精品解析：江苏省南京市临江高级中学2025-2026学年高一上学期10月月考数学试题

南京市临江高级中学2025-2026学年高一第一学期月考 数学试题 分值：150分 考试时间：120分钟 注意事项： 1.本试卷所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分. 2.答题务必将自己姓名，准考证信息用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷答题卡上. 第Ⅰ卷（选择题共58分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键. 【详解】， . 故选：D. 2. 下列各组函数中，是同一个函数的有（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】AD 【解析】 【分析】逐个选项分别判断函数的定义域与对应法则是否相同即可. 【详解】对于A，，定义域均为，是同一函数； 对于B，与解析式不同，不是同一函数； 对于C，，定义域为，，定义域为R，两个函数定义域不同，不是同一函数； 对于D，，定义域均为R，是同一函数. 故选：AD． 3. 设命题，则的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用全称量词命题的否定直接判断得解. 【详解】命题是全称量词命题，其否定是存在量词命题， 所以的否定为. 故选：D 4. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要 【答案】B 【解析】 【分析】求解得到，再由是的真子集，即可求解. 【详解】由， 因为是的真子集， 所以“”是“”的必要不充分条件， 故选：B 5. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用给定函数的意义，列出不等式组并求解即得. 【详解】由题，可得，解得且， 所以函数的定义域为. 故选：C. 6. 已知，则的最小值为（ ） A. 4 B. C. 8 D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接使用基本不等式求解即可. 【详解】由于，， 当时，上式取等号，即时，的最小值是. 故选：B 7. 已知集合，若，则的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解不等式求得集合，分和两种情况求解即可. 【详解】由，可得， 所以，解得或，所以或， 若，则，解得，此时，符合题意； 若，由，可得，解得； 所以的范围是. 故选：C 8. 自然界中，大多数生物存在着世代重叠现象，它们在生活史中会持续不断地繁殖后代，且有时不同的世代能在同一时间进行繁殖.假定某类生物的生长发育不受密度制约时，其增长符合模型：，其中为种群起始个体数量，为增长系数，为时刻的种群个体数量.当时，种群个体数量是起始个体数量的2倍.若，则（ ） A. 300 B. 450 C. 600 D. 750 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知函数模型计算得出，再结合指数运算计算求解. 【详解】因为模型：，其中为种群起始个体数量，为增长系数， 因为当时，种群个体数量是起始个体数量的2倍. 所以，所以， 若，则. 故选：C. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 满足的集合可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由条件确定，即可判断. 【详解】因为， 所以，是否属于，不影响， 所以ABD符合， 故选：ABD 10. 对于任意实数，有以下四个命题，其中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】举反例说明A是错误的，利用不等式的性质判断BC的真假；利用作差法判断D的真假. 【详解】对A：因为，，但，故A错误； 对B：因为，则，两边同除以，不等号方向不变，得，故B正确； 对C：因为，则，两边同除以，不等号方向不变，得，即，故C正确； 对D：因为，当时，，即，所以，故D正确. 故选：BCD 11. 已知实数满足，则下列选项中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据指数幂的运算结合完全平方公式，立方和公式依次讨论各选项即可得答案. 【详解】对于A，由，得，化简得，故A错误； 对于B，因为，所以， 所以，所以，故B正确； 对于C，由A，，所以，所以，故C错误； 对于D，由， 由B，，，故D正确. 故选：BD. 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知命题“，”是真命题，则实数的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，从而可得出答案. 【详解】解：因为命题“，”是真命题， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 13. 已知，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】用换底公式将换成以2为底的对数，进而根据对数的运算性质得到答案. 【详解】. 故答案为：. 14. 已知实数满足，且，则的最小值为_________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据常数变换，转化，展开后利用基本不等式求最值. 【详解】由条件可知，，， 由可知，， 所以， ， 当时，即等号成立， 当，且，得，， 所以的最小值为. 故答案为： 四、解答题（本大题共5小题，共77分） 15. 计算： （1）； （2）. 【答案】（1）0； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用指数运算法则及根式运算求解. （2）利用对数运算性质及指数式与对数式互化关系求解. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 . 16. 已知函数. （1）画出的图象，并写出函数的值域； （2）当时，比较与的大小； （3）是否存在，使得. 【答案】（1） 值域： （2） （3）存在 【解析】 【分析】（1）根据二次函数的性质作出图像，结合二次函数单调性求解； （2）根据二次函数单调性求解； （3）直接解方程即可判断. 【小问1详解】 根据二次函数性质，在上递增，在上递减， 而，则值域是. 【小问2详解】 由（1）知在上递增， 则 【小问3详解】 时，即，即， 又，则符合题意， 故存在，使得 17. 已知函数. （1）若关于的不等式的解集为，求的值； （2）求关于的不等式（其中）的解集. 【答案】（1） （2）当时，不等式解集为当时，不等式的解集为当时，不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）方程的两根为1和，且，及求解； （2）原不等式可以化为，对a分类讨论求解． 【小问1详解】 关于的不等式的解集为 方程的两根为1和，且 由韦达定理得：，解得. 【小问2详解】 原不等式可以化为. 方程的两根为， ①当，即时，不等式即为，解集为， ②当，即时，不等式的解集为， ③当，即时，不等式的解集为 综上所述，当时，不等式解集为 当时，不等式的解集为 当时，不等式的解集为. 18. 实行垃圾分类，关系生态环境，关系节约使用资源．某企业新建了一座垃圾回收利用工厂，于2019年年初用98万元购进一台垃圾回收分类生产设备，并立即投入生产使用．该设备使用后，每年的总收入为50万元．若该设备使用x年，则其所需维修保养费用x年来的总和为万元（2019年为第一年），设该设备产生的盈利总额（纯利润）为y万元． （1）写出y与x之间的函数关系式，求该设备在第几年的盈利总额为30万元． （2）使用若干年后，对设备的处理方案有两种： ①当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该设备；（年平均盈利额=盈利总额÷使用年数） ②当盈利总额达到最大值时，以12万元价格处理该设备． 试问用哪种方案处理较为合理？请说明你的理由． 【答案】（1），从第 3 年开始该设备开始全年盈利； （2）方案①比较合理，理由见解析 【解析】 【分析】（1）确定，再解方程即可. （2）利用均值不等式和二次函数性质分别计算最大值，比较得到答案. 【小问1详解】 ， 解方程，得或， 故在第4 年或16年盈利总额为30万元； 【小问2详解】 ①， 当且仅当时，即时等号成立. 到2025年，年平均盈利额达到最大值，该设备可获利万元. ②，当时，. 故到 2028 年，盈利额达到最大值，该设备可获利 万元. 因为两种方案企业获利总额相同，而方案①所用时间较短，故方案①比较合理. 19. 设. （1）若函数有且仅有1个零点，求的值； （2）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； （3）解关于的不等式. 【答案】（1）或或 （2） （3） 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）分和，结合函数零点的个数求的值. （2）分和结合二次函数性质讨论，根据不等式恒成立问题列出不等式求解. （3）对进行分类讨论解不等式即可. 【小问1详解】 当时，函数可化为，由，满足函数有且只有1个零点； 当时，由函数有且仅有1个零点， 所以或. 综上可知，函数有且仅有1个零点， 则或或. 【小问2详解】 不等式. 即对一切实数恒成立. 当时，， 即不等式仅对成立，不满足题意； 当时，要使对一切实数恒成立， 则. 综上，实数的取值范围是. 【小问3详解】 可化为， 所以. 若，则原不等式可化为； 若，则原不等式可化为； 若，则原不等式可化为， 当，即时，可得或； 当，即时，可得； 当，即时，可得或. 综上可得：当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南京市临江高级中学2025-2026学年高一第一学期月考 数学试题 分值：150分 考试时间：120分钟 注意事项： 1.本试卷所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分. 2.答题务必将自己姓名，准考证信息用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷答题卡上. 第Ⅰ卷（选择题共58分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组函数中，是同一个函数的有（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 3. 设命题，则的否定为（ ） A. B. C. D. 4. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要 5. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则的最小值为（ ） A. 4 B. C. 8 D. 7. 已知集合，若，则的范围是（ ） A. B. C. D. 8. 自然界中，大多数生物存在着世代重叠现象，它们在生活史中会持续不断地繁殖后代，且有时不同的世代能在同一时间进行繁殖.假定某类生物的生长发育不受密度制约时，其增长符合模型：，其中为种群起始个体数量，为增长系数，为时刻的种群个体数量.当时，种群个体数量是起始个体数量的2倍.若，则（ ） A. 300 B. 450 C. 600 D. 750 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 满足的集合可能是（ ） A. B. C. D. 10. 对于任意实数，有以下四个命题，其中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 已知实数满足，则下列选项中正确的是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知命题“，”是真命题，则实数的取值范围为________． 13. 已知，则__________. 14. 已知实数满足，且，则的最小值为_________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分） 15. 计算： （1）； （2）. 16. 已知函数. （1）画出的图象，并写出函数的值域； （2）当时，比较与的大小； （3）是否存在，使得. 17. 已知函数. （1）若关于的不等式的解集为，求的值； （2）求关于的不等式（其中）的解集. 18. 实行垃圾分类，关系生态环境，关系节约使用资源．某企业新建了一座垃圾回收利用工厂，于2019年年初用98万元购进一台垃圾回收分类生产设备，并立即投入生产使用．该设备使用后，每年的总收入为50万元．若该设备使用x年，则其所需维修保养费用x年来的总和为万元（2019年为第一年），设该设备产生的盈利总额（纯利润）为y万元． （1）写出y与x之间的函数关系式，求该设备在第几年的盈利总额为30万元． （2）使用若干年后，对设备的处理方案有两种： ①当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该设备；（年平均盈利额=盈利总额÷使用年数） ②当盈利总额达到最大值时，以12万元价格处理该设备． 试问用哪种方案处理较为合理？请说明你的理由． 19. 设. （1）若函数有且仅有1个零点，求的值； （2）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； （3）解关于的不等式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $