培优微专题7 平面向量数量积的最值与范围问题-【创新教程】2026年高考数学大二轮培优微专题

答案精析1 可求)的同期T-经<2，解得。>日年可得标。 由于f)在[0，智]上格有4个零点，故3r≤g-吾< 因为f(x)=2 sin(W3 sinwx十cOSwz) 4,脚碧<< =23sin wx++2sinoxcoswx 而w∈Z,故w=3,B正确； =sin2wx-√3cos2wx+√3 对于C,由于f(3πx)十f(x)=0,则f(x)的图象关于点 =2sin(2ax-号）+6， (受0）时称， 又因为(0，晋)且0，则2x-晋（吾智-晋）》 即f(）=2n(受+晋)=0，则受+吾=kx(∈0， 若fx)在(0，)上单调递增， 即=号+z, 所以2g-吾≤受，所以0<w≤是， 又。>0，故质=1时，o的最小值为号，C正确； 因为对任意的实数a,f(x)在(a,a十π)上不单调， 所以f)的周期T-无<2，所以。> 对于Dwg吾时，f)2m(侣+音） 所以号<是.】 由于[-资小 5.BD[由题意得，fx)=2sin(ax十吾)根据T=行求出 号+音∈[，gm+] ω，根据整体代换法求出f(x)的对称中心即可判断A;根据 整体代换法求出f(x)的单增区间，建立不等式组，解之即可 而在[一器]上的位数为[-1,2]，故受<19+音 判断B;根据诱导公式计算即可求解判断C;由极值点的概 <<m<要，D错] 念可得受<w十晋<受，解之即可判断D 7.解析：利用辅助角公式化筒函数f(x),求出相位的范围，再 利用正弦函数的性质求解即得， 由题意知，fx)=2sin(ar+晋） 函教fx)=2sin(ax-号)小由x∈[0，x],得u-晋∈ A若f(x)的最小正周期为，由T=而： 2π [营]由存在名∈[o,],俊得f红)=-2，得 得w-2,所以f)-2sin(2x+若）由2x+吾-，A∈乙， 元一 ≥警部得。心号片以m的或小值为 6 得x=-+经，Aez 11 答案： 所以f)的对称中心为（一意十经，0）故A错误 8.解析：令m=2kr,kZ,得f的极大值，点为=2，k∈Z,则 B由-受+26≤mr+吾≤号+2x,k∈Z得-+2 [w-0 3w w ≤无+2，kZ, 存在整数k,使得 2kプ不 即f(x)的单调递增区间为 2(k+1)π5π 2 解得4E+1)<u<2k(k∈N). 所以影 5 k≤3 因为函数y=c0sx在两个相邻的极大值点之间有两个 ,k∈Z, 零，点， 匹+2≥元，解得 4 3w w 0<w≤3 +8 所以4+1D<u<2k(k∈N'). 5 取=0，剥0<≤号，即实数如的取值范国为(0，青]，故 当及=1时，号<<2.当皮=2时，号<o<4. B正确； C若f)=1,则2sin(o+看)=1， 当k≥2时，4k+1D<4h+2)<2k,又0<u<100, 5 5 即s(a+晋)=合， 1 所以。的取位范国为（号，2）U(号，4)U(尝，6)U…U 所以cos(a,+）=cos(a,+看+） (2,1o）=(号，2)0（号，10o) =-si加(az,+看)一合，故C错误： 1 答案：（号2（号，100） 培优微专题7 D.由0≤≤，得若≤or十否≤am十否，又f(x)在[0，] 研析考点层级突破 上有3个极值点， 考点一 例1[解析]以C为坐标原点，CB所在直线为x轴，过C垂直 所以受<m十吾<受，解得子<w<号中实盘。的取值范 BC的直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，求得点D 的轨迹方程，取BD的中，点为M,求得M的轨迹方程，数形结合 国为[子号)故D正确门 可求|AB+ADl 6.BC[对于A,f(x)=2sin(wx十p),∴.f(x)=2 wcOs(wz+ 由题意，以C为坐标原，点，CB所在 y ),g(z)=f(z)+f(z)=2sin(wx+g)+2wcos(wx+p), 直线为x轴，过C垂直CB的直线 当w=1,9= 平时，gx)=2sin(z+)+2cos(x+）- 为y轴建立如图所示的平面直角坐 标系， 2√2cosx为偶函数，此时函数g(x)=f(x)十f(x)的图象关于y 则A一33V3 ,B(4,0),由 轴时称，A错误；对手B,z[]则哑-看 22 DC·DB=0,可得D是以BC为 直径的圆， 所以D的轨迹方程为(x一2)2十y=4, ·139· I数学 取BD的中，点为M,设M(x,y),D(xoy), x十4 且G为Ar中点，则G(，-0小 可得 千0所以{5=2x-4, 2 y= (y%=2y 可得a+1,-3aD=(生，-a-1 2 则.D=a+(-3(-a-l 3 所以(2x一6)2+(2y)2=4, 2 所以点M的轨迹方程为(x一3)2十y2=1,圆心为H(3,0), 半径为1， =5a+广- 由AB+AD=2AM,所以AB+AD|=2AMI,所以|AB+ 且a[-号，0]所以当a=-号时，.DG取到最小值 ADIin21AMI 所以|AMn=AH|-1 为 [答案] 5 -3+(-0 -1=3√5-1， 一18 跟踪训练 所以|AB+ADlin=6V3-2. 2.D [答案]A 考点三 跟踪训练 例3[解析]根据向量的运算律及数量积定义计算即可. 1.D 考点二 设与AB同方向的单位向量AB =e,与AD同方向的单位向 例2[解析]解法一：以{BA,BC)为基底向量，根据向量的 ABI 线性运算求BE,即可得入十，设BF=kBE,求AF,DG,结合 量AD 数量积的运算律求AF·DG的最小值；解法二：建系标系，根 =6,与AC同方向的单位向量AC lADI LACI 据向量的坐标运算求BE,即可得A十，设F(a,一3a),a∈ [日0]，求出A,DG的尘标，结合数量积的坐标运并求 由题意，所以e1十3e2=e3, 所以(e1十3e2)2=λ2eg2,即e12+6e1·e2十9e22=e2, 所以1+6×1X1×cos∠BAD+9=λ2， AF·DG的最小值. [解法-]周为CE=DE,即C正=号BA,则BE=BC+ 所以cos∠BAD=-10 61 因为λ∈[√7,3]，所以2∈[7,9]， CE-BA+BC, 所以2“。0∈[-] 可得X=号=1，所以+=登： 即cos∠BAD∈[ 1 由题意可知：|BC=|BA|=1,BA·BC=0, [答案]A 因为F为线段BE上的动点， 跟踪训练 设B-kBE=号合BA+kBC,k∈[0,1小， 3.C[应用向量数量积运算律及题设可得4≥2|a·|b|(1十 c0s),注意等号成立条件，结合已知不等条件求日范围，即 则A正-aB+丽-A店+正-（后-1）M+k成， 可得最小值. 由|a+b12=4有|al2+|b12+21a|·|b|cos0=4,即4≥ 又因为G为AF中点，则DG=DA+AG=-BC+A正 21a·b11+cos0≥g1+cos0, (合-1)BA+(合-1)Bc, 前一个等号成立条件为a=b1,叁现得c0s0≤分由于 可得AF·DG -[(分-1)BA+kC]· 9E[0,x],所以号<<，于是夹角为9的最小值为号.] 3 课时冲关高效提能 [(合-1)A+(合-)B脑 1.C[依题意设e=(1,0),a=(x,y), 因为a·e=2,所以x=2, =(宁刂+（合一小号号品 则a=(2,y), 又a-e=(2,y)-(a,0)=(2-1,y), 且la-e|=1, 又因为∈[0,1]，可知：当k=1时，AF·DG取到最小值 所以V√(2-)2+y2=1, 即y2=1-(2-λ)2， [解法二]以B为坐标原点建立平 所以|a=√22+y=√4十1-(2-)≤5，当且仅当λ= 面直角坐标系，如图所示， 2时等号成立， 则A(-1,0),B(0,0),C(0,1),D w(青少 即|a的最大值为√5.] 2.A[利用平面向量数量积与模长的关系，结合一元二次不 等式恒成立的解法计算即可. 可得BA=(一1,0)，BC=(0,1),BE ( 设向量a,b的夹角为0，因为m十b≥名，所以(m十b 因为BE=ABA+μBC=(-A,), 则入二，所以十=： 则z0+2mb叶8≥，即r+2xcos0叶是>0返底立。 (u=1 因为点F在线段BE:y-3x,x∈[-号0]上， 所以4-4co50-9<0,解得-停<cos9。 