精品解析：四川省南充高级中学2025-2026学年高三上学期第一次月考数学试卷

南充高中2025-2026学年高三上第一次月考数学试卷 （时间：120分钟 总分：150分 命、审题人：周宜波、孟凡丛） 一.选择题 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合的表示与集合交集运算即可； 【详解】对于集合中的元素，满足的有3，4，5，7，8，9，所以 所以． 故选：D. 2. 已知，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的运算性质得到，再利用复数的模长公式求解即可. 【详解】由题意得， 由复数的模长公式得，故C正确. 故选：C 3. 已知等差数列中， ，则（ ） A. 9 B. 6 C. 3 D. 15 【答案】A 【解析】 【分析】根据等差数列的性质求解即可. 【详解】因为数列是等差数列， 所以，即，解得. 所以， 故选：A. 4. 已知数据5，6，x，x，8，9的平均数为7，则该组数据的40%分位数为（    ） A. 6 B. 7 C. 7.5 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据平均数计算公式以及百分位数的计算方法，可得答案. 【详解】由，则解得. 由，则该组数据的40%分位数为. 故选：B. 5. 已知为锐角，且，则（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用和角正弦公式化简条件得，再结合已知及同角三角函数的关系求正切值. 【详解】由 ， 又为锐角，则，故. 故选：A 6. 6位学生在游乐场游玩三个项目，每个人都只游玩一个项目，每个项目都有人游玩，若项目必须有偶数人游玩，则不同的游玩方式有（ ） A. 180种 B. 210种 C. 240种 D. 360种 【答案】C 【解析】 【分析】分A有2人和4人，结合排列组合求解即可. 【详解】若A有2人游玩，则有种； 若A有4人游玩，则有种； 所以共有240种， 故选：C. 7. 已知双曲线的左、右焦点分别是，，过点的直线与双曲线的右支交于两点，若，则双曲线的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用双曲线的定义可得，又，可得，又当轴时最小，可得，即，可得，即可求得双曲线的离心率的取值范围. 【详解】由已知，设， 则， 两式相加得， 又，所以， 又，所以， 当轴时最小，此时， 所以，又， 则，整理得， 又，两边除以得，解得， 又双曲线的离心率，所以双曲线的离心率取值范围是. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是当轴时最小为，再建立关于的不等式. 8. 已知，分别为定义域为的偶函数和奇函数，且，若关于x的不等式在上恒成立，则正实数a的取值范围是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性得，，根据已知将问题化为在恒成立，应用换元法及导数研究右侧的单调性求右侧的范围，即可得. 【详解】因为，分别为上的偶函数和奇函数，且①， 所以，即②， 联立①②，解得，， 所以不等式，可化为， 因为，所以， 设，则，故， 因为，，所以， 故在上是增函数，则， 又在上是增函数，所以，则， 因为在恒成立，所以， 所以正实数a的取值范围是. 故选：D 二､多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分.有选错的得0分. 9. 已知是递增的等比数列，其前n项和为，若，则下列说法正确的是（    ） A. B. C. D. 是等比数列 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据已知条件结合等比数列的性质，求出的公比和首项，再利用等比数列的通项公式及前项和公式逐一分析判断各选项． 【详解】是递增的等比数列，设首项为，公比为， ，化简变形得：，解得或（数列递增，舍去）， ，故A正确； ，，，故B错误； ，，故C正确； ， ， 是首项为3，公比为的等比数列，故D正确． 故选：． 10. 如图，在棱长均为2的正三棱柱中，D是棱AC的中点，则（    ） A. B. 异面直线与所成角的余弦值为 C. D. 四棱锥外接球的表面积为 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A：利用反证法结合平行线的传递性分析判断；对于B：分析可知异面直线与所成角为（或其补角），结合余弦定理运算求解；对于C：可证平面，即可得结果；对于D：由题意可知四棱锥外接球即为三棱柱外接球，结合正棱柱的结构特征求外接球的半径和表面积. 