培优微专题10 数列中的递推关系-【创新教程】2026年高考数学大二轮培优微专题

答案精析 若n为偶数，则n十1，n十3为奇数，n十2，n十4为偶数，则 -,则有|AB。|=|AC|=1,以AB。,AC。为两邻边 1 .2 IACI a+:=2a+1=h,a+=a2 作□AB。DC, =a. 易知□ABDC。是菱形，故AD平分∠BAC,且AD=AB。十 所以数列{an}是以4为周期的周期数列. 故S10=a1+a2十ag+…+a1o=2(a1+a2+ag+a4)+ag+ AC。,故得，AP=入AD, 故动点P的轨迹为∠BAC的平分线，即动点P的轨迹一定 ao=2(1+2+号+1)+1+2=12，B正确： 通过△ABC的内心，故D错误.] 又由an>0,故{Sn}为递增数列，C正确； 6.BCD[对于A,2OA+3OB+4OC=0, 则S△0c:S△oc:S△MoB=2:3：4,故A错误； 由上迷讨论可知，{a-}的项为1，之1,2，故是周期数 对于B.Sau=号×2X2Xsin是 列，D正确 [答案]BCD 又2OA+3OB+4OC=0, 跟踪训练 故S△B0c:S△A0c:SAA0B=2:3:4, 1.A[分奇数项和偶数项求递推关系，然后记b,=a2m十 所以SAc=名S6s 95,故B正确； -1,n≥1，利用构造法求得bn=6X2”-1-3,然后分组求和 4 可得. 对于C,0A·OB=OB.0C,即(0A-0C.OB=CA.OB 因为a=1,a+1=十1n为奇数。 2a,n为偶数 =0,故CA⊥OB, 所以a2k+2=a2k+1+1=2a2十1，a2k+1=2a2k 同理可得CB⊥OA,AB⊥OC,所以O为△ABC的垂心，故C =2a2t-1+2,k∈N,且a2=2, 正确； 所以a2+2十a2+1=2(a2u十a2-1)十3， 对于D,5OA+12OB+13OC=0,故S△：S△c·SA0B 记bn=a2m十a2m-1,n≥1，则b+1=2b,十3， =5：12：13,设内切圆半径为r, 所以b+1十3=2(bn十3)， SAx=7·BC,SAC=7·AC,Sm=7r·AB,即 1 1 所以{bn十3}是以b1十3=a1十a2十3=6为首项，2为公比的 等比数列， BC:AC:AB=5:12:13, 所以bn十3=6X2-1,bn=6X2-1-3, 即AB=AC+BC,∠ACB=,故D正角.] 记{b.}的前n项和为Tn,则S1=To=(6×2°+6×2+6×22 +…+6×249)-3×50=3×21-156.] 7.解析：依题意，可得56a=40b=35c, 考点二 所以6=号a6=号a, 例2(1)汇解析]由已知可得S+1十n十2=2(Sn十n十1)，可 得{S.十n十1}是等比数列，可求得Sn,进而利用a1o=S0一 S可求值. 所以cosB= 2 由S+1-2S=n,得Sn+1+n+2=2(Sn十n+1), 因为a1=2,所以S1十1十1=4，所以Sn十n十1≠0， 所以{S,十n十1}是首项为4，公比为2的等比数列， 因为0<B<,所以B=5 所以S,+n十1=4×2-1，所以S。=2+1-n-1, 所以ao=S0一Sg=1023. 答案：5 [答案]B (2)[解析]分析：由题意以及等比数列的定义，可得数列 8.解析：：3OA十4OB=-50C {an+1一2an}的通项，根据等差数列的定义，可得{an}的通 且|OA=|OB|=1OC=1, 项，利用错位相减法，可得答案. ∴910A12+161OB2+24OA·OB=2510C2, 因为4an十a+2=4a+1,即a+2-2a+1=2(a+1-2an), .OA·OB=0,.OA⊥OB, 所以数列{ar+1-2an}是以a2一2a1=3为首项，2为公比的 等比数列， S%a=号X1X1=号 由奔驰定理知，S△0c:S△00：S△40B=3:4:5, 所以a1-2a.-3X2r1,所以有2岩一会-星 5 六SaoB=3+4+5·SaAc, 所以数列{会}是以号为首项，是为公差的等差数列， 12" 答案：号 22,Sn=2×21+5×2°+8×2+…+(3m-4)·2-3+(3m-1) ·2-2,2S=2X2°+5×2+8×22+…+(3n-4)·2”-2+(3m 培优微专题10 1)·2-1,则-Sn=2×21+3X(2°+2+…+2m-3+2m-2) 研析考点层级突破 考点一 (3n-1)·2-1=1+3·(2-1-1)-(3n-1)·2-1=(4 例1[解析]根据题意，分别求得a1a2,ag,得到数列 3n)·2-1-2,所以Sn=(3n-4)·2-1+2. {an}构成以4为周期的周期数列，逐项判定，即可求解. [答案](3n-4)·2-1+2 由题意，数列{an}满足a1=1, 跟踪训练 12am,n为奇数 2.C[根据给定的递推公式，构造等比数列求出S,,再求解不 a+1=1 an ,n为偶数’ 等式即得. 数列{an}中，3Sn=2an十1，当n≥2时，an=Sn-Sn-1,则3S 当n=时，a,=2a=2,当m=2时a=-名A错误； =2Sn-2S.-1+1, a2 当n=3时，a4=2a3=1； 基理得5.=-251+1，即S-专=-2(S1-专)而 若n为奇数，则n十1，n十3为偶数，n十2，n十4为奇数， 3S1=2a1+1=2S1+1,即S1=1, 则a=2aaa==2a=2an=a 1 因北班列5一司}是以3-甘号为有项，公比为-2的 1-ani 1 ae十 等比数列8-号号（一2） ·145· I数学 则5，=1=（气二2），由S,≥2024，知k为奇数，此时S. 3 =(-10+2cs经=-1,2=(-10+2oe2x=3, 1十2是递增的， 所以25=丝××4×5=-3， 3 a1 a az as as 而5=1+2-2049=683<2024,5-1+2 同理可得，9=一3，….4+1=一3， 3 3 3 as a4k-3 =8193=2731>2024, 3 因为2025=1十4X506,所以0225=(-3)506=3506，则a2025= al 所以正整数k的最小值为13.] 3506,7 考点三 4.D[利用题意，可计算an=4n十1，判断B是错误的；再利用 例3[解析]在等式an=2a品1(n≥2)两边取对数可得 bn=Sn一S。-1的关系，可求得bn,但要注意此时n≥2，再检验 log2an=2log2an-1十1，可得出log2an十1=2(1og2aa-1十1)， 首项，可判断A是错误的；对于不等式c<c+1,可利用化简 可知数列{l0g2an十1}为等比数列，确定该数列的首项和公 变形，再分类讨论来分离参变量，最后求出范围，同样要注意 比，可求得数列{log2an十1}的通项，即可得出数列{an}的通 首项另外计算，可判断C也是错误的；对于被5整除，只需要 项公式. 化简原式就可以判断，同时也要注意首项的判断，才能决定 对任意的n∈N”,an>0, 选项D是正确的. 因为an=2a-1(n≥2)，则log2an=log2(2a元-1) A={x|x2+6mx+5n≤0，n∈N*}={x|-5n≤x≤-n,n∈ =2log2am-1十1，。 N},所以an=-n-（-5m)+1=4n十1，即B错误； 所以，1og2an十1=2(log2an-1+1),且log2a1十1=1， 所以45=5+1-4n-9,则4S,-1=5”-4(n-1)-9,(n≥2)， 所以，数列{log2a。+1)是首项为1，公比为2的等比数列， 两式相减得：4bn=5+1-4n-9-(5-4n-5)=4X5”-4→ 所以，loga,十1=1×21=21，解得a,=2211. bn=5”-1,(n≥2)，当n=1时，4S1=52-4-9=12,所以b1 答案]a,=2-1-1 =S1=3,不满足上式，所以A错误； 跟踪训练 当n≥2时。=-1+（号）八由6，<6恒减立则5 3.解析：取倒数后得到{工}是等差数列， l an -1+(号)广<-1+(）广，等形： 求出=2m-号，得到通项公式. an (号)广(+)下4×”，化商得：()广<受当 取倒数：1=1十2台1-1=2，故1》是等差数列， "an an-1 an an-1 a 为偶数得：a<号×3，则×3>2， 3 21 黄颈为-音公基， 所以以<受，当m为奇数得：>-是×3，由-是×3< 所以-婴但是当-1时6-6十A(号）3 2 .am=4n-3 -号 2 答案：aw一4n一3 课时冲关高效提能 而6=3-1+（号）广-+24， 1B限据去利用，与5的关系，热得。票=司格合 由6<61得：号+21>8-号，解得心-1器， 累乘法，即可求得a225的值，得到答案. 