.C的焦点可在x轴上也可在y轴上 ∠APA,=晋，则该双曲线的离心率取值范围为 C.C的焦距为6 D.C的离心率e的取值范围为(1,3) 8.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，记F1为双 6[多选12025·酒泉诊断三已知椭圆名十岩 曲线ca芹- =1(a>0,b>0)的左焦点，以 1(a>b>0)上存在点P,使得|PF1=4|PF2|, OF1为直径的圆与C的一条渐近线交于O,A两 其中F1,F2分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆 的离心率可能为 ( ) 点，且线段AF1与C交于点B,若F1B=入F1A A.2 B号 c D.√3-1 (心)，则C的离心率的取值范围为 [培优微专题18]圆锥曲线中的二级结论 圆锥曲线是高中数学的重要内容之一，知识的综合性较强，因而解题时需要运用多种基础知识，采用 多种数学手段，熟记各种定义、基本公式.法则固然很重要，但要做到迅速、准确地解题，还要掌握一些常用 结论，正确灵活地运用这些结论，一些复杂的问题便能迎刃而解. 研析考点)层级突破 专点一 焦点三角形 专点二 焦点弦 典题例析 核心知识 [创口设，出为椭圆c号+y2=1的两个焦 1.已知F1,F2分别为椭圆的左、右焦点，直线1过 左焦点F1与椭圆（焦点在x轴上）交于A,B两 点，点P在C上，若PF1·PF2=0,则|PF1|· IPF2|等于 ( 点，设∠AF1F2=a,e为椭圆的离心率，p为椭圆 ) A.1 B.2 C.4 D.5 的焦点到对应准线的距离，则p=Q一c= c [听课记录] 规律方法》 （1D椭圆焦半径公式：AR=1-co 焦点三角形的面积公式 ep 1 12 P为椭圆（或双曲线）上异于长轴端点的一点， 1+e·cosa'TAF1十TBF1ep F1,F2为其焦点，记∠F1PF2=0,则： (2)椭圆焦点弦弦长公式：|AB|=|AF1|+|BF1I 在椭圆中，S△PR,R,=b2·tan2;在双曲线中， 2ep 1-e2·cos2a S△PF,F,= 62 0 2.已知F1,F2分别为双曲线的左、右焦点，直线1 tan 2 过左焦点F1与双曲线（焦点在x轴上）交于A, 跟踪训练 B两点，设∠AF1F2=a,e为双曲线离心率，p为 1巴知双曲线亏若-1上一点M与对焦点F, 双曲线的焦点到对应准线的距离，则p=c a2 F2所成的角∠F1MF2=120°，则△F1MF2的面 B2 积为 ·108· 培优微专题 典题例析 [例2] 已知双曲线C的左、右焦点分别为 F1(-√7,0)，F2(√7,0)，过F2的直线与C的右支 图 图2 交于A,B两点.若AF2=2F2B,|AB|=|FB|,则 (1)若直线与双曲线交于左支（如图1），则|AF1| 双曲线C的方程为 ep ep 1 1e cos@BF-1-e cosa'F [听课记录] 1 2 规律方法》 IBFTep (1)公式中的加减符号易混淆. 若直线与双曲线交于两支（如图2），则|AF1|= (2)直线与双曲线交于一支时和交于两支时的公 e·cosa+1,|BF11= ep ep 式不一样 e·cosa-1’ 跟踪训练 1 1 =2 TAFT IBFTep 2.已知F是抛物线y2=2px(p>0)的焦点，过F (2)双曲线焦点弦弦长公式：若直线与双曲线交于 作两条互相垂直的直线l1,l2,直线1交抛物线 一 支，则|AB|=|AF1|+|BF1I 于A,B两点，直线l2交抛物线于C,D两点，且 2ep |AB·CD的最小值是64，则抛物线的方程为 -1-e2.cos2a 若直线与双曲线交于两支，则|AB|=|IAF1I 专点三 切线、切点弦方程 -B职8。- 核心知识 3.已知直线1过焦点F与抛物线 L已知点P(0)为椭圆+=1(a>6>或 (焦点在x轴上)交于A,B两 点，设∠AFx=a,e为抛物线离 双曲线2-1(a>0,6>0)上任一点，则过点 心率，p为抛物线的焦点到对 应准线的距离。 