浙江省杭州第二中学2025-2026学年高一上学期数学周末练习5

杭州二中2025学年高一上数学周末练习5 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 2．已知集合，，若定义集合运算：，则集合的所有元素之和为（    ） A．6 B．3 C．2 D．0 3．设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条 4．设集合，，则（    ） A． B． C． D． 5．已知满足，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．若不等式对任意恒成立，则实数x的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．对于任意两个正整数,定义某种运算“※”如下:当都为正偶数或正奇数 时,※=;当中一个为正偶数,另一个为正奇数时,※=.则在此定义下,集合※中的元素个数是 A．个 B．个 C．个 D．个 8．已知，则的最小值为 A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9．设，则（    ） A． B． C． D． 10．已知正实数a，b满足，则下列表达式中存在最小值的是（    ） A． B． C． D． 11．19世纪戴德金利用他提出的分割理论，从对有理数集的分割精确地给出了实数的定义，并且该定义作为现代数学实数理论的基础之一可以推出实数理论中的六大基本定理.若集合A、B满足：，则称为的二划分，例如，，则就是的一个二划分，则下列说法正确的是（    ） A．设，则为的二划分 B．设，则为的二划分 C．存在一个的二划分，使得对于；对于 D．存在一个的二划分，使得对于，则；，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知全集，集合，则 ． 13．若集合，同时满足，， 其中实数均不为0，则 ． 14．已知实数x，y，z满足，则xyz的最小值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（1）解不等式： （2）解不等式： 16．已知集合，. (1)若全集，求； (2)若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围； (3)若命题“，”是假命题，求实数的取值范围. 17．已知二次函数，满足当时，取得最大值2，且. (1)求二次函数的表达式； (2)若，求函数的最大值； (3)已知函数的值域为，求实数的取值范围. 18．（1）请证明Cauchy不等式：并说明取等条件； （2）已知非负实数满足，求的最大值； （3）求的最大值. 19．已知集合. (1)集合，且中的任意三个不同的元素，，都有. （i）当时，写出一个满足条件的恰有四个元素的集合； （ii）对于任意给定的，求集合中的元素个数的最大值. (2)已知集合，，且同时满足以下条件：①，，都有（其中，，）；②，，使得（其中）.求集合中的元素个数. 学科网（北京）股份有限公司 $ 杭州二中2025学年高一上数学周末练习5参考答案 BABA DCBB ACD BC BCD 4 15．【详解】（1）当时，原不等式化为， 解得，结合，所以。 当时，原不等式化为， 解得，结合，所以。 当时，原不等式化为 解得，结合，此时无解。 综上，不等式的解集为。 （2）因为恒成立， 所以原不等式可化为，即。 当时，，此时不等式成立。 当时，，不等式化为， 即或，解得且。 综上，不等式的解集为。 16．【详解】（1）由题意或； （2）若“”是“”的充分条件，则，所以，解得； （3）若命题“，”是假命题，则命题“，”为真命题， 所以①，解得， ②时，或，解得或， 综上，或. 17．【详解】（1） 由已知可得：，解得：. 所以二次函数的表达式为：. （2）由题可知：的对称轴为：. 所以函数在上单调递增；在上单调递减. 当，即时，函数在上单调递增，所以函数的最大值为； 当，即时，函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数的最大值为； 当时，函数在上单调递减，所以函数的最大值为. 综上所述，函数的最大值. （3）由函数的值域为，可得可以取到全部非负实数. 所以在上有解，即在上有解. 所以，即. 解得：，或. 故实数的取值范围是. 18．（1）由于， 故，当且仅当，即时等号成立. （2）由条件得. 由Cauchy不等式得， 即，故的最大值为.. （3）由Cauchy不等式得 ， 故，取等，解得，因此的最大值为. 19．【详解】（1）（i）由，所以，可得： 四元素的集合可以是：或或或或或； （ii）对于任意给定的，集合中的元素个数的最大值为， 其证明过程如下： 记集合， 设满足条件的集合， 其中，，，，，，，，且，， 则集合中的元素个数等于， 根据条件对任意的，，都有（否则，就有，不合题意） 又因为，，其中，， 即，，，，，，，是中的不同的元素， 所以，即集合中的元素个数， 取满足条件，且元素个数等于，所以集合中的元素的最大值等于. （2）以为例：（多取不符条件①，少取不符条件②！） 这时， 因为；，取即可， ；，则， ；， 若取，； ，则， 证明如下： 先证明：，假设，则，，使得，与条件矛盾，所以假设不真，即； 再证明：，假设，则中的元素个数大于，所以，，， ，根据条件“，，使得”，所以3两个不同的集合， ，使得，，又因为，，，，所以，与矛盾，所以假设不真，； 综上所述：. 学科网（北京）股份有限公司 $