第二十二章二次函数单元测试题-2025-2026学年人教版九年级数学上册

2025-2026学年人教版九年级数学上册第二十二章 二次函数单元测试题 满分:120分 考试时间:120分钟 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）下列各项中，是的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（本题3分）二次函数图象的顶点坐标为（　　） A． B． C． D． 3．（本题3分）将抛物线进行平移后，其顶点在坐标轴上，则这个平移的过程可能是（   ） A．向上平移4个单位长度 B．向下平移3个单位长度 C．向左平移3个单位长度 D．向右平移4个单位长度 4．（本题3分）根据下列表格中二次函数的自变量与函数值的对应值，可以判断关于的方程的一个解的范围是（   ）      1                                         A． B． C． D． 5．（本题3分）已知抛物线的顶点为，且过点，则下列说法正确的是（  ） A． B． C． D．与x轴另一交点为 6．（本题3分）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象经过（   ） A．第二、三、四象限 B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第一、二、三象限 7．（本题3分）二次函数的图像如图所示，则下列结论正确的是（  ） A． B． C． D． 8．（本题3分）如图，抛物线与直线相交于点A、B，连接、，则的面积是（   ） A．3 B．4 C．6 D．12 9．（本题3分）为了迎接体考，小南坚持每天进行跳绳练习．本周五她参与了学校的志愿服务活动，跳绳量比周四减少了．为补上周五缺失的练习，小南决定周六、周日连续两天提高跳绳量，设日均增长率为，若小南周四跳绳量为个，则小南周日跳绳量关于的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 10．（本题3分）如图，在中，，，．点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设的面积为，运动时间为秒，则下列图象中大致反映与之间函数关系的是（   ） A．B．C．D． 二、填空题（共24分） 11．（本题3分）抛物线，当x 时，y随x的增大而增大． 12．（本题3分）抛物线的开口方向是 ，顶点坐标是 ． 13．（本题3分）抛物线与轴交于点，与轴交于点，，则线段长是 ． 14．（本题3分）已知点在抛物线上，当时，总有，当时，总有，则的值为 ． 15．（本题3分）已知二次函数的图象上有四点，， ，则 的大小关系是 ．（从小到大排列） 16．（本题3分）如图是抛物线拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽度4米，水面宽度减少1米时，水位上升 米． 17．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点，与轴交于点，点为抛物线上一动点，若的面积为，则点的坐标为 ． 18．（本题3分）二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，下列结论：①；②方程必有一个根大于2且小于3；③若，是抛物线上的两点，那么；④；⑤对于任意实数，都有，其中正确结论的序号是 ． 三、解答题（共66分） 19．（本题8分）已知二次函数． (1)将二次函数的解析式化为的形式； (2)直接写出二次函数图象的对称轴和顶点坐标． 20．（本题9分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像经过点，与轴交于点、（点在点左侧）． (1)求二次函数的解析式及顶点坐标； (2)求，两点的坐标，并根据图像直接写出当时，自变量的取值范围． 21．（本题9分）如图，二次函数的图象与轴交于A、B两点，与轴交于点． (1)求点A、B、C的坐标； (2)若是该二次函数图象上的一点，且点在第一象限，线段交轴于点，，求点的坐标． 22．（本题9分）如图，正方形的顶点在抛物线上，顶点B、C在轴的正半轴上，且点的坐标为． (1)求点的坐标； (2)将抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移个单位长度，使得平移后的抛物线经过点，求的值． 23．（本题9分）已知抛物线过点，对称轴为直线，且与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)求抛物线与轴的另一个交点坐标； (3)当时，求的取值范围． 24．（本题10分）某超市销售一种商品，每件成本为30元，经调查发现：销售单价为40元时，每月可售出200件；销售单价每上涨1元，每月少售出10件．设销售单价为元（），每月销售量为件． (1)求与的函数关系式； (2)求每月利润与的函数关系式； (3)当销售单价定为多少元时，每月利润最大？最大利润是多少？ 25．（本题12分）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)点在直线下方的抛物线上，连接，，当的面积最大时，求点的坐标及的最大值； (3)在（2）的条件下，为轴上一点，在平面内是否存在点，使以，，，为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第6页，共6页 第3页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C B B D B B C C A 1．B 【分析】本题主要考查二次函数的定义：形如（a、b、c是常数，）的函数，叫做二次函数．利用二次函数定义进行解答即可． 【详解】解：A、是一次函数，不是二次函数，故此选项不合题意； B、是二次函数，故此选项合题意； C、不是二次函数，故此选项不符合题意； D、不是二次函数，故此选项不合题意； 故选：B． 2．C 【分析】本题考查了二次函数的性质，要熟悉顶点式的意义，并明确的顶点坐标为． 根据顶点式的意义直接解答即可． 【详解】解：二次函数的图象的顶点坐标为． 故选：C． 3．B 【分析】本题考查了二次函数的平移，原抛物线的顶点为，平移后顶点需在坐标轴（x轴或y轴）上，通过计算各选项平移后的顶点坐标，判断是否满足条件即可． 【详解】解：∵ 抛物线 的顶点为． 选项A：向上平移4个单位，新顶点坐标为，不在坐标轴上； 选项B：向下平移3个单位，新顶点坐标为，在x轴上； 选项C：向左平移3个单位，新顶点坐标为，不在坐标轴上； 选项D：向右平移4个单位，新顶点坐标为，不在坐标轴上． ∴ 只有选项B使顶点在坐标轴上，故这个平移的过程可能是向下平移3个单位． 故选：B． 4．B 【分析】该题考查了二次函数与一元二次方程的关系，通过观察二次函数值的符号变化，确定一元二次方程根的所在区间． 【详解】解：∵ 当时，； 当时，； ∴ 方程 的一个解 在 和 之间，即 ． 故选：B． 5．D 【分析】本题考查了抛物线的顶点式，根据抛物线顶点坐标，设出顶点式方程，再代入已知点求出参数a，从而得到一般式，进而判断各选项． 【详解】解：∵抛物线顶点为， ∴设， 又∵过点， ∴代入得，即， ∴， ∴抛物线为， ∴，，，故A、B、C错误。 令，得，解得或， ∴另一交点为，故D正确． 故选：D． 6．B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、一次函数的性质．由二次函数解析式可得抛物线的顶点坐标为，结合图象得出，，最后由一次函数的性质即可得出答案． 【详解】解：∵， 抛物线的顶点坐标为， 由二次函数的图象可得：，， ，， 一次函数的图象经过第一、二、四象限， 故选：B． 7．B 【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，根据二次函数的图象可得出的正负，结合二次函数与轴的交点情况即可得出答案，熟练掌握二次函数的性质，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：抛物线开口向下， ， 抛物线的对称轴在轴左侧， ， ， 抛物线交轴于正半轴， ， 抛物线与轴有两个交点， ， 只有选项B符合题意， 故选：B． 8．C 【分析】本题考查了抛物线和三角形面积，令得一元二次方程，求解可得点A，B的坐标，进一步由三角形面积公式可得结论． 【详解】解：对于 令，得 解得，，， ∴，， ∴    ∴． 故选：C． 9．C 【分析】本题考查的知识点是二次函数的实际应用，解题关键是正确理解题意． 先求出周五的跳绳量，再根据日均增长率，即可求出周日的跳绳量，从而得出周日跳绳量关于的函数关系式． 【详解】解：小南周四跳绳量为个， 周五跳绳量为个， 又周六、周日两天日均增长率为， 周日的跳绳量为个， 小南周日跳绳量关于的函数关系式为． 故选：． 10．A 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、动点问题的函数图象、直角三角形的性质以及二次函数和一次函数的性质，熟练掌握分阶段分析动点运动过程并建立函数关系式是解题的关键． 分点在上和点在上两个阶段，分别求出的面积与运动时间的函数关系式，再根据函数关系式判断图象． 【详解】解：当点在上时（）： 过点作于点． ，， ． 又，， ． ． 这是一个二次函数，开口向下，顶点在处，但此阶段，函数在上图象不断上升，当时，． 当点在上时（）, ∵四边形是平行四边形， ，点从到用时秒， 此时在上的运动距离为，方向上的高与上的高相同，即（当时，后续在上时，到的距离不变）． ， ． 这是一个一次函数，随的增大而减小，当时，． 综上，当时，是开口向下的二次函数的一部分，图象不断上升；当时，是一次函数，图象不断下降． 故选：A． 11． 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟记二次函数的性质． 利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为， ∴当时，y随x的增大而增大． 故答案为：． 12． 向下 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的顶点式，通过系数判断开口方向，并直接得出顶点坐标． 【详解】解：∵抛物线方程为，其中， ∴开口向下，顶点坐标为． 故答案为：向下，． 13．4 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与轴的交点，根据抛物线与轴的一个交点是点 ，求出的值，再求出抛物线与轴的交点坐标，从而计算线段 的长度． 【详解】解： 抛物线 与 轴交于点 ， 把点 的坐标代入 ， 可得： ， 抛物线解析式为 ， 令 ， 可得方程： ， 因式分解得：， 解得：，， 抛物线与 轴交于点 和 ， 点 和点 均在 轴上， 线段 的长度为 ． 故答案为： 4． 14． 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的顶点坐标、增减性及其与图象的关系是解题关键． 根据抛物线的顶点坐标和增减性，结合条件判断的符号，并利用对称点函数值相等建立方程求解． 【详解】解：抛物线的顶点为， 由当时，总有， 可知，抛物线开口向下， 和关于对称轴对称，函数值相等且为， 由当时，，将代入函数解析式， 得， 由当时，总有， 得， 故且， 解得，即． 故答案为：． 15． 【分析】本题考查了二次函数的增减性．当二次项系数时，在对称轴的左边，随的增大而减小，在对称轴的右边，随的增大而增大；时，在对称轴的左边，随的增大而增大，在对称轴的右边，随的增大而减小． 由于二次函数开口向下（），点和点纵坐标相同，故它们关于对称轴对称，可求对称轴为直线．点在对称轴上，故为最大值．点到对称轴的距离大于点或到对称轴的距离，故．因此大小关系为． 【详解】由二次函数可知，抛物线开口向下． ∵点和点的纵坐标相同， ∴它们关于抛物线的对称轴对称，对称轴为直线． ∴点在对称轴上，故为函数的最大值． ∵点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为，由于抛物线开口向下，距离对称轴越远，函数值越小， ∴． 综上，． 故答案为：． 16． 【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，建立合适的平面直角坐标系．根据题意建立合适的平面直角坐标系，设出抛物线的解析式，从而可以求得水面上升了多少． 【详解】解：以拱桥的最高点为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系： 设抛物线的解析式为， 由题意，点在抛物线上，代入解析式，得，解得， ∴； 当水面宽度减少1米时，此时水面宽度变为米； ∴当时，， ∴水面上升了米； 故答案为：． 17．或或或． 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质、待定系数法求解析式和抛物线上点的坐标和特征，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键． 利用待定系数法求出函数解析式，再根据三角形面积求出P点的纵坐标，进而由函数解析式求出横坐标． 【详解】解：依题意得： ，解得：， ∴抛物线解析式为：， ∵，， ∴， 令得，解得，； 令得，解得，． 所以P坐标为或或或． 18．②④/④② 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．①根据图象及对称轴即可判断a、b、c的符号；②设抛物线与轴负半轴的交点横坐标为，与轴另一交点横坐标为，由图得，易得，③由对称轴性质得，当二次函数图象开口向上时，距离对称轴越远的点对应的函数值较大，即可判断；④由对称轴是直线，可求，由图得：当时，，同时结合即可判断；⑤当时，的值最小，可得，据此即可判断． 【详解】①二次函数的图象开口向上， ， 二次函数的图象交y轴的负半轴于一点， ， 对称轴为直线， ， ， ，故①错误； ②设抛物线与轴负半轴的交点横坐标为，与轴另一交点横坐标为， 对称轴是直线， ， 由图象得：， ， ，即， ，故②正确； ③对称轴是直线， ， ， ，故③错误； ④对称轴为直线， ， ， 当时，， ， ， ， ∴， ，故④正确； ⑤当时，的值最小， ， 对于任意实数，都有，故⑤错误； 综上所述，即②④都正确， 故答案为：②④． 19．(1) (2)对称轴是直线；顶点坐标是 【分析】本题主要考查了将二次函数的解析式化为顶点式、二次函数的图象与性质等知识点，掌握用配方法把函数解析式化成顶点式是解题关键． （1）根据配方法将二次函数的一般式化为顶点式即可； （2）根据（1）中的顶点式解析式即可解答． 【详解】（1）解： ， ． （2）解：∵， ∴该二次函数图像的对称轴是直线，顶点坐标是． 20．(1)，顶点坐标为 (2)；， 【分析】 （1）将点的坐标代入二次函数，求出，则可求出抛物线的解析式，由解析式可求出顶点坐标； （2）令，求出或，则可求出，两点的坐标，由图像可求出自变量的取值范围． 【详解】（1） 解：将代入得， ， 二次函数的解析式为， ， 顶点坐标为； （2） 解：令得， 解得，， ，， 当时，自变量的取值范围是． 【点睛】 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与轴的交点，解题的关键是确定函数图像与轴的交点． 21．(1) (2) 【分析】（1）令，则，即可得出点C的坐标；令，则，求解即可得出点A、B的坐标； （2）由可得点与点到轴的距离相等，结合点在第一象限得点的纵坐标为3，代入二次函数求解即可． 本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题，解一元二次方程，二次函数的面积问题，熟练掌握二次函数的与坐标轴的交点坐标是解题的关键． 【详解】（1）解：令，则， ∴， 令，则， ， 解得， ∴； （2）∵， ∴点与点到轴的距离相等， 又∵点在第一象限， ∴设点， ∴， 解得（舍去）， 则． 22．(1) (2)． 【分析】此题主要考查了二次函数图象的平移以及待定系数法求二次函数解析式，正方形的性质，正确得出各点坐标是解题关键． （1）根据题意得出点坐标，进而得出点坐标； （2）设平移后抛物线解析式为，把点代入求出答案． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形，顶点B、C在轴的正半轴上， ∴， ，点在抛物线上， ， 又正方形中，， ； （2）解：设平移后抛物线的解析式为：，把代入得 ， 解得． 23．(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据对称轴和与纵轴的交点坐标即可解题； （2）令，即可进行求解； （3）求出抛物线顶点坐标，判断在条件给出的范围内的最值分别取在顶点和处，进而解题． 【详解】（1）解：∵对称轴为直线， ， ∴， 抛物线解析式代入，有： ， 代入，有： ， 则有：， 解得：， ∴  ， ∴抛物线的解析式为： ； （2）解：令，有：， ， ， ∴或， 抛物线与轴的另一个交点坐标为； （3）解：当时， ， ∴抛物线的顶点为，在范围内， 故此时有最大值， ∵抛物线开口向下， ∴距离对称轴越远，函数值越小， ∴时，有最小值， ∴  ． 24．(1) (2) (3)当售价定为45元时，月销售利润最大，最大利润是2250元． 【分析】本题考查了二次函数的应用，理解题意，正确得出二次函数的解析式是解此题的关键． （1）根据售价每上涨1元，月销量减少10件，原来月销量为200件，设销售单价为元，即可得月销量（件）； （2）设售价上涨元，则单件利润为，销量为，再根据月利润每件商品的利润每月销售量即可得解； （3）根据二次函数的性质即可得解． 【详解】（1）解：已知售价每上涨1元，月销量减少10件，原来月销量为200件，销售单价为元， 所以月销量（件） （2）解：由题意得； （3）解：∵，， ∴当时，有最大值为， 故当售价定为45元时，月销售利润最大，最大利润是2250元． 25．(1) (2)最大值为； (3)存在，的坐标为或或或 【分析】本题考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． （1）将、，代入即可求解析式； （2）如图，连接，，，设，而，，则，，，再利用割补法建立面积函数关系式，利用二次函数的性质可得答案； （3）根据题意，以，，，为顶点的四边形为菱形，可分四种情况进行讨论求解． 【详解】（1）解：∵抛物线过、，． ，解得：， ∴抛物线为：； （2）如图，连接，，， 设，而，， ∴，，， ∴ ，其中， 当时，取得最大值， 此时P的纵坐标为：， ∴， 所以当时，取得最大值． （3）存在，由（2）知，又， ， 在轴上，以，，，为顶点的四边形为菱形， ①如图，以为边构成菱形， ，，且， ,即； ②如图，以为边构成菱形， ，，且， ,即； ③如图，当，且互相平分时， 此时关于轴对称，； ④如图，当，且互相平分时，， 设相交于，过作交于， 易得， ，即， 解得， ； 综上，存在，的坐标为或或或． 答案第2页，共17页 答案第1页，共17页 学科网（北京）股份有限公司 $