重难点专题 根的判别式与根与系数的关系（韦达定理）（专项训练）数学沪教版五四制2024八年级上册

重难点专题 根的判别式与根与系数的关系（韦达定理） 目录 题型1 判断一元二次方程根的情况 1 题型2 求方程中参数的值或取值范围 4 题型3 定义新运算 6 题型4 一元二次方程求最值问题 12 题型5 利用根与系数的关系确定方程的解 15 题型6 利用根与系数的关系确定对称式代数式的值 16 题型7 利用根与系数的关系确定非对称式代数式的值 19 题型8 判别式及根与系数的关系的综合 23 题型9 根于系数的关系的归纳探究问题 27 题型一、判断一元二次方程根的情况 例1若非零实数b，c满足，则关于x的一元二次方程的两根之差必为（    ） A． B．c C． D．0 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，由已知条件可知，方程的判别式，说明方程有两个相等的实数根，因此两根之差为0． 【详解】方程的判别式为． ∵， ∴． ∵当时，方程有两个相等的实数根． ∴两根之差为． 故选D． 【变式1-1】已知关于的一元二次方程，其中满足，关于该方程根的情况，下列判断正确的是（    ） A．无实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此先求出，再求出的符号即可得到结论． 【详解】解： ∵， ∴， ∴ ， ， ∴原方程有两个不相等的实数根， 故选：C． 【变式1-2】如果方程是关于x的一元一次方程，试判断关于y的方程的根的情况，并说明理由． 【答案】关于y的方程有两个不相等的实数根，理由见解析 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义得到，即，再把原方程整理得到，进而求出，据此可得结论． 【详解】解：关于y的方程有两个不相等的实数根，理由如下： ∵方程是关于x的一元一次方程， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴关于y的方程有两个不相等的实数根． 【变式1-3】已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论k取任何实数值，方程总有实数根； (2)若等腰的一边长为6，另两边长恰好是这个方程的两个根，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】本题考查了根的判别式及三角形三边关系定理，注意求出三角形的三边后，要用三边关系定理检验． （1）计算方程的根的判别式，若，则证明方程总有实数根； （2）设，另两边长为能是腰，分两种情况求得，的值后，再求出的周长，注意两种情况都要用三角形三边关系定理进行检验． 【详解】（1）证明：， ∴无论取何值，方程总有实数根； （2）设 ，另两边长为、， ①若为底边，则，为腰长，则则， 解得：， 此时原方程化为 ，即， 此时三边为，，不能构成三角形，故舍去； ②若为腰， 则，中一边为腰，不妨设， 代入方程：，解得或， 则原方程化为或 解得或， 即 或 ， 此时三边为， ， 或，， 能构成三角形， 周长为或． 题型二、求方程中参数的值或取值范围 例2一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式求解即可； 【详解】解：由题意得： 解得：且 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，同时要满足该方程的二次项系数不为；熟练运用根的判别式是解题关键． 【变式2-1】如果关于x的方程有实数根，那么k的取值范围是（  ） A． B． C． D．且 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式．熟练掌握一元一次方程的定义，一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式是解题的关键． 由题意知，分方程是一元一次方程， 一元二次方程两种情况求解作答即可． 【详解】解：当方程是一元一次方程，且有实数根时，， ∴， 解得，； 当方程是一元二次方程时，且有实数根时， ∴，， 解得，且； 综上所述，； 故选：A． 【变式2-2】已知关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】根据方程的根的判别式且，计算即可． 本题考查了根的判别式，熟练掌握判别式是解题的关键． 【详解】∵一元二次方程有实根， ∴且， 解得且， 故答案为：且． 【变式2-3】若关于的方程无实根，则的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用，分类讨论是解题关键． 分两种情况讨论：当时，方程为一元一次方程； 当时，方程是一元二次方程，分别求出的取值范围即可． 【详解】解：当且时，即时，原方程化为，这是一元一次方程，有实数根； 当时，原方程无实数根， 当且时，即时，原方程化为，此等式不成立，方程无解，但这种情况不属于一元二次方程的无实根情况； 当，即时，原方程是一元二次方程， 因为方程无实根，所以，即， 解得：； 综上，的取值范围是， 故答案为：． 【变式2-4】关于的一元二次方程的根的判别式的值为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，利用根的判别式，建立关于m的方程求得m的值是解题的关键． 【详解】解：， 解得：， 故答案为：． 【变式2-5】若关于的一元二次方程与方程有一个相同的根，求的值． 【答案】3 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义及解法和方程的解，熟练掌握基础概念并进行正确计算是解决问题的关键． 解求出两个根，分别将根代入，再根据一元二次方程定义，可知，解，进而求出k值． 【详解】， ，解得， 当关于的一元二次方程与方程有一个相同的根为0时， 代入， 即，解得， 此时，符合题意； 当关于的一元二次方程与方程有一个相同的根为4时， 代入， 即，解得， 此时，不符合题意； 所以的值为3. 题型三、定义新运算 例3新定义：《，，》为一元二次方程(其中为实数)的“共同体数”，如：的“共同体数”为《1，2，》，以下“共同体数”中能让一元二次方程有两个不相等的实数根的是(    ) A．《3，2，1》 B．《3，4，5》 C．《，，》 D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的意义，根据一元二次方程根的判别式进行计算，即可求解． 【详解】解：A.当“共同体数”为《3，2，1》时，一元二次方程为 ∵， ∴没有实数根，故该选项不符合题意； B.当“共同体数”为《3，4，5》时，一元二次方程为 ∵， ∴没有实数根，故该选项不符合题意； C.当“共同体数”为《，，》时，一元二次方程为 ∵， ∴有两个不相等实数根，故该选项符合题意； D.当“共同体数”为时，一元二次方程为 ∵， ∴没有实数根，故该选项不符合题意； 故选：C． 【变式3-1】定义：如果两个一元二次方程分别有两个实数根，且至少有一个公共根，那么称这两个方程互为“联根方程”．已知关于x的两个一元二次方程和互为联根方程，那么a的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元二次方程及根的判别式，理解题中定义和方程的解的意义，得到关于a的方程是解答的关键．先求得方程的解，再根据题中定义和方程的解的意义得到关于a的方程，然后解方程求得a值，结合根的判别式与根的关系即可求解． 【详解】解：由方程得， 解得，， ∵两个一元二次方程和互为联根方程， ∴，是方程的两个根， 当时，则，即， ∵， ∴此方程无实数根，即不是方程的解； 当时，则，即， 解得，， ∵， ∴， 此时，方程为，解得，， 又方程的一个解为，满足题意， 故a的值为． 故答案为：． 【变式3-2】定义：若是方程的两个实数根，若满足，则称此类方程为“差积方程”．例如：是差积方程． (1)判断：方程______“差积方程”（填“是”或“不是”）； (2)已知关于的方程， ①证明：不论取何值，方程总有实数根； ②若该方程是“差积方程”，求的值． 【答案】(1)不是 (2)①见解析；②或． 【分析】本题考查了新定义运算，解一元二次方程，根的判别式，理解新定义是解题的关键． （1）分别根据因式分解法解一元二次方程，然后根据定义判断即可求解； （2）①利用一元二次方程根的判别式列式计算即可求解； ②先根据因式分解法解一元二次方程，然后根据定义列出绝对值方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：， ∵， ∴方程不是差积方程； 故答案为：不是； （2）解：①∵， ∴， ∴关于的方程不论取何值，方程总有实数根； ②∵， ∴， 解得：， ∵是差积方程， ∴， 即或． 解得：或． 【变式3-3】阅读下列材料：我们发现，关于x的一元二次方程，如果的值是一个完全平方数时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元二次方程的根都为整数，的值一定是一个完全平方数． 定义：两根都为整数的一元二次方程称为“全整根方程”，代数式的值为该“全整根方程”的“最值码”，用表示，即；若另一关于x的一元二次方程也为“全整根方程”，其“最值码”记为，当满足时，则称一元二次方程是一元二次方程的“全整根伴侣方程”． (1)“全整根方程”的“最值码”是______； (2)关于x的一元二次方程（m为整数、且）是“全整根方程”，请求出该方程的“最值码”； (3)若关于x的一元二次方程是（m，n均为正整数）的“全整根伴侣方程”，求的值． 【答案】(1) (2)方程的“最值码”为； (3) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及“全整根方程”的定义，理解新定义的含义是解本题的关键． （1）直接利用新定义计算即可； （）通过的取值范围确定根的判别式的范围，继而根据“整数根”特点确定根的判别式的取值，最后结合为整数确定取值，按照“最值码”定义求解即可； （）依次求出方程和的“最值码”，根据“全整根伴侣方程”的定义列得方程，结合，均为正整数即可求解；读懂题目中“全整根方程”的“最值码”及“全整根伴侣方程”的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：“全整根方程”的“最值码”是 ； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵是“全整根方程”， ∴是完全平方数， 即是完全平方数， ∴或或， 解得或或， ∵为整数， ∴， 当时，方程化为 ， ∴； ∴方程的“最值码”为； （3）解：方程的“最值码”为 ， 方程的“最值码”为 ， ∵是的“全整根伴侣方程”， ∴， 即， 整理得，， ∴， 即， ∵，均为正整数， ∴， ∴， ∴． 【变式3-4】阅读下列材料： 用配方法不仅可以解一元二次方程，还可以用它来解决很多问题．例如：因为，所以就有最小值1，即，只有当时，才能得到这个式子的最小值1；同样，因为，所以有最大值1，即，只有在时，才能得到这个式子的最大值1． (1)[材料理解]当________时，代数式有最________（填写“大或小”）值为________； (2)[类比应用]求证：关于的一元二次方程总有两个不相等的实数根． 【答案】(1)3，大，4； (2)见解析． 【分析】（1）根据非负数得性质得所以当时，式子有最大值4； （2）由题意得，整理得，即可判断，进而得证结论． 【详解】（1）解：代数式， ∵， ∴当时，式子有最大值4， 故答案为：3，大，4； （2）证明：由题意可知， ， ∵， ∴， ∴关于的一元二次方程总有两个不相等的实数根． 【点睛】考查了配方法的应用，用配方法解一元二次方程，利用配方法将二次三项式配方 即可求出最值． 题型四、一元二次方程求最值问题 例4若关于x的一元二次方程有实数根，则m的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，牢记“当时，一元二次方程有实数根”是解题的关键．根据方程的系数结合根的判别式，可得出关于m的一元一次不等式，解之可求出m的取值范围，即可得出结论． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴， 解得：， ∴m的最小值为． 故答案为：． 【变式4-1】若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则整数k 的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，根据题意可得，解方程即可，注意不等于0的情况是解题的关键． 【详解】解：由题意可得， 解得， 根据一元二次方程的定义， 且， 则整数k 的最小值为， 故答案为：． 【变式4-2】关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则整数的最小值是 ． 【答案】2 【分析】本题考查根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系，若一元二次方程有两不等实数根，则根的判别式，建立关于的不等式，求出的取值范围．还要注意二次项系数不为0． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ，且， 解得，且，则的最小整数值是2． 故答案为： 【变式4-3】关于的方程有两个实数根，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．由题意知，，解得，即可得解． 【详解】解：由题意知，， 解得， ∴的最大值为， 故答案为：． 【变式4-4】若关于x的一元⼆次⽅程(k﹣5)﹣2x＋2＝0有实数根，则整数k的最⼤值为（      ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】根据二次项系数非零及根的判别式Δ≥0，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出k的取值范围，再结合k为整数即可找出最大的k值． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴， 解得：k≤且k≠5． ∵k为整数， ∴k的最大值为4． 故选：A． 【点睛】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，根据二次项系数非零及根的判别式Δ≥0，找出关于k的一元一次不等式组是解题的关键． 【变式4-5】已知满足，则的最小值为 ． 【答案】/0.6 【分析】本题考查了根的判别式，完全平方公式，设，又，则，所以，整理为，然后根据根的判别式即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴， 解得：， 即， ∴的最小值为， 故答案为：． 题型五、利用根与系数的关系确定方程的解 例5已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值和方程的另一个根分别为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解．设方程的另一个根为a，利用一元二次方程根与系数的关系可得，即可求解． 【详解】解：设方程的另一个根为a， ∵是关于的一元二次方程的一个根， ∴， ∴， 即的值和方程的另一个根分别为． 故答案为： 【变式5-1】已知方程的一个根为5，则方程的另一个根为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，设方程的另一个根为，根据根与系数的关系可得，据此可得答案． 【详解】解：设方程的另一个根为， 根据根与系数的关系可得， ∴， ∴原方程的另一个根为， 故答案为：． 【变式5-2】已知方程的一个根是6，则它的另一个根是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的根，由于该方程的一个根已知，可以根据根与系数的关系求另一个根． 【详解】解：设方程的另一个根为，根据根与系数的关系， 两根之积为 ． 已知一个根是 6， 所以， 解得 ． 故答案为：． 【变式5-3】请写出一个方程，使这个方程的一次项系数是，且它的两个根分别是2和，这个方程是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．根据题意，写出符合要求的一元二次方程即可． 【详解】解：令这个方程为， 因为方程的两个根分别是2和， 则这个方程的两根之和为，两根之积为， 所以，， 当时，，则， 所以这个方程可以是 故答案为：． 题型六、利用根与系数的关系确定对称式代数式的值 例6已知，是方程的两个实数根，则的值是（    ） A． B． C．6 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数关系，通过根与系数的关系求出和的值，然后代入进行计算，即可作答． 【详解】∵，是方程的两个实数根， ∴ ∴ ， 故选：A 【变式6-1】若m、n是一元二次方程的两根，则的值是（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握，是一元二次方程的两根时，，． 由根与系数的关系得出和的值，再代入计算可得答案． 【详解】解：∵是一元二次方程的两个根， ∴， 则， 故选：B． 【变式6-2】已知、是一元二次方程的两个实数根，则等于（    ）． A．－2 B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系．利用一元二次方程根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，再代入表达式计算即可． 【详解】解：∵ 、是方程的根， ∴ ， ， ∴ ， 故选：C． 【变式6-3】若，是一元二次方程的两根，则的值是（   ） A． B．1 C． D．3 【答案】C 【分析】本题考查根与系数的关系及分式的化简求值，关键是将所求表达式转化为用两根之和与积表示的形式，利用一元二次方程的根与系数关系，求出两根之和与两根之积，再通过代数变形求解表达式 【详解】解：是方程的两根， ，， ， ， 故选：C 【变式6-4】一元二次方程的两个根为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，代数式求值，由一元二次方程根和系数的关系可得，，再代入代数式计算即可求解，掌握一元二次方程根和系数的关系是解题的关键． 【详解】解：∵一元二次方程的两个根为， ∴，， ∴， 故答案为：． 【变式6-5】已知关于的方程． (1)求证：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个实数根满足，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】本题考查根的判别式，根与系数之间的关系，解一元二次方程，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）求出判别式的符号，即可得证； （2）根据根与系数的关系，进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴无论取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）由题意，， ∴， 解得或． 题型七、利用根与系数的关系确定非对称式代数式的值 例7若、是一元二次方程的两个根，则的值是    （    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】本题考查根的定义和根与系数的关系，熟练将要求的代数式进行灵活变形是关键．通过将代入方程得到，根与系数关系可得，整体代入变形求解即可． 【详解】是方程的根， ，即， ， 又（根与系数关系）， ， ， 故选：B． 【变式7-1】若m，n是方程的两个实数根，则的值为（   ） A．2022 B．2025 C． D．4050 【答案】A 【分析】本题考查了方程的解的定义，一元二次方程根与系数的关系．利用方程的解的定义得到，再利用根与系数的关系得到，将原式变形并代入求值即可得到答案． 【详解】解：因为m是方程的根， 所以将m代入方程可得， 即． 对于方程，其中，，因为m，n是该方程的两个实数根， 根据根与系数的关系可得． 则． 故选：A． 【变式7-2】若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为（    ） A．2003 B．2004 C．2005 D．2006 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的根及根与系数的关系，关键是根据根的定义及根与系数的关系得出关于的方程后变形代入目标代数式，解题技巧体现为代入时“降次”（例如：）．根据 是一元二次方程的两个实数根，分别把代入，得出关于的方程，利用这些方程结合目标代数式变形，利用根与系数的关系即可． 【详解】解： 是一元二次方程的两个实数根， ，， ∴，， 将左右两边同乘以得：， ∴， ， 根据一元二次方程的根与系数的关系可得： ，代入上式，得 ， 故选：D． 【变式7-3】已知m，n是方程的两个实数根，则的值是 ． 【答案】2027 【分析】本题主要考查一元二次方程根的定义（方程的根满足方程等式）、韦达定理（一元二次方程两根之和的计算）及代数式的化简求值；掌握利用方程根的定义将高次项降次为一次项，进而简化代数式，是解题的关键。先根据韦达定理得出方程两根之和，再利用m是方程根的性质，将m代入方程得；把代入待求代数式，化简为，最后将代入，计算结果为2027。 【详解】解：由条件可知，， 是方程的一个实数根， ， 即， ， 原式 故答案为： 【变式7-4】已知是方程的两个根，则代数式的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的解、一元二次方程根与系数关系，解答的关键是熟知一元二次方程根与系数的关系：设一元二次方程的两个根为、，则，．根据题意得到，，，进而化简求值即可． 【详解】解：∵是方程的两个根， ∴，，， ∴ ． 故答案为：． 【变式7-5】已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论为何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个实数根，满足，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 或 【分析】本题主要考查根的判别式和根与系数的关系，熟练掌握概念和运算技巧即可解题． （1）根据根的判别式求解即可； （2）可以根据一元二次方程根与系数的关系得与的、的关系式，进一步可以求出答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴无论为何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）由一元二次方程根与系数的关系得： ，， ∵， ∴， ∴， ∴，化简得：， 解得或． 题型八、判别式及根与系数的关系的综合 例8已知是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则的值是（    ） A．3 B． C．3或1 D．或1 【答案】A 【分析】本题考查根与系数的关系以及根的判别式，由根与系数的关系结合，可得出关于m的分式方程，解之即可得出m的值，再根据根的判别式，即可得出m的值，此题得解． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴，， ∴， 解得：或， 经检验，或均为原分式方程的解． ∵是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 【变式8-1】若实数a，b满足，，则的值为（    ） A． B．或20 C．2或 D． 【答案】C 【分析】本题考查了根与系数的关系，关键是把a、b看作是方程的解，然后根据根与系数的关系解题．分两种情况：当时，直接计算表达式；当时，将a和b视为方程的两个根，利用根与系数关系求和，再化简表达式即可． 【详解】解：①当时： ∵a和b满足，且（因为代入得）， ∴原式； ②当时： ∵a和b是方程的两个根， ∴，， 原式， ∵， ∴分子，分母， ∴原式， 综上所述，原式的值为2或． 故选：C． 【变式8-2】关于的方程有两个实数根，且有，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查根与系数的关系，根的判别式，根据方程有两个实数根，得到，根据根与系数的关系得到，再根据，列出不等式进行求解即可． 【详解】解：∵方程有两个实数根， ∴，解得， ∵方程的两个实数根为， ∴， ∴， 解得； 综上：； 故答案为：． 【变式8-3】关于x的一元二次方程有两个实数根，若，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，完全平方公式的变形运算，由一元二次方程根和系数的关系可得，，即得到，得到，进而根据即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴，， ∵， ∴， 即， 解得， 又∵， 当时，，符合题意， 当时，，不合题意，舍去， ∴， 故答案为：． 【变式8-4】已知关于的一元二次方程有两个异号的实数根． (1)求的取值范围； (2)设是该方程的两个根，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、韦达定理的应用，熟练掌握根的判别式与根的个数的关系以及韦达定理的内容是解答本题的关键． （1）利用一元二次方程根的判别式确定方程有实数根的条件，结合韦达定理中两根之积的符号确定的取值范围； （2）根据根的符号特征对进行变形，再结合韦达定理和完全平方公式建立关于的方程，进而求解． 【详解】（1）关于的一元二次方程有两个异号的实数根， 且， 解得：． （2）， ， 则， 又，， ， 整理得， 解得：，， 又， ． 【变式8-5】关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求实数k的取值范围； (2)若方程两实数根满足，求k的值 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了一元二次方程的判别式和根与系数关系，熟练掌握一元二次方程的判别式和根与系数关系是解题的关键． （1）根据方程有两个不相等的实数根可表示出判别式，即可求出的取值范围； （2）由根与系数的关系求得，，进而得到，结合的取值范围解方程即可． 【详解】（1）解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得； （2）解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴，， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， 解得：，， 又∵， ∴． 题型九、根于系数的关系的归纳探究问题 例9我们定义：两根都为整数的一元二次方程均为整数称为“幸运方程”，两整数根称为“幸运根”，代数式的值为该“幸运方程”的“幸运数”，用表示，即．若有另一个“幸运方程”均为整数的“幸运数”为，若，则称与互为“开心数”． (1)关于x的一元二次方程是一个“幸运方程”． ①当时，该幸运方程的“幸运数”是______； ②若该幸运方程的“幸运数”是，则m的值为______． (2)若关于x的一元二次方程为整数，且是“幸运方程”，求m的值及该方程的“幸运数”； (3)若关于x的一元二次方程与、n均为整数都是“幸运方程”，且其“幸运数”互为“开心数”，求n的值． 【答案】(1)①；②或3 (2)，“幸运数”为 (3)或 【分析】（1）①把代入方程得到方程，根据“幸运数”的定义即可求解； ②根据“幸运数”的定义可得方程解方程可求得m的值； （2）通过m的取值范围确定根的判别式的范围，继而根据“整数根”特点确定根的判别式的取值，最后结合m为整数确定m取值，按照“幸运数”定义求解即可； （3）根据是“幸运方程”得出的两个根为整数，设方程的两个分别为p，q，根据根与系数的关系得出，进而根据p，q为整数，得出m的值为5或，求得，根据与互为“开心数”得出方程，进而分或，分别代入，解一元二次方程，即可求解． 【详解】（1）解：①当时，代入得，， ，即， 故答案为：； ②依题意，， 整理得，， 解得，， 故答案为：或3； （2）解：， ， ， ， 是“幸运方程”， 是完全平方数， 即是完全平方数， 或49或64， 解得或9或， 为整数， ， 当时，方程化为， ， 方程的“幸运数”为； （3）解：是“幸运方程”， 的两个根为整数， 设方程的两个根分别为p，q， ，， ， ， ， ，q为整数，， 当，时，则，，此时， 当，时，则，，此时， 当，时，则，，此时， 当，时，则，，此时， 综上所述，m的值为5或， 方程的“幸运数”为， 当时，， 当时，， ， 方程的“幸运数”为， 与互为“开心数”， ，即， 当时，方程为：， 解得：或舍去，不是整数， 当时，方程为：， 解得：， 综上所述，或． 【点睛】本题考查了一元二次方程相关知识，涉及解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系等，理解“幸运方程”“幸运数”“开心数”的定义是解题的关键． 【变式9-1】阅读理解材料：已知实数m，n满足，，且，求的值． 解：由题意知m，n是方程的两个不相等的实数根， 根据一元二次方程根与系数的关系得，， ∴． 解决以下问题： (1)方程的两个实数根为，，则________，________． (2)已知实数m，n满足，，且，求的值． 【答案】(1)4， (2) 【分析】本题主要考查了根与系数的关系，二次根式的化简求值： （1）直接利用根与系数的关系求解即可； （2）m，n可看作方程的两个不相等的实数根，则利用根与系数的关系得到，，再利用完全平方公式计算，然后根据算术平方根的定义得到的值． 【详解】（1）解：∵方程的两个实数根为，， ∴，． 故答案为：4，； （2）解：∵，，且， ∴m，n可看作方程的两个不相等的实数根． ∴，． ∴m，n均为正数， ∴． ∴． 【变式9-2】阅读材料，根据上述材料解决以下问题： 材料1：若一元二次方程的两个根为，则 材料2：已知实数m，n满足，且，则 m，n 是方程的两个不相等的实数根． (1)材料理解：一元二次方程 两个根为 ，则 ， ． (2)应用探究：已知两实数m，n满足，则的值为？ (3)思维拓展：已知实数s，t分别满足，且，求的值． 【答案】(1)2， (2) (3) 【分析】本题主要考查分式的化简求值、一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的定义，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）直接根据一元二次方程根与系数的关系可得答案； （2）由题意得出、可看作方程的两根，据此，，将所求代数式变形为，代入计算可得； （3）把，两边同时除以得，据此可得实数和可看作方程的根，代入计算可得． 【详解】（1）解： 一元二次方程 两个根为，， ， 故答案为：2，； （2）解：由题意、是方程的两个根， 该方程的判别式， 方程有两个不相等的实数根，即， 则，， ； （3）解：把，两边同时除以得： ， 实数和可看作方程的根， ，， ． 试卷第1页，共3页 1 / 32 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专题 根的判别式与根与系数的关系（韦达定理） 目录 题型1 判断一元二次方程根的情况 1 题型2 求方程中参数的值或取值范围 4 题型3 定义新运算 6 题型4 一元二次方程求最值问题 12 题型5 利用根与系数的关系确定方程的解 15 题型6 利用根与系数的关系确定对称式代数式的值 16 题型7 利用根与系数的关系确定非对称式代数式的值 19 题型8 判别式及根与系数的关系的综合 23 题型9 根于系数的关系的归纳探究问题 27 题型一、判断一元二次方程根的情况 例1若非零实数b，c满足，则关于x的一元二次方程的两根之差必为（    ） A． B．c C． D．0 【变式1-1】已知关于的一元二次方程，其中满足，关于该方程根的情况，下列判断正确的是（    ） A．无实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 【变式1-2】如果方程是关于x的一元一次方程，试判断关于y的方程的根的情况，并说明理由． 【变式1-3】已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论k取任何实数值，方程总有实数根； (2)若等腰的一边长为6，另两边长恰好是这个方程的两个根，求的周长． 题型二、求方程中参数的值或取值范围 例2一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　） A． B．且 C． D．且 【变式2-1】如果关于x的方程有实数根，那么k的取值范围是（  ） A． B． C． D．且 【变式2-2】已知关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是 ． 【变式2-3】若关于的方程无实根，则的取值范围是 ． 【变式2-4】关于的一元二次方程的根的判别式的值为，则的值为 ． 【变式2-5】若关于的一元二次方程与方程有一个相同的根，求的值． 题型三、定义新运算 例3新定义：《，，》为一元二次方程(其中为实数)的“共同体数”，如：的“共同体数”为《1，2，》，以下“共同体数”中能让一元二次方程有两个不相等的实数根的是(    ) A．《3，2，1》 B．《3，4，5》 C．《，，》 D． 【变式3-1】定义：如果两个一元二次方程分别有两个实数根，且至少有一个公共根，那么称这两个方程互为“联根方程”．已知关于x的两个一元二次方程和互为联根方程，那么a的值为 ． 【变式3-2】定义：若是方程的两个实数根，若满足，则称此类方程为“差积方程”．例如：是差积方程． (1)判断：方程______“差积方程”（填“是”或“不是”）； (2)已知关于的方程， ①证明：不论取何值，方程总有实数根； ②若该方程是“差积方程”，求的值． 【变式3-3】阅读下列材料：我们发现，关于x的一元二次方程，如果的值是一个完全平方数时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元二次方程的根都为整数，的值一定是一个完全平方数． 定义：两根都为整数的一元二次方程称为“全整根方程”，代数式的值为该“全整根方程”的“最值码”，用表示，即；若另一关于x的一元二次方程也为“全整根方程”，其“最值码”记为，当满足时，则称一元二次方程是一元二次方程的“全整根伴侣方程”． (1)“全整根方程”的“最值码”是______； (2)关于x的一元二次方程（m为整数、且）是“全整根方程”，请求出该方程的“最值码”； (3)若关于x的一元二次方程是（m，n均为正整数）的“全整根伴侣方程”，求的值． 【变式3-4】阅读下列材料： 用配方法不仅可以解一元二次方程，还可以用它来解决很多问题．例如：因为，所以就有最小值1，即，只有当时，才能得到这个式子的最小值1；同样，因为，所以有最大值1，即，只有在时，才能得到这个式子的最大值1． (1)[材料理解]当________时，代数式有最________（填写“大或小”）值为________； (2)[类比应用]求证：关于的一元二次方程总有两个不相等的实数根． 题型四、一元二次方程求最值问题 例4若关于x的一元二次方程有实数根，则m的最小值为 ． 【变式4-1】若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则整数k 的最小值是 ． 【变式4-2】关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则整数的最小值是 ． 【变式4-3】关于的方程有两个实数根，则的最大值为 ． 【变式4-4】若关于x的一元⼆次⽅程(k﹣5)﹣2x＋2＝0有实数根，则整数k的最⼤值为（      ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式4-5】已知满足，则的最小值为 ． 题型五、利用根与系数的关系确定方程的解 例5已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值和方程的另一个根分别为 ． 【变式5-1】已知方程的一个根为5，则方程的另一个根为 ． 【变式5-2】已知方程的一个根是6，则它的另一个根是 ． 【变式5-3】请写出一个方程，使这个方程的一次项系数是，且它的两个根分别是2和，这个方程是 ． 题型六、利用根与系数的关系确定对称式代数式的值 例6已知，是方程的两个实数根，则的值是（    ） A． B． C．6 D．8 【变式6-1】若m、n是一元二次方程的两根，则的值是（    ） A． B． C．2 D．4 【变式6-2】已知、是一元二次方程的两个实数根，则等于（    ）． A．－2 B． C． D．2 【变式6-3】若，是一元二次方程的两根，则的值是（   ） A． B．1 C． D．3 【变式6-4】一元二次方程的两个根为，则 ． 【变式6-5】已知关于的方程． (1)求证：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个实数根满足，求的值． 题型七、利用根与系数的关系确定非对称式代数式的值 例7若、是一元二次方程的两个根，则的值是    （    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【变式7-1】若m，n是方程的两个实数根，则的值为（   ） A．2022 B．2025 C． D．4050 【变式7-2】若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为（    ） A．2003 B．2004 C．2005 D．2006 【变式7-3】已知m，n是方程的两个实数根，则的值是 ． 【变式7-4】已知是方程的两个根，则代数式的值是 ． 【变式7-5】已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论为何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个实数根，满足，求的值． 题型八、判别式及根与系数的关系的综合 例8已知是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则的值是（    ） A．3 B． C．3或1 D．或1 【变式8-1】若实数a，b满足，，则的值为（    ） A． B．或20 C．2或 D． 【变式8-2】关于的方程有两个实数根，且有，则实数的取值范围为 ． 【变式8-3】关于x的一元二次方程有两个实数根，若，则 ． 【变式8-4】已知关于的一元二次方程有两个异号的实数根． (1)求的取值范围； (2)设是该方程的两个根，且，求的值． 【变式8-5】关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求实数k的取值范围； (2)若方程两实数根满足，求k的值 题型九、根于系数的关系的归纳探究问题 例9我们定义：两根都为整数的一元二次方程均为整数称为“幸运方程”，两整数根称为“幸运根”，代数式的值为该“幸运方程”的“幸运数”，用表示，即．若有另一个“幸运方程”均为整数的“幸运数”为，若，则称与互为“开心数”． (1)关于x的一元二次方程是一个“幸运方程”． ①当时，该幸运方程的“幸运数”是______； ②若该幸运方程的“幸运数”是，则m的值为______． (2)若关于x的一元二次方程为整数，且是“幸运方程”，求m的值及该方程的“幸运数”； (3)若关于x的一元二次方程与、n均为整数都是“幸运方程”，且其“幸运数”互为“开心数”，求n的值． 【变式9-1】阅读理解材料：已知实数m，n满足，，且，求的值． 解：由题意知m，n是方程的两个不相等的实数根， 根据一元二次方程根与系数的关系得，， ∴． 解决以下问题： (1)方程的两个实数根为，，则________，________． (2)已知实数m，n满足，，且，求的值． 【变式9-2】阅读材料，根据上述材料解决以下问题： 材料1：若一元二次方程的两个根为，则 材料2：已知实数m，n满足，且，则 m，n 是方程的两个不相等的实数根． (1)材料理解：一元二次方程 两个根为 ，则 ， ． (2)应用探究：已知两实数m，n满足，则的值为？ (3)思维拓展：已知实数s，t分别满足，且，求的值． 试卷第1页，共3页 1 / 32 学科网（北京）股份有限公司 $