第17讲 构造函数及放缩比较大小专题讲义-2026届高三数学一轮复习

第17讲 构造函数及放缩比较大小专题 构造抽象函数模型解不等式和比较大小，前提要求学生熟练应用两个函数的和、差、积、商的求导公式，实质上就是构造目标导函数（一元）的原函数，是一个积分的过程，学生可以通过专题训练体会求原函数和原函数的不唯一性，因题而异，构造合适的抽象函数模型； 本专题从函数多项式、具体的指数函数、三角函数与的关系分类构造抽象函数模型，读者朋友可以基于文章，直接根据函数的四种运算进行分类讨论和归纳，其中乘法和除法比较常见，现归纳如下： 知识点一：常见函数的变形 （1）对于，构造 （2）对于f′(x)＋g′(x)>0，构造h(x)＝f(x)＋g(x)． （3）对于，构造 （4）对于，构造 （5）对于不等式，构造函数. （6）对于不等式，构造函数 拓展：对于不等式，构造函数 （7）对于不等式，构造函数 拓展：对于不等式，构造函数 （8）对于不等式，构造函数 拓展：对于不等式，构造函数 （9）对于不等式，构造函数 拓展：对于不等式，构造函数 （10）对于，分类讨论： ①若，则构造②若，则构造 （11）对于，构造. （12）对于，构造. （13）对于，即，构造． （14）对于，构造． （15）对于，构造． （16）对于，构造． 构造函数是数学的一种重要思想方法，它体现了数学的发现、类比、化归、猜想、实验和归纳等思想．分析近些年的高考，发现构造函数的思想越来越重要，而且很多都用在压轴题(无论是主观题还是客观题)的解答上． 构造函数的主要步骤： (1)分析：分析已知条件，联想函数模型； (2)构造：构造辅助函数，转化问题本质； (3)回归：解析所构函数，回归所求问题． 知识点二：常见不等式放缩 1、常见的指数放缩：；； 证明1：设，所以，所以当时，，所以为减函数，当当时，，所以为增函数，所以当时，取得最小值为，所以，即 证明2：对于，该不等式在R上恒成立，若令，则有 ，当时，不等式两边同乘，则有， 最后得出 2.常见的对数放缩： 证明3： 对于，令，则有，可得. 3.常见三角函数的放缩： 知识点三：常见函数的麦克劳林展开式（泰勒展开）/帕德逼近 （1） （2） （3） （4） （5） （6） 泰勒展开： 附：常用公式 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） 帕德逼近： 知识点四：常用同构模型 一、与和相关的常见同构模型 ①，构造函数或； ②，构造函数或； ③，构造函数或. 二、六大超越函数图像 表达式 图像 表达式 图像 三、添项同构 乘法同构：，对变形要求低，找亲戚函数与易实现，但构造的函数与均不是单调函数 加法同构：，要求不等式两边互为反函数，构造后的函数为单调函数，可直接由函数不等式求参数范围. 四、常见结构 ①； ②； ③ ④； 题型01：构造型函数比大小 1.已知，，，则以下不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由于，所以构造函数，然后利用导数判断函数的单调性，再利用单调性比较大小即可 【详解】，，， 令，则， 当时，，当时，， 所以在上递增，在上递减， 因为， 所以，， 因为， 所以，所以 2.设，，，则（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】b是函数的结构，而c可以变为，易知，故，而，则故选A 2.，则a，b，c的大小顺序为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数，应用导数研究其单调性，进而比较，，的大小，若有两个解，则，，构造，利用导数确定，进而得到，即可判断a、c的大小，即可知正确选项. 【详解】令，则，，， 而且，即时单调增，时单调减，又，∴，. 若有两个解，则，，即，， 令，则，即在上递增， ∴，即在上，，若即，故，有，∴当时，，故 3.设，，，则( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 法一：观察到，则考虑构造函数， 则， 故 法二：令，则，，，故 ，故在上递增，即， 而，故 4.设，，，则（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据a、b、c算式特征构建函数，通过求导确定函数单调性即可比较a、b、c的大小关系. 【详解】令，则， 因此在上单调递减， 又因为，，， 因为，所以． 5.若，则（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，利用导数说明函数的单调性，即可得到函数的最大值，再利用作差法判断、，即可得解； 【详解】解：令，则，所以当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以 又，所以，即. 6.已知，则的大小关系是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，利用导数判断在上的单调性，即可得的大小关系. 【详解】令，可得， 当时，恒成立，所以在上单调递减，所以， 即，可得，，所以，， 所以，，即，.所以.故选：B. 7.已知，有以下结论：①；②；③；④，则其中正确的个数是（       ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】构造，，利用导函数得到其单调性，从而比较出①，②，在①的基础上得到④的正误，根据的单调性及④得到③的正误.. 【详解】设，，则在上恒成立，所以在上单调递增， 因为，所以，即，因为单调递增，所以，①正确； ，即， 因为单调递增，所以，②错误； 因为，所以，④正确；因为单调递增， 所以，所以，③正确. 故选：C 8.在给出的（1）（2）（3）.三个不等式中，正确的个数为（       ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】根据题目特点，构造函数，则可根据函数的单调性解决问题. 【详解】首先，我们来考察一下函数，则， 令解得，令解得， 故在区间上单调递增，在区间单调递减， 所以，（1），即，即，则正确； （2），即，即，则错误； （3），即， 所以，，则正确 故选：C. 9.实数中值最大的是 . 【答案】 【分析】由指数函数幂函数的单调性可知这4个数的最大数在与之中，令，利用导数判断出单调性可得，即可得答案. 【详解】因为，由指数函数是单调递增函数，所以， 幂函数是单调递增函数，所以， 故这4个数的最大数在与之中， 令，所以，当即时，函数单调递增； 当，即时，函数单调递减，故函数的单调递增区间为， 单调递减区间为．  得，即．由， 得，所以； 这4个数中的最大数是. 10. 已知，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件构造函数，再探讨其单调性并借助单调性判断作答. 【详解】令函数，求导得，令，则，故，单调递减，又，故，即，而，则，即，所以 11.，则a，b，c的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数，应用导数研究其单调性，进而比较，，的大小，若有两个解，则，，构造，利用导数确定，进而得到，即可判断a、c的大小，即可知正确选项. 【详解】令，则，，， 而且，即时单调增，时单调减，又， ∴，. 若有两个解，则，， 即，， 令，则，即在上递增， ∴，即在上，，若即，故，有 ∴当时，，故， 综上：. 12.若，则的大小关系为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 通过对三个数的变形及观察，可以构造出函数，通过求导分析其单调性即可得到答案 【详解】 解：，设，则时，，故在上单调递减，则，即，所以． 故选：A. 13.设，，，则（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 结合已知要比较函数值的结构特点,可考虑构造函数,然后结合导数与单调性关系分析出时,函数取得最大值,可得最大,然后结合函数单调性即可比较大小. 【详解】 设,则, 当时,,函数单调递减,当时,,函数单调递增, 故当时,函数取得最大值, 因为,, , 当时,,函数单调递减,可得, 即. 故选:C 14.下列命题为真命题的个数是（       ） ①；②；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】 【分析】 本题首先可以构造函数，然后通过导数计算出函数的单调性以及最值，然后通过对①②③④四组数字进行适当的变形，通过函数的单调性即可比较出大小． 【详解】 解：构造函数，则， 当时，，时，， 所以函数在上递增，在上递减， 所以当时取得最大值， ， 由可得，故正确； ，由，可得，故错误； ， 因为函数在上递减， 所以，故正确； 因为，所以， 即，即，则， 即，故错误， 综上所述，有2个正确. 故选：B． 【点睛】 本题考查如何比较数的大小，当两个数无法直接通过运算进行大小比较时，如果两个数都可以转化为某个函数上的两个函数值，那么可以构造函数，然后通过函数的单调性来判断两个数的大小，考查函数思想，是难题． 15.已知a，b，c均为区间内的实数，且，，，则a，b，c的大小关系为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 构造函数，由导数判断函数单调性，进而利用单调性即可求解. 【详解】 解：令，则， 当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减， 因为，所以， 因为a，b，c均为区间内的实数，且，，， 所以， 所以， 故选：B. 16.设，，，则（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 根据a、b、c算式特征构建函数，通过求导确定函数单调性即可比较a、b、c的大小关系. 【详解】 令，则， 因此在上单调递减， 又因为，，， 因为，所以． 故选：B． 练1.若，则（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 令，利用导数说明函数的单调性，即可得到函数的最大值，再利用作差法判断、，即可得解； 【详解】 解：令，则，所以当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以 又 所以，即. 故选：A 2.设，，，则（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 由题设，，，构造并利用导数研究单调性，进而比较它们的大小. 【详解】 由题设，，，， 令且，可得， 所以有，则上递增； 有，则上递减； 又，故. 故选：B 3.在给出的（1）（2）（3）.三个不等式中，正确的个数为（       ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【解析】 【分析】 根据题目特点，构造函数，则可根据函数的单调性解决问题. 【详解】 首先，我们来考察一下函数，则 ， 令解得， 令解得， 故在区间上单调递增，在区间单调递减， 所以，（1），即，即，则正确； （2），即，即，则错误； （3），即， 所以，，则正确 故选：C. 4.若，，，则（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 设函数，求出其导数，判断函数的单调性，由此可判断出答案. 【详解】 设，则， 当时，，递增，当时，，递减， 当时，函数取得最小值， 由于 ，故，即， 故选：A 5. 是圆周率，是自然对数的底数，在，，，，，，，八个数中，最小的数是___________，最大的数是___________. 【答案】          【解析】 【分析】 分别利用指数函数的单调性，判断出底数同为以及的数的大小关系，再由幂函数的单调性，找出最小的数，最后利用函数的单调性，判断出最大的数． 【详解】 显然八个数中最小的数是. 函数是增函数，且，∴； 函数是增函数，且，； 函数是增函数，且，； 函数在是增函数，且，，则八个数中最小的数是 函数在是增函数，且，， 八个数中最大的数为或，构造函数， 求导得，当时，函数在是减函数，， 即，即，即，， 则八个数中最大的数是. 故答案为：；． 6.设，则的大小关系为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 设，利用导数求得的单调性和最值，化简可得，，，根据函数解析式，可得且，根据函数的单调性，分析比较，即可得答案. 【详解】 设， 则， 当时，，则为单调递增函数， 当时，，则为单调递减函数， 所以， 又，，， 又，，且在上单调递减， 所以， 所以. 故选：D 7.已知实数，，满足，则，，的大小关系为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 判断出，构造函数，判断时的单调性，利用其单调性即可比较出a,b的大小，即可得答案. 【详解】 由，得 ， 设 ，则， 当时，，单调递增， 因为，所以， 所以，故，则 ， 即有， 故. 故选：C. 题型02：构造xlnx型函数比大小 1.设，，，则（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数，利用函数的导数讨论函数的单调性. 【详解】令 ，， 则， 所以在上单调递增 ， 所以，即， 所以， 故选：D 2.已知，且，，，则（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数，根据单调性即可确定的大小. 【详解】设函数，，当，此时单调递增，当，此时单调递减，由题，，，得，因为，所以，则，且，所以. 3.已知，且，，，则（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数，根据单调性即可确定的大小. 【详解】设函数，，当，此时单调递增，当，此时单调递减，由题，，，得，因为，所以，则，且，所以. 题型03：构造其它函数比大小 1.设正实数a，b，c，满足，则a，b，c的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 通过构造函数，利用导数判断函数的单调性，并判断的范围，通过变形得，得的大小关系，再直接解方程求的范围，最后三个数比较大小. 【详解】 设，时，恒成立，在单调递增，时，，而，所以，，故，即，而，所以．故选：B 2.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，利用作差法结合的单调性即可得到答案. 【详解】设，则为增函数，因为 所以， 所以，所以. ， 当时，，此时，有 当时，，此时，有，所以C、D错误. 3.已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知，再利用基本不等式，换底公式可得，，然后由指数函数的单调性即可解出． 【详解】［方法一］：（指对数函数性质） 由可得，而，所以，即，所以. 又，所以，即， 所以.综上，. ［方法二］：【最优解】（构造函数） 由，可得． 根据的形式构造函数 ，则， 令，解得 ，由 知 . 在 上单调递增，所以 ，即 ， 又因为 ，所以 . 故选：A. 【点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法； 法二：利用的形式构造函数，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该题的最优解． 4.设，，．则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用对数的运算和对数函数的单调性不难对a,b的大小作出判定，对于a与c，b与c的大小关系，将0.01换成x,分别构造函数,，利用导数分析其在0的右侧包括0.01的较小范围内的单调性，结合f(0)=0,g(0)=0即可得出a与c，b与c的大小关系. 【详解】[方法一]： ， 所以； 下面比较与的大小关系. 记，则，， 由于 所以当0<x<2时，，即，， 所以在上单调递增， 所以，即，即； 令，则，， 由于，在x>0时，， 所以，即函数在[0，+∞)上单调递减，所以，即，即b<c； 综上，， 故选：B. [方法二]： 令 ，即函数在（1，+∞)上单调递减 令 ，即函数在（1，3)上单调递增 综上， 5.已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造，，求导得到其单调性，结合，得到；构造，，求导得到其单调性，结合得到，即，从而得到答案. 【详解】构造，，则在上恒成立， 故在上单调递减，又， 故，故， 构造，， 则在上恒成立，故在单调递减， 又，，故，即， 故， 综上： 故选： D 【点睛】构造函数比较大小是常考内容，以下时常用的不等式放缩，，，，，等，观察要比较的式子结构，选择合适的不等式. 6.已知，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对，，进行变形，构造，，求导后得到其单调性，从而判断出，，的大小. 【详解】，，，令，， 则，因为，所以， 令，，在上恒成立，故， 所以在上恒成立，故在上单调递减， 所以，即故选：D 【点睛】构造函数比较大小是高考热点和难点，结合代数式的特点，选择适当的函数，通过导函数研究出函数的单调性，从而比较出代数式的大小，本题中变形得到，，，所以构造，，达到比较大小的目的 7.已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先解出需要比较大小的数，找中间变量结合指数函数单调性比较大小即可. 【详解】因为所以 由得，故， 构造，又，故单调递增， 则有，显然，所以故选：A. 8.已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】与可看作与，从而可构造函数比大小， 与可看作与，从而可构造函数比大小. 【详解】构造函数，则，令，则．令，得，所以在上单调递减，在上单调递增，故，因此在上单调递增，所以．令x＝0.4，则，所以，即a＜b． 构造函数，则，因此在上单调递减，所以，令x＝0.4，则，所以，所以c＜a．故b＞a＞c．故选：C． 9.设，，，则，，的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由于，，，所以只要比较的大小即可，然后分别构造函数，，判断出其单调性，利用其单调性比较大小即可 【详解】因为，，， 所以只要比较的大小即可， 令，则，所以在 上递增， 所以，所以，所以，即， 令，则， 因为在上为减函数，且， 所以当时，，所以在上为减函数， 因为，， 要比较与的大小，只要比较与的大小， 令，则， 所以在上递增，所以， 所以当时，，所以， 所以，所以， 所以当时，，所以在上递增，所以，所以， 所以，所以，所以，所以，故选：D 10.已知，令，那么之间的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据，结合函数，，的单调性，可判断出，，，进而可以得结果. 【详解】∵，∵在上单调递增，∴，即， 又在上单调递增，∴，即， 又∵在单调递增，，即，∴，故选D． 11.已知，，，其中为自然对数的底数，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造的结构特征，构造，，求导后得到其单调性，得到，再构造，和，，求导得到其单调性，得到，即，从而得到. 【详解】， 令，， 令，则， 当时，，所以在上单调递增，又，所以，又，所以在上恒成立，所以，即，即，令，，所以， 因为，所以，所以在上单调递减，所以，即在恒成立，所以，令，， 所以，因为，所以， 故在上单调递减，所以，即在恒成立， 当时，，故，即，综上， 故选：B 12.设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将三个数进行恒等变形，使三个数中都出现，结合三个数据的形式构造定义域在上的函数，通过求导分析函数单调性，确定时的函数值与的大小关系，即可比较三个数的大小. 【详解】由题意得，.令，则，令，则， 令，则，当时，， ∴在上是减函数，且，， ∴，使得，∴当时，，当时，， ∴在上为增函数，在为减函数.∵，， ∴当时，，∴在上为增函数.∵， ∴，∴. ②令，则， ∴在上为增函数.∵,∴，∴.故选：B. 13.现有，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造，，则，，，然后求解和的单调性即可判断出的大小关系. 【详解】设，. 由于，故，，.记，. 由于，故，从而对有，故在上单调递增，所以，即；我们知道，对函数，表示的导数，在下面的解答中，我们进一步使用记号表示的导数，使用记号表示的导数. 由于，故，从而进一步求导有，. 此时，对，有，所以在上单调递减. 从而对，有，结合，就有.而，. 故对，有. 所以在上单调递增，从而对，有，这表明在上单调递增. 所以， 即对有，故在上单调递增，所以，即. 综上，有，C正确. 故选：C. 14.已知，，，其中，，，则a，b，c的大小关系为（       ）． A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 构造函数，并求，利用函数的图象去比较三者之间的大小顺序即可解决. 【详解】 将题目中等式整理，得，，， 构造函数，， 令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 函数的大致图象如图所示． 因为，，，且，，， 则由图可知，，所以． 故选：A． 15.设，，，其中为自然对数的底数，则，，的大小关系是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 可判断，，，再令，，，求导判断函数的单调性，从而比较大小． 【详解】 解：，，， 令，，， ， 故在，上是减函数， 故， 即， 故，即， 故选：D． 16.已知，，，则a，b，c的大小关系是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 根据给定条件构造函数，再探讨其单调性并借助单调性判断作答. 【详解】 令函数，求导得，令，则，故，单调递减，又，故，即，而，则，即，所以， 故选：A 17.设，，，则（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 利用指数函数的性质可比较的大小，再构造函数，利用导数判断函数的单调性，再利用其单调性可比较出，从而可比较出三个数的大小 【详解】 因为在上为增函数，且， 所以， 因为，所以，即， 令（），得， 所以在上递增， 所以，所以， 令，则，即，即， 所以， 故选：D 18.设，，，则（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 根据给定数的特征，构造对应的函数，借助导数探讨单调性比较函数值大小作答. 【详解】 令函数，， 显然，则， 令，， 求导得，即在上单调递减， ，，即， 因此当时，， 取，则有， 令，，， 令，，， 在上单调递减， ，，有，则在上单调递增， ，，因此当时，， 取，则有， 所以. 故选：A 【点睛】 思路点睛：涉及某些数或式大小比较，探求它们的共同特性，构造符合条件的函数，利用函数的单调性求解即可. 19.已知，，，则，，的大小关系正确的是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 作差法比较出，构造函数，利用函数单调性比较出，从而得出. 【详解】 ，所以，故，又，则在上单调递减，又，，所以存在，使得，且在时，，在时，，即在上单调递增，在单调递减，且，所以，又因为，所以当时，，其中因为，所以，所以，故，即. 故选：B 20.已知，，，则，，的大小关系为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 构造函数，，求其单调性，从而判断，，的大小关系. 【详解】 构造，， ， 在时为减函数，且， 所以在恒成立， 故在上单调递减， 所以， 即，所以，即. 故选：D 【点睛】 对于指数式，对数式比较大小问题，通常方法是结合函数单调性及中间值比较大小，稍复杂的可能需要构造函数进行比较大小，要结合题目特征，构造合适的函数，通过导函数研究其单调性，比较出大小. 21.若，，，则a，b，c的大小关系为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 构造函数，利用导数可得，进而可得，可得，再利用函数，可得，即得. 【详解】 令，则， ∴在上单调递增， ∴， ，， ∵， ∴，故， 设，则， 所以函数在上单调递增， 由，所以时，，即， ∴， 又， ∴， 故. 故选：B. 【点睛】 本题解题关键是构造了两个不等式与进行放缩，需要学生对一些重要不等式的积累. 练1设a=0.9，，，则a，b，c的大小关系为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 构造函数，，利用导数研究其单调性，再由单调性可比较大小. 【详解】 令，因为 所以，当时，，单调递减， 所以，即，； 令，因为 所以，当时，，单调递增， 所以，即，，即. 综上，. 故选：B 2.已知，，，则a，b，c的大小关系是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 构造函数得出大小，又即得出结论. 【详解】 构造函数，则， 在上恒成立，则在上单调递减，故，则， ，则， 由对于函数，恒成立， 所以， 即在上恒成立. 所以，（注： ） 所以， 故选：C 3.设，，，则（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 根据式子结构，构造函数，利用导数判断单调性，得到，即可判断出.记，推理判断出. 【详解】 . 记，则，所以在上单调递减. 所以，所以. . 记，则. 所以在上，，则单调递减；在上，，则单调递增；所以， 所以，即. 所以. 综上所述：. 故选：C 4.已知，，且，则（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 由题设有，分别构造、、、，利用导数研究在上的单调性，进而判断各项的正误. 【详解】 由，即， A：若且，则， 故，，即在上存在零点且在上递增， 所以在上不单调，则不一定成立，排除； B：若且，则， 所以上，递增；上，递减； 故在上不单调，则不一定成立，排除； C：若且，则，即在上递增， 所以，即，排除； D：若且，则，即在上递增， 所以，即，正确. 故选：D 5.设，，，则a，b，c的大小关系是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 分析可得，，，令，利用导数可得的单调性，根据函数单调性，可比较和的大小，即可得答案. 【详解】 由题意得，，， 令， 则，所以在为减函数， 所以，即， 所以，则，即. 故选：D 6.已知，，，则（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 ，令，利用导数求出函数的单调区间，令，利用导数求出函数的单调区间，从而可得出和的大小，从而可得出的大小关系，将两边同时取对数，然后作差，从而可得出的大小关系，即可得出结论. 【详解】 解：，， 令，则， 当时，，当时，， 所以函数在上递减，在上递增， 令，则， 当时，，当时，， 所以函数在上递减，在上递增， 所以， 即， 所以， 即，所以， 由，得， 由，得， ， 因为， 所以，所以， 所以，即， 所以， 综上所述. 故选：A. 【点睛】 本题考查了比较大小的问题，考查了同构的思想，考查了利用导数求函数的单调区间，解决本题的关键在于构造函数，有一定的难度. 7.已知，，，则（       ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】 【分析】 根据题意可将式子变形为，，，构造函数，利用导数求解函数的单调性，即可求解. 【详解】 解：由题意知，，对三个式子变形可得，，， 设函数，则. 由，得；由，得, 则在上单调递减，在上单调递增， 因为，所以,所以. 故选：AC. 8.设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，，利用导数分析这两个函数在上的单调性，可得出、的大小关系，再利用对数函数的单调性可得出、的大小关系，即可得出结论. 【详解】因为， 令，则在上恒成立， 所以，函数在上单调递增，则，即， 因为，则，所以，， 令，则，当时，， 所以，在上单调递增， 故当时，，即， 所以，，故， 又因为，， ，，故， 故选：B. 9.已知，若，， 则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先判断的奇偶性和单调性，通过奇偶性把，，转化在同一单调区间，利用单调性比较即可. 【详解】由题意， 故为偶函数， 当时，，故， 所以，， 所以， 故当时，单调递增， ， 因，所以，即， 设函数， ，故在区间上单调递增， 所以， 所以，即， 所以， 所以，即， 故选：B 10.已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对求导，得出的单调性，可知，可求出的大小，对两边取对数，则，可得，最后比较与大小，即可得出答案. 【详解】，，， 令，解得：；令，解得：， 所以在上单调递减，在上单调递增， ，，，则，， ，，∴，排除D． ，则，，，∴，排除B． 比较与大小，先比较与大小， ,， 因为，所以 所以在上单调递增，， 所以，所以， ∴，综上. 故选：A． 【点睛】关键点点睛：本题涉及三个量的大小比较，关键点在于构造函数，运用函数的单调性可求出的大小，即可判断的大小，的大小，最后构造函数，比较与的大小即可得出答案. 11.设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数及对数函数的单调性即可比较，构造函数，，利用导数判断函数的单调性，再根据函数的单调性即可得解. 【详解】因为，所以，所以， 所以， 令，则， 所以在上单调递增， 所以，即，所以， 令，则， 所以函数在上递增， 所以，即，即， 所以，即， 综上，. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：构造函数，，利用中间量来比较的大小是解决本题的关键. 12.已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，构造函数，，利用导数分析单调性，可得函数在上单调递增，进而得到，可得；构造函数，利用导数分析单调性，可得，进而得到，由，进而得到，进而求解. 【详解】由. 设， 则， 设， 则， 所以函数在上单调递增， 所以，即， 即，即， 所以， 则函数在上单调递增， 所以，即， 即，即； 设， 则， 所以函数在上单调递减， 则，即， 即，即， 所以， 又， 所以，即， 所以. 故选：B. 【点睛】方法点睛：比较大小问题，常常根据： （1）结合函数性质进行比较； （2）利用特殊值进行估计，再进行间接比较； （3）根据结构特征构造函数，利用导数分析单调性，进而判断大小.. 13.设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据式子结构构造函数，利用导数研究单调性比较b与c，a与b，利用中间值比较即可. 【详解】记，则， 记，则，又，所以， 所以在上单调递减，所以， 则，所以在上单调递减， 所以，故时，，所以， 所以， 又， 所以， 记，则， 所以在上单调递增，所以， 即时，，所以， 所以， 所以. 故选：D 【点睛】思路点睛：要比较大小的几个数之间可以看成某个函数对应的函数值，我们只要构造出函数，然后找到这个函数的单调性，就可以通过自变量的大小关系，进而找到要比较的数的大小关系，有些时候构造的函数还需要通过放缩法进一步缩小范围. 14.若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数，研究的奇偶性和单调性，由此判断出的大小关系. 【详解】设，则，，． 因为， 所以． 当时，因为， 所以在上单调递增． 因为，所以． 要比较和的大小关系， 即比较和的大小关系， 即比较和的大小关系， 其中，， 所以，所以，所以． 所以. 的另解：先证明， 不妨设，即证， 即证，其中， 即证， 构造函数， ， 所以在上单调递增，， 所以当时，，即成立， 也即成立. 所以，即. 故选：A 【点睛】比较实数的大小关系有很多方法，如差比较法、利用函数的单调性的方法、利用分段法、利用导数的方法.其中利用导数来比较大小，可以先根据要比较的数的结构进行构造函数，然后利用导数研究所构造函数的单调性，由此来得出大小关系. 15．设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别将,改写为，，再利用单调性比较即可. 【详解】因为，， 所以. 16．已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则（    ） A．a<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<a<b 【答案】A 【分析】由题意可得、、，利用作商法以及基本不等式可得出、的大小关系，由，得，结合可得出，由，得，结合，可得出，综合可得出、、的大小关系. 【详解】由题意可知、、，，； 由，得，由，得，，可得； 由，得，由，得，，可得. 综上所述， 17.已知，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数,，讨论得出函数单调性递增后，通过作差或作商判断，大小后，即可判断,的大小，利用下凸函数与割线的关系即可判断,的大小. 【详解】因为，连接和,得割线方程, 因为在上是下凸函数， 所以在上，割线在正切曲线上方，即, 所以当时，, 令，， ， 当时，因为,即， 所以在单调增，即, 因为， 所以，即， 故，即. 18.已知，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，利用导数法求最值得，从而有，再利用函数单调递减得，利用函数单调递增得，即可比较大小. 【详解】对，因为，则，即函数在单调递减， 且时，，则，即，所以， 因为且，所以， 又，所以. 19.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对a、b、c同时取自然对数可得，构造函数，利用导数研究函数的单调性，结合对数函数的单调性即可求解. 【详解】对a、b、c同时取自然对数， 得， 即， 构造函数，则， 当时，，则在上单调递增， 所以，即， 所以，又函数在上单调递增， 故 20.已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数，对求导可得在上单调递减，可得，即，再由作差法比较的大小，即可得出答案. 【详解】令,, 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 因为，所以，即， 所以可得，故， 因为， 所以，故. 21.已知，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对，，进行变形，构造，，求导后得到其单调性，从而判断出，，的大小. 【详解】，，， 令，， ， 因为，所以， 令，，在上恒成立，在上单调递增，故，所以在上恒成立， 故在上单调递减， 所以，即 22.设则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用导数证明不等式，可得；根据不等式的性质可证得，则，即可求解. 【详解】对于函数，， 令， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，则，即. 所以，. 由，得，所以，则， 所以，即. 所以. 23.已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用定义证明函数的奇偶性及在上的单调性，利用函数的奇偶性及单调性，对数函数的性质及对数运算可得结果. 【详解】因为函数的定义域为， 又，所以为偶函数， 当时，任取， ， 即，所以在上为减函数， 因为， 所以，即， 设，则， ，若，则，所以， 因为，所以， 又，即， 所以，即 24.设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 由题意可得，，，即可得，，再比较与的大小关系，借助对数运算转化为比较与的大小关系，结合放缩计算即可得. 【详解】，，，故，， 要比较与的大小，即比较与的大小， 等价于比较与的大小，等价于比较与的大小， 又 ， 故，即，即， 故. 25.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过构造函数，利用导数与函数单调性间的关系，得到在区间上单调递增，从而得出，构造函数，利用导数与函数单调性间的关系，得到在区间上单调递增，从而得出，即可得出结果. 【详解】令，则， 令，则在区间上恒成立， 即在区间上单调递减，又， 而，所以， 即在区间上单调递增，所以， 得到，即，所以， 令，则，当时，， 即在区间上单调递增， 所以，得到，即，所以， 综上所述， 26.已知，则的大关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据的特点，构造函数，判断其单调性，得到，故有，再运用作差法比较即得. 【详解】设，则， 当时，，在上递增； 当时，，在上递减, 故. 则，即； 27.已知实数分别满足，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得，，构造函数，结合导数研究函数单调性后可得，构造函数，结合导数研究函数单调性后可得，即可得出. 【详解】由，则，令，， 则， 则当时，，故在上单调递增， 故， 即，即， 由，则， 令，，则， 令，则当时，恒成立， 故在上单调递增，又，故恒成立， 故在上单调递增，故， 即，即，故. 28.已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合对数函数单调性比较，与，的大小，然后结合对数运算性质及基本不等式比较，的大小，即可求解． 【详解】由题意得，， 因为，即， ，即， 因为，所以，故． 29.设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数然后根据函数的单调性判断的大小，构造函数判断的大小，从而判断出大小； 【详解】， 设， 在上单调递减. 又 ； 又， 设 时， 在单调递减. ； 综上， 30.已知，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构建，，利用导数判断其单调性，进而可得，，赋值即可代入判断即可. 【详解】因为， 构建，则， 令，解得；令，解得； 则在上单调递减，在上单调递增，可得， 所以，当且仅当时，等号成立， 可得，当且仅当时是，等号成立， 令，则在上恒成立， 则在上单调递增，可得， 所以， 可得：当时，则，且， 所以， 令，则，即； 又因为，则， 可得，则， 令，则，可得，即； 综上所述： 31.已知，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造，根据导函数得出函数在上单调递增，即可得出，所以；构造，根据导函数得出函数在上单调递增，可判断，再根据对数函数的运算性质得到. 【详解】令，则. 当时，有，所以， 所以，在上恒成立， 所以，在上单调递增， 所以，， 所以，，即，所以. 令，则在时恒大于零，故为增函数， 所以，而，所以， 所以 32.设，则（    ） A． B． C． D． 【法一】分析法 假设待证法比较大小→构造函数 假设成立，即 令，则等价证明：，即证：（原式得证，略） 假设成立，即 令，则等价证明：， 证明略 所以函数在单调递增， 所以，即：，所以假设不成立，即， 综上所述：，故选：C 【法二】构造法 设，因为， 当时，，当时， 所以函数在单调递减，在上单调递增， 所以，所以，故，即， 所以，所以，故，所以， 故， 设，则, 令，， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 又， 所以当时，， 所以当时，，函数单调递增， 所以，即，所以 故选：C. 33.设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依题意，，，令，利用导数说明函数的单调性，即可判断、，再令，，利用导数说明函数的单调性，即可判断、，即可得解. 【详解】因为，，， 令，， 则， 令，则， 所以在上单调递增，， 所以，所以在上单调递增，所以， 则，即，即， 令，，则， 所以在上单调递减，则， 则，即，即， 所以，综上可得. 故选：D 【点睛】关键点睛：本题解答的关键是根据式子的特征构造函数，，，，利用导数说明函数的单调性，结合临界点的函数值，从而判断函数值的正负，达到比较大小的目的. 34.，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，利用导数研究函数的单调性可得到，即可判断、的大小关系；构造函数判断与0.1的大小，构造函数判断0.1与大小，从而可判断b、c大小． 【详解】令，，则， 所以当时，即在上单调递增， 所以，即，即，即， 令，则， 在时，，则为减函数， ∴，即； 令，，则， 故在为减函数， ∴，即； ∴， 令，则，即，∴， 所以． 故选：D． 【点睛】结论点睛：常用的不等式：，，，，，. 35.设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作差法判断、的大小，构造函数, 利用导数的单调性判断、的大小. 【详解】 ， 又， 所以令，， 则， 令， 则 ， 当时,, ， 所以， 故,故在上是增函数， 又∵， ∴当时,, 故在上是增函数， 故,即， 故. 故选:A. 【点睛】本题使用构造函数并利用函数的单调性判断函数值大小关系，在构造函数时首先把要比较的值变形为含有一个共同的数值，将这个数值换成变量就有了函数的形式，如在本题中，将视为变量可以构造函数. 题型04：放缩比大小 构造函数比较大小问题，常用的放缩不等式有 （1）； （2）（），当时取等号；变式：,当时取等号； （3）（），当时取等号；变式：； （4）（），当时取等号； （5）（），当时取等号. 1. 已知，其中为自然对数的底数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 结合不等式， 观察，发现都含有，把换成， 自变量在内，可以得出的大小，故. 2.已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A ， 3.已知，，则( ) 【答案】D ，，故 ，，故 观察，发现都含有，把换成， 自变量在内，可以得出的大小，故. 4.设，，则a，b，c的大小关系是_________. 【答案】 思路一：放缩 由，故， 对于 法一：∵ ∴ 法二： 5.设，，，，则( ) A．a＜b＜c＜d B．a＜c＜b＜d C．a＜b＜d＜c D．a＜c＜d＜b 【答案】B 思路一：放缩 由不等式，可得a＜c＜b 而，即，即 当x=0.1时，，， 故a＜c＜b＜d 【补充】——当x<1时，有，故 思路二：泰勒展开 故a＜c＜b＜d 6.已知，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构建，，利用导数判断其单调性，进而可得，，赋值即可代入判断即可. 【详解】因为， 构建，则， 令，解得；令，解得； 则在上单调递减，在上单调递增，可得， 所以，当且仅当时，等号成立， 可得，当且仅当时是，等号成立， 令，则在上恒成立， 则在上单调递增，可得， 所以， 可得：当时，则，且， 所以， 令，则，即； 又因为，则， 可得，则， 令，则，可得，即； 综上所述： 7.已知，，则( ) 【答案】D ，，故 ，，故 8.已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造函数，利用导数证明，进而比较大小，再根据正余弦函数性质比较大小即可得答案. 【详解】解：当，又，所以，故 记，所以， 令，得，令，得， 所以在单调递减，在单调递增. 所以，即，当时取等号. 所以，所以. 9.设，，，则下列关系正确的是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 分别令、、，利用导数可求得，，，由此可得大小关系. 【详解】 令，则， 在上单调递增，，即，则； 令，则， 在上单调递减，，即，则； ，即； 令，则， 在上的单调递增，，即， 则，即； 综上所述：. 故选：D. 【点睛】 关键点点睛：本题解题关键是能够通过构造函数的方式，将问题转化为函数值的大小关系的比较问题，通过导数求得函数的单调性后，即可得到函数值的大小. 10.已知，，，则，，的大小关系为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 首先设，利用导数得到，从而得到，设，利用导数得到，从而得到和，即可得到答案. 【详解】 解：设，，令，解得. ，，单调递减， ，，单调递增. 所以，即，当且仅当时取等号. 所以. 又，，故，所以； 设，，令，解得. ，，单调递增， ，，单调递减. 所以，即，当且仅当时取等号. 所以，故， 又，所以， 故. 故选：B. 11.已知，，，则（       ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 构造函数，由导数确定单调性，进而即得． 【详解】 设，则，在时恒成立， 所以在上是增函数， 所以，即，， ∴，又， ∴，即， 所以． 故选：C． 12.若，,，则（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 构造函数，其中，利用导数分析函数的单调性，可比较得出、的大小关系，利用对数函数的单调性可得出、的大小关系，即可得出结论. 【详解】 构造函数，其中，则， 所以，函数在上为增函数，故， 则，即， ，因此，. 故选：D. 13.已知，则（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 由结合三角函数的性质可得；构造函数，利用导数可得，即可得解. 【详解】 因为,因为当 所以,即,所以； 设， ，所以在单调递增， 则,所以， 所以,所以， 故选：A 练1.设，，，则（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 构造函数（），证明，令，排除选项A,B,再比较大小，即得解. 【详解】 解：构造函数（），，， 所以在上，单调递增，在上，单调递减，所以， 令，则，，，考虑到，可得，等号当且仅当时取到，故时，排除选项A，B. 下面比较大小，由得，故，所以. 故选：D. 2.已知，，，则（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 构造函数，利用导数求解函数的单调性，利用单调性进行求解. 【详解】 解：设，则， 设，则， 故在区间上单调递增，即， 即，故在区间上单调递增， 所以，可得，故， 利用三角函数线可得时，， 所以，即， 所以，故 综上， 故选：D. 3设，，，则下列关系正确的是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 分别令、、，利用导数可求得，，，由此可得大小关系. 【详解】 令，则， 在上单调递增，，即，则； 令，则， 在上单调递减，，即，则； ，即； 令，则， 在上的单调递增，，即， 则，即； 综上所述：. 故选：D. 4.已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数，利用导函数讨论其单调性和最值，可得，从而可得， ，即可比较的大小关系，再利用作差法比较大小关系. 【详解】令，则， 所以函数在单调递减，且， 所以，即， 令，则有， 所以，即， 又由，可得， 所以，即， 又因为，所以， 综上可得， 故选：D. 5.已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造，利用导数判断其单调性可比较的大小关系.构造，利用导数判断其单调性可比较的大小关系. 【详解】，，， 设， 所以， 所以在上单调递增，所以，即. 所以，即. 设， 则， 所以在上单调递减，所以，即. 所以，即. 所以. 故选:C. 6.已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数，，利用导数分析这两个函数的单调性，可得出、的大小，、的大小，利用不等式的基本性质可得出、的大小关系，由此可得出、、三个数的大小关系. 【详解】令，其中， 则，所以，函数在上为增函数， 故当时，，则，所以， 因为，则， 当时，证明，令，其中，则， 所以函数在上为增函数，故当时，， 所以当时，，则，所以， 所以，因此. 故选：D. 7.设，则（    ） A． B． C． D． 放缩法 因为， 所以，即 因为， 所以，即 综上所述：，故选：C 8.已知，则（    ） A． B． C． D． 【法一】：不等式放缩一 因为当， 取得：，故 ，其中，且 当时，，及 此时， 故，故 所以，所以，故选A 【法二】不等式放缩二 因为，因为当，所以,即，所以；因为当，取得，故，所以． 故选：A． 9.设，，，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用导数证明当时，，再分别利用作商，作差比较法可判断，，大小. 【详解】先来证明当时，. 令，，则， 所以函数在上单调递增，可得，即得； 令，，则， 所以函数在上单调递增，可得，即得； 所以当时，. 因为， 由，因为，所以，则，所以， 又，所以， 所以. 故选：D. 10.已知，，，则a，b，c的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用构造函数法，结合导数研究所构造函数的单调性，从而确定的大小关系. 【详解】令，则，，有. 故函数在单调递增，故， 即，所以，即， 令，则，，有. 故函数在单调递减，故，即， 所以，即. 综上：. 故选：D 11.设，，，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由时，，然后构造函数求导，即可判断. 【详解】对，因为，则，即函数在单调递减，且时，，则，即； 当时，，则，且当时，，则，所以函数在单调递增，则，即 ， 先考虑函数，，则 . 故，从而. 再考虑函数，， 则. 故，即，故. 综上，， 12.已知，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为当，故，，故，所以； 设，，所以在单调递增， 故，所以，所以，所以，故选A 13.设，，则（ ） A. B. C. D. A. 1 B. C. D. 3 【答案】C 解：（求差比较，结合构造法） ，， ， ① ，令 则 ， 故 在 上单调递减，可得 ，即 ，所以 ； ② ，令 则 ， 令 ，所以 ， 所以 在 上单调递增，可得 ，即 ， 所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，所以 故 点睛：通过构造函数比较两个数式的大小,是近几年高考的热点.求解的关键是仔细观察所给式子的结构特征，合理构造相应的函数. 14.若实数，，，且满足，，，则，，的大小关系是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，，，得，，， 令，则，当时，当时， 所以在上是增函数，在上是减函数，于是， 即，又，，，所以.故选：C. 15.已知，则a，b，c大小关系是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以,即；(该结论令，求导易证） 令，，∴，∴在上单调递增， ∴，∴，即，综上可知：.故选：D 16.已知，，，则（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由已知，又，所以，，所以. ，下面来比较的大小，即比较的大小， 令，，则. 令，则在上恒成立， 所以在上单调递增，所以，在上单调递增. 又，所以，在上恒成立，所以，在上单调递减.由，有， 即，故，所以.综上所述，.故选：B. 17.已知是自然对数的底数，则下列不等关系中不正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】构造函数，， 所以在区间递增；在区间递减， 所以，故，当且仅当时等号成立. 即，当且仅当时等号成立. 所以，AC选项错误，，B选项正确. 对于D,,令，， 所以在区间递增；在区间递减， 所以，，D选项错误.故选：ACD 18.已知，，，则（参考数据：）（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为， ，考虑构造函数，则， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 因为，所以，即，所以， 所以，即，又，所以，故，故选：B. 19.已知，且，则（  ） A． B． C． D． 【答案】A 分析：根据指对互化将，变形得，构造函数，求导验证其单调性，即可得函数值的大小关系，从而可得的大小. 详细解答： 因为，所以可得， 设函数，则， ，令，则在上恒成立，所以单调递减，则，所以在上单调递减， 所以，从而.故选：A． 题型05：取对数后比大小 1.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对a、b、c同时取自然对数可得，构造函数，利用导数研究函数的单调性，结合对数函数的单调性即可求解. 【详解】对a、b、c同时取自然对数， 得， 即， 构造函数，则， 当时，，则在上单调递增， 所以，即， 所以，又函数在上单调递增， 故 2.已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】根据式子结构构造函数，利用导数判断出在上单调递减，得到，进而得到，即可得到答案. 【详解】令,则. 因为在上单调递减，在上单调递减， 所以在上单调递减. 而 所以在上有. 所以在上单调递减. 所以，即 故.故. 3.已知实数，且，，，则（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将已知的等式两边取对数可得，，.设函数，求导，分析导函数的正负，得出所令函数的单调性，由此可得选项． 【详解】由，，得，，，因此，，. 设函数，则，，， ，令，得，所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，即，又， 所以 4.已知，，，则（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对，，取对数，探求它们的结构特征，构造函数()，借助导数判断单调性即可作答. 【详解】对，，取对数得：，，， 令()，， 令，，即在上单调递增， 由得，，于是得，又， 因此，，即在上单调递增，从而得， 即，，所以. 5.已知，则的大小关系为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先构造函数，求导确定函数单调性，即可判断的大小. 【详解】令，则， 显然当时，是减函数且，故是减函数， ，即， 可得，即. 6.已知，，，则，，的大小关系为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数，，求其单调性，从而判断，，的大小关系. 【详解】构造，， ， 在时为减函数，且， 所以在恒成立，故在上单调递减， 所以，即，所以，即. 题型06：泰勒展开公式麦克劳林展开比大小 常见函数的泰勒展开式： （1），其中； （2），其中； （3），其中； （4），其中； （5）； （6）； （7）； （8）． 由泰勒公式，我们得到如下常用的不等式： ，，， ，，， ，，． 3．常见函数的泰勒展开式： 结论1 ． 结论2 ． 结论3 （）． 结论4 ． 结论5 ；；． 结论6 ； 结论7 结论8 ． 结论9 ． 1.设，则（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用泰勒展开来数值逼近比大小 设 当x=0.1时，显然 2.设，，．则（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用泰勒展开来数值逼近比大小 【详解】因为1.012>1.02，所以b<a，只比较a与c的大小关系。 3.设，，，这三个数的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据诱导公式得到，结合的单调性，比较出，先利用多次求导，得到，，从而得到，比较出. 【详解】，∵，而在上单调递增， ∴且时，，以下是证明过程： 令，， ，令， 故，令， 故，令， 则，令， 故，令，故在上恒成立， 故在上单调递增，所以，故在上单调递增，所以，故在上单调递增， 所以，故在上单调递增， 所以，故在上单调递增， ∴，∴，∴.故选：C． 4.，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】找中间值进行比较大小，再借助泰勒展开即可比较大小. 【详解】由题意得，， 因为，所以， 由泰勒展开得，， 所以， 故，综上所述a，b，c的大小关系是.故选：C 5.设，，则（       ） A． B． C． D． 泰勒公式法： 因为，所以，所以 因为 所以 综上所述：.故选：C 6.已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由结合三角函数的性质可得;构造函数,利用导数可得,即可得解. 【详解】 泰勒展开 设，则，， ，计算得，故选A. 7.设，，．则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用对数的运算和对数函数的单调性不难对a,b的大小作出判定，对于a与c，b与c的大小关系，将0.01换成x,分别构造函数,，利用导数分析其在0的右侧包括0.01的较小范围内的单调性，结合f(0)=0,g(0)=0即可得出a与c，b与c的大小关系. 【详解】 由泰勒公式, 可知 将 , 分别相应代入估 算, 得 . 由此可知 . 8.设，，则（       ） A． B． C． D． 泰勒公式法： 因为，所以，所以 因为 所以 综上所述： 故选：C 8．已知，则（    ） A． B． C． D． 泰勒展开 设，则，， ，计算得，故选A. 2．设，，．则（    ） A． B． C． D． [方法一]： 由泰勒公式, 可知 将 , 分别相应代入估 算, 得 . 由此可知 . [方法二]： ， 所以； 下面比较与的大小关系. 记，则，， 由于 所以当0<x<2时，，即，， 所以在上单调递增， 所以，即，即； 令，则，， 由于，在x>0时，， 所以，即函数在[0，+∞)上单调递减，所以，即，即b<c； 综上，， 故选：B. [方法三]： 令 ，即函数在（1，+∞)上单调递减 令 ，即函数在（1，3)上单调递增 综上，， 故选：B. 【点睛】本题考查比较大小问题，难度较大，关键难点是将各个值中的共同的量用变量替换，构造函数，利用导数研究相应函数的单调性，进而比较大小，这样的问题，凭借近似估计计算往往是无法解决的. 9．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过构造，，三个函数，将三个数与进行比较，得到，； 再通过构造，，通过二次求导的方法比较b和c的大小即可得到答案. 【详解】先比较和的大小： 构造， 则对恒成立，则在单调递增， 此时，当且仅当时取等， 所以，则； 构造， 则对恒成立，则在单调递减， 此时，当且仅当时取等， 所以，则； 构造， 则对恒成立，则在单调递减， 此时，当且仅当时取等， 所以，则； 则，； 下面比较b和c的大小： 设，， ， 设，，， 易知在上单调递增，则， 所以在上单调递减，， 即在上恒成立，则在上单调递减， 由，则，即，则. 综上， 故选：B 【点睛】方法点睛：本题考查通过导数的综合运用.比大小问题要熟悉各类常见的放缩，找出结构的相同之处，通过构造函数，运用导数这一工具，对数据进行大小的比较. 题型07：帕德逼近 1.设，则（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用帕德逼近来近似计算. 【详解】 ..所以 2.已知则 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用帕德逼近来近似计算. 【详解】 3.设a＝，b＝ln1.01，c＝，则（       ） A．abc B．bca C．bac D．cab 【答案】B 【分析】帕德逼近近似计算. 【详解】设，所以， 4.设，，．则（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用帕德逼近可计算 【详解】 题型08：一题多解 1.已知，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】法一：a，c结构为，对于这样的结构，可以用减1后再比大小 ， 结合图像可得 比较b的大小时，结合换底公式：，， 考虑到a，b分母相同，所以优先比较a，b的大小 ∵ ∴a>b 接下来证明， 法一：构造函数 令，，， 故在，则 法二：放缩 当时，由 故 2.已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由结合三角函数的性质可得;构造函数,利用导数可得,即可得解. 【详解】[方法一]：构造函数 因为当 故，故，所以； 设， ，所以在单调递增， 故，所以， 所以，所以，故选A [方法二]：不等式放缩 因为当， 取得：，故 ，其中，且 当时，，及 此时， 故，故 所以，所以，故选A [方法三]：泰勒展开 设，则，， ，计算得，故选A. [方法四]：构造函数 因为，因为当，所以,即，所以；设，，所以在单调递增，则,所以，所以,所以， 故选：A． [方法五]：【最优解】不等式放缩 因为，因为当，所以,即，所以；因为当，取得，故，所以． 【整体点评】方法4：利用函数的单调性比较大小，是常见思路，难点在于构造合适的函数，属于通性通法； 方法5：利用二倍角公式以及不等式放缩，即可得出大小关系，属于最优解． 3.设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造函数， 导数判断其单调性，由此确定的大小. 【详解】方法一：构造法 设，因为， 当时，，当时， 所以函数在单调递减，在上单调递增， 所以，所以，故，即， 所以，所以，故，所以， 故， 设，则, 令，， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 又， 所以当时，， 所以当时，，函数单调递增， 所以，即，所以 故选：C. 方法二：比较法 解： ， ， ， ① ， 令 则 ， 故 在 上单调递减， 可得 ，即 ，所以 ； ② ， 令 则 ， 令 ，所以 ， 所以 在 上单调递增，可得 ，即 ， 所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，所以 故 17．设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造函数， 导数判断其单调性，由此确定的大小. 【详解】方法一：构造法 设，因为， 当时，，当时， 所以函数在单调递减，在上单调递增， 所以，所以，故，即， 所以，所以，故，所以， 故， 设，则, 令，， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 又， 所以当时，， 所以当时，，函数单调递增， 所以，即，所以 故选：C. 方法二：比较法 解： ， ， ， ① ， 令 则 ， 故 在 上单调递减， 可得 ，即 ，所以 ； ② ， 令 则 ， 令 ，所以 ， 所以 在 上单调递增，可得 ，即 ， 所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，所以 故 4．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由结合三角函数的性质可得;构造函数,利用导数可得,即可得解. 【详解】[方法一]：构造函数 因为当 故，故，所以； 设， ，所以在单调递增， 故，所以， 所以，所以，故选A [方法二]：不等式放缩 因为当， 取得：，故 ，其中，且 当时，，及 此时， 故，故 所以，所以，故选A [方法三]：泰勒展开 设，则，， ，计算得，故选A. [方法四]：构造函数 因为，因为当，所以,即，所以；设，，所以在单调递增，则,所以，所以,所以， 故选：A． [方法五]：【最优解】不等式放缩 因为，因为当，所以,即，所以；因为当，取得，故，所以． 【整体点评】方法4：利用函数的单调性比较大小，是常见思路，难点在于构造合适的函数，属于通性通法； 方法5：利用二倍角公式以及不等式放缩，即可得出大小关系，属于最优解． 5．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知，再利用基本不等式，换底公式可得，，然后由指数函数的单调性即可解出． 【详解】［方法一］：（指对数函数性质） 由可得，而，所以，即，所以. 又，所以，即， 所以.综上，. ［方法二］：【最优解】（构造函数） 由，可得． 根据的形式构造函数 ，则， 令，解得 ，由 知 . 在 上单调递增，所以 ，即 ， 又因为 ，所以 . 故选：A. 【点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法； 法二：利用的形式构造函数，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该题的最优解． 6．设，，．则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用对数的运算和对数函数的单调性不难对a,b的大小作出判定，对于a与c，b与c的大小关系，将0.01换成x,分别构造函数,，利用导数分析其在0的右侧包括0.01的较小范围内的单调性，结合f(0)=0,g(0)=0即可得出a与c，b与c的大小关系. 【详解】[方法一]： ， 所以； 下面比较与的大小关系. 记，则，， 由于 所以当0<x<2时，，即，， 所以在上单调递增， 所以，即，即； 令，则，， 由于，在x>0时，， 所以，即函数在[0，+∞)上单调递减，所以，即，即b<c； 综上，， 故选：B. [方法二]： 令 ，即函数在（1，+∞)上单调递减 令 ，即函数在（1，3)上单调递增 综上， 巩固练习 1．下列不等关系中，正确的是（是自然对数的底数）（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】构造函数，利用该函数单调性可一一判断四个选项的正误. 【详解】设，，，，，，所以在单调递增，在单调递减. 对于A项，， 由在单调递减，可得，故A项正确； 对于B项，， 由在单调递减，可得，故B项正确； 对于C项，， 由在单调递减，可得，故C项错误； 对于D项，， 由在单调递减，可得，故D项正确. 故选:ABD. 2．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，由导数判断单调性后比较大小， 【详解】设，则，当时，， 故在上单调递减， 而，故， 故选：B 3．已知，，，则，，的大小关系为（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】观察发现这三个数都具有的形式，故研究单调性即可. 【详解】考虑，，于是在上递增，递减，注意到，，，，故，故. 故选：B 4．已知，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数，利用导数研究单调性可比较a、b，利用对数单调性可比较a、c，然后可得. 【详解】因为，所以； 构造函数，则， 记，则由，得，在递增， 由，得，在递减， 所以，所以在R上递增，有，所以，所以. 故选：D． 5．设，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题知，，，进而构造函数，研究函数单调性，利用单调性比较大小. 【详解】解：因为，，， 所以，令，， 所以当时，，函数单调减， 因为，所以，即. 故选：A 6．已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数，利用导函数求出单调性，利用单调性比较大小. 【详解】设，则， 当得：，当时，， 所以在上单调递增，上单调递减， 又，所以，即c<a<b． 故选：D． 7．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，不等式恒成立，若，，，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，由奇偶性定义知为偶函数，结合导数和偶函数性质可确定在上单调递减，由指数和对数函数单调性可确定，结合偶函数性质和单调性可得，由此可得大小关系. 【详解】设，则，为定义在上的偶函数； 当时，，在上单调递增， 由偶函数性质可知：在上单调递减， ，， 又，， 即. 故选：C. 8．已知，则，，的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，构造函数，利用函数的单调性比较大小作答. 【详解】令函数，当时，求导得：， 则函数在上单调递减，又，，， 显然，则有，所以. 故选：C 【点睛】思路点睛：某些数或式大小比较问题，探讨给定数或式的内在联系，构造函数，分析并运用函数的单调性求解. 9．已知，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数，得，，，再由导数求得的单调性，即可判断． 【详解】解：令，，则，，， 所以， ， 对任意恒成立，即在上单调递减， ，即． 故选：D． 10．若，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数，利用导数说明函数的单调性，即可判断，再构造函数，，利用导数说明函数的单调性，即可判断，即可得解； 【详解】解：令，则，则在定义域上单调递减，所以，即，所以，即，令，，则，因为，所以，令，，则，即在上单调递减，所以，所以，即在上单调递增，所以，即，即，即，综上可得； 故选：A 11．已知，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，利用导数判断在上的单调性，即可得，，的大小关系. 【详解】令，可得， 当时，恒成立， 所以在上单调递减， 所以， 即，可得，， 所以，， 所以，， 即，， 所以， 故选：A. 12．已知，则下列大小关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】A.构造函数，利用其单调性比较大小； B.构造函数，利用其单调性比较大小； C.构造函数及函数，利用其单调性比较大小； D.将转化为，判断的大小关系即可. 【详解】，则，且， A.因为函数在上单调递减，故，A错误； B.因为函数在上单调递减，故，B错误； C.因为函数在上单调递减，函数在上单调递增， ，C正确； D. ， 又，，D错误； 故选：C. 13．设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，利用导数求得函数单调性，得到，得出，进而求得，，再由，求得，得到，即可求解. 【详解】设，可得，令，解得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以，即， 则，，所以最小， 又由，因为，所以，所以， 综上可得：. 故选：D. 14．已知是自然对数的底数，设，，，，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】，根据单调性可以判断，再作差可判断，；再构造，根据单调性可判断. 【详解】根据题意，设，易知当时，递减； ，即为；，即为，所以，即； ，即，故A错，故D错； ，即，故B错； 构造函数，所以恒成立， 所以在单调递增，所以，即，所以； 故选：C. 15．已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将变为，构造函数，利用导数判断函数的单调性，再结合，根据函数的单调性即可得出答案. 【详解】解：由， 得， 令，则， 当时，，当时，， 所以函数在上递增，在上递减， 又因， 且， 所以， 即， 所以. 故选：D. 16．已知，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】转化，结合的单调性，分析即得解 【详解】由题意， 令 令，故在单调递增； 令，故在单调递减； 由于，故即； 由于，故即； 又 又 故 故选：A 17．定义在上函数的导函数为，满足则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据导数不等式，构造函数，利用导数结合已知条件判断函数的单调性，然后利用的单调性依次判断四个选项即可． 【详解】解：令，则， ，，即恒成立， 为上的单调递增函数，则， 即，则，故选项A错误； ，， ，故选项B正确； ，， ，即， 故选项C错误，选项D正确． 故选：BD． 18．设，，，则a、b、c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用，构造且研究单调性比较大小，构造且研究单调性判断函数值符号比较的大小，即可得结果. 【详解】由， 因为，，则，， 令且，则，则递减， 所以，即，则，故； 因为，，由， 令且，则，则递增； 故，，而， 所以，则，即， 综上，. 故选：D 【点睛】关键点点睛：利用中间值得到，构造利用导数研究单调性比较，作差法并构造研究函数值符号比较大小. 19．下列大小关系正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】构造函数，利用导数判断其单调性后判断A，利用指数函数性质判断B，利用对数函数性质及基本不等式判断C，根据对数换底公式、对数函数性质判断D． 【详解】设，则， 时，，递增， 而，所以，即，， 即，A正确； ，B正确； ，所以， 所以，C正确； ，， ，所以， ，，所以，， 所以，D错． 故选：ABC． 20．已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对，，变形后构造函数，利用极值点偏移证明，，的大小关系. 【详解】要比较，，等价于比较的大小, 等价于比较, 即比较, 构造函数,, 令得,令得, 所以在单调递增, 单调递减. 所以, 因为， 所以最大，即，，中最大， 设， 结合的单调性得，， 先证明，其中， 即证， 令，，其中， 则， 所以，函数在上为增函数，当时，， 所以，当时，， 则有， 由可知， 所以， 因为，所以即， 因为，在单调递增， 所以，即， 因为 所以所以， 即， 因为，在单调递减. 所以， 即，即， 综上，， 故选:B. 【点睛】关键点点睛：应用对数平均不等式（需证明）证明极值点偏移： ①由题中等式中产生对数； ②将所得含对数的等式进行变形得到； ③利用对数平均不等式来证明相应的问题. 21．已知，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用导数可得在上恒成立，进而可得，然后构造函数，根据函数的单调性即得. 【详解】设，， 在上恒成立， 在上单调递增， ，即在上恒成立， ， ， 设，，因为为增函数， 则在上单调递增，且， . 故选：A. 22．已知，，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意变形得，构造函数证得，观察选项，通过变形可知比较的是的大小，故构造函数证得其单调递减，由此得到所比大小排序. 【详解】因为，，， 所以由两边取自然对数得，即，故， 再由得，故， 令，则，故在上单调递减， 又由上式可知，故， 由四个选项的不等式同时除以可知，比较的是的大小， 故令，则， 再令，则， 故在上单调递减， 所以，故， 所以在上单调递减， 又因为，所以，即， 上述不等式两边同时乘以得，. 故选：D. 23．已知实数，且，为自然对数的底数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】化简条件后根据形式构造函数，利用单调性判断不等式 【详解】因为，所以， 函数在上单调递增，且，因为 所以，所以，即， 又，所以，所以，即，综上，. 故选：D 24．已知，则a，b，c的大小关系是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数，由导数可判断出在上单调递增，从而可得，化简变形可比较出a，b，c的大小关系 【详解】令，可得，当时，恒成立， 所以在上单调递增，所以， 即，得， ， 又已知， ，， 所以， 故选：D. 25．已知，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】观察a,b,c的结构，进而变形为，，，然后通过构造函数，利用导数得出函数的单调性，最后比较出大小. 【详解】由题意，，，， 构造函数，则， 所以函数在上单调递减，所以，即. 故选：C. 【点睛】比较大小通常会用到函数的单调性，本题首先需要观察a,b,c的结构，对式子进行恰当的变化，找到共性，进而构造函数，通过函数的单调性进行解决. 试卷第22页，共1页 试卷第2页， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 答案第18页，共1页 答案第130页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第17讲 构造函数及放缩比较大小专题 构造抽象函数模型解不等式和比较大小，前提要求学生熟练应用两个函数的和、差、积、商的求导公式，实质上就是构造目标导函数（一元）的原函数，是一个积分的过程，学生可以通过专题训练体会求原函数和原函数的不唯一性，因题而异，构造合适的抽象函数模型； 本专题从函数多项式、具体的指数函数、三角函数与的关系分类构造抽象函数模型，读者朋友可以基于文章，直接根据函数的四种运算进行分类讨论和归纳，其中乘法和除法比较常见，现归纳如下： 知识点一：常见函数的变形 （1）对于，构造 （2）对于f′(x)＋g′(x)>0，构造h(x)＝f(x)＋g(x)． （3）对于，构造 （4）对于，构造 （5）对于不等式，构造函数. （6）对于不等式，构造函数 拓展：对于不等式，构造函数 （7）对于不等式，构造函数 拓展：对于不等式，构造函数 （8）对于不等式，构造函数 拓展：对于不等式，构造函数 （9）对于不等式，构造函数 拓展：对于不等式，构造函数 （10）对于，分类讨论： ①若，则构造②若，则构造 （11）对于，构造. （12）对于，构造. （13）对于，即，构造． （14）对于，构造． （15）对于，构造． （16）对于，构造． 构造函数是数学的一种重要思想方法，它体现了数学的发现、类比、化归、猜想、实验和归纳等思想．分析近些年的高考，发现构造函数的思想越来越重要，而且很多都用在压轴题(无论是主观题还是客观题)的解答上． 构造函数的主要步骤： (1)分析：分析已知条件，联想函数模型； (2)构造：构造辅助函数，转化问题本质； (3)回归：解析所构函数，回归所求问题． 知识点二：常见不等式放缩 1、常见的指数放缩：；； 证明1：设，所以，所以当时，，所以为减函数，当当时，，所以为增函数，所以当时，取得最小值为，所以，即 证明2：对于，该不等式在R上恒成立，若令，则有 ，当时，不等式两边同乘，则有， 最后得出 2.常见的对数放缩： 证明3： 对于，令，则有，可得. 3.常见三角函数的放缩： 知识点三：常见函数的麦克劳林展开式（泰勒展开）/帕德逼近 （1） （2） （3） （4） （5） （6） 泰勒展开： 附：常用公式 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） 帕德逼近： 知识点四：常用同构模型 一、与和相关的常见同构模型 ①，构造函数或； ②，构造函数或； ③，构造函数或. 二、六大超越函数图像 表达式 图像 表达式 图像 三、添项同构 乘法同构：，对变形要求低，找亲戚函数与易实现，但构造的函数与均不是单调函数 加法同构：，要求不等式两边互为反函数，构造后的函数为单调函数，可直接由函数不等式求参数范围. 四、常见结构 ①； ②； ③ ④； 题型01：构造型函数比大小 1.已知，，，则以下不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 2.设，，，则（       ） A． B． C． D． 2.，则a，b，c的大小顺序为（       ） A． B． C． D． 3.设，，，则( ) A. B. C. D. 4.设，，，则（       ） A． B． C． D． 5.若，则（       ） A． B． C． D． 6.已知，则的大小关系是（       ） A． B． C． D． 7.已知，有以下结论：①；②；③；④，则其中正确的个数是（       ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8.在给出的（1）（2）（3）.三个不等式中，正确的个数为（       ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 9.实数中值最大的是 . 10. 已知，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 11.，则a，b，c的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 12.若，则的大小关系为（       ） A． B． C． D． 13.设，，，则（       ） A． B． C． D． 14.下列命题为真命题的个数是（       ） ①；②；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 15.已知a，b，c均为区间内的实数，且，，，则a，b，c的大小关系为（       ） A． B． C． D． 16.设，，，则（       ） A． B． C． D． 1.若，则（       ） A． B． C． D． 2.设，，，则（       ） A． B． C． D． 3.在给出的（1）（2）（3）.三个不等式中，正确的个数为（       ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4.若，，，则（       ） A． B． C． D． 5. 是圆周率，是自然对数的底数，在，，，，，，，八个数中，最小的数是___________，最大的数是___________. 6.设，则的大小关系为（       ） A． B． C． D． 7.已知实数，，满足，则，，的大小关系为（       ） A． B． C． D． 题型02：构造xlnx型函数比大小 1.设，，，则（       ） A． B． C． D． 2.已知，且，，，则（       ） A． B． C． D． 3.已知，且，，，则（       ） A． B． C． D． 题型03：构造其它函数比大小 1.设正实数a，b，c，满足，则a，b，c的大小关系为（ ） A． B． C． D． 2.若，则（    ） A． B． C． D． 3.已知，则（    ） A． B． C． D． 4.设，，．则（    ） A． B． C． D． 5.已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 6.已知，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 7.已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 8.已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 9.设，，，则，，的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 10.已知，令，那么之间的大小关系为（ ） A． B． C． D． 11.已知，，，其中为自然对数的底数，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 12.设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 13.现有，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 14.已知，，，其中，，，则a，b，c的大小关系为（       ）． A． B． C． D． 15.设，，，其中为自然对数的底数，则，，的大小关系是（       ） A． B． C． D． 16.已知，，，则a，b，c的大小关系是（       ） A． B． C． D． 17.设，，，则（       ） A． B． C． D． 18.设，，，则（       ） A． B． C． D． 19.已知，，，则，，的大小关系正确的是（       ） A． B． C． D． 20.已知，，，则，，的大小关系为（       ） A． B． C． D． 21.若，，，则a，b，c的大小关系为（       ） A． B． C． D． 1设a=0.9，，，则a，b，c的大小关系为（       ） A． B． C． D． 2.已知，，，则a，b，c的大小关系是（       ） A． B． C． D． 3.设，，，则（       ） A． B． C． D． 4.已知，，且，则（       ） A． B． C． D． 5.设，，，则a，b，c的大小关系是（       ） A． B． C． D． 6.已知，，，则（       ） A． B． C． D． 7.已知，，，则（       ） A． B． C． D． 8.设，，，则（    ） A． B． C． D． 9.已知，若，， 则（    ） A． B． C． D． 10.已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 11.设，，，则（    ） A． B． C． D． 12.已知，，，则（    ） A． B． C． D． 13.设，，，则（    ） A． B． C． D． 14.若，，，则（    ） A． B． C． D． 15．设，，，则（    ） A． B． C． D． 16．已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则（    ） A．a<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<a<b 17.已知，，，则（ ） A． B． C． D． 18.已知，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 19.若，则（    ） A． B． C． D． 20.已知，则（    ） A． B． C． D． 21.已知，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 22.设则（   ） A． B． C． D． 23.已知函数，则（    ） A． B． C． D． 24.设，，，则（    ） A． B． C． D． 25.若，则（    ） A． B． C． D． 26.已知，则的大关系为（    ） A． B． C． D． 27.已知实数分别满足，，且，则（    ） A． B． C． D． 28.已知，，，则（    ） A． B． C． D． 29.设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 30.已知，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 31.已知，则有（    ） A． B． C． D． 32.设，则（    ） A． B． C． D． 33.设，，，则（    ） A． B． C． D． 34.，则（    ） A． B． C． D． 35.设，则（    ） A． B． C． D． 题型04：放缩比大小 构造函数比较大小问题，常用的放缩不等式有 （1）； （2）（），当时取等号；变式：,当时取等号； （3）（），当时取等号；变式：； （4）（），当时取等号； （5）（），当时取等号. 1. 已知，其中为自然对数的底数，则（ ） A. B. C. D. 2.已知，，，则（ ） A. B. C. D. 3.已知，，则( ) 4.设，，则a，b，c的大小关系是_________. 5.设，，，，则( ) A．a＜b＜c＜d B．a＜c＜b＜d C．a＜b＜d＜c D．a＜c＜d＜b 6.已知，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 7.已知，，则( ) 8.已知，则（    ） A． B． C． D． 9.设，，，则下列关系正确的是（       ） A． B． C． D． 10.已知，，，则，，的大小关系为（       ） A． B． C． D． 11.已知，，，则（       ）． A． B． C． D． 12.若，,，则（       ） A． B． C． D． 13.已知，则（       ） A． B． C． D． 14.设，，，则（       ） A． B． C． D． 15..已知，，，则（       ） A． B． C． D． 16.设，，，则下列关系正确的是（       ） A． B． C． D． 17.已知，，，则（    ） A． B． C． D． 18.已知，，，则（    ） A． B． C． D． 19.已知，，，则（    ） A． B． C． D． 20.设，则（    ） A． B． C． D． 21.已知，则（    ） A． B． C． D． 22.设，，，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 23..已知，，，则a，b，c的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 24.设，，，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 25.已知，则（     ） A． B． C． D． 26.设，，则（ ） A. B. C. D. A. 1 B. C. D. 3 27.若实数，，，且满足，，，则，，的大小关系是（  ） A． B． C． D． 28.已知，则a，b，c大小关系是（  ） A． B． C． D． 29.已知，，，则（  ） A． B． C． D． 30.已知是自然对数的底数，则下列不等关系中不正确的是（  ） A． B． C． D． 31.已知，，，则（参考数据：）（  ） A． B． C． D． 32.已知，且，则（  ） A． B． C． D． 题型05：取对数后比大小 1.若，则（    ） A． B． C． D． 2.已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 3.已知实数，且，，，则（       ） A． B． C． D． 4.已知，，，则（       ） A． B． C． D． 5.已知，则的大小关系为（       ） A． B． C． D． 题型06：泰勒展开公式麦克劳林展开比大小 常见函数的泰勒展开式： （1），其中； （2），其中； （3），其中； （4），其中； （5）； （6）； （7）； （8）． 由泰勒公式，我们得到如下常用的不等式： ，，， ，，， ，，． 3．常见函数的泰勒展开式： 结论1 ． 结论2 ． 结论3 （）． 结论4 ． 结论5 ；；． 结论6 ； 结论7 结论8 ． 结论9 ． 1.设，则（       ） A． B． C． D． 2.设，，．则（       ） A． B． C． D． 3.设，，，这三个数的大小关系为（    ） A． B． C． D． 4.，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 5.设，，则（       ） A． B． C． D． 6.已知，则（    ） A． B． C． D． 7.设，，．则（    ） A． B． C． D． 8.设，，则（       ） A． B． C． D． 8．已知，则（    ） A． B． C． D． 9．设，，．则（    ） A． B． C． D． 10．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 题型07：帕德逼近 1.设，则（       ） A． B． C． D． 2.已知则 A． B． C． D． 3.设a＝，b＝ln1.01，c＝，则（       ） A．abc B．bca C．bac D．cab 4.设，，．则（       ） A． B． C． D． 题型08：一题多解 1.已知，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 2.已知，则（    ） A． B． C． D． 3.设，则（    ） A． B． C． D． 4．已知，则（    ） A． B． C． D． 5．已知，则（    ） A． B． C． D． 6．设，，．则（    ） A． B． C． D． 巩固练习 1．下列不等关系中，正确的是（是自然对数的底数）（    ） A． B． C． D． 2．已知，则（    ） A． B． C． D． 3．已知，，，则，，的大小关系为（    ）. A． B． C． D． 4．已知，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 5．设，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 6．已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 7．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，不等式恒成立，若，，，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 8．已知，则，，的大小为（    ） A． B． C． D． 9．已知，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 10．若，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 11．已知，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 12．已知，则下列大小关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 13．设，，，则（    ） A． B． C． D． 14．已知是自然对数的底数，设，，，，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 15．已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 16．已知，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 17．定义在上函数的导函数为，满足则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 18．设，，，则a、b、c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 19．下列大小关系正确的是（    ）． A． B． C． D． 20．已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 21．已知，，且，则（    ） A． B． C． D． 22．已知，，，，，则（    ） A． B． C． D． 23．已知实数，且，为自然对数的底数，则（    ） A． B． C． D． 24．已知，则a，b，c的大小关系是（       ） A． B． C． D． 25．已知，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 答案第18页，共1页 答案第130页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$