第二十一章一元二次方程单元测试题-2025-2026学年人教版九年级数学上册

2025-2026学年人教版九年级数学上册第二十一章 一元二次方程单元测试题 满分:120分 考试时间:120分钟 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）下列方程中，是一元二次方程的是（  ） A． B． C． D． 2．（本题3分）一元二次方程 的根是（  ） A． B． C． D． 3．（本题3分）关于的一元二次方程有两个不同的实根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 4．（本题3分）用配方法解一元二次方程，此方程可变形为（   ） A． B． C． D． 5．（本题3分）已知、是一元二次方程的两个实数根，则的值为（   ） A．3 B． C．9 D． 6．（本题3分）关于的一元二次方程的常数项被墨迹覆盖，已知是该方程的一个解，则被墨迹覆盖的常数为（   ） A． B． C． D． 7．（本题3分）若是一元二次方程的一个实数根，则的值是（   ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 8．（本题3分）若，是一元二次方程的两根，则的值是（   ） A． B．1 C． D．3 9．（本题3分）在正数范围内定义运算“”，其规则为，则方程的解是（ ） A． B． C．， D．， 10．（本题3分）春意复苏，某地绿化工程正在如火如荼地进行着．某工程队计划将一块长，宽的矩形场地建设成绿化广场．如图，广场内部修建三条宽度相等的小路，其余区域进行绿化．若使绿化区域的面积为广场总面积的，求小路的宽．设小路的宽为，则可列方程为    （    ） A． B． C． D． 二、填空题（共24分） 11．（本题3分）方程的根是 ． 12．（本题3分）若是方程的一个解，则代数式的值为 ． 13．（本题3分）关于x的一元二次方程有两个相等的正实数根，m取值是 ． 14．（本题3分）已知是关于的一元二次方程，则 ． 15．（本题3分）若，且一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是 ． 16．（本题3分）已知关于的方程的，则的值为 ． 17．（本题3分）要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为 ． 18．（本题3分）如图，在中，，，，点沿边从点出发向终点以的速度移动；同时点沿边从点出发向终点以的速度移动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动．当的面积为时，点运动的时间是 ． 三、解答题（共66分） 19．（本题8分）解下列方程： (1)； (2)． 20．（本题9分）已知的两边、的长是关于的一元二次方程的两个实数根，第三边长为5． (1)试说明：方程必有两个不相等的实数根； (2)当k为何值时，是等腰三角形，求的周长． 21．（本题9分）某商店以每件16元的价格购进了一批热销商品，出售价格经过两个月的调整，从每件25元上涨到每件36元，此时每月可售出160件商品． (1)求该商品平均每月的价格增长率； (2)因某些原因商家需尽快将这批商品售出，决定降价出售．经过市场调查发现：售价每下降0.5元，每个月多卖出1件，当降价多少元时商品每月的利润可达到1800元． 22．（本题9分）已知，关于x的方程 (1)当m取何值时方程有一个实数根？ (2)当m取何值时方程有两个实数根？ (3)请你在（2）的条件下，取m的一个适当数值代入方程，并求出方程的解． 23．（本题9分）定义新运算：对于任意实数m，n都有 ，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算． 例如： ．根据以上知识解决问题： (1)求的值； (2)若， 求x的值． 24．（本题10分）超市某商品的进价为元件，每天的销量件与售价元件的函数关系如图所示． (1)求与的函数解析式． (2)若超市出售该商品每天获得元的利润，且能让消费者减少花费，求此时的售价． (3)该超市能否保证出售该商品每天获得元的利润？并说明理由． 25．（本题12分）如图，在矩形中，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，同时点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．当点Q运动到点C时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒 (1)用含t的代数式表示：______ ，______ ； (2)当t为何值时，的面积为？ (3)是否存在某一时刻t，使得的面积等于矩形面积的？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 第4页，共5页 第5页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C C D A A B C B A 1．C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，形如，（，，均为常数）的整式方程，熟练掌握定义是解题的关键． 根据形如，（ ，，均为常数）的整式方程判断即可． 【详解】解：A、是一元一次方程，故不符合题意； B、中分母有未知数，不是一元二次方程，故不符合题意； C、是一元二次方程，故符合题意； D、是二元二次方程，故不符合题意； 故选：C． 2．C 【分析】本题主要考查利用因式分解法求解一元二次方程，通过因式分解求解方程，根据零乘积性质得出根． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ 或 ， 即． 故选：C． 3．C 【分析】本题考查了根据一元二次方程根的情况求参数以及一元二次方程的定义，依题意，一元二次方程有两个不同的实根需满足二次项系数不为零且判别式大于零，据此进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵ 方程 有两个不同的实根， ∴ 且， 其中， ∴ ， 即 ， ∴ ， 又 ∵ ， ∴ 故选 C 4．D 【分析】本题考查用配方法解一元二次方程，解题的关键是掌握配方法的步骤，将方程化为完全平方式． 通过移项、配方的步骤，将给定的一元二次方程转化为完全平方式，从而得出答案． 【详解】解：， 移项得， ， ， 故选：D． 5．A 【分析】根据根与系数的关系先求出和的值，代入原式求解即可；本题主要考查了根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键． 【详解】解：∵、是一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴． 故选：A． 6．A 【分析】此题考查了一元二次方程的解，设常数项为，然后把代入方程即可求解，解题的关键是熟记把方程的解代入原方程，等式左右两边相等． 【详解】解：设常数项为，将代入原方程得：， 解得：， 故选：． 7．B 【分析】本题考查了由一元二次方程的解求参数，熟练掌握一元二次方程的解的定义是解题的关键．使方程左、右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根．根据一元二次方程的解的定义，得到，再整体代入计算求值即可． 【详解】解：是一元二次方程的一个实数根， ， ， ， 故选：B． 8．C 【分析】本题考查根与系数的关系及分式的化简求值，关键是将所求表达式转化为用两根之和与积表示的形式，利用一元二次方程的根与系数关系，求出两根之和与两根之积，再通过代数变形求解表达式 【详解】解：是方程的两根， ，， ， ， 故选：C 9．B 【分析】本题考查了新定义，解一元二次方程，先根据，整理得，运用因式分解法进行解方程，得，，最后结合“在正数范围内定义运算“””这个条件进行分析，即可作答． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∵在正数范围内定义运算“”， ∴， 故选：B． 10．A 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是正确理解题意，将不规则图形变成规则图形，从而找出等量关系，正确列出方程． 设小路的宽为，根据矩形的面积公式（将绿化区域合成矩形），进而即可列出关于x的一元二次方程． 【详解】解：设小路的宽为，则绿化区域的长为，宽为， 根据题意，得 故选：A． 11．， 【分析】本题考查解一元二次方程，使用因式分解法求解． 【详解】解：方程， 提取公因式，得， 因此或， 即，， 故答案为：，． 12． 【分析】本题考查一元二次方程的解，代数式求值，利用方程解的定义，将代入方程得到，然后变形代入计算解答即可． 【详解】解：因为是方程 的一个解， 所以 ，即 ， 则代数式， 故答案为：． 13． 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式以及一元二次方程的定义，熟练掌握相关知识点是解题关键． 根据方程有两个相等的正实数根得到，求出，再检验即可． 【详解】解：由题意得，， 解得或 当时，方程为，解得，不符合题意； 当时，方程为，解得，符合题意 ∴， 故答案为：． 14．1 【分析】本题考查一元二次方程的定义，解题的关键是根据一元二次方程的定义列出关于的条件并求解． 根据一元二次方程的定义，未知数最高次数是2且二次项系数不为0，根据题意列出关于的条件，进而求解的值． 【详解】解：因为是关于的一元二次方程，所以需要满足： 二次项系数不为0，即，解得， 未知数的最高次数是2，即， 解，可得，即或， 又因为．所以． 故答案为：1． 15．且 【分析】本题主要考查了非负数的性质、根的判别式．在解答此题时，注意关于x的一元二次方程的二次项系数不为零． 根据非负数的性质求出 a 和 b 的值，再根据一元二次方程有两个实数根的条件，即判别式非负且二次项系数不为零，求解 k 的取值范围. 【详解】解：由，得 且， ∴， 则代入方程得， ∵方程有两个实数根， ∴判别式且； 解得 且 ， 故答案为： 且 . 16．或 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，牢记根的判别式是解题的关键．根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于的一元二次方程，解方程即可得解． 【详解】解：关于的方程的， ， 解得，． 故答案为：或． 17． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据单循环赛总比赛场数的公式和计划总比赛场数，建立方程，即可作答． 【详解】解：参赛队有 个，每两个队之间比赛一场，则总比赛场数为， ∵赛程计划安排7天，每天安排4场比赛， ∴总比赛场数为， ∴， 故答案为：． 18．2秒 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．当运动时间为秒时，，，根据的面积为，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论． 【详解】解：（秒，（秒， 当运动时间为秒时，，， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 点的运动时间是2秒． 故答案为：2秒． 19．(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键 ． （1）移项，再利用平方差公式进行因式分解求解即可； （2）利用因式分解求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， 或， ，． （2）解：， ， 或， ，． 20．(1)见解析 (2)的周长为或 【分析】本题考查一元二次方程根的情况，解一元二次方程，等腰三角形，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）证明一元二次方程根的判别式即可； （2）解一元二次方程得两根即得、的长，由是等腰三角形且第三边长为5，分类讨论或求得值，进而可解决问题． 【详解】（1）解： ， 故方程必有两个不相等的实数根； （2）解：， 即 ， 由题意的两边，，第三边长为5， ∵是等腰三角形， ∴若，则，此时， 若，则，此时， 综上所述，的周长为或． 21．(1)20% (2)10 【分析】（1）设该商品平均每月的价格增长率为x，根据该商品的原价及经过两次涨价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）根据总利润＝单价利润×销售数量，即可得出关于y的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设该商品平均每月的价格增长率为x， 依题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该商品平均每月的价格增长率为20%． （2）解：设售价降低y元，则每件的销售利润为元，每月可售出件， 依题意得：， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：当降价10元时商品每月的利润可达到1800元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 22．(1) (2)且 (3)取，方程的解为 【分析】本题考查了一元一次方程、一元二次方程根的判别式、解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键． （1）先判断出这个方程是一元一次方程，则，即，再代入方程，解一元一次方程进行验证，由此即可得； （2）根据一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式求解即可得； （3）取，利用因式分解法解方程即可得． 【详解】（1）解：要使方程有一个实数根， 则这个方程是一元一次方程， 即，解得， 此时方程可化为，解得，只有一个实数根，符合题意； 所以当时，方程有一个实数根． （2）解：要使方程有两个实数根， 则这个方程是一元二次方程，且方程根的判别式， 即， 解得， 综上，当且时，方程有两个实数根． （3）解：在（2）的条件下，取，则方程可化为， 因式分解得：， 解得． 23．(1)13 (2) 【分析】本题主要查了解一元二次方程： （1）直接根据新运算解答，即可求解； （2）根据新运算可得，再解出方程，即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：∵， ∴， 即， 解得：． 24．(1) (2)此时的售价为元． (3)该超市不能保证每天获得元的利润，理由见解析 【分析】本题考查了一次函数的应用、一元二次方程的应用． （1）先确定图中给定点的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）根据等量关系“总利润每件的销售利润日销售量”列出关于x的一元二次方程求解，再结合要让消费者减少花费即可解答； （3）先利用“总利润每件的销售利润日销售量”列出关于x的一元二次方程，再利用根的判别式判定方程根的情况，根据根的情况即可解答． 【详解】（1）解：设y与x的函数关系式为， 将代入得： ，解得：， ∴y与x的函数关系式为； （2）解：根据题意得：， 整理得：， 解得：， 又∵要让消费者减少花费， ∴． 答：此时的售价为元； （3）解：该超市不能保证每天获得元的利润，理由如下： 假设该超市能保证每天获得元的利润， 根据题意得：， 整理得：， ∵， ∴该方程没有实数根， ∴假设不成立，即该超市不能保证每天获得元的利润． 25．(1)， (2)秒 (3)存在， 【分析】本题考查了列代数式，动态几何问题(一元二次方程的应用)，根据矩形的性质求面积，解题关键是正确列出一元二次方程． (1)利用的长的长-点P的运动速度运动时间，可用含t的代数式表示出的长，利用的长=点Q的运动速度运动时间，即可用含t的代数式表示出的长； (2)根据的面积为，可列出关于t的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； (3)存在，根据的面积等于矩形面积的，可列出关于t的一元一次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意得：，，， 故答案为：，； （2）根据题意得：， 整理得：， 解得：，不符合题意，舍去 答：当t为秒时，的面积为； （3）存在，根据题意得：， 整理得：， 解得：，不符合题意，舍去 答：存在某一时刻t，使得的面积等于矩形面积的，此时t的值为． 答案第2页，共11页 答案第1页，共11页 学科网（北京）股份有限公司 $