精品解析：上海市上海中学2025-2026学年高二上学期10月阶段练习数学试题

高二上学期数学阶段练习4 数学 试卷 （考试时间120分钟 满分150分） 考生注意： 1.本试卷的选择题均为单选题 2.解答题需要写出必要的计算说明过程 3.试卷共5页 4.请自备科学计算器（卡西欧）并准确填写考号 一、填空题（12题，共54分，1~6题每题4分，7~12题每题5分） 1. 直线的斜率为__________. 【答案】0 【解析】 【分析】根据直线平行于x轴，即可得答案. 【详解】因为直线平行于x轴，故其斜率为0， 故答案为：0 2. 若方程表示圆，则m的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据圆的标准方程直接计算可得. 【详解】因为方程表示圆，即表示圆， 所以，解得或. 所以当时，方程表示圆心为，半径为的一个圆. 故答案为：. 3. 已知点，点，直线与线段PQ相交，则k的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出定点，再求出，结合图象可得. 【详解】直线恒过点， 则，， 直线为过点且与轴垂直的直线， 则直线从转到时，k的取值范围为， 直线从转到时，k的取值范围为， 则直线与线段PQ相交时k的取值范围为. 故答案为： 4. 已知数列为无穷等比数列，，且公比q满足，则数列所有奇数项之和的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意确定数列所有奇数项也构成等比数列，即可求出其和的表达式，结合公比的取值范围，即可求得答案. 【详解】数列为无穷等比数列，，且公比q满足， 则数列所有奇数项也构成等比数列，且公比为， 则数列所有奇数项之和为， 由于，故，则，故， 即数列所有奇数项之和的取值范围为， 故答案为： 5. 已知点，椭圆：的右焦点为，若线段的中点恰好在椭圆上，则椭圆的长轴长为_________. 【答案】4 【解析】 【分析】先求出点的坐标，然后代入椭圆方程中可求得，进而求得长轴长. 【详解】由题意知，，点是的中点， 所以. 因为点在椭圆上， 所以满足. 化简得，两边平方得. 解得. 所以椭圆的长轴长为. 故答案为：4. 6. 已知过圆柱的轴的平面与圆柱形成的截面面积为16，当截面上两点距离的最大值最小时，圆柱的底面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用圆柱的截面性质得到，再结合勾股定理和基本不等式求出，最后求解底面积即可. 【详解】如图，设圆柱的底面半径为，高为， 由圆柱的性质得过圆柱的轴的平面与圆柱形成的截面是矩形， 因为截面面积为16，所以，解得， 而截面上两点距离的最大值是矩形的对角线长度，设长度为， 由勾股定理得， 由基本不等式可得， 当且仅当时取等，此时解得， 可得圆柱的底面积为. 故答案为： 7. 以原点为中心，对角线在坐标轴上，边长为2的正方形的四条边的方程为__________. 【答案】， 【解析】 【分析】根据题设分析知，方程所得图形关于原点、轴对称且点是正方形的四个顶点，从而得到边所在方程 【详解】由题设，方程所得图形关于原点、轴对称， 又图形是对角线在坐标轴上，边长为2的正方形，所以正方形所对应四个顶点坐标分别为， 所以边对应方程为：，即，, 边对应方程为：，即，， 边对应方程为：，即，， 边对应方程为：，即，， 故方程为， 故答案为：， 8. 小马虎同学求直线2▇和直线▇之间的距离，其中▇中的数相同，但被墨迹污染，小马虎同学将转化为：▇，由，求得和之间的距离为1，若小马虎同学求解的结果是正确的，则▇中的数字为__________. 【答案】0 【解析】 【分析】设的系数为，利用平行线间的距离公式求出可得答案. 【详解】直线的方程为▇，直线▇， 设的系数为，此时直线与直线之间的距离为 ，解得. 此时，直线的方程为，直线， 它们之间的距离为1，符合题意， 故▇中的数字为0. 故答案为：0. 9. 已知实数成等差数列，则点P （312，416）到直线的最大距离是__________. 【答案】233 【解析】 【分析】先判断直线过定点，再根据两点间的距离公式求值. 【详解】因为实数成等差数列，所以， 所以直线可化为， 所以. 由. 所以直线过定点. 所以过点的直线与直线的最大距离为： . 故答案为： 10. 直线 （，）截圆的弦长为，则 的最小值为_________. 【答案】9 【解析】 【分析】求出圆心坐标和半径，由弦长得弦为直径，直线过圆心，圆心坐标代入直线方程得关系，然后由基本不等式求得最小值． 【详解】由题意圆的标准方程是，圆的圆心为，半径为， 弦长为，则弦为直径，已知直线过圆心， 所以，即， ，当且仅当即时等号成立． 故答案为：9． 11. 已知数列的前项的和满足，则的值约为__________.（保留2位有效数字，用科学记数法表示） 【答案】 【解析】 【分析】利用数列的通项与前项的和的关系，消去，即得数列递推式，代值估算并用科学记数法表示即可. 【详解】由①，可得②， 由，可得， 即，令，可得： . 故答案为：. 12. 已知直线l过点，且与x轴，y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，则 的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】设直线l的倾斜角为，分别用的三角函数表示，列出的表达式，利用辅助角公式，结合角的范围即可求得所求范围. 【详解】 如图，设直线l的倾斜角为，依题意可得， 因在直线上，故，， 则，且，， 易得，因， 故，当且仅当时，， 故 的取值范围为. 故答案为：. 二、选择题（4题，共18分，13~14每题4分，15~16每题5分） 13. “直线AG ⊂平面AEF”是“存在实数a，b，满足”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要不充分条件 C. 既非充分也非必要条件 D. 充要条件 【答案】D 【解析】 【分析】结合向量知识，根据充分、必要条件的定义判断. 【详解】由“平面”可知不共线， 若直线平面，则根据平面向量基本定理，可由平面内两个不共线的向量线性表示， 所以存在实数，使， 即“直线平面”是“存在实数，满足”的充分条件； 若存在实数，满足，根据向量共面定理可知共面， 又它们有公共点，所以直线平面， 即“直线平面”是“存在实数，满足”的必要条件； 综上可知，“直线平面”是“存在实数，满足”的充要条件 故选：D. 14. 如图，在正方体中，是侧面内一动点，若到直线与直线的距离相等，则动点的轨迹是（ ） A. 直线 B. 圆 C. 双曲线 D. 抛物线 【答案】D 【解析】 【分析】由于在平面内，而平面，因此有，这样结合抛物线的定义可得结论． 【详解】在正方体中，一定有，∴点为平面内到直线和到点的距离相等的点，其轨迹为抛物线． 故选D． 【点睛】本题考查抛物线的定义，考查立体几何中的垂直关系．属于跨章节综合题，难度不大． 15. 已知严格单调数列，已知直线与直线平行，则数列（ ） A. 可能为等差数列 B. 一定为等差数列 C. 可能为等比数列 D. 一定为等比数列 【答案】C 【解析】 【分析】利用直线平行的条件得到，结合等差数列的性质判断A，B，举特例判断C，举反例判断D. 【详解】因为直线与直线平行， 所以，即，而是严格单调数列，可得该数列所有项非， 对于A，B，若是等差数列，设公差为， 可得，解得，与题意不符， 则数列不可能为等差数列，故A，B错误， 对于C，令，则， 满足，则数列可能为等比数列，故C正确， 对于D，令，满足， 但此时不是等比数列，则数列不一定为等比数列，故D错误. 故选：C 16. 定义曲线为椭圆的“倒椭圆”已知椭圆，它的倒椭圆为，过上任意一点P作直线PA垂直x轴于点A，作直线PB垂直y轴于点B，则直线AB与椭圆的公共点个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 与点P的位置关系 【答案】B 【解析】 【分析】先求得的方程，设出点坐标并求得两点的坐标，求得直线的方程，联立直线的方程和椭圆的方程，利用判别式求得正确答案. 【详解】的方程为， 设，则，且， 所以直线的方程为，即， 由消去并化简得， ， 所以直线与椭圆有个公共点. 故选：B 三、解答题（5题，共78分，17~19每题14分，20~21每题18分） 17. 已知为椭圆的右顶点，点M在椭圆C的长轴上，过点M且不与x轴重合的直线交椭圆C于A，B两点，当点M与坐标原点O重合时，直线的斜率之积为． （1）求椭圆C的标准方程； （2）若，求面积的最大值． 【答案】（1）；（2）1． 【解析】 【分析】（1）设，表示出斜率，由题意，由此可求出答案； （2）设直线的方程为：，，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理、弦长公式、点到直线的距离公式表示出三角形的面积，化简后结合基本不等式即可求出答案． 【详解】解：（1）设，则， 又，代入上式可得：， 又，解得， ∴椭圆C的标准方程为：； （2）设直线的方程为：， ，联立，化为：， ∴， ∵，∴， ∴，代入可得：， ∴的面积， ∴， ∴，当且仅当时取等号， ∴面积的最大值为1． 【点睛】本题主要考查直线与椭圆的位置关系，考查计算能力，考查转化与化归思想，属于中档题． 18. 国漫《哪吒之魔童闹海》已成为全球单一市场票房榜第一名.某天，哪吒在东海沙滩的斜坡（坡度为15°）上练习乾坤圈投掷，土地公提醒：“斜坡会缩短射程！”，海妖趁机在斜坡上竖直布设了冰盾.小张同学对该情景的相关数据做出了假设和建模分析，由坡底往上投掷乾坤圈，他以哪吒为原点，水平面为x轴，与水平面垂直的直线作为y轴建立平面直角坐标系：已知：①：乾坤圈抛出点高度为1.2m，最高点离地3m②：抛物线顶点横坐标为6m 【坡度信息】：小张同学利用30°和45°这两个已知的特殊角的三角比来推导坡比 两角和差法： 半角法：，由，计算可得 （1）分别利用小张同学两种方法的思想与30°和45°这两个已知的特殊角的三角比推导 （2）若乾坤圈恰好能击中冰盾的底部，求：冰盾距离哪吒的直线距离（保留2位小数） 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）分别代入两角和差公式和半角公式推导即可，可得； （2）求出抛物线方程，直线方程，联立求得交点坐标即可求得. 【小问1详解】 由， ； 【小问2详解】 由已知得抛物线与轴交于点，顶点坐标为， 设抛物线方程为，将点代入，求得， 所以抛物线方程为.斜坡所在直线为， 抛物线与直线方程联立得， 解得（另一个根舍去）， 盾距离哪吒的直线距离：， 将代入上式得， 所以冰盾距离哪吒的直线距离约为m. 19. 数学之美，在于它让看似毫不相干的事物在某个瞬间产生精妙的联结. （1）求：的充要条件； （2）求：点关于直线的对称点的坐标； （3）求：函数的值域. 【答案】（1）或. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据切化弦，即，得到或，再解不等式即可； （2）根据点关于直线对称的求解方式求解即可； （3）令，化简得即可求解． 【小问1详解】 ， 或，解得或. 所以的充要条件是或. 【小问2详解】 设对称点的坐标为， ， 解得， 所以对称点的坐标； 【小问3详解】 令， 则 ，其中， ， 的值域为． 20. 如图已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线的右支上，内切圆的圆心为.已知点Q为双曲线右支上的一点，，且. （1）求：双曲线的离心率e； （2）若，，的面积满足，求：的值； （3）斜率为的直线过点，且与双曲线相交于两点，则在轴上是否存在定点，使得无论直线绕点怎样转动，恒成立；如果存在，求出定点；如果不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2） （3）不存在，理由为： 假设存在，设点，使， 由（1）可知双曲线方程为：， 斜率为的直线过点，直线方程为， 联立方程组， ， 即有两个不相等根， ∴，且,即且， 故，且， 因为，所以，故， 所以， 整理得， 即， 即， 故，对任意的恒成立， 所以，方程组无解， 故在轴上不存在这样的定点. 【解析】 【分析】（1）由双曲线的定义建立方程组，解得，由余弦定理求得，从而知道双曲线的离心率； （2）由三角形的面积公式建立等式，然后借助（1）中结论即可求得的值； （3）设点和直线方程，将直线方程代入双曲线方程得到一元二次方程，由韦达定理得到交点横坐标与参数的关系.然后由垂直得到向量数量积为0，建立等式，并整理化简，由等式恒成立，然后得到的方程组，由方程组的解即可得到结论. 【小问1详解】 ∵，∴ 即，∴， 即， ∴离心率. 【小问2详解】 设圆的半径为，由，得， 所以，即，解得. 【小问3详解】 略 21. 新定义：在直角三角形中，直角边与斜边之差的绝对值中较小的一个称为该直角三角形的“正减值”；直角三角形两直角边之差的绝对值称为该直角三角形的“余减值”. （1）求证：当直角三角形“正减值”最大时“余减值”最小； （2）设某直角三角形正减值的大小为，余减值的大小为，试判断“”是“该直角三角形三边长度可构成等差数列”的什么条件并说明理由； （3）如图所示，从双曲线的左焦点引圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若为线段的中点，为坐标原点，，请选择图中任意几点连接（不添加点），构造出两个直角三角形，满足其中一个直角三角形的正减值与另一个直角三角形的余减值相同并说明理由. 【答案】（1） 证明：由定义设三边，则正减值， 则， 因，则，得，得， 即，则正减值的最大值为， 此时， 则该三角形为等腰直角三角形，余减值为0最小. 故当直角三角形“正减值”最大时“余减值”最小； （2）既不充分也非必要条件，理由为： 设，则“正减值”，“余减值”， 则三边成等差数列的充要条件为，即； 的充要条件为， 即; 显然是的既不充分也非必要条件， 综上，“”是“该直角三角形三边长度可构成等差数列”的既不充分也非必要条件； （3）连接OT，理由为： 连接OT，则两三角形为△OFT和△OTM， 因为点分别是和的中点， 所以， ， 综上：△OFT的余减值和△OTM正减值大小相同. 【解析】 【分析】（1）设三边，则正减值，解得出的最大值，进而计算此时三边长度即可判断； （2）当三边成等差数列时，当时，由和的关系可判断； （3）连接OT，根据三角形的中位线和双曲线的定义得出，再计算△OFT的“余减值”和△OTM的“正减值”即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二上学期数学阶段练习4 数学 试卷 （考试时间120分钟 满分150分） 考生注意： 1.本试卷的选择题均为单选题 2.解答题需要写出必要的计算说明过程 3.试卷共5页 4.请自备科学计算器（卡西欧）并准确填写考号 一、填空题（12题，共54分，1~6题每题4分，7~12题每题5分） 1. 直线的斜率为__________. 2. 若方程表示圆，则m的取值范围为__________. 3. 已知点，点，直线与线段PQ相交，则k的取值范围为__________. 4. 已知数列为无穷等比数列，，且公比q满足，则数列所有奇数项之和的取值范围为__________. 5. 已知点，椭圆：的右焦点为，若线段的中点恰好在椭圆上，则椭圆的长轴长为_________. 6. 已知过圆柱的轴的平面与圆柱形成的截面面积为16，当截面上两点距离的最大值最小时，圆柱的底面积为__________. 7. 以原点为中心，对角线在坐标轴上，边长为2的正方形的四条边的方程为__________. 8. 小马虎同学求直线2▇和直线▇之间的距离，其中▇中的数相同，但被墨迹污染，小马虎同学将转化为：▇，由，求得和之间的距离为1，若小马虎同学求解的结果是正确的，则▇中的数字为__________. 9. 已知实数成等差数列，则点P （312，416）到直线的最大距离是__________. 10. 直线 （，）截圆的弦长为，则 的最小值为_________. 11. 已知数列的前项的和满足，则的值约为__________.（保留2位有效数字，用科学记数法表示） 12. 已知直线l过点，且与x轴，y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，则 的取值范围为__________. 二、选择题（4题，共18分，13~14每题4分，15~16每题5分） 13. “直线AG ⊂平面AEF”是“存在实数a，b，满足”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要不充分条件 C. 既非充分也非必要条件 D. 充要条件 14. 如图，在正方体中，是侧面内一动点，若到直线与直线的距离相等，则动点的轨迹是（ ） A. 直线 B. 圆 C. 双曲线 D. 抛物线 15. 已知严格单调数列，已知直线与直线平行，则数列（ ） A. 可能为等差数列 B. 一定为等差数列 C. 可能为等比数列 D. 一定为等比数列 16. 定义曲线为椭圆的“倒椭圆”已知椭圆，它的倒椭圆为，过上任意一点P作直线PA垂直x轴于点A，作直线PB垂直y轴于点B，则直线AB与椭圆的公共点个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 与点P的位置关系 三、解答题（5题，共78分，17~19每题14分，20~21每题18分） 17. 已知为椭圆的右顶点，点M在椭圆C的长轴上，过点M且不与x轴重合的直线交椭圆C于A，B两点，当点M与坐标原点O重合时，直线的斜率之积为． （1）求椭圆C的标准方程； （2）若，求面积的最大值． 18. 国漫《哪吒之魔童闹海》已成为全球单一市场票房榜第一名.某天，哪吒在东海沙滩的斜坡（坡度为15°）上练习乾坤圈投掷，土地公提醒：“斜坡会缩短射程！”，海妖趁机在斜坡上竖直布设了冰盾.小张同学对该情景的相关数据做出了假设和建模分析，由坡底往上投掷乾坤圈，他以哪吒为原点，水平面为x轴，与水平面垂直的直线作为y轴建立平面直角坐标系：已知：①：乾坤圈抛出点高度为1.2m，最高点离地3m②：抛物线顶点横坐标为6m 【坡度信息】：小张同学利用30°和45°这两个已知的特殊角的三角比来推导坡比 两角和差法： 半角法：，由，计算可得 （1）分别利用小张同学两种方法的思想与30°和45°这两个已知的特殊角的三角比推导 （2）若乾坤圈恰好能击中冰盾的底部，求：冰盾距离哪吒的直线距离（保留2位小数） 19. 数学之美，在于它让看似毫不相干的事物在某个瞬间产生精妙的联结. （1）求：的充要条件； （2）求：点关于直线的对称点的坐标； （3）求：函数的值域. 20. 如图已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线的右支上，内切圆的圆心为.已知点Q为双曲线右支上的一点，，且. （1）求：双曲线的离心率e； （2）若，，的面积满足，求：的值； （3）斜率为的直线过点，且与双曲线相交于两点，则在轴上是否存在定点，使得无论直线绕点怎样转动，恒成立；如果存在，求出定点；如果不存在，请说明理由. 21. 新定义：在直角三角形中，直角边与斜边之差的绝对值中较小的一个称为该直角三角形的“正减值”；直角三角形两直角边之差的绝对值称为该直角三角形的“余减值”. （1）求证：当直角三角形“正减值”最大时“余减值”最小； （2）设某直角三角形正减值的大小为，余减值的大小为，试判断“”是“该直角三角形三边长度可构成等差数列”的什么条件并说明理由； （3）如图所示，从双曲线的左焦点引圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若为线段的中点，为坐标原点，，请选择图中任意几点连接（不添加点），构造出两个直角三角形，满足其中一个直角三角形的正减值与另一个直角三角形的余减值相同并说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $