精品解析：上海市市北初级中学北校2025-2026学年八年级上学期数学期中模考试卷5（期中）

市北初北校2025学年第一学期八年级数学阶段练习5 （满分100分，完卷时间60分钟）2025年10月 一、选择题：（每题2分，共12分） 1. 下列二次根式中是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列二次根式中，与不是同类二次根式（ ） A. B. C. D. 4. 氧原子的直径是0.000000000148米，用科学记数法表示为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 5. 如图，正方形的面积为7，顶点A在数轴上表示的数为1，若点E在数轴上（点E在点A的右侧），且，则点E所表示的数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（每题2分，共24分） 6. 填空：的平方根是___________． 7. 化简：_______． 8. 比较大小：____ （选填“”，“”或“”） 9. 计算：______． 10. 计算__________． 11. 若与最简二次根式是同类二次根式，则的值为__________． 12. 若是整数，则正整数的最小值是___________． 13. 已知：x，y满足关系，则的立方根是________． 14. 已知，，则_____． 15. 若是关于x的一元二次方程，则a的值为___________． 16. 将二次三项式写成的形式则______． 17. 对于实数，，定义的含义为：当时，，当时，，例如：，已知，，且和为两个连续正整数，则的值为_______． 三、简答题：（19、20每小题10分，21-23题6分，共38分） 18. 计算： （1）； （2）． 19. 解下列方程： （1）；（配方法） （2）． 20. 已知一个正数的两个不同的平方根分别是和，的立方根为，m是的整数部分， （1）求x和y的值； （2）求的平方根． 21. 已知，，求下列代数式的值 （1） （2） 22. 已知x，y是有理数，并且x，y满足等式，求的值． 四、解答题：（24、25题8分，26题10分，共26分） 23. 如图，在某地的清明上河园景区，有一个用于表演豫剧的矩形舞台，其面积为平方米，长为米． （1）求这个舞台的宽（结果化为最简二次根式）； （2）为了增加舞台效果，准备在舞台的中央建造一个边长为米的正方形升降台，舞台的剩余部分（图中阴影部分）铺设地板，已知地板的价格为每平方米200元，求铺设地板需花费的总费用． 24. 课堂上老师讲解了比较和的方法，观察发现11-10=15-14=1，于是比较这两个数的倒数： ， ， 因为>，所以>，则有<. 请你设计一种方法比较与的大小. 25. 【阅读理解】公元前5世纪，毕达哥拉斯学派中的一名成员希伯索斯发现了无理数，导致了第一次数学危机． 定义：可以表示为两个互质整数的商的形式的数称为有理数，整数可以看做分母为1的有理数；反之为无理数．如不能表示为两个互质的整数的商，所以是无理数．可以这样证明： 设，与是互质的两个整数，且， 则，即 ① ． 因为是整数且不为0， 所以是不为0的偶数． 设（是整数，且），则． 所以 ② ． 所以也是偶数，与是互质的整数矛盾． 所以是无理数． 【解决问题】 （1）写出①，②表示的代数式，使证明过程完整； （2）证明：是无理数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 市北初北校2025学年第一学期八年级数学阶段练习5 （满分100分，完卷时间60分钟）2025年10月 一、选择题：（每题2分，共12分） 1. 下列二次根式中是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用最简二次根式的条件进行选择即可． 【详解】A．，故A不符合题意； B．，故B不符合题意； C．，故C不符合题意； D．是最简二次根式，故D符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了对最简二次根式的定义的理解与运用，解题的关键是判断最简二次根式必须满足的条件：（1）根号内不含分母；（2）分母中不含有根号；（3）被开方数不含有开方开得尽的因数或因式． 2. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．根据一元二次方程的定义对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、中含有分式，所以该方程不是一元二次方程，不符合题意； B、化简可得，未知数的次数是1，不是一元二次方程，不符合题意； C、，不是整式方程，所以该方程不是一元二次方程，不符合题意； D、，该方程是一元二次方程，符合题意． 故选：D． 3. 下列二次根式中，与不是同类二次根式（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式性质化简后，根据同类二次根式的定义进行选择即可． 【详解】A、，与是同类二次根式，故A不符合题意； B、，与是同类二次根式，故B不符合题意； C、，与不是同类二次根式，故C符合题意； D、，与是同类二次根式，故D不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了同类二次根式的定义（几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式），二次根式的性质，掌握同类二次根式的定义，对二次根式进行化简，是解题的关键． 4. 氧原子的直径是0.000000000148米，用科学记数法表示为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查科学记数法，科学记数法的表示形式为，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 【详解】解：米米． 故选：C． 5. 如图，正方形的面积为7，顶点A在数轴上表示的数为1，若点E在数轴上（点E在点A的右侧），且，则点E所表示的数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了数轴与实数、平方根的应用，关键是结合题意求出． 因为面积为7的正方形边长为，所以，而，得，A点的坐标为1，故E点的坐标为． 【详解】解：∵面积为7的正方形边长为， ∴， ∵， ∴， ∵点表示的数为1， ∴点表示的数为， 故选：B． 二、填空题：（每题2分，共24分） 6. 填空：的平方根是___________． 【答案】 【解析】 【分析】先化简得到计算结果，再根据平方根的定义求解最终结果． 【详解】解： ， 3的平方根为， 故的平方根是． 7. 化简：_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件、利用二次根式的性质进行化简，先由二次根式有意义的条件得出，再根据二次根式的性质化简即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 8. 比较大小：____ （选填“”，“”或“”） 【答案】＞ 【解析】 【分析】可以根据不等式的性质进行判断即可. 【详解】 故答案为＞ 【点睛】考查有理数的大小比较，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键. 9. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的除法运算，根据二次根式的除法运算法则进行计算即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 10. 计算__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法运算，积的乘方逆运算，平方差公式，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先根据积的乘方逆运算，将其变形为，再由平方差公式计算． 【详解】解： ． 故答案为：． 11. 若与最简二次根式是同类二次根式，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是同类二次根式的概念，掌握二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式是解题的关键．根据同类二次根式的概念列出方程，解方程得到答案． 【详解】解：∵，且最简二次根式与是同类二次根式， ∴， ∴ 故答案为：． 12. 若是整数，则正整数的最小值是___________． 【答案】7 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．先将化简，再根据其为整数的条件，确定正整数的最小值． 【详解】解：． 因为是整数， 所以必须是整数．则为完全平方数，正整数的最小值为． 故答案为：． 13. 已知：x，y满足关系，则的立方根是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，求一个数的立方根，根据二次根式有意义条件求出的值，再根据立方根的定义进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴的立方根为； 故答案为：． 14. 已知，，则_____． 【答案】0.4289 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，缩小1000倍时，对应的立方根缩小10倍，由此可解． 【详解】解：， 故答案为：0.4289． 15. 若是关于x的一元二次方程，则a的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，含有一个未知数且最高次数为2的方程叫作一元二次方程． 根据一元二次方程的定义列式计算即可． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程， ∴且，解得：． 故答案为：． 16. 将二次三项式写成的形式则______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了配方法的应用，掌握完全平方公式是解题的关键．根据配方法的步骤求解即可． 【详解】解： ， ∴， 故答案为：． 17. 对于实数，，定义的含义为：当时，，当时，，例如：，已知，，且和为两个连续正整数，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查用新定义解决数学问题及实数的运算，正确理解新定义是求解本题的关键．根据的范围，求出x和y的值，然后代入即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵和为两个连续正整数，，即， ∴，， ∴． 故答案为：． 三、简答题：（19、20每小题10分，21-23题6分，共38分） 18. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）根据分母有理化，二次根式的性质分别运算，然后合并即可； （）根据二次根式的性质进行化简，然后通过二次根式乘除法进行求解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 19. 解下列方程： （1）；（配方法） （2）． 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的一般方法是解题的关键． （1）用配方法解一元二次方程即可； （2）先把方程转化为一般形式，然后用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， ， ∴，； 【小问2详解】 解：， ， ， 或， ∴，． 20. 已知一个正数的两个不同的平方根分别是和，的立方根为，m是的整数部分， （1）求x和y的值； （2）求的平方根． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查平方根与立方根的应用和以及无理数的估算，熟练掌握平方根和立方根的意义是解题的关键， （1）分别根据平方根的意义和立方根的运算即可得到答案； （2）先通过估算得到的值，再代入求得的值，从而求得答案． 【小问1详解】 解：由题意知和互为相反数， ， 解得：， 的立方根为， ， 解得：； 【小问2详解】 解：， ， 的整数部分， ， 的平方根为． 21. 已知，，求下列代数式的值 （1） （2） 【答案】（1） （2）17 【解析】 【分析】二次根式的化简求值和乘法公式的变形，掌握乘法公式的变形并先求出和的值是解题的关键． （1）先求出和的值，再将原式变形为，再代入求值即可； （2）先求出和的值，再将原式变形为，再代入求值即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴，， ∴ 【小问2详解】 解：∵，， ∴，， ∴． 22. 已知x，y是有理数，并且x，y满足等式，求的值． 【答案】或1 【解析】 【分析】本题主要考查了实数混合运算的应用，根据已知等式求出x与y的值，即可求出的值． 【详解】解：∵x、y是有理数，并且x、y满足等式， ∴，， 解得：，， 则或． 综上所述：的值为或1． 四、解答题：（24、25题8分，26题10分，共26分） 23. 如图，在某地的清明上河园景区，有一个用于表演豫剧的矩形舞台，其面积为平方米，长为米． （1）求这个舞台的宽（结果化为最简二次根式）； （2）为了增加舞台效果，准备在舞台的中央建造一个边长为米的正方形升降台，舞台的剩余部分（图中阴影部分）铺设地板，已知地板的价格为每平方米200元，求铺设地板需花费的总费用． 【答案】（1）这个舞台的宽是米 （2）铺设地板需花费的总费用为14400元 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）利用二次根式的除法解题即可； （2）先算出阴影部分面积，再计算铺设地板需花费的总费用即可． 【小问1详解】 解：这个舞台的宽为（米）， 答：这个舞台的宽为米； 【小问2详解】 解：阴影部分的面积平方米， 铺设地板需花费元． 24. 课堂上老师讲解了比较和的方法，观察发现11-10=15-14=1，于是比较这两个数的倒数： ， ， 因为>，所以>，则有<. 请你设计一种方法比较与的大小. 【答案】 方法如下： ， ， ∵， ∴， ∵， ， ∴ . 【解析】 【详解】【分析】观察可知8+3=6+5，因此可以利用两数平方进行比较进而得出答案． 【详解】略 【点睛】本题考查了实数大小比较，二次根式的运算，理解题意，并且根据式子的特点确定出合适的方法是解题的关键. 25. 【阅读理解】公元前5世纪，毕达哥拉斯学派中的一名成员希伯索斯发现了无理数，导致了第一次数学危机． 定义：可以表示为两个互质整数的商的形式的数称为有理数，整数可以看做分母为1的有理数；反之为无理数．如不能表示为两个互质的整数的商，所以是无理数．可以这样证明： 设，与是互质的两个整数，且， 则，即 ① ． 因为是整数且不为0， 所以是不为0的偶数． 设（是整数，且），则． 所以 ② ． 所以也是偶数，与是互质的整数矛盾． 所以是无理数． 【解决问题】 （1）写出①，②表示的代数式，使证明过程完整； （2）证明：是无理数． 【答案】（1）①；② （2） 证明：设，a与b是互质的两个整数，且，则， 所以， ∵a，b是整数且不为0， ∴a为6的倍数． 设（n是整数）， ∴， ∴， ∴b也是6的倍数，与a与b是互质的整数矛盾， ∴是无理数． 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的概念，解题的关键是根据所给事例模仿去做，做到举一反三． （1）根据等式性质得出结论即可； （2）类比是无理数的证明进行证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $