2.3.1 一元二次不等式及其解法 课件-2025-2026学年高一上学期数学湘教版必修第一册

该高中数学课件聚焦一元二次不等式的概念解法及应用，以智慧农业产量问题导入，从实际情境抽象出不等式，衔接二次函数与一元二次方程知识，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以实际问题驱动培养数学眼光，通过数形结合和分类讨论发展数学思维，用表格系统总结通法强化数学语言表达。含不同判别式例题及分式不等式拓展，助力学生提升抽象与推理能力，为教师提供结构化教学流程和多样化案例。

一元二次不等式及其解法 1 一 许多实际问题都可以转化为不等式问题,例如: 问题 如今,智慧农业深入民心,通过科学种植可以大幅提高农产品的产量和品质.实践证明,果树栽培过程中,如果栽种密度过大,果树之间的透气性就会收到影响,不能保证有足够的光照,水果的产量和品质都会收到影响.通过数据分析,在某果园种植面积不变的情况下,如果种植50棵果树,平均每棵树可以产苹果600个.如果种植密度增加,每多种一棵树,平均每棵树就会减少产果5个.如果使水果总产量不少于33000个,应该如何安排果树种植数量? 一元二次不等式及其解法 一 分析 按照目前情况,果园水果产量为50 600=30000(个),所以需要增种果树才能增产. 设要增种x棵果树,增种后平均每棵树产果(600-5x)个,根据题意得 (600-5x)(50+x)≥33000, 整理得 -5x2+350x-3000≥0, 即 x2-70x+600≤0. 只要求得以上不等式的解集,就得到了问题的答案. 一元二次不等式及其解法 一 我们把只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式. 怎样求上面一元二次不等式的解集呢? 从2.2节我们知道,一元二次方程与相应的二次函数有着密切的联系,一元二次方程的根就是对应二次函数的零点.那么,一元二次不等式和相应的二次函数是否也有类似的联系呢? 一元二次不等式及其解法 一 解一元二次方程x2-70x+600=0,得两个实数根 x1=10,x2=60. 然后画出二次函数y= x2-70x+600的图象,如图2.3-1所示. 一元二次不等式及其解法 一 观察图象可知,当x<10或x>60时,函数图象位于x轴上方,此时y>0,即x2-70x+600>0;当10<x<60时,函数图象位于x轴下方,此时y<0,即x2-70x+600<0.所以,一元二次不等式x2 -70x+600≤0的解集是 {x|10≤x≤60}. 所以,当增种的果树数量在10~60棵的范围内时,水果总产量不会少于33000个. 一元二次不等式及其解法 一 其实,上述方法可以推广到求一般的一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)或ax2+bx+c<0(a>0)的解集.我们可由二次函数的零点与一元二次方程根的关系,先求出对应一元二次方程的根,再根据二次函数的图象与x轴的位置关系确定一元二次不等式的解集. 由于二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象可根据零点个数分为 >0, =0, <0三种情况,因此,我们可分三种情况来讨论对应的一元二次不等式ax2+bx+c(a>0)与ax2+bx+c<0(a>0)的解集. 一元二次不等式及其解法 一 计算判别式 =b2-4ac. 1. 当 >0时,先求出方程ax2+bx+c=0的两根x1和x2(不妨设x1<x2),二次函数y=ax2+bx+c的图象如图2.3-2(1)所示,因此,不等式ax2+bx+c>0的解集为(-∞,x1)∪(x2 ,+∞),不等式ax2+bx+c <0的解集为(x1 , x2). 一元二次不等式及其解法 (1) (2) (3) 图2.3-2 一 2. 当 =0时,二次函数y=ax2+bx+c的图象顶点 在x轴上,其余部分都在x轴的上方,如图2.3-2(2)所示,因此,不等式ax2+bx+c>0的解集为 ,不等式ax2+bx+c<0的解集为. 一元二次不等式及其解法 一 3. 当 <0时,二次函数y=ax2+bx+c的图象全部位于x轴的上方,如图2.3-2(3)所示,因此,不等式ax2+bx+c>0的解集为(-∞,+∞),不等式ax2+bx+c<0的解集为. 因此,解形如ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0(其中a>0)的一元二次不等式,一般可分为三步: (1)确定对应一元二次方程ax2+bx+c =0的根; (2)画出对应二次函数y= ax2+bx+c的大致图象; (3)由图象得出不等式的解集. 对于二次项系数是负数(即a<0)的一元二次不等式, 可以先把二次项系数化为正数,再按上述步骤求解. 一元二次不等式及其解法 借助二次函数图象的直观 性,得到求解一元二次不等式 的通法,这体现了数形结合, 亦反映了函数、方程与不等式 之间的关联. 一 一元二次不等式及其解法 解不等式2x2-x-3≥0. 解 方程2x2-x-3=0有两个不相等的实数根 x1=-1, x2 = . 函数y=2x2-x-3的图象如图2.3-3所示,与x轴 有两个交点(-1,0), ,由图象得不等式 2x2-x-3≥0的解集为 {x| x≤-1或x≥ }. 例 1 y=2x2-x-3 图2.3-3 一 一元二次不等式及其解法 解不等式4x2-4x+1>0. 解 方程4x2-4x+1=0有两个相等的实数根 x1= x2= . 函数y=4x2-4x+1的图象如图2.3-4所示, 与x轴仅有一个交点 ,由图象得不等式 4x2-4x+1>0的解集为 {x| x∈R且x≠ }. 例 2 y=4x2-4x+1 图2.3-4 一 一元二次不等式及其解法 解不等式-x2+4x-5>0. 解 (方法一)在不等式两端同时乘以-1, 可得x2 -4x+5<0. 由于 <0,所以方程x2-4x+5=0没有实数根, 于是函数y=x2-4x+5的图象与x轴没有交点,如 图2.3-5(1)所示,由图象得不等式x2-4x+5<0的 解集为. 例 3 y=x2-4x+5 (1) 图2.3-5 一 一元二次不等式及其解法 (方法二)方程-x2+4x-5=0没有 实数根,于是函数y=-x2+4x-5的图象 与x轴没有交点,如图2.3-5(2)所示,由 图象得不等式-x2+4x-5>0的解集为. y= -x2+ 4x-5 (2) 图2.3-5 一 一元二次不等式及其解法 解下列不等式: (1) x2-x-6<0; (2)-2 x2 +x-5<0; (3) 3x2+2x+ <0; (4) 16-24x≤-9x2; (5) (x+1)2-6>0; (6)(x-3)(x+3)>1. 练 习 一 一元二次不等式及其解法 由求解一元二次不等式的方法与过程可知,一元二次不等式与相应一元二次方程和二次函数有紧密的联系,具体地,我们可用如下一张表格予以说明: 一 一元二次不等式及其解法 续表 一 一元二次不等式及其解法 不难发现,一元二次方程和一元二次不等式分别是二次函数函数值等于零和不等于零时的“局部”情形,而相应一元二次方程和一元二次不等式的解都可由二次函数的图象得出. 例如,根据二次函数y=2x2-x-1的图象,可得一元二次方程2x2-x-1=0的两实数根分别为x1=- ,x2=1,则一元二次不等式2x2-x-1>0的解集为{x|x<- 或x>1},一元二次不等式2x2-x-1≤0的解集为{x|- ≤x≤1}. 一 一元二次不等式及其解法 解不等式 . 解 原不等式等价于(-2x+5)(x-2)>0,即(2x-5)(x-2)<0 , 所以 2 < x < . 故原不等式的解集为 . 例 4 一 一元二次不等式及其解法 若对任意的实数x,一元二次不等式 x2+2(1+k)x+3+k>0 恒成立,求实数k的取值范围. 解 由题意知,一元二次不等式x2+2(1+k)x+3+k>0的解集为R,于是对应二次函数y=x2+2(1+k)x+3+k的图象开口向上,且恒在x轴上方,所以 =4(1+k)2-4(3+k)<0, 即 4(k 2+k-2)<0, 求解该一元二次不等式得 -2<k<1. 例 5 一 一元二次不等式及其解法 已知不等式x2+ax+b<0的解集为(-3,-1),求实数a,b的值. 解 由一元二次不等式解集的结构知,-3和-1是一元二次方程x2+ax+b=0的两个实数根,所以 解得 例 6 一 一元二次不等式及其解法 1. 解不等式:(1) ; (2) ≥2. 2. 当k为何值时,关于x的方程x2 +2(k-3)x+4k=0分别满足: (1)无实数根? (2)有两正实根? 3. 设关于x的不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0的解集为(-∞,+∞),求实数a的取值范围. 4. 若不等式x2-ax-b<0的解集是{x|2<x<3},求不等式bx2-ax-1≥0的解集. 练 习 返回目录 谢谢观看 $