第二十四章圆单元测试题-2025-2026学年人教版九年级数学上册

2025-2026学年人教版九年级数学上册第二十四章圆单元测试题 满分:120分 考试时间:120分钟 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）如图，是的直径，点C在圆上，，则的度数为（  ） A． B． C． D． 2．（本题3分）如图，四边形是的内接四边形，连接，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（本题3分）如图，，，分别与相切于，，三点，，，则的长为（   ） A．8 B．10 C．12 D．14 4．（本题3分）如图，在中，，，以为直径的交于点D，则的长为（   ） A． B． C． D． 5．（本题3分）小明为了测量铁球的半径，将铁球放入如图所示的工件槽内，并测得，（点，均在上），铁球的半径，则铁球的半径是（    ） A． B． C． D． 6．（本题3分）如图，切于点C，交于点P，且为的直径，点Q是上异于点B、P的一点．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 7．（本题3分）如图，点均在上，且，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 8．（本题3分）如图，在中，，AC为⊙O的直径，若，，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 9．（本题3分）坐标平面上有两圆、，其圆心坐标均为．若圆与轴相切，圆与轴相切，则圆与圆的周长比（  ） A． B． C． D． 10．（本题3分）如图，现有一块直径为10的圆形玉料，要用其刻出一个圆周角为的扇形玉佩，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 二、填空题（共24分） 11．（本题3分）如图，的半径为3，点P是弦延长线上的一点，连接，若，，则弦的长是 ． 12．（本题3分）如图，为的直径，为的弦，于点M，若，，则 ． 13．（本题3分）如图，四边形是的内接正方形．若正方形的面积等于16，则的面积等于 ． 14．（本题3分）如图，已知的半径为5，圆心角与互补，若弦，则弦的长为 ． 15．（本题3分）如图，是一条弦，将劣弧沿弦翻折，连接并延长交翻折后的弧于点，连接，若，，则的直径为 ． 16．（本题3分）如图，为的直径，，为的弦，，连接，，，则劣弧的长为 ． 17．（本题3分）如图，四边形内接于，连接，其中，，若点在上，连接，，则的度数为 ． 18．（本题3分）如图，正方形内接于，点P为弧上的动点（不与端点重合），连接，过点D作于点Q，连接，若的半径为，则长的最小值为 ． 三、解答题（共66分） 19．（本题8分）如图，三角形内接于，，连接并延长交于点D，连结，，． (1)求证：； (2)猜想与的位置关系，并说明理由． 20．（本题9分）如图，为的直径，C为上的一点，过点C作，交于点D，交于点E，连接，，过点C作于点F，交于点G． (1)求证：． (2)若，求的半径． 21．（本题9分）如图，在中，，以为直径作，与相交于点．连接，与相交于点． (1)如图，连接，求的度数； (2)如图，若点为的中点，且，求的长． 22．（本题9分）如图，在中，，是的平分线，是上一点，以为半径的经过点，与，分别交于点，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 23．（本题9分）已知：如图，是的直径，弦，垂足为，． (1)求弦的长； (2)求图中阴影部分的面积． 24．（本题10分）在中，，以为直径的交于点． (1)如图①，当为锐角时，与交于点，连接，写出与的数量关系，并说明理由． (2)如图②，当为钝角时，的延长线与交于点，连接，（1）中与的数量关系是否依然成立？若成立，请加以推理；若不成立，请说明理由． 25．（本题12分）如下图，是外一点，分别和相切于点是上任意一点，过点作的切线，交于点．已知的周长为8，，点分别在的延长线上，与相切于点的长是方程的两根． (1)求的度数． (2)求的长． (3)求四边形的周长． 第8页，共8页 第7页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D B B D B D A B C 1．C 【分析】本题考查了圆周角定理，利用圆的性质、等腰三角形的性质及三角形的外角定义可求解出的度数． 【详解】解：由题意知，，， ∴， ∴， 故选：C． 2．D 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质和平行线的性质，熟练掌握圆内接四边形对角互补是解题关键． 根据圆内接四边形对角互补可求，再由两直线平行，同旁内角互补即可求得． 【详解】解：∵四边形是的内接四边形， 且， ∴ ∵， ∴． 故选：D． 3．B 【分析】本题主要考查了切线长定理，根据切线长定理可求出的长，进而可求出的长． 【详解】解：∵，，分别与相切于，，三点， ∴， ∴， 故选：B． 4．B 【分析】本题考查了圆周角定理，弧长公式，解题的关键是正确添加辅助线，并熟知一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半．连接，，根据是的直径，可得，再根据，，可得的值，然后求得，从而求出，再结合弧长公式进行列式，即可作答． 【详解】解：连接，，如图所示： ∵是的直径， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 5．D 【分析】本题主要考查了垂径定理和勾股定理的应用，解题的关键是利用垂径定理求出弦长的一半，再利用勾股定理建立方程求解铁球的半径． 根据垂径定理可得，设铁球的半径为，则，，在中，根据勾股定理可得，解关于的方程即可求解． 【详解】如图，设交于点， ，， ， 设铁球的半径为，则， ，，， 四边形是矩形， ， ， ， 在中， 根据勾股定理，可得， 即， 解得， 因此，铁球的半径是， 故选：． 6．B 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，连接，根据直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，以及同角的余角相等，进行求解即可． 【详解】解：如图，连接． ∵切于点C，交于点P，且为的直径， ∴， ， ， ， 故选：B． 7．D 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形对角互补是解题的关键．连接，根据圆内接四边形的性质得到，根据题意求出，根据在同圆（或等圆）中，圆心角所对的弧度数是其所对圆周角的 2 倍求出的度数． 【详解】解：如图，连接， 四边形为的内接四边形， ，即， ，即， ， ， 故选：D 8．A 【分析】根据直径所对的圆周角是直角得到，再根据等腰三角形三线合一得出点是的中点，从而得出是的中位线，于是，根据同底等高得到和的面积相等，从而阴影部分的面积转化为扇形的面积，根据扇形面积公式计算出扇形的面积即可得出阴影部分的面积． 【详解】解：连接，， 为的直径， ， ， ， 即点是的中点， 点是的中点， 是的中位线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了扇形的面积，圆周角定理，中位线定理，平行线间的距离相等，等腰三角形的三线合一，不规则图形的面积求法，把不规则图形转化为规则图形计算面积是解题的关键． 9．B 【分析】本题主要考查了坐标与图形，切线的性质．根据切线的性质解答即可． 【详解】解：圆心坐标均为，圆与轴相切，圆与轴相切， 与的半径分别是7，3． 圆与圆的周长比是． 故选：B． 10．C 【分析】本题考查了扇形的面积公式，圆周角定理，解答本题的关键是掌握扇形的面积公式．根据圆周角定理由得为的直径，即，根据等腰直角三角形的性质得，然后用圆的面积减去扇形的面积即可求解． 【详解】解：连接， ∵， 为的直径，即， ∵玉佩的形状是扇形， ∴， ， ， ． 故选：C． 11． 【分析】本题主要考查了垂径定理，掌握勾股定理，含30度角的直角三角形的性质是解题的关键． 过点O作于H，连接，则，利用勾股定理求出，则由垂径定理可得． 【详解】解：过点O作于H，连接， 则，， 在中，，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12． 【分析】连接，根据已知易得：，再根据垂径定理可得：，然后在中，利用勾股定理进行计算，即可解答． 本题考查了垂径定理，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵为的直径，， ∴， ∵， ∴， 在中，， 故答案为：． 13． 【分析】根据正方形的面积公式求得半径，然后根据圆的面积公式求解． 【详解】解：正方形的边长， 则半径是， 则面积是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正多边形的计算，解决问题的关键是根据正方形的面积求得半径． 14．8 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，熟知在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等是解题的关键． 过A点作直径，连接，如图，互补推出，再根据同角的补角相等得到，则根据圆心角、弧、弦的关系得到，接着利用圆周角定理得到，然后利用勾股定理可计算出的长． 【详解】解：过A点作直径，连接，如图，则：， 由题意：， ， ， ， ， 为直径， ， 在中，，， ， 故答案为： 15． 【分析】本题考查了圆弧的翻折，圆周角定理，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握相关定理及性质是解答本题的关键．延长交于点D，过点B作于点H，连接，先根据“在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等”，得到，即，然后根据直径所对的圆周角是直角，得到，利用勾股定理求出的长，由此即得答案． 【详解】解：延长交于点D，过点B作于点H，连接， 和是圆周角所对的弧， ， ， 是直径， ， ． 故答案为：． 16．/ 【分析】本题考查垂径定理，圆周角定理，弧长公式，根据垂径定理和等腰三角形的性质求出，再根据弧长公式求解即可． 【详解】解：， ， ． 为的弦，， ， ∵， ∴的半径是2， 劣弧的长为． 故答案为：． 17．/130度 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，等边对等角，熟练掌握以上知识是解题的关键．根据圆内接四边形的性质可求得，根据等边对等角可得，求得，根据圆内接四边形的性质即可求解． 【详解】解：∵四边形为的内接四边形， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形为的内接四边形， ∴， ∴． 故答案为：． 18．1/ 【分析】本题考查了圆与正多边形，勾股定理，正方形的性质等知识点，解题的关键是正确确定点的轨迹． 如图，取的中点K，以为直径作，则点Q在正方形内部的圆弧上运动（不与端点重合）．由正方形外接圆的半径可得的长，进而根据勾股定理求出的长，根据即可解决问题． 【详解】如图，取的中点K，以为直径作，连接 ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴则点Q在正方形内部的圆弧上运动（不与端点重合）． ∵四边形是正方形， ∴ ∴ ∴， ∵ ∴当B,Q,K在一条直线上时，有最小值， 此时， 故答案为：． 19．(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、垂径定理是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质得到，根据圆周角定理得到，证明； （2）根据垂径定理得到，根据圆周角定理得到，得到，根据平行线的判定证明即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 由圆周角定理得：， ∴； （2）解：，理由如下： ∵，即 ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由圆周角定理得：， ∴， ∴． 20．(1)见解析 (2) 【分析】（1 ）根据已知条件和直角三角形的性质证明，根据对顶角相等的性质，得从而证明； （2 ）根据垂径定理求出，最后在中，利用勾股定理求出，进而求出即可． 本题主要考查了圆周角定理、垂径定理、勾股定理等知识，解题关键是熟练掌握垂径定理和圆周角定理及勾股定理． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：连接， ∵， ∴， ∵，为的直径，， ∴， 设的长为x，则， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得：或（不合题意，舍去）， ∴， ∴的半径为． 21．(1) (2) 【分析】（）连接，先证明，得到，由等腰三角形性质得到，，设，，在四边形中，由四边形内角和等于计算即可求解； （）根据直角三角形斜边中线的性质先证明为等边三角形，则可求度数，再由弧长公式即可求解． 【详解】（1）解：连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， 设，， 在四边形中，∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接， ∵，为中点， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴的长为． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，弧长公式等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 22．(1)见解析 (2)5 【分析】本题考查了圆的切线判定以及利用勾股定理求圆的半径，解题的关键是通过角的关系证明直线与圆相切，借助矩形性质和勾股定理构建方程求解半径． （1）连接，利用角平分线性质和等腰三角形性质推出，进而得到，根据切线判定定理证明是的切线． （2）过作，证明四边形是矩形得，再由垂径定理得的长度，最后在中用勾股定理求出半径． 【详解】（1）证明：连接 是的平分线， ， ， ， ， ， ， ， 又是的半径， 是的切线； （2）解：过点作，垂足为点 ，， 四边形是矩形 ， 在中， 的半径为5． 23．(1) (2) 【分析】本题考查了扇形的面积计算，垂径定理，圆周角定理等知识点，熟练掌握性质及定理是解本题的关键． （1）由的度数结合圆的性质可得的度数，即可求得的长，再根据垂径定理即可求得的长； （2）用半圆的面积减去的面积即可求得图中阴影部分的面积． 【详解】（1）解：∵， ∴为等边三角形 ∴， ∵弦， ∴，， ∴, ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为：． 24．(1)与的数量关系是．理由见解析 (2)成立．推理见解析 【分析】（1）连接，根据直径所对的圆周角是直角，得，又由，根据等腰三角形的三线合一，得，结合圆周角定理，即可得； （2）连接，根据等腰三角形的三线合一和圆内接四边形的性质，即可证明． 【详解】（1）解：与的数量关系是．理由如下： 如图①，连接． 是直径， ，即． ， ． ． （2）解：成立．推理如下： 如图②，连接． 为直径， ． ， ， ． ， ． 【点睛】此题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质以及圆的内接四边形的性质，解题的关键是准确作出辅助线，掌握数形结合思想的应用． 25．(1) (2) (3) 【分析】（1）连接，根据切线长定理和切线定理可推出，从而可求出，在四边形中，利用四边形内角和定理即可求出； （2）根据切线长定理可得到，从而可得到，根据条件即可求出的长； （3）根据切线长定理可得到，从而得到，然后根据根与系数的关系求出的值，就可解决问题． 【详解】（1）解：连接，如图． 分别和相切于点， ． 又， ，， ， ， ． （2）解：分别和相切于点， ， ． ， ． （3）解：分别和相切于点， ， ． 的长是方程的两根， ， ， 四边形的周长为． 【点睛】本题考查了切线长定理和切线的性质、四边形的内角和定理、根与系数的关系等知识，灵活运用切线的性质和切线长定理是解题的关键． 答案第4页，共18页 答案第3页，共18页 学科网（北京）股份有限公司 $