期中测试题（21-23单元）-2025-2026学年人教版九年级数学上册

2025-2026学年人教版九年级数学上册期中测试题（21-23单元） 满分:120分 考试时间:120分钟 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）如图，将图形按顺时针方向旋转后的图形是（  ） A． B． C． D． 2．（本题3分）下列方程中，是一元二次方程的是（  ） A． B． C． D． 3．（本题3分）一元二次方程配方后可化为（    ） A． B． C． D． 4．（本题3分）若点、在二次函数的图象上，且，则（  ） A． B． C． D． 5．（本题3分）如图，将（其中）绕点按顺时针方向旋转到的位置，使得点在同一条直线上，那么旋转角等于（    ）    A． B． C． D． 6．（本题3分）要得到抛物线，可将拋物线（   ） A．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 D．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 7．（本题3分）若抛物线与抛物线关于直线对称，则m，n的值分别为（    ） A． ， B．， C． ， D．， 8．（本题3分）已知抛物线，当时，的最小值为，最大值为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 9．（本题3分）如图，点是正方形的边上一点，把绕点顺时针旋转到的位置，且，，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 10．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，，两点的坐标分别为和，连接，，将绕点逆时针旋转得到，点与点对应，点与点对应，当点落在轴上时，点的坐标为（   ）    A． B． C． D． 二、填空题（共24分） 11．（本题3分）若关于x的方程是一元二次方程，则m的值为 ． 12．（本题3分）若是方程的一个根，则的值为 ． 13．（本题3分）将抛物线先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度，所得抛物线的解析式为 ． 14．（本题3分）已知二次函数，当时，y的取值范围是 ． 15．（本题3分）如图，绕顶点A逆时针旋转至，，，则 °． 16．（本题3分）在体育课上，小颖站在操场上的O点练习掷实心球，发现若不考虑空气阻力，实心球的飞行路线是一条抛物线．如上图，已知实心球出手时的高度为1.6米，当飞行到与点O的水平距离为3米时达到最大高度2.5米，则小颖这次实心球训练的成绩为 米（即的长度）． 17．（本题3分）如图，P是正方形内一点，将绕点B顺时针方向旋转，能与重合，若，则 ．    18．（本题3分）如图，在中，，C、Q是斜边上两点，且，将绕点O顺时针旋转90°后，得到，连接．下列结论：①；②；③；④，其中正确的有 个． 三、解答题（共66分） 19．（本题8分）解方程： (1) (2) 20．（本题9分）已知关于的方程． (1)求证：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个实数根满足，求的值． 21．（本题9分）已知抛物线的顶点是，且过点． (1)求出抛物线的解析式． (2)求出抛物线与x轴的交点坐标． (3)当x为何值时，y随x的增大而减小？ 22．（本题9分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，与x轴交于点A、B（点A在点B左侧）． (1)求二次函数的解析式及顶点坐标； (2)求B点的坐标，并求出的面积． 23．（本题9分）如图，在正方形中，E、F是对角线上的两点，连接，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 24．（本题10分）老友粉是广西南宁最具代表性的传统小吃之一，它以“酸、辣、鲜、香”著称，汤底浓郁，米粉爽滑，配料丰富，深受当地人喜爱．某超市老友粉进价为每件40元，经过一段时间的销售后发现：当老友粉的售价为每件60元时，每个星期可以售出300件，且售价每降价1元，每个星期可多售出20件． (1)当每件老友粉降价5元时，每个星期可以售出___________件． (2)为使每个星期老友粉销售利润达到5000元，且让客户得到实惠，每件老友粉的售价应为多少元？ (3)超市要想每个星期销售老友粉获得最大利润，每件老友粉的售价应为多少元？最大利润是多少元？ 25．（本题12分）如图，已知顶点为的抛物线与x轴交于A，B两点，且． (1)求二次函数的解析式； (2)x轴上存在点P使得的面积为12，请求出点P坐标． (3)作直线，问抛物线上是否存在点M，使得，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 第6页，共6页 第5页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A C C C B D C B A 1．B 【分析】本题考查了旋转的定义，理解其定义是解题的关键． 根据旋转的定义逐项判断即可． 【详解】解：A：形状发生了改变，不是旋转，故该选项不合题意； B：符合原图形顺时针旋转后的形状、图案和方向，故该选项符合题意； C：是原图形的镜像或旋转后的图案，故该选项不合题意； D：是原图形逆时针旋转后的图案，故该选项不合题意． 故选：B． 2．A 【分析】本题考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义（只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程）是解题的关键．根据一元二次方程的定义，依次判断各选项是否满足整式方程、只含一个未知数、未知数最高次数为2且二次项系数不为0的条件． 【详解】解：A. 是整式方程、只含一个未知数、未知数的最高次数为2，是一元二次方程，故符合题意； B. 中未知数的最高次数为1，不是一元二次方程，故不符合题意； C. 中含有两个未知数x和y，不是一元二次方程，故不符合题意； D. 不是整式方程，不是一元二次方程，故不符合题意， 故选：A． 3．C 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，利用配方法，将一元二次方程转化为完全平方形式，即可获得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 4．C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数开口向下，对称轴为，顶点为最大值点，当 时，函数单调递减，由，可得且，因此 ． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向下，对称轴为，顶点为， ∴当 时，， ∵，且函数在时单调递减， ∴， 又∵且， ∴且， ∴． 故选：C． 5．C 【分析】此题考查是旋转的性质，三角形内角和性质及平角定理，根据题意可得，再结合旋转的性质及平角定理可得答案． 【详解】， ， 又是由绕点旋转得到， ， 又在同一条直线上， 所以，解得， 故选：C． 6．B 【分析】本题考查二次函数图象的平移，根据平移规则左加右减，上加下减，进行判断即可． 【详解】解：由题意到抛物线，可将拋物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度得到； 故选B． 7．D 【分析】首先可分别求得抛物线M及的对称轴，再根据轴对称图形的性质，即可求得m的值；根据抛物线M与y轴的交点坐标，即可求得交点关于直线对称的点的坐标，再根据该点在抛物线上，据此即可求解． 【详解】解：由抛物线可知抛物线M的对称轴为直线，交y轴于点， 抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线与抛物线关于直线对称，， 解得， ∴点关于直线对称的点在抛物线上， ∴把点代入得， 解得：，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，坐标与图形，轴对称图形的性质，熟练掌握和运用轴对称图形的性质是解决本题的关键． 8．C 【分析】本题考查了二次函数的最值以及二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数图象的特征找出的取值范围是解题的关键．根据一元二次函数的顶点式可知，当时，取得最小值，最小值为，由，可得当或时，，最后结合题意即可得解． 【详解】， 当时，取得最小值，最小值为， 当时，有， 解得，，， 当或时，， 当时，的最小值为，最大值为， 结合图象可知，． 故选：C． 9．B 【分析】本题考查了全等三角形的性质、旋转的性质以及勾股定理，利用旋转得到，进而得出四边形和正方形面积关系，再根据勾股定理求解即可． 【详解】把绕点顺时针旋转到的位置， ， ，， 四边形的面积正方形的面积， ∵，， ， 四边形的面积正方形的面积=， 故选：B． 10．A 【分析】本题考查旋转的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是掌握旋转变换的性质，属于中考常考题； 如图，过点作轴于点，过点作轴于点，证明是等边三角形，勾股定理求出，可得结论． 【详解】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点，   ∵，， ∴，，， ∵在直角三角形中，， ∴， ∴， 由旋转的性质可知， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 11． 【分析】此题主要考查一元二次方程的定义及解一元二次方程，理解一元二次方程的定义是解题关键． 根据一元二次方程的定义（只含有一个未知数且未知数的最高次数是2次的整式方程），求m的值，注意二次项的系数不为0． 【详解】解：∵是一元二次方程， ， 解得：， 又， ， ∴， 故答案为：． 12．11 【分析】本题考查一元二次方程的根，利用方程根的定义，将根代入方程得到关系式，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵是方程 的一个根， ∴， ∴． ∴． 故答案为：11． 13． 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移规律，解决此题的关键是熟练掌握“上加下减，左加右减”；根据平移规律求解即可． 【详解】解：将抛物线 向右平移2个单位长度，根据“左加右减”，解析式变为 ； 再向下平移4个单位长度，根据“上加下减”，解析式变为 ； 化简得； 故答案为 ． 14． 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质．将二次函数化为顶点式，确定开口方向及顶点坐标，结合给定取值范围的端点值，求函数值的取值范围即可． 【详解】解：∵， ∴顶点坐标为 ， ∵ 二次项系数， ∴ 抛物线开口向上，顶点处取最小值， 当时， 当 时，取得最小值； 当时，； 当时，， ∴ 当时，的取值范围为， 故答案为： 15． 【分析】本题考查图形旋转性质，三角形内角和，角的和差，掌握图形旋转性质，三角形内角和，角的和差是解题关键．根据图形旋转可得，，进而可求的度数． 【详解】解：∵绕顶点逆时针旋转至， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故答案为95． 16．8 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．根据题意可知点A的坐标为，顶点坐标为，设抛物线解析式为，求出抛物线解析式，令，求出x的值即可． 【详解】解：根据题意可知点A的坐标为，顶点坐标为， 设抛物线解析式为， 将代入得， 解得：， ∴抛物线解析式为， 令得， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴的长度为8米， 即小颖这次实心球训练的成绩为8米， 故答案为：8． 17． 【分析】本题主要考查了正方形的性质，图形的旋转问题，勾股定理．根据正方形的性质以及旋转的性质可得，再由勾股定理，即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 由旋转的性质得：， ∴． 故答案为： 18．3 【分析】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理，三角形三边关系， 先根据旋转的性质得，再根据直角三角形的两个锐角互余解答①；再根据“边角边”解答②；由全等三角形的性质得，然后根据旋转的性质得，最后结合勾股定理和三角形的三边关系解答③④ 即可. 【详解】解：根据旋转的性质得， 在中，， ∴， ∴， 即； 根据旋转的性质得， ∵， ∴. ∵， ∴； ∵， ∴. 根据旋转的性质得. 在中，，， 即； 且. 所以正确的有①②④，一共3个. 故答案为：3. 19．(1)， (2)， 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，熟练运用直接开平方法、因式分解法等解方程的方法是解答本题的关键． （1）利用直接开平方法，通过移项、开平方求解方程； （2）利用因式分解法，将二次三项式分解为两个一次式的乘积，进而求解方程． 【详解】（1）解： ， ， ， 解得：，． （2）， ， 解得：，． 20．(1)见解析 (2)或 【分析】本题考查根的判别式，根与系数之间的关系，解一元二次方程，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）求出判别式的符号，即可得证； （2）根据根与系数的关系，进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴无论取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）由题意，， ∴， 解得或． 21．(1) (2)和 (3) 【分析】本题考查了待定系数法、抛物线与x轴的交点、二次函数的图象与性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）由题意，设抛物线的解析式为，再代入到抛物线解析式，求出的值即可； （2）令，求出对应的值，即可得出答案； （3）根据二次函数图象的性质即可解答． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点是， ∴设抛物线的解析式为， 代入，得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：令，则， 解得，， ∴抛物线与x轴的交点坐标为和； （3）解：抛物线的图象开口向上，且对称轴为， ∴当时，y随x的增大而减小． 22．(1)，顶点坐标 (2)，6 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的顶点坐标，二次函数与图形面积，正确利用待定系数法求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）根据待定系数法求出解析式，求解即可． （2）先求出B点的坐标，再根据面积公式求解即可． 【详解】（1）解：将代入， 可得， 解得：， ∴， 顶点坐标是； （2）解：令，则， 解得：或， ∴， ∴． 23．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用，解题的关键是利用旋转和正方形的性质推导相等的边与角，证明全等三角形，再通过角度转化得到直角三角形，进而用勾股定理计算线段长度． （1）由线段绕点A顺时针旋转得，故且；因四边形是正方形，故且，从而，两边同时减去得；结合、，根据“”可证； （2）由(1)中全等三角形的性质得，且；因正方形对角线平分内角，故，从而，进而，即是直角三角形；已知、，代入勾股定理得，计算得． 【详解】（1）证明：∵将线段绕点A顺时针旋转得到线段， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：由(1)得， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴在中，． 24．(1) (2)50元 (3)当每件老友粉的售价为元时，超市平均每周的利润最大，其最大值为元． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，解决问题的关键是熟练掌握总利润和每件利润与件数的关系列方程，列函数表达式，配方法把二次函数一般式化成顶点式． （1）根据当老友粉的售价为每件60元时，每个星期可以售出300件，且售价每降价1元，每个星期可多售出20件列式计算即可； （2）设每件老友粉的售价应为x元，根据总利润等于每件利润乘以售出总件数，建立方程即可解答； （3）设每件老友粉的售价为x元，超市平均每周的利润为w元，根据w和每件利润与件数的关系列出函数表达式，配方成顶点式，利用二次函数的性质即可解答． 【详解】（1）解：当每件老友粉降价5元时，每个星期可以售出（件） （2）解：设每件老友粉的售价应为x元，根据题意，得 解得，， ∴让客户得到实惠，每件老友粉的售价应为50元； （3）设每件老友粉的售价为x元，超市平均每周的利润为w元，根据题意，得 ， 当每件老友粉的售价为元时，超市平均每周的利润最大，其最大值为元． 25．(1) (2)或． (3)M的坐标为或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，解直角三角形．正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． （1）根据，得出点的坐标，再利用待定系数法求解析式即可； （2）设点坐标为，根据三角形面积公式列方程即可求解； （3）分点在点的上方和下方两种情况，讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； ∵抛物线过，， ∴，解得：， ∴； （2）解：设点坐标为， ∵， ∴， 解得：或， ∴点坐标为或． （3）存在， ∵， ∴， 如图，分以下两种情况：    ①当点在点上方时，交轴于，， ∴， ∴，即 解得：， ∴， 设直线的解析式为，将，代入，得：， ∴， 联立，解得：或， ∴， ②当点在点下方时，交轴于， ， 同理可求， ∴， 设直线的解析式为，将，代入，得：， ∴， 联立，解得：或， ∴． 综上：或． 答案第2页，共14页 答案第1页，共14页 学科网（北京）股份有限公司 $