培优微专题11 子数列问题-【创新教程】2026年高考数学大二轮培优微专题

答案精析I 故a.=8.a=1…8a1=3n二)30n-2…×3X2× an-1 an-2 a n-1 3 化简后得到适粮关系式：4，=(1+号)b,化简可得：么1 3X1×3=3 2 -n开24， a1=3也符合， 由累乘法可得： 故a,-a=号=9，A正确： 33 6,-九1 由手1中1,4>4因洗美单 调递增数列，B正确； 所以6=品D=2(合-)} 2 1 an n 经检验，61=1，b:=36=3,满足上式， 所以6品可-2（日） 2 故工-(-合)十（合-号）++（只）片 1 设数列{bn}的前n项和为Sm, 1n十<1，C正确； 则S。=b1十b2十b+…+bn， 由（-1)an≤a+1可定(-1)"以≤a+1=3m s=2[(-)+(合-)++（只-）门 an n+1 = 2n 3-) 培优微专题11 当m为锅教时，则3-) 恒成立，由于f(n)=1一 研析考点层级突破 1 考点一 n市单调递增，故≤31一2十) =2, 例1[解析]根据给定条件，按奇偶讨论求出a2m-1,a2m,再 分组求即得 当n为奇数时，则-≤3(1-n）应成立，由于(m)=1- 数列{an}满足：(-1)+1a+2十(-1)an=3(-1)十1， 1 1 3 当n为正奇数时，at2a,=一2，即数列{a2-1}是以a1=1 n中单调递增，故-≤3(1一1中)厂2， 为首项，一2为公差的等差数列， 于是a2m-1=1+(n-1)·(-2)=-2n+3, 故对任意n∈N,态有（一1Da,≤a1,则-号<A≤2，故 当n为正偶数时，一an+2十a.=4,即a+2,一a.=-4, 则数列{a2a}是以a2=1为首项，一4为公差的等差数列，于 D错误.] 7.解析：根据题意，结合an=S。一S.-1,求得an一1=2(a-1 是a2m=1+(n-1)·（-4)=-4n十5， 1),进而得到数列{an一1}为等比数列，得到an一1=2m-1,得 所以{a,}的前20项和S2=1+()17)×10+1+一35)× 2 2 出6.=(m一1)，结合等差数列的求和公式，即可求解. 10=-250. [答案] -250 由数列{an}的前n项和Sm=2an十n一3， 跟踪训练 当n≥2时，可得S。-1=2am-1+（n一1)-3， 1.解析：根据n的奇偶性可得Ⅱg-1a=a1·a2an的最小值， 两式相减，可得am=S.-S。-1=2an十n-3-2aa-1-(n-1) 只需要考虑n为偶数时即可，根据作商法得|an+1|<|a., 十3=2an-2am-1+1， 即an=2a-1-1,即an-1=2(a1-1), 结合a4-3X4+1<1可得m≥4时，a,<a4<1,即可判断 24 当n=1时，a1=S1=2a1-2,可得a1=2, n=2时取最小值. 所以a1-1=1, 所以数列{a.一1}是以1为首项，以2为公比的等比数列，所 由于当n为奇数时，a=一n2,当n为偶数时，a 以an一1=2"， 则6.=log,a.-1D=lg21=log,4=之(n-D, =3n+1 2 所以数6，}的前121项和为1216十b) 要求-1a=a1·a2·…·an的最小值，只需要考虑出现 2 奇数个奇数项时即可， =号×121X0+120-3630. 3(n+1)+1 2+ 3n+4 2 答案：3630 an 3n+1 F2(3m+D<1→a+1<1a,l, 8.解析：理解飞阶商分数列的新定义，根据新定义可得△2b= 2* (1+员)山1，将山，和A如1代入化简可得递推关系式： 当n=4时，a4=3X,4+1<1,因此m≥4时，a,<a4<1, 21 么，=（+品1，利用累来法以及泉项相消法即可求得6， 当n=2.4=a4=-2X号=-名 2 n(n+1) 当m=5,店-14=a4a,a4s=-2X子×(）×号× 二2二)从而泉得数列6，的前以项和 ()子 根据题目中的定义，数列{b}的1阶商分数列中， ,满足：敛装0，周如名@， 综上，最小值为一2 7 2阶商分数列中，426，满足：△6.=的士， 答案：一召 △b 考点 根据题意，△6，=(1+只)△6+1， 例2[解析]分析：根据S,与an之间的关系求得am=2n一 将①，@代入上式可得：益-(+层)层@， 1,可得c二4-1，则名-2n2十站合裂项法求 和，即可求解. 将△b.和△b+1代入③得： 因为a>0,4Sn=a+1-2aa+1+1, 6n+2 当n≥2时，则4S-1=a,2a十1， 两式相减得4an=a+1一a员-2a+1十2an, 整理可得(a+1十an)(an+1-an一2)=0， ·147· I数学 且an>0,则aa+1十an>0,可得am+1-an-2=0, (2)数列{b,}中在a+1之前共有k十(1十2十…十b)=十 守分祥纸列对的公是日一2， 一a=2, 十)k-k十3k项， 2 2 当n=1时，则4a1=a号-2a2十1=(a1+2)2-2(a1+2)+1, 解得a1=1； 当k=5时，《3张-20<27，当k=6时士=27 所以an=1十2(n-1)=2n-1,可知数列{an}为正奇数列， 则T27=(1+2十22+…+25)+(-12+22-32+42-52+ 对于数列{n2一1}， 当n=2k-1(k∈N*)时，可得n2-1=(2k-1)2-1=4k(k 6)=二号+8+7+1 1)为偶数； =2-1+21=84. 当n=2k(k∈N)时，可得n2一1=4k2一1为奇数； 课时冲关高效提能 所以数列{a}与{n2一1}的公共项从小到大排列得到数列 1.解：(1)由Sn+2=Se+1十am十2可得am+2一ae=2, {cn}的通项公式为cn=4n2-1, b=logza01=0,b2=1 则2=2 2 所以a1=1,a2=2,a3=a1十2=3，a4=a2十2=4， cn4n2-1(2n-1)(2n+1) 当n为偶数时，令n=2k,k∈N“,则a+一a2 =2, 1 1 =2m-12m+ 所以数列{a2}是以a2=2为首项，以2为公差的等差数列， 所以a26=a2+2(k一1)=2k; 所以1-+片专+…+动1- 年烈发清今美双秀清烈股为然麦时幸 三2 i=1Cn Γ41-41 [答案]A 数列， 跟踪训练 所以a2-1=a1十2(k-1)=2k-1; 2.C[经检验，数列{2"}中的奇数项都是数列{3n一1}中的项， 综上所述，an=n(n∈N); 观察归纳可得】 (2)由(1)得an=n(n∈N),则bn=log2n, 数列{2”}中的项为：2,4,8,16,32,64,128,256，， 由m-1<b.≤m,可得log22m-1<1og2n≤log22m, 经检验，数列{2"}中的奇数项都是数列{3n一1}中的项，即 因为bn=log2n随n的增大而增大，所以2m-1 <n≤2m, 2,8,32,128,可以写成3n-1的形式，观察归纳可得a =22-1, 故cn=2"-20-1=2-1,1=2 Cm 2m寸=2， 所以a20=22×20-1=239.] 故数列{cm》是首项为1，公比为2的等比数列， 考点三 例3[解](1)运用a,=/n。1 SS.≥2求解即可. 所以工.=二写=2”-1 2.解：分析：(1)设3m十1=2”，利用二项展开式得当且仅当n (2)依题意可知，插入数列{b.}后，{an}与{bn}所构成的数列 为a1,b1,a2,b2,b3,a3,b4,bs,b,a4·,结合等差数列前n项 为偶数时，m可以取得正整数，则an=22”,即可确定a:位 和公式及错位相减法求和即可求得结果. 置；(2)(1)当n=1时，直接得到b=9,代入n=2并去掉 (1)当n=1时，3S1=2a1十1，所以a1=1, 12即可得到b2的值，代入n=3,去掉19个数即可得到b3； 当n≥2时，3a。=3Sn一3Sn-1=2am-2an-1,即an=-2am-1, （i)分析得b+1=10b。一b-1,利用特征根法得b+1一(5+ 所以an=（-2)"-1, 2√6)bn=(44-18√6)(5-2V6)"-1,b+1-(5-2√6)b.= 当n=1时，符合an=(-2)"-1, (44十18√6)(5+2√6)-1，再消去b+1即可得到其通项. 所以an=（一2)-1 (1)设3m+1=2”,因为，2"=(3-1)” (2)依题意，b=01a2 =C%·3"+C%·3"-1·(-1)+C%·3-2·(-1)2+…+ 2 Cg1·3·(-1)-1+C%·(-1), 6+6,-=4x4-4g-4,-2a:+2a 2 2 所以m=}[C·3+C·31.(-1)+C·32(-1)2+ b4十bs十b6= as+asX5-as-a 3a3+3a …+C1·3·(-1)1+C%·(-1)"-1], 2 2 所以，当且仅当n为偶数时，m可以取得正整数， i,十b0十+bs=0ta2X10-a,-a,= 8a8+8ag 所以，当且仅当n为偶数时，数列有公共项， 2 2 所以，an=22m,故a6=212=4096, 所以T6=a+3a,+5a,十…十13a,+15a+8a2g 所以，a8是数阵第4行，第3097个数. (2)(i)当n=1时，显然b1=9. 2 即2T36=(-2)°+3(-2)1+5(-2)2+…+13(-2)6+ 当n=2时，第2行2位数有90个，其中只有12去掉. 故b2=9×10-1=89. 15(-2)7+8(-2)8,① 当n=3时，第3行3位数有900个，其中有两种情况去掉： 则-4T6=(-2)1+3(-2)2+5(-2)3+…+13(-2)7+ 百位和十位分别为12，此时有10个；十位和个位分别为12， 15(-2)8+8(-2)8,② 此时有9个. 由①-②可得，6T6=(-2)°+2(-2)1+…+2(-2)7+ 故b3=900-19=881. 8(-2)8-15(-2)8-8(-2)°=1+2×-21-（2)]+ （i)当n>2时，将第n+1行bn+1个符合条件的n十1位正整 1-(-2) 数分为两类： 9×28=2133, ①个位数字不等于2时，个位数字有9种取法，前面n位数有b 所以T36=355.5. 种取法，这时n十1位正整数中有9b个； 跟踪训练 ②个位数字等于2时，前面n位数有b.种取法， 3.解：(1)由条件证明数列{an+1一an}为等比数列，利用累加法 但这b.个n十1位正整数中十位数字等于1的b。-1个正整 求数列{an}的通项公式；(2)数列{bn}中在a+1之前共有b十 数要去掉. 1+2十3+…十)=，3项，由此确定前27项的值，再分 故个位数字等于2且十位数字不等于1的n十1位正整数有 2 bm-b-1个. 组，结合等比求和公式可求得答案， 综上，由加法原理知b+1=10b,一b。-1 (1)因为an+1=3an-2aw-1(n≥2)， 所以at1-an=2an-2am-1,又a1=1,a2=2, 设6+1-功.=(10-x)(b。一10--1 所以数列{a+1一an}为首项为1，公比为2的等比数列， 所以am+1-an=2-1, 所以，z=10-z即t-10x+1=0, 所以当n≥2，n∈N"时， 解得x=5土2√6， a2-a=1,a-a2=2,…,a.-an-1=2-2, 所以，{b+1-(5+26)b}是首项为b2-(5+26)b= 所以a-a1=1+2+…+22=1-2 1-2=21-1, 44一18V6,公比为5-2√6的等比数列； {b+1一(5-2V6)b.}是首项为b2-(5-2√6)b 所以当n≥2，n∈N时，an=2-1,又a1=1也满足该关系， =44十18√6，公比为5+26的等比数列： 所以数列{an}的通项公式为an=2”-1(n∈N”); ·148· 答案精析 所以，b+1-(5+26)b=(44-18√6)(5-2√6)-1， =a1+b十b2+b+…+b.-1=a1+6(1+2+…十n-1) b+1-(5-26)bn=(44+18√6)(5+2√6)m-1, +6(n-1) 所以，当n>2时，bn= =6+6(m-1)+6n)1)m=3n(m+1), 2 (11√6+27)(5+2√6)n-1-(11√6-27)(5-26)m-1 当n=1时，上式也成立，所以an=3n(n十1). 6 [答案]3n(n+1) 经检验，当n=1时，b1=9也成立， 跟踪训练 当n=2时，b2=89也成立， 综上，b= 2.解析：根据平面向量共线的性质可得a。-1十an+1=an,再根 据a1=a2=1列出{an}的项可得数列{an}是以6为周期的 (11√6+27)(5+2√6)"-1-(11√6-27)(5-2√6)-1 周期数列，进而求解即可. 培优微专题12 因为平面内三个不共线的向量OA,OB,OC满足OC=(am-1 研析考点层级突破 +a+1)OA+(1-a,)OB, 考点一 又A,B,C在同一直线上，所以(an-1+an+1)+(1-an)=1, 例1[解析]求出函数的导函数，即可得到x+1= x+2 即an-1十am+1二a' 2xn-1' 因为a1=a2=1,所以数列{an}为：1,1,0，-1，-1,0,1,1,0， 从石得到子( -1,-1,0,… ,两边取对数得到an+1=2an, 则数列{an}是以6为周期的周期数列，前6项为1,1,0，一1， -1,0 再由等比数列求和公式计算可得， 由题意得∫(x)=2x一1，则xw+1=x一 x-x-2 又因为2025=6×337+3，所以S2025=337×(1+1+0-1一 1+0)+1+1+0=2. 2xn-1 答案：2 =+2 考点三 2xn-1' 例3[解](1)令n=1,n=2,求出a1和a2的值；利用am,S, x+2 的关系式证得{a.}是等差数列，从而求出数列{an}的通项公 所以+1-22，-1-2 xw+1十1 2x-i+1 (像 式；(2)构造函数f(x)=1n(1十x)一x(x>0),利用导数证得 n(n+1)-lh<元，分别取n=1,2…,再利用紧加法即 则两边取对数可得n1一 可证明，(3)利用裂项相消法与累加法证得88<1十1十】 xm+1十1 =21n之，-2 xm+11 √2√3 即an+1=2am, 1 十…十 <89,从而得解. 所以数列{an}是以1为首项，2为公比的等比数列 √2024 所以5as-1X9二22）=22a-1, (1)由题意知当n=1时，a=a→a1=1. 1-2 当n=2时，1十a2=(1+a2)2→a2-a2-2=0→a2=2. [答案]B 因为a十a经+…+a=S%,则当n≥2时，有a十a+…十a 跟踪训练 十a+1=S%+1· 1:解析：由巴知等式可得带一只，则{侣}为常数列，从而可 两式相减，得： 11 a2+=S+1-S=(S+1+Sn)(S+1-S)=(Sa+1+Sa)a+1 得an=n,然后由取整函数分类可求得结果. =(2Sn十a+1)an+1, 因为an=n(an+1-an),所以(n十1)an=na+1, 又因为a>0,所以a+1=2S十a+1: 所以a+=0」 故2S,=a4+1一a+12S1=a-a(n≥2)，两式相减， `n+1n 得2an=a2+1-an+1-a十an→(a+1十an)(a+1一am）=ax+1 所以数列a)为常数列， 因为a+1十a>0,所以a+1-。=1(n≥2). 所以=号 n =1,所以a,=n, 又因为a1=1,a2=2,所以对Hn∈N*,有an+1一an=1, 故{an}是等差数列，因此an=n. 记{b,}的前n项和为Tm, 当1≤n≤9时，0≤lgan<1, (2)设fx)=ln1+x)-x(x>0),则f(x)=1千x-1= 当10≤n≤99时，l≤1gam<2, 当100n999时，2lgam<3, 一x∠0 1十x 当1000≤n≤2025时，31gan<4, 所以f(x)在(0，十o∞)上单调递减，则f(x)<f(0)=0,从而 所以T2o2s=[lga1]+[lga2]+…+[lga202s] ln(x+1)<x. =90×1+900×2+1026×3=4968. 答案：4968 x-aeN),得(1+），即1ha+1)-an 考点二 1 例2[解析]由点Bn(n,b.)(n∈N)都在斜率为6的同一 ,分别取n=1,2,…,m, 条直线上可得二。=6，利用等差数列的定义可得数 (n十1)一n 则n2-la1<分，ln3-ln2<分ln4-ln3<3,lh(n 列{b,}的通项公式，再根据向量共线的坐标表示可得a+1一 a.=bn=6n十6，利用累加法求数列{an}即可. +1)-lnn<1, 因为点Bn(n,bn)(n∈N)都在斜率为6的同一条直线上，所 以产。-6， 累加得ar+1)<1+号+写++7 n (3)由(2)知T24=1+号十是十…+ 1 即b+1一b.=6,所以数列{b.}是以12为首项，6为公差的等 √2024 差数列， 由√+I-√E= 店后*君xv- 1 1 故b.=12+6(n-1)=6n+6, 因为AAn+1=(1,a+1-an),B.Cn=（-1,-bn),且AnAn+1 与BCn共线， 故1D2E-1,后>26-2y2 =>2(√2025 所以1X(-bn)-（-1)(an+1-an）=0,即a+1-an=bn=6n 一√/2024)， +6 所以1++后+…十 1 =>2(√2025-1) 所以当n≥2时，an=a1十(a2-a1)+(a3-a2)+…十(an √/202 aw-1） =2(45-1)=88. ·149·[培优微专题11]子数列问题 子数列问题包括数列中的奇偶项、公共数列以及增减项，是近几年高考的重点和热 点，一般方法是构造新数列，利用新数列的特征（等差、等比或其他特征）求解原数列. 研析考点层级突破 专点一 奇数项、偶数项问题 跟踪训练 典题例析 2.(2025·漳州质检三)将数列{3n-一1}与{2"}的公 [例1](2025·皖北协作区联考)已知数列{an}满 共项从小到大排列得到数列{am},则a20= 足(-1)+1a+2+(-1)am=3(-1)"+1(n∈ ) N*),若a1=a2=1,则{an}的前20项和S20= A.237 B.238 C.239 D.240 春点三 增减项问题 [听课记录] 典题例析 :…方法归纳》 [例3](2025·齐齐哈尔二模)设数列{am}的前n (1)数列中的奇、偶项问题的常见题型 项和为Sn,3Sm=2am十1. ①数列中连续两项和或积的问题，如am十 (1)求数列{an}的通项公式； an+1=f(n)或an·am+1=f(n); (2)在数列{an}的a和ak+1项之间插入k个数， ②含有（一1）m的类型； 使得这十2个数成等差数列，其中=1,2，…， ③含有{a2m},{a2m-1}的类型； n,将所有插人的数组成新数列{bn},设Tn为数 ④已知条件明确的奇偶项问题. 列{bn}的前n项和，求T36 (2)对于通项公式分奇、偶不同的数列{an}求Sn [听课记录] 时，我们可以分别求出奇数项的和与偶数项的 和，也可以把a2k-1十a2k看作一项，求出S2k, 再求S2k-1=S2k-Q2k: 跟踪训练 1.(2025·梅州二模)已知数列{am}的通项公式am =(一1D3t1(m∈N*),则暖=1%=a1·a2·… 2n ·an的最小值为 春点三 公共质问题 典题例析 [例2](2025·重庆二调)设等差数列{am}的前n 项和为Sn,且an>0,4Sn=a号+1-2a+1十1，将 数列{an}与数列{n2一1}的公共项从小到大排列 得到新数列(c,则》2 ( ) i=1Ci A碧 B.8 0 41 C.2 n品 [听课记录] …方法归纳》… 两个等差数列的公共项是等差数列，且公差是两等 差数列公差的最小公倍数，两个等比数列的公共项 是等比数列，公比是两个等比数列公比的最小公 倍数. 93 1数学 :…方法归纳》… 解决此类问题的关键是通过阅读、理解题意，要弄 清楚增加了（减少了）多少项，增加（减少）的项有 什么特征，在求新数列的和时，一般采用分组求和 法，即把原数列部分和增加（减少）部分分别求和， 再相加（相减）即可。 跟踪训练 3.设数列{an}满足am+1=3am一2an-1(n≥2)，a1= 1,a2=2. (1)求数列{am}的通项公式； (2)在数列{amn}的任意a与ak+1项之间，都插人 k(k∈N)个相同的数（一1）3，组成数列{bn}, 记数列{bn}的前n项的和为Tn,求T27的值. 课时冲关>高效提能 1.(2025·承德二模)已知正项数列{am}的前n项 2.(2025·济宁二模)将所有正整数按照如下规律 和为Sn,满足Sn+2=Sn+1十an十2，数列{bn}满 形成数阵： bn=l0g2an,61=0,62=1. 第1行123…789 (1)写出a1,a2,a3,a4,并求数列{an}的通项 第2行101112…979899 公式； 第3行100101102…997998999 (2)记cm为数列{bn}在区间(m一1，m](m∈N*) 第4行100010011002…99979998 中的项的个数，求数列{cm}的前m项和Tm. 9999 *00 (1)将数列{3n+1}与数列{2m}的公共项按照从 小到大的顺序排列得到数列{an},试确定a6在 该数阵中的位置； (2)将数阵中所有相邻两位数字（从左到右）出现12 的所有正整数去掉并保持顺序不变，得到一个新数 阵，记新数阵第n行中正整数的个数为b, (1)求b1,b2,b3; (i)求bn 94