P与圆维曲线相切的切线方程：为髻+罗-】 q)抛物线焦半径公式：|AF|=1-e,cosa ep (精圆，或为警-=1（双自线）. 1 o1-1十co1千o@d 2若点P%)是桶圆号+芳-1a>b>0(安 1=2=2 十BF-epp 双尚线号-芳=1a>06>0)》外一点，过点 (2)抛物线焦点弦弦长公式：|AB=|AF|+|BF P(xo,yo)作椭圆（或双曲线）的两条切线，切点 2ep =2p 1-e2·cos2asin2a 分别为A,B,则切点弦AB的直线方程为 4.焦点弦定理 yoy 已知焦点在x轴上的椭圆或双曲线或抛物线，经 =1(椭圆)，或为o,2-0 =1(双曲线). 过其焦点F的直线交曲线于A,B两点，直线AB 的倾斜角为a,AF=入FB,则曲线的离心率满足 等式ecosal ·109· 1数学 典题例析 跟踪训练 [例3】过点Q(-1,-1D作已知直线1：y=子x+ + 3.已知椭圆E, =1(a>b>0)经过点 1的平行线，交双曲线苦-y2-1于点M,N (0,),且商心率为F为椭圆E的左焦点， (1)证明：Q是线段MN的中点； 点P为直线1：x=3上的一点，过点P作椭圆E (2)分别过点M,N作双曲线的切线l1,l2,证明： 的两条切线，切点分别为A,B,连接AB, 三条直线l,1,l2相交于同一点； AF,BF. (3)设P为直线1上一动点，过P作双曲线的切 (1)求证：直线AB过定点M,并求出定点M的 线PA,PB,切点分别为A,B,证明：点Q在直线 坐标； AB上. (2)记△AFM,△BFM的面积分别为S1和S2, [听课记录] 当|S1一S2取最大值时，求直线AB的方程. 规律方法》 运用联想，由过已知圆上和圆外的点的切线方程 联想到过圆锥曲线上和圆锥曲线外的切线方程， 触类旁通，实现知识的内迁，使知识更趋于系统 化，取得事半功倍的效果。 ·110 培优微专题I 课时冲关>高效提能 1卫知椭圆号+苦-1上一点M与两焦点F, 多选]尼知椭圆C十三1,51，P2分别为 所成的角∠F1MF2=60°，则△F1MF2的面积为 的左、右焦点，A,B分别为它的左、右顶点，P是 椭圆上的一个动点，下列结论中正确的是() A.163 B.16√3 A.离心率e=5 4 3 C.33 D.93 B.△F1PF2的周长为18 2.已知双曲线E的中心为原点，F(1,0)是E的焦 C.直线PA与直线PB斜率乘积为定值- 9 点，过F的直线L与E相交于A,B两点且AB D.若∠F1PF2=90°，则△F1PF2的面积为8 的中点为N(一4，一5)，则双曲线E的渐近线的 方程为 6.[多选]已知抛物线E:y2=4x的焦点为F,准线为 1,过F的直线与E交于A,B两点，C,D分别为A, A.√5x±2y=0 B.2x士√5y=0 D.5.x±4y=0 B在L上的射影，则下列结论正确的是（) C.4x±5y=0 3已知指周7，号+若=1>6公0》的长轴长是短 A.若直线AB的倾斜角为45°，则|AB|=8 B.若AF=2FB,则直线AB的斜率为士2√3 轴长的2倍，过右焦点F且斜率为k(k>0)的直 C.若O为坐标原点，则B,O,C三点共线 线与T相交于A,B两点，且AF=3FB,则k= D.CF⊥DF 7.抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,过焦点F且 A.1 B.2 C.3 D.√2 倾斜角为的直线与抛物线相交于A,B两点， 4.已知直线1经过抛物线y2=4x的焦点F,且与 若|AB引=8，则抛物线的方程为 抛物线交于A,B两点（点A在第一象限），若BA 8已知椭圆E专+学-1的左，右熊点分别为R, =4BF,则△AOB的面积为 A83 F2,过点F1,F2分别作斜率为1，k2的直线l1, B.43 3 3 2,分别交椭圆E于A,B和C,D四点，且AB D.42 3 +CD=6√2，则k1k2= ·111·1数学 所以∈（1） 由椭圆方程可知，c2=5一1=4，解得c=2, 所以|PF12+|PF212=|F1F22=42=16, -()(o,2) e= 又|PF1|+|PF2|=2a=25, 平方得|PF1I2+|PF22+2|PF,|·|PF2 所以描圃离心率的取值范国为0,2)] =16+2PF·PF21=20, 3 所以|PF·PF,|=2. 5.AC[根据双曲线方程的特征，易于求得一6<λ<3，判断方 [答案]B 程中分母的符号即可判断A,B项，计算易得C项，先算出离 跟踪训练 心率的表达式，再根据入的范围，即可确定e的范围. 1.解析：根据双曲线焦点三角形的面积的二级结论S△r娜，=6 对于A,61表示双曲线，（以+6）(3-)> 0,解得一6<A<3,故A正确； ，得Sa,=25X0s60-=253 sin 2 sin60° 3 对于B,由A项可得一6<λ<3，故λ十6>0,3-λ>0，.C的焦 点只能在x轴上，故B错误； 答案：25③ 对于C,设C的半焦距为c(c>0),则c2=λ+6+3一λ=9，. 3 c=3,即焦距为2c=6,故C正确； 考点二 +6”-6<<3, 对于D,离心率e=3 例2[解析]如图，令|F2B=t, 则|AF2|=2t, .|AB|=3t,|FB|=3t, ∴.0<√A十6<3，e的取值范围是(1，+∞)，故D错误.] 1 1 _2a 6.BCD[根据椭圆的定义得到PFI,|PF2,再由IPF,I 又AF+TBF-, |PF2|≤FF2|即可求出离心率的取值范围，即可判断. 因为|PF|+|PF2|=2a,又|PF|=4PF2|,所以|PFI= 安+-器 号，PF,=g, 又PR-PR≤R,中0<g-≤2 又|F1B|-F2B|=2a, .3t-t=2a,∴.t=a, 所以g≤，则：=台≥号又1，所以号<<1，藏特合 ÷会-0即=4， 题意的有BCD.] 7.解析：△A1A2P的外接圆半径为 又c=√7，∴.a2十b2=7, =2a=2a, 解得b=4,a2=3, 2sin 故双南线C的方程为写-兰-1. 当该圆与直线x=C相切或相交时满足 [答案]芳-￥=1 a 3-41 题意，故g≤2a,即1<e≤2， 跟踪训练 a 2.解析：设直线11的倾斜角为0，则直 所以该双曲线的离心率取值范围为(1，√2] 线4的倾斜角为0十受， 答案：(1w2] 根据焦点弦长公式可得|AB|= 8.解析：由题意可得|F1A=b,:F,B=入F,A, sino'I CD I 2b 2p B ∴.F1B=λb, 记双曲线C的右焦点为F2,∴.|F2B=2a十ab, sim(+)】 在△F1BF2中，cos∠F2F1B= =0 2p D λ262+4c2-(2a+ab)2_b-Aa 4λbc λc 所以AB·1CD1=22。·2p 4p2 16p2 :△OF1A为直角三角形， sin20 cos20 sin20cos20 sin220' Cos∠F,F1B=cos∠OF,A=b 因为0<sin22≤1，所以当0=45°时，|AB|·|CD|取得最小 值16p2, 6=名化商得。年0 所以16p2=64,所以p=2,所以抛物线方程为y2=4x. a+b' 答案：y2=4x :线段AF与C交于点B,且A>号， 考点三 <a年6即a<6, 例3[证明](I)直线MN的方程为y=x-3). a2<b=c2-a2,即2a2<c2, 代入双曲线方程 -y2=1, .e2>2,.e∈(W2,+oo). 得3x2+6x-25=0. 答案：（√2，十∞） 设M(x1,y),N(x2y2), 培优微专题18 则工1，x2是方程的两根，故x1十x2=一2. 研析考点层级突破 考点一 于是，n十%=子(x十：-6)=-2. 例1[解析]方法一因为PF·PF。=0, 故Q(-1,-1)是线段MN的中点. 所以∠FPF2=90°， (2)双由线号-y=1过点M,N的切线方程分别为L:受x 从而Sm,-an45°=1=PE,·PE,l, -y=1,山：7x-%y=1. 所以PF|·|PF2|=2 方法二因为PF1·PF2=0, 两式相加并将x十=一2，十必=一2代入得)=青红 所以∠FPF2=90°， +1. ·164· 答案精析 这说明，直线么，山的交点在直线：y=子十1上，即三条 3.D[题意a=26,e√-（合）-号， 直线l,l1,2相交于同一点. (3)设P(xo,y),A(x3,y3),B(x4,y4), 设AF=AFB,因为AF-3FB, 则PA,PB的方程分别为 所以1=3，设直线的倾斜角为a, 红-%y=1布受y=1 3-1 则e= λ-1 (λ+1)cosa 得分=3+0/ 因为点P在两条直线上，所以宁，一为%=1， Icosal=3 子，%=1 又>0ae(0,经） 这表明，点A,B都在直线号一y=1上，即直线AB的方 得cosa= =3,所以k=tana=2.] 程为x-6y=1. 4B[由随老如会品=3AP1=oBF到=中名o 又%=安+1，代入整理得 其中日为直线AB的倾斜角. 子x-》-y+1D=0, ..oa 显然，无论x。取什么值（即无论P为直线l上哪一点）， 点Q(一1，一1)都在直线AB上. 5.ABC[由若+苦-1，可得a=56=36=-不=4， 跟踪训练 3.解：(1)证明如图，由题意可得b=√2， 对于A,离心率e=日=号故A正确； a ￡=6 对于B,△FPF2的周长为|PF1I+PF2|+|FF2|=2a+ a 3 2c=18,故B正确； 又因为a2=b2+c2, 9 所以。=6,8-2，精国E的方程为看 对于C,pA·nm=一&=一2污，故C正确； +-1. 对于D,:∠EPF:=90,S,m,=6anPE=9,故 2 D错误.] 设A(x1,y1),B(x2,y2),P(3,y), 过，点P且切，点在A处的椭圆E的切线方程为 6.ACD[若直线AB的倾斜角为45°， x1x+y=1, 6 则1AB--8,故A正项： 2 设直线AB的倾斜角为日， 同理，过点P且切点在B处的精圆E的切线方程为号十 若AF=2FB, C O 2义=1 D 2 则1o01=器=子 因为点P在直线PA,PB上， 故k=tan0=士2√2，故B错误； g+=1, 所以 2 2 设A(x1),B(x2y2),则C(-1,y1), 竖+=1 所以k-如=兰+=4+4业=0， 2 4 所以直线AB的方程为受十罗=1，则直线AB过定点 2 故B,O,C三点共线，故C正确； M(2,0). 设C(-1,y),D(-1,y2),F(1,0), (2)设直线AB的方程为x=ty十2， 则CF·DF=(2,-y1)·(2,-y2)=4+y1y2 (x=ty+2, 2 =4-p2=0, 故CF⊥DF,故D正确.] 得(t2+3)y2+4ty-2=0, 7.解析：1AB1=23.2p.=8p=8, 4t 2 故为十%=2+3y业=一+3 sn9s证吾 1s-s-2lm-x=26xt%-4 p=1,∴抛物线的方程为y2=2x. 答案：y2=2x = 8 ≤8=4 8.解析：设直线AB的方程为y=k1(x十2)，A(x1,y1),B(x2, y2), 3 lel+ 2√33 联立2+2y2=8, 3 y=k1(x+2), 当且仅当川=司，即=士3时取等号， 得(1+2k)x2+8x+8k号-8=0， 此时直线AB的方程为x=士√3y十2. △=(8k2)2-4(1+2k2)(8k2-8) 课时冲关高效提能 =32(k2+1)>0, 1,C[根据椭圆焦点三角形的面积的二级结论S△F2= 60 btan2,得SaR,,=9tanb之 =3√5.] 则x1十x2=一1十2' 8k1 8k3-8 -5-0 5 62 62 2.A[ka=4--1,kaN=,且ka·kom-&心 工1x-1十2 |AB=√/1十k1x-x2 =√(1+)[(x1十x2)2-4x1x2] 小治-气，可得双自装的斋运线方农为5士2)=0，] =42(1+) 1+2k ·165· 1数学 同理可得 -2m+/2m2-4 -2m-√2m2-4 ICD1=4②1+经) m2+2 m2+2 1+2k2 2m_ 由|AB|+|CDI=6√2， 则色-m沙十当=m+2十为 化简得好好=子，则：=士子 k2 myy2+y2 架+ 答案：士号 2m -2m+√J2m-4 =m2+2 m2+2 √2m2-4 培优微专题19 =-1. 2m+-2m-√2m-4-√/2m2-4 研析考点层级突破 m2+2 m+2 考点一 注：首先结合韦达定理化去y2,然后暴力求根代入，y2, 例1[解])由题意得直线AB的方程为受+y=1,即y 将分子、分母都用含m的式子表示，逐步消元得到结果. 跟踪训练 登+1， 1.解：1)由题意c=25,e=5=台， y=-+1, 联立 2+y2=1, 得-=0， 则a=2,8=16,双南线C的方在为写-品-1 (2)设Mxy),N(x2,y2),过P且与 MN相交的直线方程为x=y一4，联立 y M 解得x=0或x=3, 4 双曲线得(4t2-1)y2-32ty十48=0， 则y十为=-了 32t 所以A信写）而F1,0).所以=1 48 8 故直线AF的方程为y=x一1. 外为=41，则西十西4址°1 BA0M2x (2)证明：设直线AB的方程为x=my十2，A(x1,y1),B(x2, 设直线MA:-当=-马 y2）, y1x1十21 x=my+2, 直线NA2:y业=之-飞 联立x2 12+y2-1, y2x2-2’ 得(m2+2)y2+4my+2=0,则△>0. 联立消去得() 由韦达定理可得从十2=一 Am 2 m2+2y2= 2+2（*) (信+小 y1 化为+8-4十+2》=-2》 求解目标为=西=（一1）_m2十y x-2为(x2-2)为(t2-6) 丛2-2(+为)+2y y2 y2(x1-1)myy2+y2 tyy2一6M x2-1 ·82+ 48 少，y2的系数出现了不对称，可用如下处理手法 t 非对称处理方法一：（少y2转化为y十y2) 由（￥）两式相除，可得y1十y2=-2my1y2, 号朗 t· 所以m=-当十业， 2 所以=my为十4=】 +以光= 2 -6 2一m+为-当十业十2 y一为 - 2 3,解得x=-1,即P在直线x=-1上. 注：y1十y2yy2中，把y2转化成y+y2 考点二 非对称处理方法二：(y1,y2保留y) 例2[解](1)由双曲线标准方程可知，其渐近线方程为y= k1=my1y2十丛= myy2+y k2my1y2+y2my1y2+（y1+y2）-y1 ，所以=台 2+ 可得b2=3a2, 将点P(W3,W2)代入双曲线C的方程可得 =-1. 2m 4m_ -2m m2+2m2+2一1m2十2-为 23=1, 注：y12保留一个，分子、分母统一保留y1,故在分母处配 解得a2=1,b2=3, y1+y2· 所以双曲线C的方程为y- 非对称处理方法三：(y1,y2保留y2) 31. (2)由(1)可知，上焦点F(0,2), 1=myy十y=myy2十(+y2）-y= 设直线l的斜率为k,A(x1,y1),B(x2,y2),则直线l的方程 k2 myy2+ya myy2+y2 为y=kx十2， 2m 4m 2m m+2m2+2y =m2+22 =-1. 联立-号=1 2m m2+2十y (y=kx+2, 整理得(3k2-1)x2+12kx+9=0, 注：y1y2保留一个，分子、分母统一保留y2,故在分子处配 12k y1+y2. 所以西十x2=一3-12=3欢-1 非对称处理方法四：（暴力求根） 又AF=7BF, 由求根公式得y=二2m±√2m-4 即(-x1,2-y1)=7(-x2,2-y2), m2+2 不妨设y1= 可得x1=7x2, ·166·