培优微专题17 离心率的范围-【创新教程】2026年高考数学大二轮培优微专题

1数学 2.类比于平面三角形中的余弦定理，我们得到三维 空间中的三面角余弦定理：如图1，由射线PA、 PB、PC构成的三面角P-ABC,∠APC=a, ∠BPC=B,∠APB=Y,二面角APC-B的大小 为0，则cosy=cosacos3+sinasinβcos0. D D B 图1 图2 图3 (1)如图2，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，平面 AA1C1C⊥平面ABCD,∠A1AC=60°，∠BAC= 45°，求∠A1AB的余弦值； (2)当a,(0,)时，证明以上三面角余弦 定理； (3)如图3，斜三棱柱ABCA1B1C1中侧面 ABB1A1,BCCB1,ACC1A1的面积分别为S1, S2,S3,记二面角ACC1-B,二面角BAA1-C,二 面角CBB1-A的大小分别为01,02,03，试猜想 正弦定理在三维空间中推广的结论，并证明， [培优微专题17]离心率的范围 圆锥曲线离心率的范围问题是高考的热点题型，对圆锥曲线中已知特征关系的转化是解决此类问题 的关键，相关平面几何关系的挖掘应用也可使问题求解更简洁. 研析考点层级突破 专点一利用圆曲线的定义求离心率的范围 跟踪训练 典题例析 [例1]i 1已如议曲线c若 =1(a>0,b>0)的左、右 包知五5为椭圆C话十异 =1(a1>b1> 0与双猫线C:三- 焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),点N的坐标为 a =1(a2>0,b2>0)的公共焦 -c,22)若双曲线C左支上的任意一点M均 362 点，M是它们的-个公共点，且∠FM2=号A 分别为曲线C,C2的离心率，则e1e2的最小值为 满足MF21+MN|>4b,则双曲线C的离心率 ( 的取值范围为 ( A号 B.3 C.1 D. 1 2 [听课记录] …一规律方法》 B.(W5W13) 此类题型的一般方法是利用圆锥曲线的定义，以 及余弦定理或勾股定理，构造关于a,b,c的不等 c1,5,+y 式或不等式组求解，要注意椭圆、双曲线离心率自 身的范围. D.(1W5)U(√13，+∞) ·106· 培优微专题 专点二利用圆锥曲线的性质求离心率的范围 专点三利角几何离形的性质求离心率的范闺 典题例析 典题例析 [制2】已知双前线导-苦=1a≥0.6>0)的左、 [例3】(2025·聊藏三模)已知双曲线c号茶 右焦点分别为F1,F2,若双曲线上存在点P,使 =1(b>a>0)的一个焦点为F,O为坐标原点， 点A,B在双曲线上运动，以A,B为直径的圆过 sin∠PEE2=a,则该双曲线的离心率的取值 sin∠PF2F1 点O,且IOA+OB|IOF|≤|OA|IOB|恒成立， 范围为 ( 则C的离心率的取值范围为 A.(1,1+√2) B.(1,1+√3) [听课记录] C.(1,1+√2] D.(1,1+√3] …规律方法》… 利用几何图形中几何量的大小，例如线段的长度、 [听课记录] 角的大小等，构造几何度量之间的关系。 …规律方法》… 跟踪训练 利用圆锥曲线的性质，如：椭圆的最大角，通径，三 角形中的边角关系，曲线上的点到焦点距离的范 3.(2025·浙江五校联考)已知双曲线- 围等，建立不等式（不等式组）求解】 (a,b>0)上存在关于原点中心对称的两点A,B, 以及双曲线上的另一点C,使得△ABC为正三 跟踪训练 角形，则该双曲线离心率的取值范围是( ) 2.(2025·湛江二模)已知F1,F2是椭圆C的两个 A.(√2，+∞) B.(√3，+∞) 焦点，若C上存在一点P满足|PF112=19|PF22, 则C的离心率的取值范围是 C.(2,+∞) D g+j 课时冲关>高效提能 1.若椭圆上存在点P,使得P到椭圆两个焦点的距离 3.(2025·成都模拟)已知F1,F2分别为双曲线C 之比为2：1，则该椭圆的离心率e的取值范围是 的左、右焦点，点P是右支上一点，且∠FPF2= 号设∠PF,-0,当日的范周为（债，时，双 B.0. 曲线C离心率的范围为 c哈 n(,号] C.(1,3) D. 2据圆C学+装-1a>6>0》,点F,R为鹅的 4.(2025·泰安模拟)已知P为椭圆C:十岁1 (a>b>0)的左顶点，M、N是椭圆上的点.若四 C的左、右焦点，在椭圆C上存在点P,使PF1· 边形OPMN满足OM=OP+ON,∠PON∈ PF2=2c2,则椭圆的离心率范围是 (（)则椭圆离心率的取值范围是（) A[合+∞ ..2) c[] ·107… I数学 5.[多选](2025·邯郸调研三)已知双曲线C:十6 7点AA是双周线E草-若-1a>0.6公0)的 y2 31,则 左，右顶点若直线x-后上存在点P,俊得 A.入的取值范围是(-6,3) B.C的焦点可在x轴上也可在y轴上 ∠APA,=晋，则该双曲线的离心率取值范围为 C.C的焦距为6 D.C的离心率e的取值范围为(1,3) 8.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，记F1为双 6[多选12025·酒泉诊断三已知椭圆名十岩 曲线ca芹- =1(a>0,b>0)的左焦点，以 1(a>b>0)上存在点P,使得|PF1=4|PF2|, OF1为直径的圆与C的一条渐近线交于O,A两 其中F1,F2分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆 的离心率可能为 ( ) 点，且线段AF1与C交于点B,若F1B=入F1A A.2 B号 c D.√3-1 (心)，则C的离心率的取值范围为 [培优微专题18]圆锥曲线中的二级结论 圆锥曲线是高中数学的重要内容之一，知识的综合性较强，因而解题时需要运用多种基础知识，采用 多种数学手段，熟记各种定义、基本公式.法则固然很重要，但要做到迅速、准确地解题，还要掌握一些常用 结论，正确灵活地运用这些结论，一些复杂的问题便能迎刃而解. 研析考点)层级突破 专点一 焦点三角形 专点二 焦点弦 典题例析 核心知识 [创口设，出为椭圆c号+y2=1的两个焦 1.已知F1,F2分别为椭圆的左、右焦点，直线1过 左焦点F1与椭圆（焦点在x轴上）交于A,B两 点，点P在C上，若PF1·PF2=0,则|PF1|· IPF2|等于 ( 点，设∠AF1F2=a,e为椭圆的离心率，p为椭圆 ) A.1 B.2 C.4 D.5 的焦点到对应准线的距离，则p=Q一c= c [听课记录] 规律方法》 （1D椭圆焦半径公式：AR=1-co 焦点三角形的面积公式 ep 1 12 P为椭圆（或双曲线）上异于长轴端点的一点， 1+e·cosa'TAF1十TBF1ep F1,F2为其焦点，记∠F1PF2=0,则： (2)椭圆焦点弦弦长公式：|AB|=|AF1|+|BF1I 在椭圆中，S△PR,R,=b2·tan2;在双曲线中， 2ep 1-e2·cos2a S△PF,F,= 62 0 2.已知F1,F2分别为双曲线的左、右焦点，直线1 tan 2 过左焦点F1与双曲线（焦点在x轴上）交于A, 跟踪训练 B两点，设∠AF1F2=a,e为双曲线离心率，p为 1巴知双曲线亏若-1上一点M与对焦点F, 双曲线的焦点到对应准线的距离，则p=c a2 F2所成的角∠F1MF2=120°，则△F1MF2的面 B2 积为 ·108·1数学 3W3 = 求证：aSAe_bSAC-cSA √-4t-16t3+122+72t+27 sin, sin0, sin 证明：在SA上取，点P,使得PS= 当(0，]时，则8332>0， 1,过P作PP'⊥平面SBC,P'C'⊥ 3 SC,P'B'⊥SB, 所以-4-16+12r+721+27<-4-2+12r+72: 设∠BSC=a,∠ASC=B,∠ASB =Y, +164 PB'=PBsiny=siny,PP'=PB'S 3 sine2=sinysine, ◆10)=-4r-婴+12r+72+1g, 同理PP'=PC sin03=sin3sin83, f(t)=-8(t-1)(2t2+6t+9), 所以sinysin,=sin,8sind,即sin2 sin02 因为∈(0，号]，所以2+6+9>0， siny sing,' 令(t)=0得t=1,当t∈(0,1)时，f(t)>0,f(t)单调 同理可证sine=sing 递增； sind sine.' 当1，号)时，f)<0,f0单洞递减。 所以sine=sing_siny sine,sindz sind,' f(t)<f(1)=108, 当（得2）时， 又因为SASAB=乞absiny,所以siny =2S△MB 令g(t)=-4t-16t+12+73t+27, ab g'(t)=-16t3-48t+24t+72, 同理sing=2SAc,sina 2SASBC, 设h(t)=g(t), ac bc 则h'(t)=24(-22-4t+1)<0, 2S△sBc 2S△s4C 2S△sAB 所以g@单调道减，所以g@)<g(）下0， 所以bc =-ac =ab sin0, sind,同乘abc得： 即g0单明递减，80<6（得）-8g2<108 aSASHC bSASAC CSASAB sind sin02 sin 综上，-4t-16t3+122+73t+27<108对t∈(0,2)成立，即 培优微专题17 cos(nn2 )331 研析考点层级突破 考点一 1082, 例1[解析]假设MFI>|MF2I, 故二面角F1-AP-F。不大于60° 所以由椭圆、双曲线定义得 2.解：(1)根据定义将已知的条件代入计算即可； (2)过射线PC上一点H作MH⊥PC交PA于M点，作 M十ME:=a1'解得M=a十a, 1MF1|-MF2|=2a2 |MF2=a1-a2 MH⊥PC交PB于N点，连接MN,画出图形，则∠MHN 所以在△MFF2中，|FF2|=2C,由余弦定理得|F1F2I2= 是二面角A-PCB的平面角，根据已知条件利用三角形中的 余弦定理进行证明即可； IMr,P+ME,B-2Mr,·IME2·cosS, (3)已知三棱锥SABC,以SA,SB,SC为棱的二面角分别为 即4c2=(a1十a2)2+(a1-a2)2-2(a1+a2)·(a1-a2) 8,A,A,设∠BSC=a,∠ASC=B,∠ASB=Y,先证明si sin 6o, =si-sm,根据所描述的结论进行证明即可. 化简得4c2-a号+3a2, sind,sin 因为4c2=a+3a≥23a1a2, (1)由平面AA1C1C⊥平面ABCD,得0=90°， 由三面角余弦定理得cos∠A1AB=cOs∠A,AC· 所以>2￥=甲≥， 4 cos∠CAB, 因为∠A1AC=60°，∠BAC=45°， 当且仅当a=√3a2时，取等号. 所以o∠AAB=名×号-号， 故e的最小值为 2 (2)过射线PC上一点H作MH 「答案]A MA 跟踪训练 ⊥PC交PA于M,点， 作NH⊥PC交PB于N点，连 1.C[由已知可得|MF2I-IMF1|= 2a,若|MF2|+|MN|>4b, 接MN,如图所示： 则∠MHN是二面角APCB的平P“i 即|MF|+IMWN|+2a>4b,左支上 的点M均满足MF2|+|MN|>4b, 面角， 如图所示，当点M位于H点时， 在△MNP中，由余弦定理得： MF,+MN最小， MN2=MP2+NP2-2MP B ·NPcosY, 故3+2a>4b,即36+4a2>8ab, 2a 在△MNH中，由余弦定理得： .3b2-8ab+4a2>0,.(2a-b)(2a-3b)>0, MN2=MH2+NH2-2MH.NHcos0, .2a>3b或2a<b,.4a2>962或4a2<b, 两式相减得： MP2-MH+NP2-NH-2MP·NPcosy+2MH· 9e<13a或c2>5a,.1<<或5>， 3 a NHcos0=0, 则：2MP·NPcosY-=2PH+2MH·NHcos0, 双南线C的离心率的取值范国为(1，)U5,十∞.门 两边同除以2MP·NP, 考点二 得o7=·器+架· PH NP cos 0 cosacosp 例2[解析]若点P是双曲线的项点，sin∠PF,E。 +sinasinBcos0; (3)已知三棱锥SABC,SA=a,SB=b,SC=c,侧面SAB, sin/PF,E无意义，故点P不是双曲线的顶点，在△PFF SAC,SBC的面积分别为S1,S2,S,以SA,SB,SC为棱的 中，由正弦定理得 PF PF, 二面角分别为81,82,93， in∠PF2Fsin∠PFF2' ·162· 答案精析 m2s器-名 跟踪训练 3.A[设点A(x,y),则可取C(W3y,一√3x),代入双曲线方程 即PF=二·PF,“P在双曲线的右支上， 参理可得兰品，格合渐道线列式来解甲可。 由双曲线的定义，得|PF1|-|PF2|=2a, ·|PF,-1PF,=2a,即1PE,-2a 由题意可知：双由线的新近线方程为y=士合， c-a 由双曲线的几何性质，知PFz>c一a 设点A(x,y),则可取C(W3y,一√3x), ∴g>g-e,即f-2ac-i0, 61 .e2-2e-1<0,解得-√2+1<e<√2+1， 13y23x2, 又e>1, (a261 .双曲线离心率的取值范围是(1,1十√2). 整理得 ”3a+6<号，解得6> [答案]A x2a2+3b2a2 跟踪训练 2.解析：利用椭圆的定义构造齐次不等式求解离心率范图 ,中c>d,可得号>2，则e 即可. 因为|PF12=19|PF212,所以|PF1|=√19PF2I, 则2a=|PF1+|PF2=(√19+1)lPF2|, 所以该双曲线离心率的取值范围是(W瓦，十∞).] 所以PF,=1。-1)ae[a-c,a+c, 课时冲关高效提能 9 1.C[由题可设点P到椭圆两个焦点的距离分别为2，m, 则e=>10,厘，又0<e<1 所以2m十m=2a,得到m=子a, 9 所以C的离心率的取值范国是[0g四，1月 又m≥a-c,所以号a≥a-c,得到c≥a, 案：，压， 所以e≥ },又0<c<1,故号<e<1.] 2.C[设P(x,y),根据椭圆的焦点坐标以及数量积公式得出 考点三 x2+y2=3c2,则点P在以原点为圆心，√3c为半径的圆上， 例3[解析]先根据题意得到OA⊥OB,即x12十y1y2=0, 确定√5c的大小，使得该圆与椭圆有交，点，得出b≤√3c≤a, 再联立直线方程和双曲线方程利用韦达定理化简得到十 7m2 由a,b,c的关系化简得出椭圆的离心率范围， 设P(x,y),则PF·PF2=x+y2-c2, 一-。，再结合学面积法和向量运算，即可求解离心率。 .x2+y2=3c2 设A(x1y1),B(x2,y2),直线AB:y=kx十m, ∴.点P在以原点为圆心，√3c为半径的圆上，该圆与椭圆有 交点， 因为以A,B为直径的圆过，点O,所以OA⊥OB,即OA·OB =x1x2+y1y2=0, (y=kx+m b5c<a,则店V小-e<≤号，解得号<e<] -1整理得（俗-a)r-26ma2x一dm V3 联立x2y」 3.A[先应用双曲线定义结合正弦定理把离心率转化为角的 正弦，再根据两角和差和辅助角公式化简，根据已知角范围 a2b2=0, 求解即可. 且△=4k2m2a+4(b2-a2k2)(a2m2+a2b)>0, 在△F1PF2中， 南 F1F21 2kma" 由e后-会PFpR sin∠F1PFa 则y1y2=(kx1十m)(kx2十m)=k2x1x2十km(x1十x2)+m mba'b'k sin∠PF2F1-sin∠PF1F2 b-a2k2· -a2(m2+b)+m-a6E=0 2 所以x1工2十y2=62-a2k2 b2-a2k? sin(5+0）-sin6 2 m2 ab? 整理得十16二a, 因为()所以晋+（径·登） 即由O(0,0)到直线AB:y=kx十m B 的距离d= m ab 所以o(看+（合，号）所以∈（⑨] √1+√-a' A 又Sae=合1oA1·0l- 4.B[由题意知P(-a,0),由OM =OP+ON知OPMN为平行四 合Ad 边形，则M、N关于y轴对称， 即OA·IOB=|AB·d, 设M(受小N(受不坊 设t>0),将N点坐标代入椭圆 而|OA十OBIIOFI=|AB|·c,、 因为1OA+OBI IOF≤IOAIOB|, 方报可得1- 即c ab 因为∠PON∈ √62-a (5,要)设a为直线ON的倾斜角，则a 所以c3G+1长01<5， (,) 又6>a→2<e,所以2<e≤1土5 2 2 所以tana= t ®停 [答案] ] ·163· 1数学 所以∈（1） 由椭圆方程可知，c2=5一1=4，解得c=2, 所以|PF12+|PF212=|F1F22=42=16, -()(o,2) e= 又|PF1|+|PF2|=2a=25, 平方得|PF1I2+|PF22+2|PF,|·|PF2 所以描圃离心率的取值范国为0,2)] =16+2PF·PF21=20, 3 所以|PF·PF,|=2. 5.AC[根据双曲线方程的特征，易于求得一6<λ<3，判断方 [答案]B 程中分母的符号即可判断A,B项，计算易得C项，先算出离 跟踪训练 心率的表达式，再根据入的范围，即可确定e的范围. 1.解析：根据双曲线焦点三角形的面积的二级结论S△r娜，=6 对于A,61表示双曲线，（以+6）(3-)> 0,解得一6<A<3,故A正确； ，得Sa,=25X0s60-=253 sin 2 sin60° 3 对于B,由A项可得一6<λ<3，故λ十6>0,3-λ>0，.C的焦 点只能在x轴上，故B错误； 答案：25③ 对于C,设C的半焦距为c(c>0),则c2=λ+6+3一λ=9，. 3 c=3,即焦距为2c=6,故C正确； 考点二 +6”-6<<3, 对于D,离心率e=3 例2[解析]如图，令|F2B=t, 则|AF2|=2t, .|AB|=3t,|FB|=3t, ∴.0<√A十6<3，e的取值范围是(1，+∞)，故D错误.] 1 1 _2a 6.BCD[根据椭圆的定义得到PFI,|PF2,再由IPF,I 又AF+TBF-, |PF2|≤FF2|即可求出离心率的取值范围，即可判断. 因为|PF|+|PF2|=2a,又|PF|=4PF2|,所以|PFI= 安+-器 号，PF,=g, 又PR-PR≤R,中0<g-≤2 又|F1B|-F2B|=2a, .3t-t=2a,∴.t=a, 所以g≤，则：=台≥号又1，所以号<<1，藏特合 ÷会-0即=4， 题意的有BCD.] 7.解析：△A1A2P的外接圆半径为 又c=√7，∴.a2十b2=7, =2a=2a, 解得b=4,a2=3, 2sin 故双南线C的方程为写-兰-1. 当该圆与直线x=C相切或相交时满足 [答案]芳-￥=1 a 3-41 题意，故g≤2a,即1<e≤2， 跟踪训练 a 2.解析：设直线11的倾斜角为0，则直 所以该双曲线的离心率取值范围为(1，√2] 线4的倾斜角为0十受， 答案：(1w2] 根据焦点弦长公式可得|AB|= 8.解析：由题意可得|F1A=b,:F,B=入F,A, sino'I CD I 2b 2p B ∴.F1B=λb, 记双曲线C的右焦点为F2,∴.|F2B=2a十ab, sim(+)】 在△F1BF2中，cos∠F2F1B= =0 2p D λ262+4c2-(2a+ab)2_b-Aa 4λbc λc 所以AB·1CD1=22。·2p 4p2 16p2 :△OF1A为直角三角形， sin20 cos20 sin20cos20 sin220' Cos∠F,F1B=cos∠OF,A=b 因为0<sin22≤1，所以当0=45°时，|AB|·|CD|取得最小 值16p2, 6=名化商得。年0 所以16p2=64,所以p=2,所以抛物线方程为y2=4x. a+b' 答案：y2=4x :线段AF与C交于点B,且A>号， 考点三 <a年6即a<6, 例3[证明](I)直线MN的方程为y=x-3). a2<b=c2-a2,即2a2<c2, 代入双曲线方程 -y2=1, .e2>2,.e∈(W2,+oo). 得3x2+6x-25=0. 答案：（√2，十∞） 设M(x1,y),N(x2y2), 培优微专题18 则工1，x2是方程的两根，故x1十x2=一2. 研析考点层级突破 考点一 于是，n十%=子(x十：-6)=-2. 例1[解析]方法一因为PF·PF。=0, 故Q(-1,-1)是线段MN的中点. 所以∠FPF2=90°， (2)双由线号-y=1过点M,N的切线方程分别为L:受x 从而Sm,-an45°=1=PE,·PE,l, -y=1,山：7x-%y=1. 所以PF|·|PF2|=2 方法二因为PF1·PF2=0, 两式相加并将x十=一2，十必=一2代入得)=青红 所以∠FPF2=90°， +1. ·164·