【详解】对于选项A：假设， 因为，可得， 这与相交相矛盾，故假设不成立，故A错误； 对于选项B：连接， 因为，则异面直线与所成角或其补角为， 在中，，， 可得， 所以异面直线与所成角的余弦值为，故B正确； 对于选项C：因为为等边三角形，且D是棱AC的中点，则， 又因为平面，平面，则， 且，平面，可得平面， 由平面可得，故C正确； 对于选项D：由题意可知：四棱锥外接球即为三棱柱外接球， 因为底面的外接圆半径， 设所求外接球半径为，则， 所以四棱锥外接球的表面积为，故D错误； 故选：BC. 11. 已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于，两点，是的准线与轴的交点，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则直线的斜率为 B. C. (为坐标原点) D. 当取最小值时， 【答案】ABD 【解析】 【分析】设出直线，，，根据题意求出和的坐标，得到斜率判定A；运用抛物线定义转化线段长度，结合基本不等式计算判定B；借助向量法计算判定C；运用抛物线定义转化长度，结合基本不等式计算判定D. 【详解】 依题意，设直线，，， 联立得，则，， 则，解得或，则，或，， 则直线的斜率为.故A正确；， 当且仅当时等号成立.故B正确； 因为，所以，故C错误； ，，则，，由抛物线的定义可得，，因为，， 当且仅当时取等号，此时，故D正确. 故选：ABD 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量,，若，则________. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标公式列式计算即得. 【详解】由,可得， 因，则， 解得. 故答案为：. 13. 若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先利用导数来求函数在点处的切线，再利用直线与二次曲线相切，则判别式等于0，即可求出参数的取值. 【详解】求导得：，当时， ， 所以在点处的切线方程为：， 又由切线也是曲线的切线， 则消得，， 由， 故答案为：. 14. 箱子中装有4个红球，2个黄球（除颜色外完全相同），掷一枚质地均匀的骰子1次，如果点数为，则从该箱子中一次性取出个球.规定：依据个球中红球的个数，判定甲的得分，每一个红球记1分；依据个球中黄球的个数，判定乙的得分，每一个黄球记2分.比如：若一次性取出了2个红球，2个黄球，则判定甲得分，乙得分.则在1次掷骰子取球的游戏中，__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用条件概率和乘法公式分类讨论，最后利用全概率公式即可求解. 【详解】设掷骰子得到的点数的概率为，则， 当时，的概率为，若，则需取出的1个球是红球的概率为， 所以， 当时，的概率为，若，则需取出的2个球都是红球的概率为， 所以， 当时，的概率为，若，则需取出的3个球都是红球的概率为 ，所以， 当时，的概率为，若，则有两种可能的情况：第一种情况为取出的4个球都是红球有种， 第二种情况为取出的4个球种有3个红球，1个黄球，有种，所以概率为， 所以 当时，的概率为，若，则需取出全部4个红球，1个黄球， 所以，所以， 当时，不满足题意， 所以综上. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 的内角的对边分别为，已知. （1）求； （2）若的面积为，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理的边角互化代入计算，即可得到，从而得到结果； （2）由三角形的面积公式可得，再由余弦定理代入计算，从而可得，即可得到结果. 【小问1详解】 因为， 所以， 又， 所以，因为，所以， 又，所以，则. 【小问2详解】 的面积，则. 由，得， 所以，故的周长为. 16. 为了研究高二学生数学和物理成绩的相关情况，学校在高二学生中采用随机抽样的方法抽取了150名学生，调查他们平时的数学与物理成绩情况，统计数据如下． 数学成绩优秀 数学成绩不优秀 合计 物理成绩优秀 55 20 75 物理成绩不优秀 30 45 75 合计 85 65 150 （1）依据列联表判断，能否有99.9%的把握认为数学成绩优秀与物理成绩优秀有关？ （2）从调查的物理成绩不优秀的学生中，按照数学成绩是否优秀采用分层随机抽样的方法抽取15人．若从这15人中随机抽取2人，记X为数学成绩优秀的人数，求X的分布列及数学期望．参考公式：，其中． 参考数据： 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）能； （2）分布列： X 0 1 2 P 数学期望为. 【解析】 【分析】（1）求出的观测值，与临界值比对得解; （2）先通过采用分层抽样得抽取的成绩优秀与不优秀的人数，求出的可能值及对应概率，列出分布列并求出期望. 【小问1详解】 由题意可知， 由查表可得，由于， 所以能有的把握认为数学成绩优秀与物理成绩优秀有关． 【小问2详解】 由于物理成绩不优秀的学生中，数学成绩优秀与数学成绩不优秀的人数比为， 所以采用分层抽样的方法抽取的15人中，数学成绩优秀的有6人，数学成绩不优秀的有9人， 可知可取0,1,2， ， 所以的分布列为 X 0 1 2 P 从而． 17. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，，，侧面为等边三角形，平面平面，E为PB中点． （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1） 如图所示，作线段的中点，连接， 因为侧面为等边三角形，所以， 因为平面平面，平面平面，面， 所以平面，因为平面，所以， 因为底面为矩形，所以， 因为，面，面，所以面， 因为平面，所以平面面. （2） 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的性质定理得出平面，接着求证面，再根据面面垂直的判定定理即可得证. （2）根据几何体的性质，建立空间直角坐标系，根据面面角的向量方法，求出面的法向量即可计算求出面与面夹角的余弦值. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 如图所示，作中点，连接，则 由（1）可得，面，面，所以面， 则可以为坐标原点，以分别为轴，建立空间直角坐标系； 则， 可得， 设面的法向量为，则，得， 令，解得，所以面的一个法向量为， 易知面得一个法向量为， 设平面与平面夹角为，则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 18. 已知椭圆C：（）上一动点D到原点O距离的最小值为，最大值为2． （1）求椭圆C方程． （2）设椭圆C的左右焦点分别为，，过作直线l交椭圆于两点，点E满足，线段，OP交于点A，设与的面积分别为，，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)利用动点到原点的距离公式，利用二次函数结合动点取值范围，可求最值，从而可得椭圆方程； (2)利用定比分点，结合向量知识，可得交点分线段的比例，然后把三角形面积转化到交点纵坐标表示上来，最后利用韦达定理来求解即可. 【小问1详解】 设动点，则， 所以有， 因为，所以，即，当且仅当时取到最小值， 又因为，所以，当且仅当时取到最大值， 故椭圆C方程为； 【小问2详解】 由图可知：，设，又由 则， 因为三点共线，可得， 则， 所以， 设直线方程为，与椭圆，消得： ， 设交点， 则有 由 ， 令，则，由，可知， 根据对勾函数可知：恒成立， 所以只需要解，因为， 所以， 解得， 而， 因为，所以， 即. 【点睛】关键点点睛：通过分点比例把所求三角形面积转化到直线与椭圆的交点纵坐标上来，从而利用韦达定理来求解即可. 19. 已知函数. （1）若，讨论的零点个数； （2）若是函数（为的导函数）的两个不同的零点，且，求证：. 【答案】（1）当或时，无零点；当或时，有1个零点；当时，有2个零点； （2） 由题意知， 由于是函数的两个不同的零点， 即是的两个不同的正实数根， 故，则， 要证，即， 由于在上有， 故在上满足， 所以在上单调递减，而，故， 故即证， 即证， 而 ， 令，则，设， 则时，， 故在上单调递增， 故，即成立， 故原不等式得证. 【解析】 【分析】（1）由，分离参数得，构造函数，利用导数判断其单调性，数形结合，即可求解； （2）由题意得是的两个不同的正实数根，即可得，由此采用分析的方法，将要证明的不等式等价转化为证，换元后构造函数,利用导数判断其单调性，即可证明结论. 【小问1详解】 由题意知的定义域为， 令，则，令， 令，则， 当时，，当时，， 即在上单调递增，在上单调递减， 而， 当或时，直线与函数的图象无交点，即无零点； 当或时，直线与函数的图象有1个交点，即有1个零点； 当时，直线与函数的图象有2个交点，即有2个零点； 【小问2详解】 略 【点睛】难点点睛：本题考查了导数的综合应用问题，利用导数判断函数的零点个数以及证明不等式，难点在于不等式的证明，解答时要结合是函数的两个不同的零点，得到，从而采用分析的方法，将要证明的不等式等价转化，利用构造函数，结合函数的单调性进行解答. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南充高中2025-2026学年高三上第一次月考数学试卷 （时间：120分钟 总分：150分 命、审题人：周宜波、孟凡丛） 一.选择题 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 3. 已知等差数列中， ，则（ ） A. 9 B. 6 C. 3 D. 15 4. 已知数据5，6，x，x，8，9的平均数为7，则该组数据的40%分位数为（    ） A. 6 B. 7 C. 7.5 D. 8 5. 已知为锐角，且，则（   ） A. B. C. D. 6. 6位学生在游乐场游玩三个项目，每个人都只游玩一个项目，每个项目都有人游玩，若项目必须有偶数人游玩，则不同的游玩方式有（ ） A. 180种 B. 210种 C. 240种 D. 360种 7. 已知双曲线的左、右焦点分别是，，过点的直线与双曲线的右支交于两点，若，则双曲线的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，分别为定义域为的偶函数和奇函数，且，若关于x的不等式在上恒成立，则正实数a的取值范围是（    ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分.有选错的得0分. 9. 已知是递增的等比数列，其前n项和为，若，则下列说法正确的是（    ） A. B. C. D. 是等比数列 10. 如图，在棱长均为2的正三棱柱中，D是棱AC的中点，则（    ） A. B. 异面直线与所成角的余弦值为 C. D. 四棱锥外接球的表面积为 11. 已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于，两点，是的准线与轴的交点，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则直线的斜率为 B. C. (为坐标原点) D. 当取最小值时， 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量,，若，则________. 13. 若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则______． 14. 箱子中装有4个红球，2个黄球（除颜色外完全相同），掷一枚质地均匀的骰子1次，如果点数为，则从该箱子中一次性取出个球.规定：依据个球中红球的个数，判定甲的得分，每一个红球记1分；依据个球中黄球的个数，判定乙的得分，每一个黄球记2分.比如：若一次性取出了2个红球，2个黄球，则判定甲得分，乙得分.则在1次掷骰子取球的游戏中，__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 的内角的对边分别为，已知. （1）求； （2）若的面积为，求的周长. 16. 为了研究高二学生数学和物理成绩的相关情况，学校在高二学生中采用随机抽样的方法抽取了150名学生，调查他们平时的数学与物理成绩情况，统计数据如下． 数学成绩优秀 数学成绩不优秀 合计 物理成绩优秀 55 20 75 物理成绩不优秀 30 45 75 合计 85 65 150 （1）依据列联表判断，能否有99.9%的把握认为数学成绩优秀与物理成绩优秀有关？ （2）从调查的物理成绩不优秀的学生中，按照数学成绩是否优秀采用分层随机抽样的方法抽取15人．若从这15人中随机抽取2人，记X为数学成绩优秀的人数，求X的分布列及数学期望．参考公式：，其中． 参考数据： 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 17. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，，，侧面为等边三角形，平面平面，E为PB中点． （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 18. 已知椭圆C：（）上一动点D到原点O距离的最小值为，最大值为2． （1）求椭圆C方程． （2）设椭圆C的左右焦点分别为，，过作直线l交椭圆于两点，点E满足，线段，OP交于点A，设与的面积分别为，，求的取值范围． 19. 已知函数. （1）若，讨论的零点个数； （2）若是函数（为的导函数）的两个不同的零点，且，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $