2.1 认识实数同步训练 2025-2026学年北师大版数学八年级上册

第一节 认识实数 一、思维导图 二、知识梳理 1、无理数： （1）定义：无限不循环小数称为无理数。 （2）常见的无理数类型： ①开方开不尽的数，如等； ②某些含的数，如、2等； ③有规律但不循环的小数，如0.1010010001…（相邻两个1之间0的个数加1）等. 2、实数 （1）实数的定义：有理数和无理数统称为实数。 （2）实数的分类： 按定义分 按正负性分类： 三、夯实基础 （一）选择题 1.下列说法中正确的是． A. 有理数都是有限小数 B. 无限小数都是无理数 C. 无理数都是无限小数 D. 是分数 2.下列数中，无理数是(    ) A. B. C. D. 3.在数，，，，，，中，无理数的个数是  (    ) A. B. C. D. 4.一个正方形的面积是，估计它的边长大小在(    ) A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间 5.边长为的正方形的对角线长(    ) A. 是整数 B. 是分数 C. 是有理数 D. 不是有理数 6.实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是(    ) A. B. C. D. （二）填空题 7.写出一个比大比小的无理数：          ． 8.比较大小：           填“”“”或“”． 9.以下各数：，，，，，，每相邻两个之间依次多一个中，其中是无理数为          填序号． （三）解答题 10.把下列各数填在相应的括号里． ，，，，，，，，． 分数集合：           ； 整数集合：           ； 有理数集合：           ； 无理数集合：           ． 11.画图题． 请你在方格纸上按照如下要求设计图形，每个小正方形的边长为． 请在图中设计一个直角三角形，使它的三边中有两边的边长不是有理数； 请在图中设计一个直角三角形，使它的三边长都不是有理数． 四、拓展提升 （一）选择题 1.实数、在数轴上的位置如图，则等于(    ) A. B. C. D. 2.如图，数轴上、两点分别对应实数、，有以下结论：       ，其中结论正确的个数有(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 3.已知四个整式分别为：，，，；若对这四个整式中的一个添加绝对值符号或多个分别添加绝对值符号注：绝对值里面无绝对值，即不出现多重绝对值后再求和称为一次“防御操作”；例如：为一次“防御操作”，为一次“防御操作”等；则以下表述正确的个数是(    ) 对于任意的实数，存在某种“防御操作”使得化简结果恒为；对于特殊“防御操作”：的最小值是；共有种不同的“防御操作”． A. B. C. D. （二）填空题 4.如图，将一个半径为的圆沿数轴正方向滚动，已知点在数轴上表示的数是，则滚动一周后点的对应点所表示的数为          ． 5.如图，在的正方形网格中，以为边画直角，使点在格点上，且另外两条边的长均为无理数，则满足这样条件的点共有          个． 6.已知，为实数，下列说法： 若，，则 若，则是正数 若，则 若，且，则，其中正确的是          ． 7.我们知道，表示在数轴上对应的点到原点的距离，我们可以把看作，所以，就表示在数轴上对应的点到的距离，就表示在数轴上对应的点到的距离由上面绝对值的几何意义，解答下列问题： 的最小值为______． 的最小值为______． （三）解答题 8.数学课上，好学的小明向老师提出一个问题：无限循环小数是有理数吗？以为例，老师给小明作了以下解答注：即： 解：设为，即， 等式两边同乘，得， 即． 因为，所以， 解得，即． 因为分数是有理数，所以是有理数． 同学们，你们学会了吗？ 请根据上述材料，解决下列问题： 无限循环小数写成分数的形式是          ； 请用解方程的方法将写成分数． 9.为什么说不是有理数． 【阅读与思考】 假设是有理数，那么存在两个互质的正整数和，使得，两边平方得，即          ． 故是偶数，因为只有偶数的平方才是偶数，所以也是偶数． 设是正整数，代入得，          ． 所以也是偶数，则和都是偶数，不互质这与假设和互质矛盾． 这个矛盾说明，不能写成分数的形式，即不是有理数． 【运用并解决】 类比上述的阅读与思考，推理说明不是有理数． 【迁移与应用】 长方形画纸的面积为，长与宽的比为，曹同学想从中裁出半径为的圆形画纸，她的想法可行吗请说明理由． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $第一节认识实数 参考答案： 三、夯实基础 题号12345 6 7 8 9 答案 B C π（答案不唯 < ④⑥⑦ ) 10分数集合：(+号-0.3，-3.14.-7兮… 整数集合：1{-5,0，-7. 有理数类合：M-5号-0.30.314.-7-7兮小： 无理数集合：{一π，1.3838838883.. 6 11.(1)解：画法不唯一，如：如图1，△ABC满足条件 A B 图1 (2)如图2，△ABC满足条件， C 图2 第1页共3页 四、拓展提升 题号123 4 5 6 答案DD 2π+14 ①②④ (1)4: (2)6 80)3 9 0解：设0.2i为，即021- 0.21=x 等式两边同乘10，得21.21=100X即21+0.21i=100× 0.21=x .21+x=100x.解得X 33’即0.21-7 33 9.解：(1)【阅读与思考】 假设√2是有理数，那么存在两个互质的正整数p和q,使得V2= q 两边平方得2=（卫）， 9 即p2=2q2.① 故p是偶数，因为只有偶数的平方才是偶数，所以p也是偶数. 设p=2s,代入①得，4s2=2q2, 即g2=2s2； 所以q也是偶数，则p和q都是偶数，不互质.这与假设p和q互质矛盾. 这个矛盾说明，√2不能写成分数的形式，即V2不是有理数， 故答案为：2g2,2s2; (2)假设2是有理数， 则存在两个互质的正整数m,n,使得2= m 于是有2m3=n3, .n3是2的倍数， 第2页共3页 .n是2的倍数， 设n=2t(t是正整数)，则n3=8t3,即8t3=2m3, .4t3=m3, ∴.m也是2的倍数， ∴m,n都是2的倍数，不互质，与假设矛盾， 假设错误， .2不是有理数 (3)她的想法不可行，理由如下： 设长方形的长为5xcm,则宽为4xcm, 由题意可得，5x·4x=700, ∴.x=V35 即长为5V35cm,宽为4V35cm, 而圆形的半径为12cm, ∴.圆形的直径为24cm, .5<35<6, ∴.20<4V35<24, ∴.不能裁出半径为12cm的圆形画纸， 故她的想法不可行 第3页共3页