精品解析：北京市首都师范大学第二附属中学2025-2026学年上学期八年级期中数学试题

首都师大二附中2025-2026学年第一学期期中练习初二数学 一、选择题（共30分，每题3分）第1-10题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 以下国产新能源电动车的车标图案不是轴对称图形的是（　　） A. 北汽新能源 B. 长城新能源 C. 东风新能源 D. 江淮新能源 2. 下列长度的三条线段能构成三角形的是（ ） A. 3，4，8 B. 3，4，7 C. 5，6，10 D. 5，6，11 3. 如图，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 6. 在正方形网格中，的位置如图所示，到两边距离相等的点应是( ) A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 7. 已知，，则的值为（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 10 8. 若，则M，N的大小关系为（　　） A. B. C. D. 无法确定 9. 如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠BAC=20°，D为线段AB的垂直平分线与直线BC的交点，连结AD，则∠CAD=（ ） A. 40° B. 30° C. 20° D. 10° 10. 如图所示，在△ABC中，内角∠BAC与外角∠CBE的平分线相交于点P，BE＝BC，PG∥AD交BC于F，交AB于G，连接CP．下列结论：①∠ACB＝2∠APB；②S△PAC∶S△PAB＝PC∶PB；③BP垂直平分CE；④∠PCF＝∠CPF．其中正确的有（ ） A. ①②④ B. ①③④ C. ②③④ D. ①③ 二、填空题（共24分，每题3分） 11. 已知和关于轴对称，则的值为______． 12. 计算：_____． 13. 等腰三角形的一个角等于，则它的顶角的度数是_______． 14. 如图，中，，，于H，若，则__________． 15. 如图，是等边三角形的中线，，则______． 16. 如图，将三角形沿平行于的直线折叠，折痕为，点落在点处，若，则的度数为_____． 17. 如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AE是∠BAC的平分线，点E到AB的距离等于3cm，则CF=_________cm. 18. 如图，RtABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=2，D为BC上一动点，EF垂直平分AD分别交AC于E、交AB于F，则BF的最大值为_________ 三、解答题（共46分，第19题6分，第20-23题每题5分，第24题6分，第25-26题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 19. 计算： （1）； （2）． 20. 已知，求代数式的值． 21. 如图，在中，是边上一点，是边的中点，作交的延长线于点． (1)证明：； (2)若，，，求． 22. 如图，在平面直角坐标系中，直线是第一、三象限的角平分线． （1）由图观察易知关于直线的对称点的坐标为，请直接写出、关于直线的对称点、的坐标：______、______； （2）结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点关于第一、三象限的角平分线的对称点的坐标为______； （3）已知两点、，试在直线上确定一点，使点到、两点的距离之和最小．（不写作法，保留作图痕迹） 23. 如图，在中，是高，点D是边的中点，点E在边的延长线上，的延长线交AB于点F，且，若． （1）求证：是等边三角形； （2）请判断线段与的大小关系，并说明理由． 24. 将四个长为，宽为的长方形如图1，拼成如图2的“回形”正方形和正方形． 观察与发现：（1）请你观察图2直接写出，，之间的一个等量关系式； 运用与探究：（2）根据（1）的结论，解决下列问题：，，求的值； 实践与拓展：（3）将两个正方形，如图3摆放，若两个正方形面积之和为65，，求图中阴影部分面积和． 25. 如图，在等边三角形ABC右侧作射线CP，∠ACP=（0°<<60°），点A关于射线CP的对称点为点D，BD交CP于点E，连接AD，AE. （1）求∠DBC的大小（用含的代数式表示）； （2）在（0°<<60°）的变化过程中，∠AEB的大小是否发生变化？