设Fa,-3a)a∈[-号，0小 因为0<0x,所以晋<<晋， 故a,b的夫角的取值范国是[合，]门 ·140· 答案精析 3.B[先根据平面向量的数量积公式求出a与b的夹角，根据 5.BD[由向量a,b,c方向间的关系，判断a十b十cl的最大值 条件，可设a=(2,0),b=(1,√3)，再设e=(cosa,sina),根 和最小值；由(a一b)⊥c,通过a一b的最值，计算a一b十c 据平面向量的坐标运算和数量积公式以及三角恒等变换和 的最值. 三角函数的性质得出a·e+b·e=2sim(e+号)川 当向量a,b方向相同，与c方向相反时，满足a·c=b·c,此 时a十b十c有最小值|c-(a|+|b)=1,A选项错误；当 即可求出结果. 向量a,b,c方向相同时，满足a·c=b·c, 设a与b的夹角为0，a·b=|a=|b|=2, 此时|a+b+c有最大值|a+|b|+c=5,B选项正确； ∴.a·b=|al·|bl·cos0=2×2×cos0=2, a·c=b·c,有(a一b)·c=0,即(a一b)⊥c,则a-b十c c0s0=2,则0=号， =√Ta-b2+lc', 3 向量a,b方向相同时，a一b|的最小值为0，|a一b十cl的最小值 不妨设a=(2,0),b=(1wW3),再设e=(cosa,sina), 为3，C选项错误； 则|a·e+b·el=|(a+b)·e=l(3,w3)·(cosa,sina) 向量a,b方向相反时，a-b的最大值为2，a-b+c的最大值 -13c0s a+sin l-23sin() 为√13，D选项正确.] ≤23， 6.ABD[以正方形ABCD的中心为 原点，如图，建立平面直角坐标系， D 即a·e+b·e|≤2√3， 所以a·e十b·e的最大值为2√3.] 则A(-1,-1),B(1,-1),D(-1, 1) 4.A C(cos 0,sin 0),e =OA=(1,0),e2=OB= 设P(cos0,sin),9∈[0,2x), (位号）A=d=（-cos.-加0，作出图移，会折出 AP=(1+cos 0,1+sin 0),AB= |HP|≥|GM恒成立，临界处即P与M重合，G与H重合， (2,0),BD=(-2,2),AD=(0,2), 且GM不能充当直角三角形斜边，否则可以改变H的位置， 所以AP·AB=2(1+cos), 使得HM<GM,此时0最小，向量e,e夹角取得最大 所以当日=0时，AP·AB的最大值为4，A正确； 值，利用三角函数恒等变换和图象得到答案」 AP.BD=-2(1+cos 0)+2(1+sin 0)=2(sin 0-cos 0)= 设C(cos0,sin),如图， 不妨设e,=OA=(1,0),e= 25s血(0-置）所以当0=要时，A正.BD的最大值为 4 OB= （226=Cò- 13 22,C错误： 3 由AP=λAB十uAD知 (-cos 0,-sin 0). (1+cos0,1+sin0)=λ(2,0)+(0,2)， 设M为AB的中点，G为OC 0 =1+cos 0 的中点，F为BD的中点，E 所以士o9=2入，得 2 为AD的中点. 1+sin0=2μ， u=I+sin 0 2 则 M () 则A-A=名g-血0=号(0+） 2(e1+e2+e3)=G0+OM=GM, 所以当0=华时以的最大值为号，B正痛， 设入6，十e,十，=H0+OP=HP,点P在平行四边形 A+=1+安s0叶血勿=1+号m(叶， 2 EDFM内（含边界）： 由题知|HP|≥|GM恒成立. 所以当9=要时，A十的最大值为1+号，D正确] 为了使(e1,eg)最大，则(e1,C3)应为钝角，即C点在第一或第 7.解析：由a十b2=1可得a…b=一名，根据平面向量数量积 四象限. 思考临界值即P与M重合，G与H重合，且GM不能充当 的定义即可求出a与b的夹角；根据数量积的运算律可得(a 直角三角形斜边，否则可以改变H的位置，使得|HM|< +-0)=司 -cos(a十b,c),结合cos(a+b,c〉的取值范 GM,此时0最小， 围即可求解. 由题意知，a|=|b|=|c=1, 由a+b2=a2+2ab+b=1,得ab=-2, 1 sin0)=0, a·b. 1 子cos0-cosg+。 sin0- 2sin20=0. 所以cos(a,b)=日治-是，又a,be[0,, 所以a,b》=子，即a与b的夹角为子； 3 9op-晋） (a+b).(b-c)=a.b+b-(a+b).c=2-la+bllcl cos(a+b,c)= 2-cos(a+b,c), 所以o(0-晋)写 又os(a+bc∈[-1,1]，所以号 -cos(a+b,c)≥- 2 所以m0=o[(0-看)+晋] 当且仅当a十b与c同向时，等号成立. o(0-吾)os看-如(g看)血看 所以(a+b)(-0)的最小值为-是 =9×+9×号=3t6 答案5-日 3 3 6 8.解析：|2a+bl+|2a-b≥|2a+b+2a-bl=4a=4, 其中向量e1与e夹角为π一0，故e1与e夹角的最大值的 且|2a+b+|2a-bl≥|2a+b-2a+b=2|bl=6, 余孩位方3] .|2a+b+2a-bl≥6，当且仅当2a+b与2a-b反向时 等号成立， ·141· 1数学 此时|2a十b+|2a一b的最小值为6. :12a+b士2a-b<√2a+b2a- 2 2 =√T2a2+b产=√13， 即D.D函的最小值为号 .|2a+b|+|2a-b1≤2/13， 答案：日竖 2 当且仅当|2a十b=|2a-b时等号成立， 考点二 .|2a十b|+|2a-b的最大值为2√13. 例2(1)汇解析]法一（通法） 答案：62√13 ,E为线段AO的中点， 培优微专题8 研析考点层级突破 B弦=(BA+B0)=是(DA+号丽)-号BA+D 考点一 =ABA+u BD, 例1(1)[解析]：BF=2FO,圆O的半径为1， 以=号g=子， po=子 法一 FD.FE=(FO+OD)·(Fd+O 则A十以= 4 法二（等和线法） =FO+FO·(OE+OD)+OD·OE 如图，AD为值是1的等和线，过 -(3)°+0-1=-8 E作AD的平行线，设入十=， 法三由极化恒等式得 则k=|BE 励成-ò--号-1 IBFI [答案]B 由图易知，BE=3 (2)[解析]取BC中点O,连接PO, BFI 作PN⊥BC交BC于点N, [答案]B 由极化恒等式得PB·PC=PO (2)[解析]如图所示，由平面向量基底 A E 等和线定理知，当等和线1与圆相切时，入 8心， 所ap店+或=P心+是成， 十以最大，此时入十以= = AB NO 8+器+匹器a AB 在△ABC中，Sa=合B·21P- [答案]A 跟踪训练 IBCIIPNI=2, 2.解析：法一（通法） 则BC=名， 分别以边OA,OC所在直线为x,y轴 IPNI 建立如图所示的坐标系，则OC=(0, 又由图可得PO1≥PN1, 1),OD=(2,0), 所以PO+3BC≥PN+3 32 2 设P(x,y),OP=(x,y), /PN12 .(x,y)=λ(0,1)十(2,0)=(2，λ)， 1PN12· 3 仔 -=2√3， 1 IPNI2 +=2x+3y, 当且仅当POLBC,且|PNI2=3 设发-名t,则y-日+ IPN 所以：是直线y=一司十在y轴上的藏距， 即PN=3时等号成立. 由图可知，当该直线过，点B(1,1)时，它在y轴上的截距最 所以PB·PC十BC的最小值为2√3. 大，为； [答案]23 和直线CD重合时，在y轴上的截距最小，为1，故之∈ 跟踪训练 1.解析：依题意得AD∥BC,∠BAD=120°， [1,2]即+[，] 由AD·AB=|AD|·|AB|·cos∠BAD= 法二（等和线法）如图，设入十以=k,则直线CD为k=1的 -是Aò1=-号，得1Aò=1，BC=6D, 等和线，所有与直线CD平行的直线中，过点B的直线离点 OE 因此=后 0最远，此时及的值最大，且此时k=OD, 、、B 取MN的中点E,连接DE(图略)， P 则DM+DN=2DE, DM.DN-1[(DM+DN)-(DM-DN)'] 4 A D -D龙-}M-D龙- 2 易知AD=DE=1,故此时k= 2, 当点M,N在线段BC上运动时，DE的最小值等于点D到 显然k的最小值为1， 直线BC的距离， 即1AB·sinB=3,y3, 即+a[,号] 2 答案：[1,2] ·142·培优微专题 [培优微专题7]平面向量数量积的最值与范围问题 与平面向量有关的最值问题在高考中经常出现，多以小题形式考查，难度中档.主要考查向量模、夹 角、数量积、系数的最值或范围. 研析考点层级突破 点一 向量模的最值、范围 规律方法》 典题例析 结合图形求解运算量较小，建立坐标系将数量积 [例1](2025·永州三模)在△ABC中，∠ACB= 用某个变量表示，转化为函数的值域问题，其中选 120,|AC=3,|BC1=4,DC.DB=0,则1AB 择的变量要有可操作性。 十AD|的最小值为 ( 跟踪训练 A.6√3-2 B.2√19-4 2.(2025·聊城二模)△ABC中，BC=2√3，A= C.33-1 D.√19-2 [听课记录] 60°，则BA·BC的最大值为 ( ·规律方法》 A.6 B.3+2√3 求模的范围或最值常见方法 C.12 D.6+43 (1)通过|a2=a2转化为实数问题； 春点三 向量夹角的最值、范围 (2)数形结合； (3)坐标法. 典题例析 跟踪训练 [例3](2025·临汾适应性考试)在平行四边形 1.(2025·江苏苏锡常镇四市 ABCD中， AB 3AD λAC ,λ∈[√7,3]，则 调研)如图，圆O1和圆O2 IABI IADI ACI 外切于点P,A,B分别为圆 02 cos∠BAD的取值范围是 O1和圆O2上的动点，已知 圆O1和圆O2的半径都为1，且PA·PB=一1， A[-含-J B[-] 则PA十PB2的最大值为 ( c【-】 D号-】 A.2 B.4 C.2√2 D.2√3 [听课记录] 春点二 向量数量积的最值、范围 典题例析 规律方法》 [例2](2024·天津高考)在边长 D 向量夹角取值范围的计算，解题的关键就是将向 为1的正方形ABCD中，E为线 量的坐标特殊化处理，借助基本不等式来求解。 段CD的三等分点，CE=DE, 跟踪训练 BE=入BA+μBC,则入十u= 3.已知非零向量a,b的夹角为0，|a+b|=2,且 ;F为线段BE上的动点，G为AF中 ab≥告，则夹角9的最小值为 点，则AF·DG的最小值为 [听课记录] A晋 B. 4 c ·85· I数学 课时冲关>高效提能 1.已知e为单位向量，向量a满足a·e=2,a-e= 5.[多选](2025·宁波模拟)若平面向量a,b,c满足 1,则a的最大值为 () |a=1,|bl=1,lc=3且a·c=b·c,则() A.1 B.2 C.5 D.4 A.|a+b十c的最小值为2 2.已知单位向量a,b,若对任意实数x,|xa十b≥ B.|a+b+c|的最大值为5 号恒成立，则向量a,6的夹角的取值范周为 C.|a-b+c|的最小值为2 D.|a-b十c的最大值为13 ( 6.[多选]如图，正方形ABCD的D A[,】 [肾] 边长为2，P是正方形ABCD的 c[] D[肾引 内切圆上任意一点，AP=入AB 3.已知平面向量a,b,且满足a·b=|a=|b=2, 十uAD(入，∈R),则下列结论 若e为平面单位向量，则|a·e+b·e的最大值 正确的是 () A.AP·AB的最大值为4 A.3 B.23 C.4 D.33 B太-以的最大值为号 4.已知平面向量e1,e2,eg,e1|=|e2|=|eg=1, C.AP·BD的最大值为2 (e1,e2)=60°.若对区间[2,1]内的三个任意的 实数a2都有e十ze2十es≥号e十 D1+的最大值为1+号 7.(2025·韶关测试二)已知平面向量a、b、c均为单 e2十e3,则向量e1,e3夹角的最大值的余弦值为 位向量，且|a十b|=1,则向量a与b的夹角为 () ,(a十b)·(b-c)的最小值为 A.-3+6 B.-3+5 8.已知向量a,b满足|a=1,b=3,则|2a十b|+ 6 6 12a-b|的最小值是 ,最大值是 C.-3-6 D.-3-5 6 6 [培优微专题8]极化恒等式和等和线定理 平面向量是高考的必考考点，它可以和函数、三角、数列、几何等知识相结合考查，平面向量的极化恒 等式、等和线，对于解决平面几何问题，更加有效快捷，有着决定性的基石作用. 研析考点层级突破 吉点一 极化恒等式 2.平行四边形模式：如图2，在平行 核心知识 四边形ABCD中，O是对角线的 极化恒等式：a·6=[a+b2-(a-b2]. 交点，则A店·AD-=}(ACP 图2 1.几何意义：如图1向量的数量积 -|BD2). 可以表示为以这组向量为邻边 b 3.（1)三角形模式：如图3，在 的平行四边形的“和对角线”与 △ABC中，设D为BC的中点， “差对角线”平方差的4 图1 则AB·AC=|AD2-|BD12. 图3 ·86·