培优微专题8 极化恒等式和等和线定理-【创新教程】2026年高考数学大二轮培优微专题

I数学 课时冲关>高效提能 1.已知e为单位向量，向量a满足a·e=2,a-e= 5.[多选](2025·宁波模拟)若平面向量a,b,c满足 1,则a的最大值为 () |a=1,|bl=1,lc=3且a·c=b·c,则() A.1 B.2 C.5 D.4 A.|a+b十c的最小值为2 2.已知单位向量a,b,若对任意实数x,|xa十b≥ B.|a+b+c|的最大值为5 号恒成立，则向量a,6的夹角的取值范周为 C.|a-b+c|的最小值为2 D.|a-b十c的最大值为13 ( 6.[多选]如图，正方形ABCD的D A[,】 [肾] 边长为2，P是正方形ABCD的 c[] D[肾引 内切圆上任意一点，AP=入AB 3.已知平面向量a,b,且满足a·b=|a=|b=2, 十uAD(入，∈R),则下列结论 若e为平面单位向量，则|a·e+b·e的最大值 正确的是 () A.AP·AB的最大值为4 A.3 B.23 C.4 D.33 B太-以的最大值为号 4.已知平面向量e1,e2,eg,e1|=|e2|=|eg=1, C.AP·BD的最大值为2 (e1,e2)=60°.若对区间[2,1]内的三个任意的 实数a2都有e十ze2十es≥号e十 D1+的最大值为1+号 7.(2025·韶关测试二)已知平面向量a、b、c均为单 e2十e3,则向量e1,e3夹角的最大值的余弦值为 位向量，且|a十b|=1,则向量a与b的夹角为 () ,(a十b)·(b-c)的最小值为 A.-3+6 B.-3+5 8.已知向量a,b满足|a=1,b=3,则|2a十b|+ 6 6 12a-b|的最小值是 ,最大值是 C.-3-6 D.-3-5 6 6 [培优微专题8]极化恒等式和等和线定理 平面向量是高考的必考考点，它可以和函数、三角、数列、几何等知识相结合考查，平面向量的极化恒 等式、等和线，对于解决平面几何问题，更加有效快捷，有着决定性的基石作用. 研析考点层级突破 吉点一 极化恒等式 2.平行四边形模式：如图2，在平行 核心知识 四边形ABCD中，O是对角线的 极化恒等式：a·6=[a+b2-(a-b2]. 交点，则A店·AD-=}(ACP 图2 1.几何意义：如图1向量的数量积 -|BD2). 可以表示为以这组向量为邻边 b 3.（1)三角形模式：如图3，在 的平行四边形的“和对角线”与 △ABC中，设D为BC的中点， “差对角线”平方差的4 图1 则AB·AC=|AD2-|BD12. 图3 ·86· 培优微专题 (2)三角形模式是平面向量极化恒等式的终极模 (1)当等和线恰为直线AB时，k=1; 式，几乎所有的问题都是用它解决， (2)当等和线在O点和直线AB之间时，k∈(0,1)； (3)记忆规律：向量的数量积等于第三边的中线 (3)当直线AB在O点和等和线之间时，k∈(1，十∞)； 长与第三边边长的一半的平方差. (4)当等和线过O点时，=0； 典题例析 (5)若两等和线关于O点对称，则定值k1,k2互为 [例1](1)如图，BC,DE是半径为 相反数； 1的圆O的两条直径，BF=2FO, (6)定值k的变化与等和线到O点的距离成正比. 则FD·FE= ( 典题例析 A.一4 B.- 8 9 [例2](1)如图，在平行 C. D一号 四边形ABCD中，AC, (2)在△ABC中，点E,F分别是线段AB,AC的 BD相交于点O,E为线 中点，点P在直线EF上，若△ABC的面积为2， 段AO的中点.若BE=入BA十μBD(入，H∈R), →2 则PB·PC十BC的最小值为 则λ十μ等于 [听课记录](1) (2) A.1 R c号 D 规律方法》 (2)在矩形ABCD中，AB=1,AD=2,动点P在 利用向量的极化恒等式可以快速对数量积进行转 以点C为圆心且与BD相切的圆上.若AP= 化，体现了向量的几何属性，特别适合于以三角形 λAB+AD,则λ十μ的最大值为 为载体，含有线段中点的向量问题 跟踪训练 A.3 B.2√2 1.如图，在四边形ABCD中， C.√5 D.2 B=60°，AB=3,BC=6,且 [听课记录] (1) (2) AD=入BC,AD·AB= 规律方法》 多则实数A的值为 ;若M,N是线段 要注意等和（高）线定理的形式，解题时一般要先 BC上的动点，且|MN=1,则DM·DN的最小值为 找到=1时的等和（高）线，以此来求其他的等和 (高)线. 春点二 等和线定理 跟踪训练 核心知识 2.如图，四边形OABC是边长为 平面内一组基底OA,OB及任一向量OP',OP=入 1的正方形，点D在OA的延 OA十uOB(入，∈R),若点P'在直线AB上或在平 长线上，且OD=2,点P是 0 D 行于AB的直线上，则入+μ=k(定值)；反之也成 △BCD内任意一点（含边界），设OP=AOC+uOD, 立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称 则入十μ的取值范围为 为等和（高）线： ·87· 1数学 课时冲关>高效提能 1.如图，AB为⊙O的直径，P是 5.[多选]给定两个长度为1的 B AB上任一点，M,N是直径AB 平面向量OA和OB,它们的夹 上关于点O对称的两点，且AB 0 N B 角为，如图所示，点C在以 =6,MN=4,则PM·PN等于 ( ) A.13 B.7 C.5 D.3 O为圆心的AB上运动，若OC=xOA+yOB(x, 2.设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点，AD y∈R),则x十y的取值可以是 () -AB,BE-号BC,若DE-XAB+ACa, A.1 R C.2 D号 入2为实数)，则入1十入2的值为 ( 6.[多选]已知AB为圆O的直径，M为圆O的弦 A号 c号 0.2 CD上一动点，AB=8,CD=6,则MA·MB的取 值可以是 3.如图所示，正方体ABCD- D M A.-9 B.-2 C.0 D.4 A1B1C1D1的棱长为2，MNA B 7.如图，在△ABC中，D是BC的中 是它的内切球的一条弦（我们 点，E,F是AD上的两个三等分 把球面上任意两点之间的线 D 点.BA·CA=4,BF·CF=-1, 段称为球的弦)，P为正方体表 则BE·CE的值为 面上的动点，当弦MN的长度最大时，PM·PN 8.如图，圆O是边长为2√3的 的取值范围是 () 等边△ABC的内切圆，其与 A.[0,1]B.[0,2] C.[1,3] D.[0,4] BC边相切于点D,点M为 4.已知a,b是平面内两个互相垂直的单位向量，若c 圆上任意一点，BM=xBA .0 满足(a一c)·(b-c)=0,则|cl的最大值是( ) +yBD(x,y∈R),则2x十y A.1 B.2 C.√2 n号 的最大值为 [培优微专题9] 奔驰定理与四心问题 在三角形中，重心、内心、垂心和外心简称“四心”，它们与向量知识的整合，既自然又表达形式多样，在 新高考试题中，总会出现一些与“四心”相关的既新颖又别致的试题，不仅考查了向量的表示与运算、性质 等知识点，而且培养了考生“以向量为工具”的逻辑推理能力. 研析考点层级突破 专点一 奔驰定理 证明：设∠APB=a,∠APC=B,|PA=x, 核心知识 IPBI=y,IPCI=z. 1.如图，已知P为△ABC内一点，则有S1·PA+ 根据三角形正弦定理面积公式得 S2·PB+S3·PC=0(其中S1,S2,S3分别为 spA+sPB+s,Pd-7sinl2x-(a+®]·PA △PBC,△PAC,△PAB的面积). +号i店+ysin=-sina+m P成t}血p哦+meP元.0 把①式两边与向量PA作数量积得 ·88·1数学 此时|2a十b+|2a一b的最小值为6. :12a+b士2a-b<√2a+b2a- 2 2 =√T2a2+b产=√13， 即D.D函的最小值为号 .|2a+b|+|2a-b1≤2/13， 答案：日竖 2 当且仅当|2a十b=|2a-b时等号成立， 考点二 .|2a十b|+|2a-b的最大值为2√13. 例2(1)汇解析]法一（通法） 答案：62√13 ,E为线段AO的中点， 培优微专题8 研析考点层级突破 B弦=(BA+B0)=是(DA+号丽)-号BA+D 考点一 =ABA+u BD, 例1(1)[解析]：BF=2FO,圆O的半径为1， 以=号g=子， po=子 法一 FD.FE=(FO+OD)·(Fd+O 则A十以= 4 法二（等和线法） =FO+FO·(OE+OD)+OD·OE 如图，AD为值是1的等和线，过 -(3)°+0-1=-8 E作AD的平行线，设入十=， 法三由极化恒等式得 则k=|BE 励成-ò--号-1 IBFI [答案]B 由图易知，BE=3 (2)[解析]取BC中点O,连接PO, BFI 作PN⊥BC交BC于点N, [答案]B 由极化恒等式得PB·PC=PO (2)[解析]如图所示，由平面向量基底 A E 等和线定理知，当等和线1与圆相切时，入 8心， 所ap店+或=P心+是成， 十以最大，此时入十以= = AB NO 8+器+匹器a AB 在△ABC中，Sa=合B·21P- [答案]A 跟踪训练 IBCIIPNI=2, 2.解析：法一（通法） 则BC=名， 分别以边OA,OC所在直线为x,y轴 IPNI 建立如图所示的坐标系，则OC=(0, 又由图可得PO1≥PN1, 1),OD=(2,0), 所以PO+3BC≥PN+3 32 2 设P(x,y),OP=(x,y), /PN12 .(x,y)=λ(0,1)十(2,0)=(2，λ)， 1PN12· 3 仔 -=2√3， 1 IPNI2 +=2x+3y, 当且仅当POLBC,且|PNI2=3 设发-名t,则y-日+ IPN 所以：是直线y=一司十在y轴上的藏距， 即PN=3时等号成立. 由图可知，当该直线过，点B(1,1)时，它在y轴上的截距最 所以PB·PC十BC的最小值为2√3. 大，为； [答案]23 和直线CD重合时，在y轴上的截距最小，为1，故之∈ 跟踪训练 1.解析：依题意得AD∥BC,∠BAD=120°， [1,2]即+[，] 由AD·AB=|AD|·|AB|·cos∠BAD= 法二（等和线法）如图，设入十以=k,则直线CD为k=1的 -是Aò1=-号，得1Aò=1，BC=6D, 等和线，所有与直线CD平行的直线中，过点B的直线离点 OE 因此=后 0最远，此时及的值最大，且此时k=OD, 、、B 取MN的中点E,连接DE(图略)， P 则DM+DN=2DE, DM.DN-1[(DM+DN)-(DM-DN)'] 4 A D -D龙-}M-D龙- 2 易知AD=DE=1,故此时k= 2, 当点M,N在线段BC上运动时，DE的最小值等于点D到 显然k的最小值为1， 直线BC的距离， 即1AB·sinB=3,y3, 即+a[,号] 2 答案：[1,2] ·142· 答案精析丨 课时冲关高效提能 当M在N点所在的位置时，2x+y最大， 1.C[依题意，O为MN的中点，由向量极化恒等式知，PM, 则k=WB/ PN=P0-OM=9-4=5.] =2,所以2x十y取得最大值2. PB 2.D[由题意作图如图. “在△ABC中，DE-D+B驼=号A店 答案：2 D 培优微专题9 +号配-号AB+是(C-)= 研析考点层级突破 考点一 君A店+号AC=以A店+，AC, 例1(1)[解析]由奔驰定理得 S△gg·OA+SAe:OB+SAAOB·OC=0, A=-日=号 2 文OA+2OB+mOC=0, 故十九=分] .S△0C:S△A0c:S△AoB=1:2:m. .S△AoB= 3.B[由正方体的棱长为2，得内切球的半径为1，正方体的体对 金c1+2+m=7,解得m=4. 4 角线长为2√3.当弦MN的长度最大时，MN为内切球的直径. [答案]C 设内切球的球心为O, (2)[解析]记点O到AB,BC,CA的距离分别为h1,h2, 则PM.PN=PO-ON=PG-1. h,Sa=2a…h,Sa0c=2bh, 由于P为正方体表面上的动，点，故OP∈[1，W3], 1 所以PM·PN∈[0,2].] SaaB=2c·h1, 4.C[由极化恒等式(a-c)·(b-c) 因为SAOBC·OA+SAONC·OB+SAOAB·OC=0, -子[a+b-2o2-(a-b)], 则合a:h0A+2bA0i+合c…h,0C-0,即a… (a-c)·(b-c)=0, .(a十b-2c)2=(a-b)2, h2·OA+b:h·OB+c·h:0C=0, 故c2=(a十b)·c, 又因为a·OA十b·OB+c·OC=0,所以h1=h2=h3,所以 又因为a=|b|=1,a⊥b, 点P是△ABC的内心. .la+b|=2, [答案]B 于是|cl≤|a+bl|cl=√2lcl, 跟踪训练 .lc≤2.] 1,D[:O为△ABC内一点，且满足OA+2OB+3OC 5.ABC[令x十y=k,如图，在所 有与直线AB平行的直线中，切 3AB+2 BC+CA, 线离圆心最远，即此时飞取得最 B ..0A+2 0B+3 OC=3(0B-0A)+2(OC-OB)+(OA- 大值，又∠A0B=经，则& OC)→3OA+OB+2OC=0, 0D1=2. :S△c:OA+S△c·OB+S△AoB·OC=0, 0 S△oc:SAA0c:S△AoB=3:1:2, IOE SAN0B S△AOB 当，点C在A(或B)处时，x十y最 S△AB 小为1. 考点 Saw十8C+SaJ 故x十y的取值范围是，2 6.ABC,[如图，MA·MB=MO-Ad 例2(1)[解析]取BC的中点D,由OP=OA+A(AB+AC) (λ≥0)，得AP=2λAD,从而可得AP与AD共线，得直线AP =MQ-16, 与直线AD重合，进而得结论。 A :IOG≤IOM≤1OCl, 取BC的中点D,则AB+AC-2AD, ∴w7≤|OM≤4， 因为OP=OA+A(AB+AC)(A≥0)， .MA·MB的取值范围是[一9,0]. 所以AP=2入AD, 故选A、B、C.] 7.解析：设BD=DC=m,AE=EF=FD=n, 所以AP与AD共线，即直线AP与直 则AD=3n. 线AD重合， 根据向量的极化恒等式， 所以直线AP一定过△ABC的重心.B D C [答案]D 得AB·AC=AD-DB=9n2-m2=4,① (2)[解析]利用向量的数量积的定义式结合三角函数诱导 FB·FC=FD-DB=n-m2=-1.② 公式化简已知等式，再由向量的数量积为零推出向量垂直 联立①@，解得示=各m=是 即可. 8 如图所示，过，点A作AD⊥BC,垂足 因光成，C-E市-D成=4i-m=尽 2 为D点 AB 即BE.CE= 则BC· 8 IAB|cOS∠ABC 答案：？ IBCI ABIcos(ABC)-BCl, 8.解析：如图，D,E,N分别为BC, AB,AC的中，点，P为DE与BN |AB|cOS∠ABC 的交点， B=xBA+yB丽=2x·合A 同理BC· AC -=|BC, P |ACI|cos∠ACD +yBD=2x BE+yBD, 设2x十y=k,作出定值k为1的 :动点P满足OP=OA十 B 等和线DE,AC是过圆上的，点最 AB AC 远的等和线， ,λ∈R |AB|coS∠ABC |AC|cos,∠BCA ·143·