综上可得：- <<号，所以C错误； 40 数列{an}中，满足2Sn=na.,当n≥3时，可得2S.-1=(n 1)am-1, 当≥2时，3.=[5-1+(-号)广门·3=15-3 两式相减，可得2an=nan-(n-1)an-1,即(n-2)an=(n- +(一5)”， 1)a-1,所以an=n-1 因为15”和入·（一5）”都能被5整除，而3”一定不能被5整 aa-1n-2' 除，此时3cm一定不能被5整除， 又t由a2=1,则a0s=a2X×L4X…X02题 az as a2024 而当月=1时，36=3(3-号A)=9-5入，显然不能被5签 =1x是×是×…×28-2024.] 除，所以D正确.] 2023 5.AB[对A,B,根据“线性数列”的定义进行判断；由构造法， 2.D[分析：根据an与S。的关系及等比数列的通项求出am 根据数列递推公式求出通项公式可判断C:设p=0且q≠0， 的通项，再根据等比数列的前n项和公式求出S。,再逐一判 可判断D错误. 断即可. 数列{a)为等差数列，则a+1一an=d,即a+1=an十d,满足 由a+1=a1十a2十…十an=Sn, “线性数列”的定义，故A正确； 当n=1时，a2=S1=1, 当n≥2时，an=Sa-Sn-1=a+1一am, 数列{a}为等比数列，则2出=q,即a1=ga, 所以ant!=2am? 满足“线性数列”的定义，故B正确； 所以数列{an}从第二项开始是以a2=1为首项，2为公比的 设a+1一k=p(an一k),k∈R,则b一k=q, 等比数列， 所以a.=”1 解出k=一p {2m-2,n≥2 1,n=1 则a,产。p(a片p小： S= {+与-2心2*8= 因此a,=9二），故C错误； 1一p 所以a2=1,a4=4,S2=2,S=16, 若=0且q≠0，则an=q, 故ABC错误，D正确.] 数列{qp”1}的前n项和为0，显然D错误.门 3.C[利用累乘法=一3，则得到规律山=一3，则求出 6.ABC[根据累来法可得a,=3,即可判断A,根据1>1 a4k-3 a2025=3506. 即可求解B,根据裂项相消法即可求解C,根据单调性，对n &=(-101+2s受=-1,2=(-1+2sx=-1, 分奇偶即可求解D. 由3ma,=(n+1)a+1,可得81=3m awn十1' ·146· 答案精析I 故a.=8.a=1…8a1=3n二)30n-2…×3X2× an-1 an-2 a n-1 3 化简后得到适粮关系式：4，=(1+号)b,化简可得：么1 3X1×3=3 2 -n开24， a1=3也符合， 由累乘法可得： 故a,-a=号=9，A正确： 33 6,-九1 由手1中1,4>4因洗美单 调递增数列，B正确； 所以6=品D=2(合-)} 2 1 an n 经检验，61=1，b:=36=3,满足上式， 所以6品可-2（日） 2 故工-(-合)十（合-号）++（只）片 1 设数列{bn}的前n项和为Sm, 1n十<1，C正确； 则S。=b1十b2十b+…+bn， 由（-1)an≤a+1可定(-1)"以≤a+1=3m s=2[(-)+(合-)++（只-）门 an n+1 = 2n 3-) 培优微专题11 当m为锅教时，则3-) 恒成立，由于f(n)=1一 研析考点层级突破 1 考点一 n市单调递增，故≤31一2十) =2, 例1[解析]根据给定条件，按奇偶讨论求出a2m-1,a2m,再 分组求即得 当n为奇数时，则-≤3(1-n）应成立，由于(m)=1- 数列{an}满足：(-1)+1a+2十(-1)an=3(-1)十1， 1 1 3 当n为正奇数时，at2a,=一2，即数列{a2-1}是以a1=1 n中单调递增，故-≤3(1一1中)厂2， 为首项，一2为公差的等差数列， 于是a2m-1=1+(n-1)·(-2)=-2n+3, 故对任意n∈N,态有（一1Da,≤a1,则-号<A≤2，故 当n为正偶数时，一an+2十a.=4,即a+2,一a.=-4, 则数列{a2a}是以a2=1为首项，一4为公差的等差数列，于 D错误.] 7.解析：根据题意，结合an=S。一S.-1,求得an一1=2(a-1 是a2m=1+(n-1)·（-4)=-4n十5， 1),进而得到数列{an一1}为等比数列，得到an一1=2m-1,得 所以{a,}的前20项和S2=1+()17)×10+1+一35)× 2 2 出6.=(m一1)，结合等差数列的求和公式，即可求解. 10=-250. [答案] -250 由数列{an}的前n项和Sm=2an十n一3， 跟踪训练 当n≥2时，可得S。-1=2am-1+（n一1)-3， 1.解析：根据n的奇偶性可得Ⅱg-1a=a1·a2an的最小值， 两式相减，可得am=S.-S。-1=2an十n-3-2aa-1-(n-1) 只需要考虑n为偶数时即可，根据作商法得|an+1|<|a., 十3=2an-2am-1+1， 即an=2a-1-1,即an-1=2(a1-1), 结合a4-3X4+1<1可得m≥4时，a,<a4<1,即可判断 24 当n=1时，a1=S1=2a1-2,可得a1=2, n=2时取最小值. 所以a1-1=1, 所以数列{a.一1}是以1为首项，以2为公比的等比数列，所 由于当n为奇数时，a=一n2,当n为偶数时，a 以an一1=2"， 则6.=log,a.-1D=lg21=log,4=之(n-D, =3n+1 2 所以数6，}的前121项和为1216十b) 要求-1a=a1·a2·…·an的最小值，只需要考虑出现 2 奇数个奇数项时即可， =号×121X0+120-3630. 3(n+1)+1 2+ 3n+4 2 答案：3630 an 3n+1 F2(3m+D<1→a+1<1a,l, 8.解析：理解飞阶商分数列的新定义，根据新定义可得△2b= 2* (1+员)山1，将山，和A如1代入化简可得递推关系式： 当n=4时，a4=3X,4+1<1,因此m≥4时，a,<a4<1, 21 么，=（+品1，利用累来法以及泉项相消法即可求得6， 当n=2.4=a4=-2X号=-名 2 n(n+1) 当m=5,店-14=a4a,a4s=-2X子×(）×号× 二2二)从而泉得数列6，的前以项和 ()子 根据题目中的定义，数列{b}的1阶商分数列中， ,满足：敛装0，周如名@， 综上，最小值为一2 7 2阶商分数列中，426，满足：△6.=的士， 答案：一召 △b 考点 根据题意，△6，=(1+只)△6+1， 例2[解析]分析：根据S,与an之间的关系求得am=2n一 将①，@代入上式可得：益-(+层)层@， 1,可得c二4-1，则名-2n2十站合裂项法求 和，即可求解. 将△b.和△b+1代入③得： 因为a>0,4Sn=a+1-2aa+1+1, 6n+2 当n≥2时，则4S-1=a,2a十1， 两式相减得4an=a+1一a员-2a+1十2an, 整理可得(a+1十an)(an+1-an一2)=0， ·147·培优微专题 [培优微专题10]数列中的递推关系 数列的递推关系是高考重点考查内容，作为两类特殊数列一等差数列、等比数列，可直接根据它们 的通项公式求解，但也有一些数列要通过构造转化为等差数列或等比数列，再利用公式求解，体现化归思 想在数列中的应用. 研析考点层级突破 春点一 奇偶分析法 春点二】 构造法 核心知识 核心知识 数列中的奇、偶项问题的常见题型： 1.形如an=pan-1十q(p≠1，且p≠0，q≠0)的形式，通 1.含有an+1十an=f(n); 常可构造出等比数列a十。马一1十马) 2.an+1·an=f(n); 进而求出通项公式 3.含有(-1)m的类型； 2.形如an=pan-1十g”,此类问题可先处理g”,两 4.含有{a2n,{a2m-1}(n∈N*)的类型； 边同时除以，得。=p”宁十1，进面构渣成 5.已知条件明确的奇偶项问题. 典题例析 子-号·号+1设么-从面变成6一 q [例1][多选](2025·萍乡二模)数列{am}(n∈ bm-1十1，从而将问题转化为第(1)个问题. N*)的前n项和为Sm,若a1=1,am+1 3.形如qan-1一pan=anan-1,可以考虑两边同时 2an,n为奇数 除以aan-1,转化为9-。卫=1的形式，进而 an an-1 ,m为偶数 ,则下列结论正确的是 an 可设bn=1,递推公式变为gbn-pbm-1=1,从 an A.a3=2 B.S10=12 而转变为上面第(1)个问题. C.{Sn}为递增数列 D.{a2m-1}为周期数列 典题例析 [听课记录] [例2](1)[多选](2025·漳州质检三)记数列 {an}的前n项和为Sn,已知a1=2,Sn+1一2Sn= ·规律方法》 n,则a10 () 当遇到an十2一an=f(n)时，数列往往要分奇数项 A.1024 B.1023 C.513 D.256 和偶数项，分别求出通项公式，最后再检验能不能 (2)(2025·沧州质监)已知S.为数列{am}的前 合并为一个，这类题目的处理思路可分别令n n项和，且Hn∈N*,4am十an+2-4am+1,若a1= 1,a2=5,则Sm= 2k-1和n-2k,用累加法进行求解。 [听课记录](1) (2) 跟踪训练 规律方法》 1.(2025·张家口三模)已知数列{an}的前n项和 若{an}满足an=pan-1+f(n)(p≠1)，当f(n)为 /an十1，n为奇数 为Sn,且满足a1=1,an+1= 一次函数类型（即等差数列）时，设an十An十B 2an,n为偶数 [an-1十A(n一1)十B],通过待定系数法确定A、 则S100= B的值，转化成以a1十A十B为首项，以p为公比 A.3×251-156 B.3×251-103 的等比数列{an十An十B},再利用等比数列的通 C.3×250-156 D.3×250-103 项公式求出{an十An十B}的通项，整理可得an· 91 1数学 跟踪训练 规律方法》… 2.（2025·徐州适应性测试)已知数列{am}的前n 项和为Sn,且3Sn=2am+1,n∈N*.若Sk≥ an+1=pa(其中力，r为常数，am>0,p>0)型，用 2024,则正整数k的最小值为 ( 对数法，这种类型一般是等式两边取以力为底的 A.11 B.12 C.13 D.14 对数，然后转化为am+1二pam十g型求解。 考点三 倒数变换与对数变换法 跟踪训练 典题例析 [例3]设正项数列{an}满足a1=1,a.=2a品-1(n an-1 ≥2)，则通项an= 3.已知数列{a}满足：a1=2,a.-2a十(n≥ [听课记录] 2),则通项an= 课时冲关>高效提能 1.(2025·宁波模拟)已知数列{am}中，a2=1,记 A.等差数列是“线性数列” Sm为{an}的前n项和，2S,m=nan,则a2o25的 B.等比数列是“线性数列” 值为 ( A.2023 B.2024 C.2025 D.2026 C.若p≠1且a1=g,则am=g1-p”-1） 1一卫 2.(2025·常德下学期模拟)已知数列{am}的前n D.若p≠1且a1=q,则{an}是等比数列{qp-1》 项和为Sn,a1=1,且am+1=a1十a2十…+am(n 的前n项和 ∈N*),则 ( 6.[多选](2025·临汾二模)已知数列{an}满足：a1= A.a2=2 B.a4=8 3,3am=(n十1)an+1,则下列说法正确的是（) C.S2=3 D.S5=16 A.a3=9 3.(2025·齐齐哈尔二模)数列{an}满足an+1 B.{an}是单调递增数列 [-1)+2cos"2]am,若a1=1,则a2025= nπ1 C.若Tm为数列 an ( (n+1)3" 的前n项和，则Tm A.3505 B.-3505 <1 C.3506 D.-3506 D.若对任意n∈N*,都有(-1)λam≤am+1,则 4.(2025·葫芦岛二模)集合A={xx2+6nx+5n2 3≤λ≤1 ≤0，n∈N*}的整数元素的个数为an,数列{bn》 7.(2025·辽宁教研联盟二模)设Sm是数列{an}的 的前n项和为Sm,满足4Sn=5m+1一an一8，cn= 前n项和，Sn=2am十n-3,令bn=log4(an-1), b,+(-号，且n∈N,m<c+1都成立，下 5 则数列{bn}的前121项和为 列选项正确的是 ( 8.(2025·太原一模)对于数列{an},称{△am}为数 A.数列{bn}的通项公式为bn=5”-1 列(an}的1阶商分数列，其中△an=an+中；称 an B.an=4n {△an}为数列{an}的k阶商分数列，其中△an C.实数入的取值范围是 D.数列{3”cn}中的每一项都不能够被5整除 △-1aa1(k≥2，k∈N*),当k=1时，△'a.= △k-1a,n 5.[多选](2025·承德二模)对于给定的数列{an}, △an·已知数列{bm},b1=1,且 如果存在实数p,q,使得an+1=pan十q对任意n ∈N*成立，我们称数列{an}是“线性数列”，则下 {作+)如为数列6的2阶商分数列， 列说法正确的是 ( 则数列{bn}的前n项和为 ·92·