如果发生变化，请直接写出变化的范围；如果不发生变化，请直接写出∠AEB的大小； （3）用等式表示线段AE，BD，CE之间的数量关系，并证明. 26. 在平面直角坐标系中，直线为过点且与轴垂直的直线．对某图形上的点作如下变换：当时，作出点关于直线的对称点，称为变换；当时，作出点关于轴的对称点，称为变换．若某个图形上既有点作了变换，又有点作了变换，我们就称该图形为双变换图形．例如，已知，，如图1所示，当时，点应作Ⅰ（2）变换，变换后的坐标是；点作Ⅱ（2）变换，变换后的坐标是．请解决下面的问题： （1）当时， ①已知点的坐标是，则点作相应变换后的点的坐标是 ； ②若点作相应变换后的点的坐标为，求点的坐标； （2）已知点，， ①若线段是双变换图形，则的取值范围是 ； ②已知点在第一象限，若及其内部（点除外）组成的图形是双变换图形，且变换后所得图形记为，直接写出所有图形所覆盖的区域的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 首都师大二附中2025-2026学年第一学期期中练习初二数学 一、选择题（共30分，每题3分）第1-10题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 以下国产新能源电动车的车标图案不是轴对称图形的是（　　） A. 北汽新能源 B. 长城新能源 C. 东风新能源 D. 江淮新能源 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，故错误； B、是轴对称图形，故错误； C、不是轴对称图形，故正确； D、是轴对称图形，故错误． 故选：C． 【点睛】本题主要考查的是轴对称图形的概念，熟练掌握轴对称图形的概念并能进行判断图形是解题的关键． 2. 下列长度的三条线段能构成三角形的是（ ） A. 3，4，8 B. 3，4，7 C. 5，6，10 D. 5，6，11 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系进行分析判断． 【详解】解：根据三角形任意两边的和大于第三边，得 A中，3+4=7＜8，不能组成三角形； B中，3+4=7，不能组成三角形； C中，5+6=11＞10，能够组成三角形； D中，5+6=11，不能组成三角形． 故选：C． 【点睛】本题考查了能够组成三角形三边的条件：用两条较短的线段相加，如果大于最长的那条线段就能够组成三角形． 3. 如图，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外角性质，解题的关键是利用“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”建立角度之间的关系． 利用三角形外角性质（外角等于不相邻的两个内角和），结合已知的和的度数，直接计算的度数． 【详解】解：已知是的外角，因此有． 将代入上式，得： 解得：． 故选：B． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查幂的运算法则，包括同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方、同底数幂相除．需逐一验证各选项是否符合对应法则． 【详解】解：选项A：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即 ，故A错误． 选项B：幂的乘方，底数不变，指数相乘，，故B正确． 选项C：，故C错误． 选项D：同底数幂相除，底数不变，指数相减，，故D错误． 故选：B． 5. 如图，，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理，根据全等三角形的判定方法，逐项判断即可求解． 【详解】解：根据题意得：，， A．若添加，满足边角边，能判定，故该选项不符合题意； B．若添加，满足斜边直角边对应相等，能判定，故该选项不符合题意； C．若添加，满足边边角，不能判定，故该选项符合题意； D．若添加，满足边边边，能判定，故该选项不符合题意； 故选：C． 6. 在正方形网格中，的位置如图所示，到两边距离相等的点应是( ) A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，网格与勾股定理，全等三角形的性质与判定，证明平分是解题的关键．证明，则根据全等三角形的对应角相等得到，根据角平分线的性质即可求解． 【详解】解：如图，连接， 根据网格得出，， 在与中 ∴， ∴， 即平分 ∴到两边距离相等的格点应是点， 故选A 7. 已知，，则的值为（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法运算性质，熟练掌握（，、为实数）是解题的关键． 利用指数运算性质，将转化为与的乘积形式，再代入已知值计算． 【详解】解：∵，，， ∴． 故选：B． 8. 若，则M，N的大小关系为（　　） A. B. C. D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算，作差法比较M，N的大小关系即可． 【详解】解： ， ∴； 故选B． 9. 如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠BAC=20°，D为线段AB的垂直平分线与直线BC的交点，连结AD，则∠CAD=（ ） A. 40° B. 30° C. 20° D. 10° 【答案】B 【解析】 【分析】由D为线段AB的垂直平分线与直线BC的交点可得AD=BD,可得∠ABC=∠BAD=50°,可得∠CAD的度数. 【详解】解：由题意得：D为线段AB的垂直平分线与直线BC的交点， AD=BD, ∠ABC=∠BAD=50°, ∠BAC=20°, ∠CAD=∠BAD-∠BAC=30°, 故选B. 【点睛】本题主要考查垂直平分线的性质及等腰三角形的性质，熟练掌握性质是解题的关键 10. 如图所示，在△ABC中，内角∠BAC与外角∠CBE的平分线相交于点P，BE＝BC，PG∥AD交BC于F，交AB于G，连接CP．下列结论：①∠ACB＝2∠APB；②S△PAC∶S△PAB＝PC∶PB；③BP垂直平分CE；④∠PCF＝∠CPF．其中正确的有（ ） A. ①②④ B. ①③④ C. ②③④ D. ①③ 【答案】B 【解析】 【分析】①分别用外角减去内角表示∠ACB和∠APB，即可得到结论； ②根据角平分线的性质和三角形的面积公式即可求出结论； ③根据线段垂直平分线的性质即可得结果； ④根据角平分线的性质和平行线的性质即可得到结果． 【详解】解：①∵PA平分∠CAB，PB平分∠CBE， ∴∠PAB=∠CAB，∠PBE=∠CBE， ∵∠CBE=∠CAB+∠ACB， ∠PBE=∠PAB+∠APB， ∴∠CAB+∠ACB=2（∠PAB+∠APB）， ∴∠CAB+∠ACB=2∠PAB+2∠APB， ∴∠ACB=2∠APB；故①正确； ②过P作PM⊥AB于M，PN⊥AC于N，PS⊥BC于S，如图所示： ∴PM=PN=PS， ∴PC平分∠BCD， ∵S△PAC：S△PAB=（AC•PN）：（AB•PM）=AC：AB，而AC：AB不一定等于PC：PB， ∴S△PAC∶S△PAB不一定等于PC∶PB，故②错误； ③∵BE=BC，BP平分∠CBE， ∴BP垂直平分CE，故③正确； ④∵PG∥AD， ∴∠FPC=∠DCP， ∵PC平分∠DCB， ∴∠DCP=∠PCF， ∴∠PCF=∠CPF，故④正确． 综上分析可知，①③④正确，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质和定义，平行线的性质，线段的垂直平分线的判定，等腰三角形的性质等． 二、填空题（共24分，每题3分） 11. 已知和关于轴对称，则的值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标变化，灵活利用轴对称的特点“关于轴对称的两点纵坐标不变，横坐标互为相反数”求点坐标是解题的关键．根据关于轴对称点的特征确定出与的值，代入原式计算即可求出值． 【详解】解：和关于y轴对称， ， 故答案为：1． 12. 计算：_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查整式的加减运算，先去括号，再合并同类项即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 13. 等腰三角形的一个角等于，则它的顶角的度数是_______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理，注意：一个锐角可以是等腰三角形的顶角，也可以是底角，一个钝角只能是等腰三角形的顶角，分类讨论是正确解答本题的关键．由于本题中没有明确角是顶角还是底角，因此要分类讨论． 【详解】当是底角时，顶角的度数为； 当是顶角时，顶角度数即为． 故答案为：或． 14. 如图，中，，，于H，若，则__________． 【答案】6 【解析】 【分析】根据直角三角形的性质可得和的度数，再根据在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半可得和的长，进而可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 15. 如图，是等边三角形的中线，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的三线合一定理、等边对等角、三角形内角和定理，根据等腰三角形的三线合一定理可知，，根据等腰三角形的两个底角相等可以求出，根据角之间的关系可以求出的度数． 【详解】解：是等边三角形， ， 是等边三角形的中线， ，， ， ， ． 故答案为：． 16. 如图，将三角形沿平行于的直线折叠，折痕为，点落在点处，若，则的度数为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，由折叠的性质得到，再根据，，求出，最后根据平行线的性质得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由折叠的性质可得：， ∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 17. 如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AE是∠BAC的平分线，点E到AB的距离等于3cm，则CF=_________cm. 【答案】3 【解析】 【分析】由角平分线的性质易得CE=点E到AB的距离等于3cm，需求CF，根据等角的余角相等可得∠CEF=∠CFE，∴CF=CE=3cm． 【详解】解：∵∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，AE是∠BAC的平分线， ∴CE=点E到AB的距离=3cm，∠BAE=∠CAE， ∵∠AEC+∠CAE=90°，∠AFD+∠BAE=90°， ∴∠AEC=∠AFD， ∵∠CFE=∠AFD， ∴∠CEF=∠CFE， ∴CF=CE=3cm． 故答案为3． 【点睛】此题主要考查角平分线的性质和等角对等边，注意利用直角三角形的有关性质． 18. 如图，RtABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=2，D为BC上一动点，EF垂直平分AD分别交AC于E、交AB于F，则BF的最大值为_________ 【答案】 【解析】 【分析】要使BF最大，则AF需要最小，而AF=FD，根据FD≥FH，可求出FD的最小值，从而解决问题． 【详解】解：如图，过点F作FH⊥BC，连接DF， 设AF=x，则BF=4－x， ∵EF垂直平分AD分别交AC于E、交AB于F， ∴DF=AF=x， ∵， ∴， ∵FD≥FH， ∴， 解得：， ∴AF最小值是， ∴BF的最大值是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、30°角所对直角边是斜边的一半以及点到直线的距离，将BF的最大值转化为AF最小值是解决本题的关键，属于压轴题． 三、解答题（共46分，第19题6分，第20-23题每题5分，第24题6分，第25-26题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）5 （2） 【解析】 【分析】此题考查了零指数幂，同底数幂的除法，单项式乘以多项式和单项式乘以单项式，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）首先计算零指数幂，同底数幂的除法，然后计算乘方，最后计算加法； （2）首先计算单项式乘以多项式和单项式乘以单项式，然后合并即可． 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ． 20. 已知，求代数式的值． 【答案】11 【解析】 【分析】本题考查整式的乘法，平方差公式等知识，按照相关的运算法则计算即可． 【详解】解：原式 当，即时， 原式． 21. 如图，在中，是边上一点，是边的中点，作交的延长线于点． (1)证明：； (2)若，，，求． 【答案】 （1）证明：∵ ∴∠A=∠FCE，∠ADE=∠F ∵是边的中点 ∴AE=CE 在△ADE和△CFE中 ∴ （2）3 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质可得∠A=∠FCE，∠ADE=∠F，根据中点的定义可得AE=CE，最后利用AAS即可证出； （2）根据等角对等边即可求出AB=AC=10，然后根据（1）中全等可得AD=CF=7，即可求出． 【详解】（1）略 （2）解：∵，，， ∴AB=AC=CE＋AE=2CE=10 ∵ ∴AD=CF=7 ∴DB=AB－AD=3 【点睛】此题考查的是平行线的性质、全等三角形的判定及性质和等腰三角形的判定，掌握平行线的性质、全等三角形的判定及性质和等角对等边是解决此题的关键． 22. 如图，在平面直角坐标系中，直线是第一、三象限的角平分线． （1）由图观察易知关于直线的对称点的坐标为，请直接写出、关于直线的对称点、的坐标：______、______； （2）结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点关于第一、三象限的角平分线的对称点的坐标为______； （3）已知两点、，试在直线上确定一点，使点到、两点的距离之和最小．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】（1），； （2）； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中对称点的求解问题，以及求最短距离的问题． 分别作出点、关于直线的对称点、，根据网格可知点的坐标是，点的坐标是； 由可知当直线是第一、三象限的角平分线，关于直线对称的两个点的坐标，只需将该点横纵坐标互换即可得到对称点； 根据将军饮马问题，求点到两点之间距离之和最小，点关于直线的对称点，连接，交直线于点，当点、、三点共线时，的值最小. 【小问1详解】 解：如下图所示，分别作出点、关于直线的对称点、， 根据网格可知点的坐标是，点的坐标是， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：由可知，坐标平面内任一点关于第一、三象限的角平分线的对称点的坐标为， 故答案为：； 【小问3详解】 解：如图所示，作点关于直线的对称点，连接，交直线于点， 由对称可知， ， 当点、、三点共线时，的值最小. 23. 如图，在中，是高，点D是边的中点，点E在边的延长线上，的延长线交AB于点F，且，若． （1）求证：是等边三角形； （2）请判断线段与的大小关系，并说明理由． 【答案】（1） 证明：∵，点D是边的中点， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形； （2）， 理由如下： ∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵点D是边的中点， ∴， ∴． 【解析】 【分析】此题考查了等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，三角形外角的性质等知识，熟记等边三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的判定与性质求出，根据直角三角形的性质求出，即可得出结论； （2）根据等边三角形的性质及三角形外角性质求出，根据等腰三角形的判定定理即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 将四个长为，宽为的长方形如图1，拼成如图2的“回形”正方形和正方形． 观察与发现：（1）请你观察图2直接写出，，之间的一个等量关系式； 运用与探究：（2）根据（1）的结论，解决下列问题：，，求的值； 实践与拓展：（3）将两个正方形，如图3摆放，若两个正方形面积之和为65，，求图中阴影部分面积和． 【答案】（1） ；（2）；（3）． 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何意义与代数应用，熟练掌握完全平方公式及其变形是解题的关键． （1）通过观察图2中大正方形、小正方形和长方形的面积关系，推导、、之间的等量关系． （2）利用（1）中得出的等量关系，将的平方转化为与、相关的形式，进而求解． （3）设正方形边长，根据面积和与的长度列出方程，再结合（1）的结论和阴影部分面积的组成求解． 【详解】解：（1）∵ 大正方形的面积为，小正方形的面积为，四个长方形的面积和为，大正方形面积 小正方形面积 四个长方形面积， ∴ ． （2）设，则，，即． 由（1）的结论可得， ∵ ，， ∴ ， ∴ ，即． （3）设正方形的边长为，正方形的边长为，则，． 由， ∵ ，， ∴ ， ∴ ，即． ∴， ∴或（舍去）， ∴阴影部分面积为． 25. 如图，在等边三角形ABC右侧作射线CP，∠ACP=（0°<<60°），点A关于射线CP的对称点为点D，BD交CP于点E，连接AD，AE. （1）求∠DBC的大小（用含的代数式表示）； （2）在（0°<<60°）的变化过程中，∠AEB的大小是否发生变化？如果发生变化，请直接写出变化的范围；如果不发生变化，请直接写出∠AEB的大小； （3）用等式表示线段AE，BD，CE之间的数量关系，并证明. 【答案】（1）∠DBC； （2）∠AEB的大小不会发生变化，且∠AEB=60°； （3）解：AE，BD，CE之间的数量关系是：BD=2AE+CE. 证明：如图3，在BD上取一点M，使得CM=CE， ∵∠BEC=∠BDC+∠DCE=， ∴△CME是等边三角形，∴∠MCE=60°，ME=CE， ∴， ∴∠BCM=∠DCE，又∵BC=DC，CM=CE， ∴△BCM≌△DCE（SAS），∴BM=DE， ∵AE=DE， ∴BD=BM+ME+DE=2DE+ME=2AE+CE. 【解析】 【分析】（1）如图1，连接CD，由轴对称的性质可得AC=DC，∠DCP=∠ACP=，由△ABC是等边三角形可得AC=BC，∠ACB=60°，进一步即得∠BCD=，BC=DC，然后利用三角形的内角和定理即可求出结果； （2）设AC、BD相交于点H，如图2，由轴对称的性质可证明△ACE≌△DCE，可得∠CAE=∠CDE，进而得∠DBC=∠CAE，然后根据三角形的内角和可得∠AEB=∠BCA，即可作出判断； （3）如图3，在BD上取一点M，使得CM=CE，先利用三角形的外角性质得出∠BEC，进而得△CME是等边三角形，可得∠MCE=60°，ME=CE，然后利用角的和差关系可得∠BCM=∠DCE，再根据SAS证明△BCM≌△DCE，于是BM=DE，进一步即可得出线段AE，BD，CE之间的数量关系. 【详解】解：（1）如图1，连接CD，∵点A关于射线CP的对称点为点D，∴AC=DC，∠DCP=∠ACP=， ∵△ABC是等边三角形，∴AC=BC，∠ACB=60°， ∴∠BCD=，BC=DC， ∴∠DBC=∠BDC； （2）∠AEB的大小不会发生变化，且∠AEB=60°. 理由：设AC、BD相交于点H，如图2，∵点A关于射线CP的对称点为点D， ∴AC=DC，AE=DE，又∵CE=CE，∴△ACE≌△DCE（SSS），∴∠CAE=∠CDE， ∵∠DBC=∠BDC，∴∠DBC=∠CAE，又∵∠BHC=∠AHE，∴∠AEB=∠BCA=60°， 即∠AEB的大小不会发生变化，且∠AEB=60°； （3）略 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、三角形的内角和定理和轴对称的性质等知识，熟练掌握并运用上述知识解题的关键. 26. 在平面直角坐标系中，直线为过点且与轴垂直的直线．对某图形上的点作如下变换：当时，作出点关于直线的对称点，称为变换；当时，作出点关于轴的对称点，称为变换．若某个图形上既有点作了变换，又有点作了变换，我们就称该图形为双变换图形．例如，已知，，如图1所示，当时，点应作Ⅰ（2）变换，变换后的坐标是；点作Ⅱ（2）变换，变换后的坐标是．请解决下面的问题： （1）当时， ①已知点的坐标是，则点作相应变换后的点的坐标是 ； ②若点作相应变换后的点的坐标为，求点的坐标； （2）已知点，， ①若线段是双变换图形，则的取值范围是 ； ②已知点在第一象限，若及其内部（点除外）组成的图形是双变换图形，且变换后所得图形记为，直接写出所有图形所覆盖的区域的面积． 【答案】（1）①；②或 （2）①或；② 【解析】 【分析】（1）①由题意根据变换的定义求解即可； ②根据题意分两种情形：，，分别构建不等式解决问题即可． （2）①由题意根据，两点的纵坐标，判断出的范围即可； ②由题意可知变换后所有图形所覆盖的区域是和部分，再计算其面积即可． 【小问1详解】 解：①，， 相应变换后的点的坐标是， 故答案为：． ②，直线为轴． 若，则作变换，变换后的点为， 且符合题意． ． 若，则作变换，变换后的点为， 且符合题意． ． 综上，或． 【小问2详解】 解：①线段是双变换图形，，， 或． 故答案为：或． ②∵点在第一象限，若及其内部（点除外）组成的图形是双变换图形， ∴作变换图形所覆盖的区域为部分， 作变换图形所覆盖的区域为部分， ∴所覆盖的区域的面积． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查Ⅰ变换，Ⅱ变换，双变换图形的定义，解题的关键是理解题意，学会构建不等式解决问题，属于中考创新题型． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $