培优微专题12 数列与其他知识的综合问题-【创新教程】2026年高考数学大二轮培优微专题

答案精析 所以，b+1-(5+26)b=(44-18√6)(5-2√6)-1， =a1+b十b2+b+…+b.-1=a1+6(1+2+…十n-1) b+1-(5-26)bn=(44+18√6)(5+2√6)m-1, +6(n-1) 所以，当n>2时，bn= =6+6(m-1)+6n)1)m=3n(m+1), 2 (11√6+27)(5+2√6)n-1-(11√6-27)(5-26)m-1 当n=1时，上式也成立，所以an=3n(n十1). 6 [答案]3n(n+1) 经检验，当n=1时，b1=9也成立， 跟踪训练 当n=2时，b2=89也成立， 综上，b= 2.解析：根据平面向量共线的性质可得a。-1十an+1=an,再根 据a1=a2=1列出{an}的项可得数列{an}是以6为周期的 (11√6+27)(5+2√6)"-1-(11√6-27)(5-2√6)-1 周期数列，进而求解即可. 培优微专题12 因为平面内三个不共线的向量OA,OB,OC满足OC=(am-1 研析考点层级突破 +a+1)OA+(1-a,)OB, 考点一 又A,B,C在同一直线上，所以(an-1+an+1)+(1-an)=1, 例1[解析]求出函数的导函数，即可得到x+1= x+2 即an-1十am+1二a' 2xn-1' 因为a1=a2=1,所以数列{an}为：1,1,0，-1，-1,0,1,1,0， 从石得到子( -1,-1,0,… ,两边取对数得到an+1=2an, 则数列{an}是以6为周期的周期数列，前6项为1,1,0，一1， -1,0 再由等比数列求和公式计算可得， 由题意得∫(x)=2x一1，则xw+1=x一 x-x-2 又因为2025=6×337+3，所以S2025=337×(1+1+0-1一 1+0)+1+1+0=2. 2xn-1 答案：2 =+2 考点三 2xn-1' 例3[解](1)令n=1,n=2,求出a1和a2的值；利用am,S, x+2 的关系式证得{a.}是等差数列，从而求出数列{an}的通项公 所以+1-22，-1-2 xw+1十1 2x-i+1 (像 式；(2)构造函数f(x)=1n(1十x)一x(x>0),利用导数证得 n(n+1)-lh<元，分别取n=1,2…,再利用紧加法即 则两边取对数可得n1一 可证明，(3)利用裂项相消法与累加法证得88<1十1十】 xm+1十1 =21n之，-2 xm+11 √2√3 即an+1=2am, 1 十…十 <89,从而得解. 所以数列{an}是以1为首项，2为公比的等比数列 √2024 所以5as-1X9二22）=22a-1, (1)由题意知当n=1时，a=a→a1=1. 1-2 当n=2时，1十a2=(1+a2)2→a2-a2-2=0→a2=2. [答案]B 因为a十a经+…+a=S%,则当n≥2时，有a十a+…十a 跟踪训练 十a+1=S%+1· 1:解析：由巴知等式可得带一只，则{侣}为常数列，从而可 两式相减，得： 11 a2+=S+1-S=(S+1+Sn)(S+1-S)=(Sa+1+Sa)a+1 得an=n,然后由取整函数分类可求得结果. =(2Sn十a+1)an+1, 因为an=n(an+1-an),所以(n十1)an=na+1, 又因为a>0,所以a+1=2S十a+1: 所以a+=0」 故2S,=a4+1一a+12S1=a-a(n≥2)，两式相减， `n+1n 得2an=a2+1-an+1-a十an→(a+1十an)(a+1一am）=ax+1 所以数列a)为常数列， 因为a+1十a>0,所以a+1-。=1(n≥2). 所以=号 n =1,所以a,=n, 又因为a1=1,a2=2,所以对Hn∈N*,有an+1一an=1, 故{an}是等差数列，因此an=n. 记{b,}的前n项和为Tm, 当1≤n≤9时，0≤lgan<1, (2)设fx)=ln1+x)-x(x>0),则f(x)=1千x-1= 当10≤n≤99时，l≤1gam<2, 当100n999时，2lgam<3, 一x∠0 1十x 当1000≤n≤2025时，31gan<4, 所以f(x)在(0，十o∞)上单调递减，则f(x)<f(0)=0,从而 所以T2o2s=[lga1]+[lga2]+…+[lga202s] ln(x+1)<x. =90×1+900×2+1026×3=4968. 答案：4968 x-aeN),得(1+），即1ha+1)-an 考点二 1 例2[解析]由点Bn(n,b.)(n∈N)都在斜率为6的同一 ,分别取n=1,2,…,m, 条直线上可得二。=6，利用等差数列的定义可得数 (n十1)一n 则n2-la1<分，ln3-ln2<分ln4-ln3<3,lh(n 列{b,}的通项公式，再根据向量共线的坐标表示可得a+1一 a.=bn=6n十6，利用累加法求数列{an}即可. +1)-lnn<1, 因为点Bn(n,bn)(n∈N)都在斜率为6的同一条直线上，所 以产。-6， 累加得ar+1)<1+号+写++7 n (3)由(2)知T24=1+号十是十…+ 1 即b+1一b.=6,所以数列{b.}是以12为首项，6为公差的等 √2024 差数列， 由√+I-√E= 店后*君xv- 1 1 故b.=12+6(n-1)=6n+6, 因为AAn+1=(1,a+1-an),B.Cn=（-1,-bn),且AnAn+1 与BCn共线， 故1D2E-1,后>26-2y2 =>2(√2025 所以1X(-bn)-（-1)(an+1-an）=0,即a+1-an=bn=6n 一√/2024)， +6 所以1++后+…十 1 =>2(√2025-1) 所以当n≥2时，an=a1十(a2-a1)+(a3-a2)+…十(an √/202 aw-1） =2(45-1)=88. ·149· 1数学 2斤知本 又由V+1-E=1 周此8=号[(-专)+（合-）十（合-吉）+ 2(+I-√E), 11 故<2(w2-1D,<2(5-2,…√202 1 <2(√2024 √2 -√2023)， 2(+2-n市+2)厂 111 3 所以1+++…十上1 1/1 1 1 <1+2(√2024-1)< 2(n+1+n+2小，而n+i+n+2>0, ,而 2024 1+2(45-1)=89. 所以S<是 +方岩++赢]-8，[a1=8照 2.解：(1)求导可得f(x)=(x一3)e+1,利用导数的几何意 义即可求解；(2)利用导数分类讨论当a≤2、a>2情况下函 跟踪训练 数f(x)的性质，迸而求解； 3.解：(1)求定义域，求导，得到函数单调性，得到答案；(2)参变 分离得到a>elnx-e,构造函数h(m)=elnx-ze,求 ③)利用取倒数法求得&n子利用导数证明2 a< 导得到其单调性和最值，得到h(x)≤h(1)=一e,求出a的 1n”十2，结合归纳法和放缩法证明原不等式即可. n 取值范围； (3)由(2)可知，当a=-e时，≤1-。，所以2≤1 (1)当a=4时，f(x)=(x-4)e+x+4, x 2 则f(x)=(x-3)e+1,得f(0)=-2,又f0)=0, 是…，≤1-湘加后得到结果 所以f(x)在x=0处的切线为y=一2x; (2)f(x)=(x-a)e+x十a≥0对Vx∈[0，十∞)恒成立， (1)当a=1时，f(x)=lnx-工，定义域为(0，十o∞)， f(x)=(x+1-a)e+1, 设g(x)=(x+1-a)e+1(x≥0)， 则f(x)=1-1-x=e+x-x 则g'(x)=(x+2-a)e, e xe 当2-a≥0即a≤2时，g(x)≥0，g(x)在[0，十∞)上单调递 令g(x)=e+x2-x,则g'(x)=e+2x-1>0在(0，十o∞) 增， 上恒成立， 且g(0)=2-a≥0，所以g(x)≥0，即f(x)≥0， 则g(x)在(0，十∞)上单调递增， 此时f(x)在[0，十∞)上单调递增，且f(0)=0, 则g(x)>g(0)=1,故f(x)>0在(0，十∞)上恒成立，f(x) 是增函数 所以f(x)≥0对Hx∈[0，十∞)恒成立. 当2-a<0即a>2时，令g(x)<0→0x<a-2,g(x)>0→x (2)当x>0时，f(x)≤x等价于a>enx二xe, >a-2, x 令h(x)=elnx-xe 所以函数g(x)在(0，a-2)上单调递减，在(a-2,十o∞)上单 调递增， x 则(x)=e(x-1)Inx-x-1D 则g(x)m=g(a-2)=1-e-2<0,又g(0)=2-a<0, x 所以在(0，a一2)上恒有g(x)<0,即f(x)<0, 令p()=nx-z-1,则px)=1, 函数f(x)在(0，a一2)上单调递减，且f(0)=0, 则在(0，a-2)上有f(x)<0,不符合题意. 当x∈(0,1)时，(x)>0,(x)单调递增， 综上，a≤2，即实数a的取值范围为(-∞，2] 当x∈(1，十∞)时，P(x)<0,p(x)单调递减，所以p(x)≤ p(1)=-2. 8)白a-24合-1… a1 所以当x∈(0,1)时，h'(x)>0,h(x)单调递增，当x∈(1，十 ∞)时，h(x)<0,h(x)单调递减， 所以数列日}是以1为首项，以2为公差的等差数列， lanJ 则h(x)≤h(1)=一e,所以a≥h(z)mx,即a≥-e,故a的取 值范围为[一e,十∞). 故士-1计宁01》-空，所以a品 a (3)证明：由(2)可知，当a=一e时，有1nx十 e≤x,则lnx x 当=1时，S十日-a十号-专<h6成立 1 ≤1- e-T, 当≥2时，老证异<， 所以2≤1-…≤1- n: 1 n e"-T, 故n2+n3+…+”≤(n-1) n+下lnt1+1 即证 1+ 1 2 3 +…+) n+i-n,n卓， n 1- n-e(1-e") n+1 e-1 则0<1，即运2x<n甚0<<1， 设x=1 课时冲关高效提能 1.解：(1)求出函数f(x)的零点，并求出数列{a+1一an}的通 令ax)=2z-ln告0<<10，期N(x)=2- 1一x 项，再利用累加法求出{a。}的通项；(2)由(1)的结论，利用裂 1-2x2 项相消法求和作答. (1)函数f(x)=x2-11x十24的零，点为3,8，而数列{an}递 1-x1-x2<0, 增，则a1=3,a2=8,a2一a1=5, 所以h(x)在(0,1)上单调递减，故h(x)<h(0)=0, 因此数列{a+1-an}是以5为首项，2为公差的等差数列，则 am+1-an=2n十3， 中2}告要脚异<片是 n 当n≥2时，am=a1十(a2a1)+(ag-a2)+…+(an-an-1) =3+5+7+…十(2n-1) 所以当n≥2时，,十=+号+子+…+ 千ln6+ 2 3十(2+1D.n=n(n十2)，而a1=3也满足上式， +ln号+…+lnt2 n 所以数列{an}的通项公式是an=n(n十2). In[6X4X5xxn(n1)(n+2)=In[(n+1)(n+2)]. 8公+（日2 (2)证明：由(1)得1=，1 2×3×4×5×…×n 综上，S.+号<la[(a+1D(a+2]. ·150·培优微专题 [培优微专题12]数列与其他知识的综合问题 新高考下数列与其他知识的综合问题是高考的热点，也是各地模拟考试热点，经常以压轴大题的形式 出现，一难度较大.考查的范围较广，数列常与概率、函数、解析几何相结合，也可以与集合、解三角形、立体 几何相结合， 研析考点层级突破 点 数列与函数的综合 跟踪训练 典题例析 2.已知Sm为数列{am}的前n项和，a1=a2=1,平 [例1] 给定函数f(x),若数列{xn}满足xn+1= 面内三个不共线的向量OA,OB,OC满足OC= f(xn） xn一 子，则称数列{x}为函数f(x)的牛顿 (an-1+am+1)OA+(1-an)OB(n≥2且n∈N), 数列.已知{xn}为f(x)=x2一x一2的牛顿数 若A、B、C在同一直线上，则S2025= 列a,=要异且-1.>20xN,数 专点三 数列与导数的综合 典题例析 列{an}的前n项和为Sn.则S2o25= ( [例3]（2025·怀化二模)已知正项数列{am}的前 A.22024-1 B.22025-1 n项和为Sn,且a十a+…十a=S2: c() 2024 ”一1 D 1 (1)求a1和a2的值，并求出数列{an}的通项 2 公式； [听课记录] :…规律方法》 (2)证明：1+1+…+1>1n(1十n) al a2 an 解决此类题目的关键点：(1)运用函数的性质找到 (3)设Ta 1十1十…+ 1,求[T2024]的值 数列所满足的条件；(2)使用数列的特征构造符合 √ 题意的形式， (其中[x]表示不超过x的最大整数)， 跟踪训练 [听课记录] 1.函数y=[x]为数学家高斯创造的取整函数，[x] 表示不超过x的最大整数，如[0.90]=0，[1g99] =1,已知数列{an}满足a3=3,且am=n(an+1 am),若bn=lgam],则数列{bn}的前2025项和为 考点二 数列与平面向量的综合 典题例析 [例2]在平面直角坐标系中，已知An（n,an)、 Bn(n,bm)、Cn(n-1,0)(n∈N*),满足向量 AnAm+1与向量BCm共线，且点Bn(n,bn)(n∈ N*)都在斜率为6的同一条直线上，若a1=6,b1 =12,则数列{an}的通项an= [听课记录] :规律方法》 此类问题是给定向量有关的如数量积、模、平行、 垂直等知识来证明与数列相关的问题.要求对向 量相关的运算比较熟练；掌握等差数列、等比数列 的证明方法。 95· 1数学 …规律方法》 利用导数证明不等式问题，方法如下： 首先根据所证不等式的特证构造函数，再利 用导数求出函数的最值，可证明关于x的不等式， 令x为n的形式，得关于n的不等式，一般再利用 累加法，证明数列不等式即可. 跟踪训练 3.(2025·揭阳二模)已知函数f(x)-lnx-az。 (1)当a=1时，证明：f(x)是增函数. (2)若f(x)≤x恒成立，求a的取值范围， (3)证明：12+3+…+≤m e(1-e-") 3 e-1 (n≥2，n∈N*). 课时冲关>高效提能 1.已知在递增数列{an}中，a1,a2为函数f(x)=x2 2.(2025·晋城二模)已知函数f(x)=(x-a)ez+ -11x十24的两个零点，数列{an+1一an}是公差 x+a(a∈R). 为2的等差数列. (1)若a=4,求f(x)的图象在x=0处的切线 (1)求数列{an}的通项公式； 方程； (2)设数列(}的前n项和为3，证明：S.< (2)若f(x)≥0对于任意的x∈[0，十∞)恒成 an 立，求a的取值范围； 3)若数列la:》满足a=1且+1.42a号 N*),记数列{an}的前n项和为Sn,求证：Sn十 3<in[(m+iD(a+2]. ·96·