培优微专题3 同构函数-【创新教程】2026年高考数学大二轮培优微专题

培优微专题 3.已知定义域为R的函数f(x),其导函数为f(x),且 6.[多选](2025·湖北宜荆荆随恩二模)已知x>y> 满足f(x)一2f(x)<0,f0)=1,则 ( 0,则下列不等式正确的有 () A.e2f(-1)<1 B.f(1)>e2 c.r(1)<e D.f(1)>ef A.et-ex>x-y B.In x-In y>x-y 0,b=ln1.21,c= 1 C.lnx>≥1- D.eey 4.(2025·威海二模)设a= x y x 10sin00则 7.已知a=sin0.9,b=0.9,c=cos0.9,则a,b,c的 ( 大小关系是 A.a>b>c B.b>a>c C.c>a>b D.c>b>a 8.设函数f(x)在R上存在导数f(x),对任意的x 5.(2025·鹰潭一模)在满足2≤x<y:,x:=y ∈R,有f(x)-f(-x)=2sinx,且在[0，+∞) 的实数对(xiy:)(i=1,2,3,…,n)中，使得y1+ y2十…十ym-1≤20ym成立的正整数n的最大 上，f(x)>osx.若f(- f(t)>cos t- 值为 () A.22 B.23 C.30 D.31 sint,则实数t的取值范围为 [培优微专题3]同构函数 同构法在近几年的高考中频繁出现，首先将题目中的等式或不等式经过适当的整理变形，表示成两侧 具有相同结构，然后利用这个结构式构造相对应的函数，再利用函数单调性解题. 研析考点层级突破 春点一 地位同等同构型 跟踪训练 典题例析 1.若对于0<x1<x2<a,都有x2lnx1一x1lnx2≤ [例1] 若实数a,b满足4+log3a=8+3log27b,则 x1-x2成立，则a的最大值为 ( A B.1 C.e D.2e Aa<曾 R6≥曾 专点二 指对跨阶同构型 C.ab3 D.a<63 典题例析 [听课记录] [例2](2025·安庆三模)已知函数f(x)=e2 …规律方法》 aln(ax-a)十a(a>0),若对于任意的x>1使得 含有二元变量x1,x2的函数，常见的同构类型有 不等式f(x)≥0成立，则实数a的取值范围 以下几种： ( (1)g(x1)-g(x2)>λ[f(x2)-f(x1)]台g(x1)+ A.(0,e2] B.(0,e] 入f(x1)>g(x2)+入f(x2),构造函数p(x)= C.[e2,+o∞) D.[ee,+∞) g(x)+f(x); [听课记录] (2)f)-f）k(<2)9f(1)-f(x2) 规律方法》… x1-x2 指对跨阶同构的基本模式有： <kx1一kx2台f(x1)一kx1<f(x2）一kx2,构 (I)积型：aea≤blnb,一般有三种同构方式： 造函数p(x)=f(x)一kx; ①同左：aea≤blnb台aea≤(lnb)enb,构造函 (3)f)-f）<(m<2)9f(x) 数f(x)=xe2; x1-x2 x1x2 2)>）=点k台f)+ ②同右：aea≤blnb台ealn ea≤blnb,构造函数 X1X2 x2 Z1 f(x)=xln x; f(x2)+,构造函数p(x)=f(x)+飞 ③两边同取自然对数：aea≤blnb台a十lna≤ lnb十ln(Inb),构造函数为f(x)=x十lnx. 75· I数学 C2)商型：。<。一短色有三种同构方式！ [听课记录] ①司在6户。-信女格连蛋发为 ②月右：后<品。中<品。构造围数为 ，e f)- ⑧两边同原自然对数：号<。付a-na< lnb-ln(lnb),构造函数为f(x)=x-lnx. (3)和差型：e士a>b士lnb,一般有两种同构 方式： ①同左：ea士a>b士lnb台ea士a>elnb士lnb, 构造函数为f(x)=er士x; ②同右：ea士a>b士lnb台ea±lnea>b士lnb, 构造函数为f(x)三x士lnx 跟踪训练 2.(2025·安徽A10联盟4月质检)已知函数f(x) =e十x和g(x)=ln(xex),若存在实数a,B,使 得f(a)一g()=0,则a8的最小值为 ) A.-e B.-1 c-& D.一 1 …规律方法》 专点 零点同构型 在涉及函数的零点问题时，可根据函数式的结构 典题例析 或转化为方程后构造函数，其实质是把函数式简 [例3]已知f(x)=nx+号x2+1,若关于x的 化，以达到研究函数零点的目的. 跟踪训练 方程xe-a=f(x)-受x2十ax-1有两个不同 3.已知xo是函数f(x)=x2ex-2+lnx-2的零 的实数解，求a的取值范围. 点，则e2-x。十lnxo= 课时冲关>高效提能 1.已知a,β∈R,则“a十B>0”是“a+B>cosa 3.(2025·玉树模拟)设实数λ>0，若对任意x∈ cosB”的 ( (1,十o∞)，不等式ex-(+1)x+lnx≥0恒成 A.充分不必要条件 立，则入的取值范围是 () B.必要不充分条件 A.0<λ≤e B.λ≥e C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 C0<≤ D.A 2.(2025·常州模拟)已知a=ln3,b=log2e,c= 4.[多选](2025·邯郸模拟)已知a>0,b∈R,e是 6(2-ln2,则a,b,c的大小关系是 ( 自然对数的底，若b十eb=a十lna,则a一b的值 A.a<b<c B.b<c<a 可以是 () C.c<a<6 D.a<c<b A.-1 B.1 C.2 D.3 ·76· 培优微专题丨 5.[多选]e是自然对数的底数，m∈R,n>0,已知 [听课记录] mem+lnn>nlnn十m,则下列结论一定正确 的是 ) A.若m>0,则m-n>0 B.若m>0,n>1,则em-n>0 C.若m<0,则m+lnn<0 D.若m<0,则em+n>2 6.已知函数f(x)=e-2lnx(x>0),若f(x)≥x2 入x恒成立，则实数入的取值范围为 7.(2025·烟台二模)已知函数f(x)=mx一lnx,x ∈(1，十∞). (1)讨论f(x)的单调性； (2)若em-1)x+1f(x)≥x2-x恒成立，求实数m 的取值范围. [培优微专题4幻 切割线放缩 研析考点层级突破 核心知识 3.关于lnx的放缩 1.常见的放缩 ①)切线放缩及其变形：1一士<n心：-1： (1)对数形式：x≥1+lnx(x>0),当且仅当x=1 时，等号成立 (2当1时，2≤n≤(e (2)指数形式：ex≥x+1(x∈R),当且仅当x=0 当01时，(en<2, 时，等号成立 进一步可得到一组不等式链：ex>x十1>x>1 (3)当x≥1时，lnx≥ 当01t +lnx(x>0且x≠1). lnx≤3(ax2-1) 2.泰勒展开式 x2+4x+19 e-1+x+ 千n1+o(x”): (4对数平均不等式：Va励<na二nb<a(a,b> a-b 2 0,且a≠b). 1+)=+号-…+(-10 x2x3 n+1 4.三角函数的放缩 +o(x"+1); 1)sinx的放缩：当x≥0时，z-号≤sin≤， 截取片段：er≥x十1(x∈R) 1n(1十x)≤x(x>-1),当且仅当x=0时，等号 当0区u≤时，sinz≤x≤tanx 成立； (2)cosE的放缩：当x≥0时，1一号≤cosx≤ 进而：lnx≤x一1(x>0)当且仅当x=1时，等号 x2,x4 成立 1-2+24 ·77·答案精析 所以<罗一- 设h(a)=ae,则h'(a)=(a十l)e, 当a∈(-o∞，-1)时，h'(a)<0,h(a)单调递减， 即<（-），日 ->0,解得K平 当a∈(-1，+∞)时，h'(a)>0,h(a)单调递增， 答案：(0，) 所以h(a)m=(-1)=-上.] e 考点三 培优微专题3 研析考点层级突破 例3[解]由xe=f()-号x2+ax-1(x>0, 考点一 例1[解析]由题意知a>0,b>0, 即xe-a=xlnx十ax, ,4“=22a,8=2b,3log27b=log3b, 即ea=lnx十a, ∴.22a+log3a=2+logb, 即ea+x-a=x十lnx, ..224+logsa+logs 2=23+log36+logs 2, .In(e"-)+e-a=In z+z, Ep 22+log 2a=23+log3 20, 令h(x)=lnx+x(x>0), :y=log3x在(0，十∞)上单调递增， 则h(e-a)=h(x), ∴.log32b<1og33b, ..22+logs 2a<2+log;36. h(x)=1+1>0, 设f(x)=2+log3x,则f(2a)<f(3b), ∴.h(x)在(0，十o∞)上单调递增， ”y=2与y=logx在(0，十∞)上单调递增， .e4=x, ,∴.f(x)在(0，十∞)上单调递增， -a=In z,a=x-In x(x>0), 2a<3b,即a<2 因为关于x的方程xe=f(x)-号x+ax-1有两个不 [答案]A 同的实数解， 跟踪训练 1.B ['z2In x1-x In z2-2, 则方程a=x一lnx(x>0)有两个不同的实数解. .ln-ln4≤1-1， 令p(x)=x-lnx, 则g(x)=1-1=-1 即ln+1nx+1 当0<x<1时，o'(x)<0, 又0<x1<x2<a, 当x>1时，9(x)>0, 令p(x)=lnx+1 所以函数p(x)=x一lnx在(0,1)上单调递减，在(1，十o∞) 上单调递增， ∴p(x)在(0，a)上单调递增，p(x=二lh, 所以p(x)mn=p(1)=1, 当x→0时，(x)→十∞， 当x∈(0,1)时，0(x)>0, 当x→十∞时，p(x)→十∞， 当x∈(1，+∞)时，9(x)<0, 所以a>1, p(x)在(0,1)上单调递增，在(1，十∞)上单调递减，故a≤ 综上，a的取值范围为(1，十∞). 1,.a的最大值为1.] 跟踪训练 考点二 3.解析：令x2e2+lnx-2=0, 例2[解析]将不等式变形为elha十x-lna<x-l十ln(x 可得xe-2=2-lnx, 一1)，构造函数g(x)=x十lnx,分析可知该函数为增函数， 可得出lna>x-ln(x-l),求出函数h(x)=x-ln(x-l)的 即g=2-lnx, e2 最小值，可得出关于实数a的不等式，即可得出实数a的取 值范围. 'e=2e-e'In zze=20-6In, 因为a>0,由ax一a>0可得x>1,即函数f(x)的定义域为 xx (1,+∞)， e2 f)=e-alna-aln(z-l)+a≥0可得g-ln≥ln(z- x a 两边同取自然对数， 1)-1, 即e-a+x-lna≥x-1十ln(x-l), a +In() 构造函教g)=2+n,共中>0，则g()=1+>0, 所以lng=x,即2-lnr=x, 故函数g(x)在(0，十∞)上单调递增， 所以g(e)≥g(x-1),可得e-aa≥x-1, 即lnx=2-x, 则x-lna≥ln(x-1), .e2-*=x,.e2-0 +In zo=zo+In zo=2. 即lna≤x-ln(x-1),其中x>1,令h(x)=x-ln(x-l), 答案：2 其中x>1, 课时冲关高效提能 则)1点一导当1长a<2时，)0，此时 1.C[构造函数f(x)=x一cosx, 则f(x)=1十sinx≥0在定义域R上恒成立， 函数h(x)单调递减， 所以函数f(x)=x一cosx为增函数， 当x>2时，h'(x)>0,此时函数h(x)单调递增， 又因为a十B>0,所以a>一B, 所以，lnah(x)min=h(2)=2,解得a≤e. 所以f(a)>f(-), 综上，0<a≤e2. 即a-cosa>一3-cos(一)， [答案]A 即a-cosa>-B-cosB, 跟踪训练 所以a十>cosa一cosB, 2.CL设g(x)=lnx十x,由f(a)=g(e“)=g(B),又g(x)= 即“a十B>0”能推出“a十B>cosa-cosB”; lnx十x在定义域上单调递增，则B=e°，于是aB=ae,再利 根据a十B>cosa一cosB, 用导数求函数的最小值即可. 可得a-cosa>一B-cosB, 因为f(x)=e+x=e+lne,g(x)=lnx+x, 即a-cosa>-B-cos(-B), 所以f(a)=e+lne,g(e)=e+lne,而f(a)-g()=0, 所以f(a)>f(-),所以a>-B,即a十B>0, 故f(a)=g(e)=g(,又g(x)=lnx十x在定义域上单调 所以“a十>cosa-cosB”能推出“a十B>0”, 递增，则B=e,于是8=ae°. 所以“a十B>0”是“a十B>cosa-cosB”的充要条件.] ·131· I数学 当x<0时，g(x)<0,g(x)单调递减；当x>0时，g'(x)> 2.C[因为c=6(2-1n2)_ Q ,a=In 3=3In 3 0,g(x)单调递增， 3 ,6=log2 e 所以g(x)≥g(0)=1,从而a-b>1,结合选项，选项B、C、D 符合题意.门 -3引o影e,故考虑枸造函数f(x)=血二，利用导数研究函数 5.BC[构造函数f(x)=xe一x.则f(x)=(x十1)e一1， 3 当x<0时，0<e<1→f(x)<x+1-1=x<0; f(x)的单调性，结合单调性比较a,c的大小，再结合对数函 x≥0时，e≥1→f(x)≥x+1-1=x≥0. 数的单调性比较a,b的大小可得结论. 即f(x)在(-∞，0)上单调递减，在(0，十∞)上单调递增. 因为c=82-h2)3h号 又由题mem+ln>lnn十m→mem-m>en"lnn-lnn→ e2°，a=ln3=3ln3 f(m)>f(In n). 3 A选项，取m=n=e,则lnn=lne=l<m,因f(x)在(0， 2 十∞)上单调递增， 则f(m)>f(lnn)满足题意，但此时m一n=0,故A错误； 构造函数f(x)=ln B选项，若m>0,n>l,则nn>0,又由题可知f(m>f(lnn), 因为(x)=1-nx. 且f(x)在(0，十oo)上单调递增，则m>lnn→e">lnn,故 x21 B正确； 所以当x>e时，f(x)<0, C选项，若m<0,当n≤1时，m十lnn≤m<0,满足题意； 当n>1时，构造函数g(x)=f(x)-f(-x)=x(e十e), 函数f(x)=n工在(e,十o∞)上单调递减， 注意到当x<0时， 当0<x<e时，f(x)>0, g(x)<0,又m<0,则g(m)=f(m)-f(-m)<0→f(m)< f(-m). 函数f(x)=n在(0，e)上单调递增， 又因f(m)>f(lnn),则f(lnn)<f(一m).因-m,lnn>0, x f(x)在(0，十∞)上单调递增， 则lnn<-m→lnn十m<0.综上，若m<0,则m十lnn<0, 又e >3>e,所以 故C正确； e2 3 D选项，取m=-2,n三，则nn=一1>m,又f(x)在 e2 3In 2 3ln 3 (一∞，0)上单调递减， 故 ,即a>c, e 3 则fm)>fnm)满足题意，但光时十=是+<2，故 2 D错误.] 因为a=1n3=3h3_h27,b=1og,e=log影C 6.解析：由f(x)≥x2-入x恒成立，即e“-2lnx≥x2-λx,对x 3 3 3 >0恒成立， 因为e>(2.7)>27,e3>(2.7)3>16, 整理得e十lne≥x2+lnx2,对x>0恒成立， 所以lne=4>ln27,log2e3>log216=4, 令g(x)=x十lnx,易知g(x)在(0，十o∞)上单调递增， 所以log,C>血27，即b>a, 则上式为g(e)≥g(x2),则e≥x2,即x≥lnx2, 3 3 整理得≥2n二，对x>0恒成立， 所以c<a<b.] x 3.D[依题意可得对任意x∈(1，十oo),不等式e-λx≥e: 令h(x)=21n工，则(x)=21-ln2 -lnx恒成立，令f(x)=e-x,x∈(0，十o∞)，结合函数的 x 单调性得到λx≥lnx对任意x∈(1，十∞)恒成立，参变分离 可得x∈(0，e),h'(x)>0,h(x)单调递增， 可得≥n工对任意x∈(1，十o∞)恒成立，构造函数，利用导 x∈(e,十∞)，h'(x)<0,h(x)单调递减，则h(x)max=h(e)= 2,所以A≥ 数求出(nx) e ,即可得解 因为对任意x∈(1，十∞)，不等式e-(a十l)x+lnx≥0恒 答案：[名+） 成立， 即对任意x∈(1，十∞)，不等式e-λx≥x-lnx恒成立， 7.解：)由题可知f(x)=m-是，xE(1,o), 即对任意x∈(1，十oo),不等式e-λx≥er-lnx恒成立， 且f(x)在定义域上单调递增， 因为x∈(1，十oo),所以nx>0,又>0，所以λx>0, 当m≤0时，(x)=m-1<0恒成立， 令f(x)=e-x,x∈(0，十∞)，则f(x)=e-1>0, 此时f(x)在(1，十∞)上单调递减. 所以f(x)在(0，十∞)上单调递增， 由f(x)≥f(lnx)对x∈(l,十∞)恒成立，得到入x≥lnx对 当0<m<1时，令f(z)=0,则x=m 任意x∈(1，十∞)恒成立， 所以>血二对任意x∈(1，十∞)恒成立， 所以z∈(1，品)时，f)<0,此时f)单羽递减x∈ 令g)-',xE,+o),则g-1-hz (品十）时，>0，此时米钢达增 x2 所以当1≤x<e时，g(x)>0,即g(x)在(1，e)上单调递增， 当m≥1，即0<1≤1时， 当x>e时，g'(x)<0,即g(x)在(e,十∞)上单调递减， 此时f(x)>0在(1，十∞)恒成立，f(x)单调递增. 所以g(x)nx=g(e)=1 e 综上，当m0时，f(x)在(1，十o)上单调递减； 故得心。，即入的取值范国是≥。] 当0<m<1时，f(x)在(，品)上单潮递减，在 e 4.BCD[设f(x)=x十e,得到f(x)在R上单调递增，求得f (侵十上单消运增： (b)一f(lna)=0,得到a=e°，则a一b=e°-b,再令g(x)=e 当m≥1时，f(x)在(1，+∞)上单调递增 一x,求得g(x)=e-1,得出g（x)的单调性，由g（x)≥g (2)因为x∈(1，十∞)，所以x2-x>0, (0)=1,得到a一b≥1，结合选项，即可求解. 又em-1Dx+1f(x)≥x2-x,所以f(x)>0, 设函数f(x)=x十e,则f(x)在R上单调递增， 即mx-lnx>0, 所以f(b)-f(lna)=b+e°-(lna+ea“)=a+lna-(lna 十a)=0, 故x∈(1，十∞)时，m>1n2恒成立， 所以b=lna,即a=e°，所以a-b=e-b, 令g(x)=e-x,则g'(x)=e-1, 令p()=n,x1+),则g)=1h, ·132· 答案精析 当x∈(1，e)时，o'(x)>0,o(x)为单调递增， 当x∈(e,十o∞)时，p(x)<0,p(x)为单调递减， 即e+(2-e)x-1≥lnx十1.所以，e+(2-e)x-1≥xlnx 所以p(x)=g(e)=,从而m>是 十x, e 即e十(1-e)x-xlnx-1≥0成立，当x=1时等号成立. 将em-Dx+1f(x)≥x2一x两边同时取以e为底的对数可得 故：当x>0时，g(x)≤f(x), (m-1)x+1+In(mx-In x)>In z+In(x-1), 方法二：要证xlnx-x2+(e-1)x十1≤e-x2,等价于 整理可得(mx-lnx)+ln(mx-lnx)≥(x-1)十ln(x-1). xlnx十(e-l)x+1-e≤0，又x>0,可转化为证明lnx+ 令g(t)=t+lnt,则g(mx-lnx)≥g(x-1), 且g(t)在(0，十∞)上单调递增， e-1+1-e≤0 x 因为mx-lnx>0且x-1>0, 所以mx-1nx≥x-1在(1，十o)上恒成立， 令F(x)=lnx+e-l+⊥-e 所以m≥+lnx-1=1+hx-1恒成立， F()=1-1-e(z-1)=(x-101-e) 令h(x)=血工二上，则(x)=2-n工， x x>0,因此当x∈(0,1)时，F(x)>0,F(x)单调递增；当 当x∈(1，e)时，h'(x)>0,h(x)单调递增， x∈(1，十o∞)时，F(x)<0,F(x)单调递减； .F(x)有最大值F(1)=0,即F(x)≤0恒成立，即当x>0 当x∈(e,十o)时，h'(x)<0,h(x)单调递减， 时，g(x)f(x). 所以h(x)x=h(e)=1 , 跟踪训练 1.解：(1)先表示出导数公式f(x)=4e-1+2ax,结合导数的 所以m十是， 几何意义建立斜率的等量关系，再结合曲线过切点，即可求 解；(2)由(1)的结论可将所求问题转化为当x>0且x≠1 又国为。<1+日，所以m≥1+2 时，4e-1-x2>2x十1，构造函数g(x)=4e2-1-x2-2x-1, e 则g(x)=4e1-2x-2,无法判断正负，考虑再次求导： 培优微专题4 g"(x)=4e1一2，结合零点存在定理可判断g”(x)单调递 研析考点层级突破 增，必定存在x。∈(0,1)，使得g(x)=0,倒推出g(x)在 考点一 (0,x)上单调递减，在(x,十∞)上单调递增，又结合端点值 例1[解](1)求出f(x)的导数，计算f(1),f(1),求出a,b 的值即可；(2)求出f(x)的导数，得到导函数的单调性，得到 g'(0)=4-2<0,g(1)=0,可得g(x)在(0,1）上单调递减，在 f(x)在[0,1]上单调递增，从而求出f(x)的最大值；(3)只需 (1,十o∞)上单调递增，∴g(x)in=g(1)=0,进而得证；(3)将 证明x>0时，e+(1-e)x-xlnx-1≥0，因为f(0)=1,且 曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y=(e一2)x十1，故 所证不等式同除x得4e1-2-3-21n≥0，由(2)的结 可猜测：当x>0且x≠1时，f(x)的图象恒在切线y=(e一 2)x十1的上方. 论进行放缩，可得2z十1≥3+2血工，即证x2-工一1nx≥0， (1)由题设得f(x)=e-2ax, ./f(1)=e-2a=b 再次构造函数p(x)=x2一x一lnx,结合导数求出函数最 值，即可求证； f(1)=e-a=b+1' 解得，a=1,b=e-2. (1)f(x)=4e-1+2ax,由曲线y=f(x)在x=1处的切线 方程为y=bx十1知： (2)由(1)知，f(x)=e-x2, 令函数h(x)=e一x一1，.h'(x)=e一1， jf=4十2ab,解得a=-1,b=2. f(1)=4+a=b+1, 当x<0时，h'(x)<0,h(x)单调递减： (2)由题意只需证：当x>0且x≠1时，4e1-x2>2x+1； 当x>0时，h'(x)>0,h(x)单调递增； 设g(x)=4e-1-x2-2x-1,则g'(x)=4e1-2x-2, ∴.h(x)≥h(0)=0,即e≥x十1 g”(x)=4e-1-2,易知g"(x)在(0，十o∞)上单调递增；且 .当x∈[0,1]时，f(x)=e-2x≥x十1-2x=1-x≥0，且 仅当x=1时f(x)=0, g”(1)=2>0,g(0)=4-2<0,∴必定存在，∈(0,1)，使 故f(x)在[0,1]上单调递增， 得g”(x)=0,则g(x)在(0，xo)上单调递减，在(x,十∞) .f(x)min=f(0)=1; (3)由题要证：当x>0时，g(x)≤f(x), 上单调递增，其中g(0)=4-2<0, 即证：e十(1-e)x-xlnx一1≥0， g(1)=0,即g(x)在(0,1)上单调递减，在(1，+∞)上单调 因为f(0)=1,且曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y= 递增，∴g(x)min=g(1)=0,即当x>0且x≠1时， (e-2)x+1, g(x)>0成立： 故可猜测：当x>0且x≠1时，f(x)的图象恒在切线y=(e 所以当x>0且x≠1时，曲线y=f(x)的图象在切线y=bx -2)x+1的上方. +1的上方. 下面证明：当x>0时，f(x)≥(e-2)x十1， (3)要证：4xe-1-x3-3x-2lnx≥0， 方法一：证明：设p(x)=f(x)-(e-2)x一1，x>0, 则p(x)=e-2x-(e-2),令F(x)=p(x), 只需证4e-1-x2-3-21n>≥0. F(x)=e-2, 由(2)知x>0时，4e-1-x2≥2x+1. 当x∈(0，ln2)时，F(x)<0,p(x)单调递减； 当x∈(In2,+o∞)时，F(x)>0,9'(x)单调递增， 故只需证2z十1≥3+21n工，即证x2-x-1nx≥0， 又p(0)=3-e>0,p(1)=0,0<ln2<1, p(ln2)<0 设p()=x2-x-l1nc,则9'(x)=2z-1-1=2x2-x-1 所以，存在x。∈(0,1)，使得(x)=0, 当x∈(0，x)U(1,十∞)时，o(x)>0;当x∈(x,1),o(x)<0, =2z+1)(x一1)，易知p(x)在(0,1)上单调递减，在(1，十 故o(x)在(0，xn)上单调递增，在(x。,1)上单调递减，在(1， ∞)上单调递增， 十∞)上单调递增. .p(x)≥p(1)=0; 又g(0)=p(1)=0,∴.p(x)=e-x2-(e-2)x-1≥0，当且 即不等式：4xe-1-x3-3x-2lnx≥0成立， 仅当x=1时取等号， 考点二 故+(2-e)x-1≥，x>0. 例2[解](1)利用导函数求得f(x)的最大值，再得到 f(x)在(0，十∞)上的递减性；(2)x∈(0,1)时函数值恒为负 由(2)知，e≥x十1，故x≥ln(x十1)，.x-1≥lnx,当且仅 数，所以研究x∈(1，十∞)的最大值，借助导函数得到在区 当x=1时取等号， 间(1，十∞)上小于0，所以函数单调递减，从而得到函数值 所以，e+(2-e)x-1≥x≥1nx+1. 一定小于0，得证；(3)利用导函数求单调区间，由此得出x2 的所在区间，利用导数的几何意义推出工一工<b十1→x2 ·133·