第21讲 直线与圆的方程（七大题型）（专项训练）（上海专用）2026年高考数学一轮复习讲练测

第21讲 直线与圆的方程 目录 01 常考题型过关练 题型01 直线的倾斜角与斜率 题型02 已知直线平行与垂直 题型03 直线的方程 题型04 直线的交点坐标与距离公式 题型05 圆的方程 题型06 直线与圆的位置关系 题型07 圆与圆 02 核心突破提升练 01直线的倾斜角与斜率 1．若是直线的一个方向向量，则直线的倾斜角大小为 ． 【答案】 【详解】因为是直线的一个方向向量，所以直线的斜率， 所以直线的倾斜角大小为． 故答案为：． 2．已知直线经过点，则直线倾斜角的大小为 ． 【答案】 【详解】由直线经过点，可得，解之得， 设直线倾斜角为，则， 又，则 则直线倾斜角的大小为 故答案为： 3．直线与直线的夹角大小等于 . 【答案】 【详解】的斜率为2，倾斜角为， 的斜率为0，倾斜角为，故两直线的夹角为 故答案为： 4．直线与直线的夹角大小为 . 【答案】 【详解】因为直线的斜率不存在，倾斜角为， 直线的斜率为，倾斜角为， 故直线与直线的夹角为， 故答案为：． 5．已知直线的倾斜角为，且直线与直线：垂直，则 【答案】 【详解】直线即，斜率， 因为直线、互相垂直，所以直线的斜率， 直线的倾斜角为，则，结合，可知． 故答案为：． 6．已知直线的倾斜角比直线的倾斜角小，则的斜率为 ． 【答案】 【详解】由直线方程：得的倾斜角为， 所以的倾斜角为，即的斜率为. 故答案为：. 7．直线的倾斜角为 .（用反三角函数表示） 【答案】 【详解】由直线，则该直线的斜率为，设其倾斜角为，则， 解得. 故答案为：. 8．（2025·上海奉贤·二模）已知是斜率为的直线的倾斜角，计算 ． 【答案】 【详解】因为是斜率为的直线的倾斜角，所以， 所以， 所以． 故答案为：. 9．（2025·上海·三模）若是直线的一个法向量，则直线的倾斜角大小为 ． 【答案】 【详解】因为是直线的一个法向量，故直线的斜率为，则该直线的倾斜角为． 故答案为：. 10．直线与直线的夹角大小为 ． 【答案】 【详解】设直线与直线的倾斜角分别为， 则，且， 所以， 因为， 所以，即两条直线的夹角为， 故答案为：. 02 已知直线平行与垂直 11．若直线与直线垂直，则实数a的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】直线与直线垂直， 则，解得， 故选：B. 12．设点满足，则“”是“为定值”的（     ）. A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】若为定值， 即点到直线两条直线距离之和为定值， 显然，这两条直线平行，如图，    所以当点在与这两条直线平行的直线上时，此时直线满足且， 即，且，为定值， 所以“”是“为定值”的必要不充分条件. 故选：B 13．（2025·上海·三模）设为实数，直线，直线，则“”是“平行”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分又不必要 【答案】A 【详解】若，则直线，直线，此时平行， 若平行，则即， 当时，平行， 当时，直线，直线，此时也平行， 故平行时推不出，故“”是“平行”的充分不必要条件， 故选：A. 14．（2025·上海·模拟预测）“”是“直线与直线相互平行”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】C 【详解】若直线与直线相互平行， 则，即，解得或， 当时，直线与直线相互平行，符合题意； 当时，直线即， 直线，两直线重合，不符合题意； 所以“”是“直线与直线相互平行”的充要条件. 故选：C 15．已知直线与直线，则“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】B 【详解】由题意，直线，直线， 因为，可得,，即，解得， 所以“”是“”的必要非充分条件. 故选：B. 16．已知直线，若，则实数a的值是 ． 【答案】或 【详解】由题意可知，故，即 解得或. 故答案为:或 17．若直线与直线平行，则这两条直线间的距离是 ． 【答案】 【详解】由直线与直线平行， 可知，即， 故直线为， 直线变形得， 故这两条直线间的距离为， 故答案为：. 18．若关于、的方程组无解，则实数 【答案】 【解析】先由方程无解判断平面内对应的两条直线平行，再利用平行关系列行列式计算参数即可. 【详解】由题意关于、的方程组无解，即直线和直线平行，故，所以， 此时直线即，确实与平行，故满足题意，所以实数. 故答案为：-2. 19．已知直线，，若，则 . 【答案】 【详解】若，则，解得. 故答案为：. 20．已知直线和，若，则 . 【答案】 【详解】直线和，， 则，解得. 故答案为：. 21．若直线：与直线：互相垂直，则 ． 【答案】0 【详解】由题意得，解得. 故答案为：0 22．（2025·上海黄浦·三模）直线，直线，若，则 ． 【答案】1 【详解】由题设及，有，则， 所以或， 当，则，重合，不符合； 当，则，，符合. 所以. 故答案为：1 03 直线的方程 23．若直线l的一个方向向量为，则l的法向量可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，A错误. ，B错误. ，C正确. ，D错误. 故选：C 24．直线的单位法向量是 【答案】， 【详解】法向量可以为，此时， 单位法向量即，同理还有 故答案为：， 25．直线l的方向向量，且经过曲线的中心，则直线l的方程为 . 【答案】 【详解】因为直线l的方向向量，所以直线l的斜率 易知曲线的中心为 所以，即 故答案为： 26．过点且在轴，轴上截距相等的直线方程为 【答案】和 【详解】当直线经过原点时，此时直线方程为，且在轴，轴的距离均为0，符合题意， 当直线在轴，轴均不为0时，设直线方程为， 将代入得，解得，故直线方程为， 故答案为：和 27．过点与直线垂直的直线方程为 . 【答案】 【详解】设所求直线方程为，将点的坐标代入所求直线方程可得， 解得， 故所求直线方程为. 故答案为：. 28．（2025·上海徐汇·三模）直线m过点且法向量，则直线m的点法向式方程为 . 【答案】 【详解】由题设，直线m的点法向式方程为. 故答案为： 04直线的交点坐标与距离公式 29．设直线与关于直线对称，则直线的方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】联立，得， 取直线上一点，设点关于直线的对称点为，则，解得：， 直线的斜率，所以直线的方程为， 整理为：. 故选：A 30．直线与x轴交点的坐标为 . 【答案】 【详解】因为直线， 令得 ， 所以 ， 所以直线与x轴的交点的坐标为， 故答案为： 31．若关于，的方程组有唯一解，则实数a满足的条件是 . 【答案】 【详解】由，可得， 由关于，的方程组有唯一解， 可得方程有唯一解，则 故答案为： 32．（2025·上海浦东新·三模）已知复数满足，则（i是虚数单位）的最小值为 . 【答案】 【详解】设， 则由可得：， 则，即或 的几何意义为射线上的点与的距离， 结合图像可知：到的距离即为最小值， 最小值为：， 故答案为： 05 圆的方程 33．（2025·上海金山·二模）已知点在圆上，点在圆上，且为坐标原点.对于以下两个命题，判断正确的是（    ） ①在坐标平面内存在点，使得恒成立； ②三角形面积的最小值为. A．①是真命题，②是真命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①是真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是假命题 【答案】A 【详解】 ，则当时，，， ， 即当时，恒成立，则①是真命题； 设， 则， 又， 则. 因， 则， 则，令， 则， 即， 则 ，其中， ，则， 因，则 ， 则， 则，故②是真命题. 故选：A. 34.已知圆C的一般方程为，则圆C的半径为 【答案】 【详解】圆即， 所以圆的半径为. 故答案为： 35．（2025·上海杨浦·模拟预测）设.已知方程表示的曲线是一个圆，则的取值范围为 . 【答案】 【详解】因为，变形得， 所以，解得. 故答案为：. 36.以为圆心，为半径的圆的标准方程是 . 【答案】 【详解】由题得圆的标准方程为. 故答案为：. 37．（2025·上海浦东新·二模）设圆方程为，则圆的半径为 ． 【答案】 【详解】将圆的方程化为标准方程可得，故圆的半径为. 故答案为：. 38.已知圆的周长为，则实数的值为 . 【答案】-3 【详解】设圆的半径为r，则由题意，故， 将圆一般式化为标准式得， 则. 故答案为：-3 39．（2025·上海·模拟预测）圆上的点到直线的距离最大值为 . 【答案】4 【详解】因为， 所以圆心坐标为，半径. 所以圆上的点到的距离最大值为圆心到直线的距离加圆的半径，即的长度. 所以. 故答案为：4. 40．（2025·上海宝山·三模）已知复数，集合所构成区域的面积是 . 【答案】 【详解】设，已知可得，即点在以原点为圆心，为半径的圆上，如图圆2. 设，，， 表示点两点之间的距离为2. 则集合所表示的图形是以点为圆心，6为半径的圆的大圆3和以点为圆心，2为半径的小圆1之间的圆环部分. 其面积为： 集合所构成区域的面积是.    故答案为： 41．（2025·上海杨浦·三模）已知三角形的，则三角形的面积的取值范围是 ． 【答案】 【详解】以为坐标原点所在直线为轴建立平面直角坐标系，设，. 因为，所以，化简得， 则点的轨迹为以为圆心，半径为的圆（除去两点）. 则点到直线的最大距离即为半径，此时三角形的面积. 又点到直线的距离可趋近于，所以三角形的面积的取值范围为. 故答案为： 42.在平面上，对任意的，曲线都不经过一些点，则这些点组成的区域的面积为 【答案】 【详解】由题意知：对任意的，曲线都不经过一些点等价于无解. 即：. 化简得：.这些点组成的区域为以为圆心，为半径的圆. 其面积为：. 故答案为：. 43.已知平面向量满足，若平面向量满足，则的最大值为 . 【答案】 【详解】如图，设， 因为， 所以，故， 如图，以点为原点，为轴的正方向建立平面直角坐标系， 则，设， 由，得， 所以点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆， 表示两点间的距离， 所以的最大值为. 故答案为：. 44.已知平面直角坐标系中的点、、，．记为外接圆的面积，则 ． 【答案】 【详解】设过、、这三点的外接圆方程为， 则有， 又外接圆的半径为, 所以 . 所以. 故答案为： 45．（2024·上海·模拟预测）正方形草地边长到距离为到距离为，有个圆形通道经过，且经过上一点，求圆形通道的周长 .（精确到）    【答案】 【详解】如图，以为原点建系，易知，连接，    不妨设中点为，直线中垂线所在直线方程为， 化简得，所以圆心为，半径为，且经过点 即，化简得， 解得， 结合题意可得，故圆的周长为. 故答案为： 46.平面点集所构成区域的面积为 . 【答案】 【详解】点集为以为圆心，为半径的圆上的点的集合， 又点在以为圆心，为半径的圆上， 所以平面点集所构成区域为图中阴影， 面积为. 故答案为：. 47．（2025·上海黄浦·二模）已知为常数，圆与圆有公共点，当取到最小值时，的值为 ． 【答案】1 【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径为1， 由两圆有公共点，得， ，当且仅当时取等号， 当时，取得最小值，取得最小值，此时两圆外切，满足两圆有公共点， 所以当取到最小值时，的值为1. 故答案为：1 48.已知正实数满足则当 取得最小值时， 【答案】 【详解】设点与点之间的距离为，则， 易知的几何意义是点与点之间的距离的平方， 点在以为圆心，半径为的圆上，又，则， 设点与点之间的距离为，则， 故，当且仅当时取等， 此时取得最小值，由点与圆的位置关系得，此时， 代入得，. 故答案为： 49．（2025·上海·模拟预测）在平面中，和是互相垂直的单位向量，向量满足，向量满足，求在方向上的数量投影的最大值 ． 【答案】 【详解】根据题意不妨设，，，， 则， 由可得，由可得； 设，故在以为圆心，为半径的圆上； 在以为圆心，1为半径的圆上； 过作于，则即为在上的数量投影，如下所示： 因为分别为两圆上任意动点，不妨固定，则为定长， 设，即，故， 因为此时为定长，且， 故随着的减小，增大，直至恰好与圆相切时，取得最大值，如下所示： 在与圆相切的基础上，移动点，过作于，故； 在△中，，， 故，因为, 故在直角三角形中，，则，即； 在四边形中，因为，故， 当且仅当时等号成立，从而. 综上所述：在方向上的数量投影的最大值为. 故答案为：. 06 直线与圆的位置关系 50.从圆上的一点向圆引两条切线，连接两切点间的线段称为切点弦，则圆内不与任何切点弦相交的区域面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 如图所示，设为上一点，为圆与的两条切线，为切点弦，因切点弦有无数条，当无数条切点弦交汇时，圆内不与任何切点弦相交的区域恰好构成虚线部分圆的面积，，则，由等面积法得，解得，又对由勾股定理可得，则以为半径的圆的面积为，故圆内不与任何切点弦相交的区域面积为. 故选：B 51.直线经过定点，且与轴正半轴、轴正半轴分别相交于，两点，为坐标原点，动圆在的外部，且与直线及两坐标轴的正半轴均相切，则周长的最小值是（    ） A．3 B．5 C．10 D．12 【答案】C 【详解】设动圆的圆心坐标为， 即圆半径，由题意， 设，，圆与直线相切于点，则，， 所以， 即的周长为， 所以的周长最小即为圆半径最小，因为， 则，整理得， 解得或, 当时，圆心在内，不合题意； 当时，符合题意，即圆半径的最小值为，周长的最小值为． 故选：C． 52.已知直线与圆有公共点，且公共点的横､纵坐标均为整数，则满足的有（    ） A．40条 B．46条 C．52条 D．54条 【答案】A 【详解】圆上的整数点共有12个，分别为， 如图所示， 由题意可知：直线的横、纵截距都不为0，即与坐标轴不垂直，不过坐标原点， 所以关于原点对称的两点所连直线不合题意，有6条，舍去， 关于x轴对称的两点所连直线（不含）不合题意，有4条，舍去， 关于y轴对称的两点所连直线（不含）不合题意，有4条，舍去 其中变形为， 几何意义为原点到直线的距离小于等于， 这12个点所连的直线中，除去以上不合要求的直线外，根据弦长从小到大分为类， 以下为具体情况：①，弦长为的直线有4条， 此时原点到此类直线的距离为，不合要求，舍去 ②，弦长为的直线有8条， 此时原点到此直线的距离为，不合要求，舍去 ③，弦长为的直线有8条， 此时原点到此直线的距离为，满足要去， ④其他情况弦长均大于，故均满足要求， 由组合知识可知：满足要求的直线条数为： 故选：A 53.已知圆，则直线和圆的位置关系为 . 【答案】相交 【详解】解：由圆得，圆心，半径， 圆心到直线的距离， 所以直线和圆的位置关系为相交， 故答案为：相交. 54．（2025·上海浦东新·模拟预测）直线被圆截得的弦长为 . 【答案】4 【详解】当，代入圆方程可得， 解得或， 即直线与圆的两交点坐标为， 所以弦长为4， 故答案为：4 55．（2025·上海松江·二模）已知点为直线上的点，过点作圆的切线，切点为，则最大值为 . 【答案】 【详解】圆的圆心，半径， ， 当最小时，最大. 的最小值为圆心到直线的距离， 根据点到直线距离公式， 所以. 故答案为：.      56．（2025·上海嘉定·二模）直线与圆相交所得的弦长为 ． 【答案】 【详解】由，即， 所以圆心为，半径为， 所以到的距离， 综上，直线与圆的相交弦长为. 故答案为： 57.在平面直角坐标系中，过点作圆的两条切线，切点分别为，．若，则实数的值等于 ． 【答案】4． 【详解】由得，圆心为，设， 取中点，由题意得， 因为 所以，则 因此，从而三点关系，即得 . 故答案为：4. 58.设Pn(xn，yn)是直线3x+y=(n∈N*)与圆x2+y2=5在第四象限的交点，则极限= . 【答案】 【详解】当时，， 直线与圆在第四象限的交点无限靠近， 而可看作点，与连线的斜率， 其值会无限接近圆在点处的切线的斜率， 其斜率为，． 故答案为：． 59.设是直线与圆在第一象限的交点，则 . 【答案】 【详解】联立，解得， 因为，当时，直线趋近于直线， 此时，直线与圆在第一象限的交点趋近于点， 而可视为点与点连线的斜率， 当时，的值会无限趋近于点与点连线的斜率， 故. 故答案为：. 60.设，，三条直线，，，则与的交点M到的距离的最大值为 ． 【答案】 【详解】因为，所以． 而直线，整理为， 令，解得：， 故过定点， ，变形为，过定点， 所以与的交点M在以AB为直径的圆上，圆心为，即， 直径为，故半径为， 所以圆的方程为， 因为恒过原点， 所以M到的距离的最大值为的长加上半径，即． 故答案为：． 61.在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），圆的参数方程为（为参数），则直线与圆的位置关系是 ． 【答案】相交 【详解】由直线的参数方程，可得： 直线的标准方程为：， 由圆的参数方程，可得： 圆的标准方程为：，圆心为，半径 圆心为到直线的距离 则直线与圆的位置关系是相交. 故答案为：相交 62．（2025·上海浦东新·模拟预测）已知直线过点，且上至少有一点到点的距离为2，则的倾斜角的最大值为 . 【答案】 【详解】以为圆心，2为半径作圆C，如图所示， 依题意直线l与圆C至少有一个交点， ①当直线l的科率不存在时，直线l与圆C有2个交点，此时直线l的倾斜角； ②当直线l的斜率存在时，设为，则，即 依题意，解得或， 此时直线l的倾斜角 综上所述，直线l的倾斜角， 故直线l的倾斜角的最大值为． 故答案为： 63．（2025·上海松江·二模）设向量，记.若点为圆：上任意三点，且满足，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】将圆化为标准方程，圆心，半径. 因为，所以为圆的直径. 设，. 由. 因为为直径，所以， 则. 令，即，且， 当直线与圆相切时，取得最值. 根据圆心到直线的距离等于半径，可得，解得或， 所以，则的取值范围是. 故答案为：. 07 圆与圆 64．已知正方体的棱长为，，，…，为正方形边上的个两两不同的点．若对任意的点，存在点.使得直线与平面以及平面所成角大小均为，则正整数的最大值为 ． 【答案】8 【详解】如图： 设，为正方形的两个点，且满足直线与平面所成的角为，过作于，连接，则为线与平面所成的角，是. 所以. 所以在平面内，以为圆心，为半径做圆，取为圆上一点，过作圆的切线，切线与正方形边的交点即为，. 又，所以与平面所成的角为，所以以为圆心，为半径做圆，做该圆的切线，与正方形边的交点即为，. 如图： 因为，所以与相离，两圆有4条公切线，与正方形的边有8个交点. 在这8个点中，任选一个点，存在点.使得直线与平面以及平面所成角大小均为. 故答案为：8 65．（2025·上海金山·三模）已知，集合，（其中为虚数单位），若，且满足，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由，， 所以的轨迹是以为顶点的平行四边形及其内部， 则的轨迹是以为顶点的平行四边形及其内部，如下图所示，    对于集合中，则，结合集合的描述知， 即的轨迹是以的轨迹上的每一点为圆心，半径为1的圆的并集， 对于集合中，即的轨迹是以原点为圆心，半径为a的圆， 由，即中对应的轨迹有交点，则能成立， 由上图知，，即， 所以，可得，即. 故答案为： 一、单选题 1．直线倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当直线与横轴平行时，直线的倾斜角是， 因此直线倾斜角的取值范围为， 故选：C 2．已知圆（θ为参数），与圆C关于直线x+y＝0对称的圆的普通方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】圆（θ为参数）转化为普通方程为， 圆心为（﹣2，3），半径为5，所以对称的圆的圆心为（﹣3，2），半径为5， 故对称的圆的普通方程是． 故选：A． 3．已知圆：，直线：，则直线与圆有公共点的必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可知圆的圆心坐标为，半径为1. 因为直线与圆有公共点，所以直线与圆相切或相交， 所以圆心到直线的距离，解得. 其必要不充分条件是把的取值范围扩大， 所以选项中只有是的必要不充分条件. 故选：A 4.如图，在中，，，，点、分别在轴、轴上，当点在轴上运动时，点随之在轴上运动，在运动过程中，点到原点的最大距离是（    ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【详解】取的中点，连接， ，， , 由图象可知， 当三点共线时，等号成立， 所以点到原点的最大距离是. 故选：A. 5．（2025·上海·三模）过点向曲线：（为正整数）引斜率为的切线，切点为，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C．数列的前项和为 D． 【答案】C 【详解】设直线，联立， 得， 则由，即， 解得（负值舍去），故A正确； 可得，， 所以，故B正确； 因为，则，故C错误； 因为，， 所以， 设，则， 可得在上单调递增， 则时，， 又，则，故D正确. 故选：C. 二、填空题 6．圆的半径等于 . 【答案】 【详解】由圆，可化为 所以圆的半径为. 故答案为：. 7．已知实数满足，则的最小值为 【答案】 【详解】由，可得，即或， 则原点O到直线的距离的平方为； 原点O到直线的距离的平方为， 所以的最小值为原点O到直线的距离的平方为． 故答案为： 8．已知直线与直线互相平行且距离为.等差数列的公差为，且，令，则的值为 ． 【答案】52 【详解】由题意知，， 因为两直线平行，所以，解得， 由两平行直线间距离公式得， 由，解得或. 又，所以，即， 解得，所以. 所以 ． 故答案为：52. 9．已知、，若曲线上的点P满足条件，则t的取值范围为 . 【答案】 【详解】，即 则曲线表示以坐标原点O为圆心，半径为1的上半圆 设点，则 ∴ 即直线（斜率为-1，纵截距为）与曲线有公共点，如图所示： 直线过点，则，即 直线与曲线相切，则，解得或（舍去） ∴，则 故答案为：. 10．若圆上有且只有两点到直线的距离为2，则圆的半径的取值范围是 . 【答案】 【详解】圆心O到直线的距离为， 如图：与直线距离为2的点的轨迹是与平行且与距离为2的两平行直线（图中虚线）.由题意知直线与圆O有两不同交点，而与圆O没有公共点.因此圆O半径的取值范围是. 故答案为：. 11．设有直线的倾斜角为．若在直线上存在点满足，且，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：设，因为， 所以， 因为在直线上存在点满足， 所以圆心到直线的距离不大于半径， 即， 解得或， 又因为， 所以的取值范围是. 故答案为： 12．设直线系，对于下列四个命题： ①M中所有直线均经过一个定点； ②存在定点P不在M中的任一条直线上； ③对于任意整数，存在正n边形，使其所有边均在M中的直线上； ④M中的直线所能围成的正三角形面积都相等． 其中真命题的序号是 （写出所有真命题的序号） 【答案】②③ 【详解】解：由直线系， 可令，消去可得， 故直线系表示圆的切线的集合，故①不正确； 因为对任意，存在定点不在直线系中的任意一条上，故②正确； 由于圆的外切正边形，所有的边都在直线系中，故③正确； 中的直线所能围成的正三角形的边长不一定相等，故它们的面积不一定相等，如图中等边三角形和面积不相等，故④不正确． 综上，正确的命题是②③． 故答案为：②③． 三、解答题 13．如图，我海监船在D岛海域例行维权巡航，某时刻航行至A处，此时测得其北偏东30°方向与它相距20海里的B处有一外国船只，且D岛位于海监船正东18海里处. (1)求此时该外国船只与D岛的距离； (2)观测中发现，此外国船只正以每小时4海里的速度沿正南方航行.为了将该船拦截在离D岛12海里的E处（E在B的正南方向），不让其进入D岛12海里内的海域，试确定海监船的航向，并求其速度的最小值.（角度精确到0.1°，速度精确到0.1海里/小时） 【详解】（1）依题意，在中，， 由余弦定理得 ， ∴， 即此时该外国船只与D岛的距离为海里. （2）建立以点A为坐标原点，为x轴，过点A往正北方向为y轴的坐标系，如图， 则，，， 设经过t小时外国船只到达点. 又，所以. 由,解得或（舍去）, 故（小时）， 则， ∴， ∴海监船的航向为东偏北41.8°， ∴海监船的速度（海里/小时）. 又， 故海监船的航向为北偏东48.2°，速度的最小值为6.4海里/小时. 14.已知，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，.设的外接圆为. （1）若，求的标准方程； （2）求面积最小时的值. 【详解】解：（1）∵，∴， 又∵，， ∴中点，中点， ∴线段的中垂线：， 线段的中垂线：， ∴得即圆心， 而， ∴的标准方程：. （2）∵，， ∴中点， ∴线段的中垂线：， 由（1）知线段的中垂线：， ∴即即圆心， ∴半径， ∴， 而，当且仅当时，等号成立， ∵，，且， ∴当或时，有最小值，此时最小. 15.江南某公园内正在建造一座跨水拱桥．如平面图所示，现已经在地平面以上造好了一个外沿直径为20米的半圆形拱桥洞，地平面与拱桥洞外沿交于点与点． 现在准备以地平面上的点与点为起点建造上、下桥坡道，要求：①；②在拱桥洞左侧建造平面图为直线的坡道，坡度为 （坡度为坡面的垂直高度和水平方向的距离的比）；③在拱桥洞右侧建造平面图为圆弧的坡道；④在过桥的路面上骑车不颠簸． (1)请你设计一条过桥道路，画出大致的平面图，并用数学符号语言刻画与表达出来； (2)并按你的方案计算过桥道路的总长度；（精确到0.1米） (3)若整个过桥坡道的路面宽为10米，且铺设坡道全部使用混凝土．请设计出所铺设路面的相关几何体，提出一个实际问题，写出解决该问题的方案，并说明理由 （如果需要，可通过假设的运算结果列式说明，不必计算）． 【详解】（1）解法1、如图所示，以线段的中点为坐标原点建立平面直角坐标系， 则，圆的方程为， 由，得，， 过点作圆的切线，切点为，直线的斜率为，其方程为， 所以直线的斜率为，其方程为，将其代入， 得点的坐标为， 经过点作圆与圆切于点（圆与y轴的交点），设圆的半径为， 则，即，解得， 所以，圆的方程为， 故用函数表示过桥道路为 . 解法2、如图所示，以线段的中点为坐标原点建立平面直角坐标系， 作圆与x轴相切于点，并和圆切于点， 设圆的半径为，则，即，解得， 所以圆的方程为， 将直线的方程代入得，点的坐标为， 所以用函数表示过桥道路为. （2）解法1：由点的坐标为，得， 所以圆弧的长为3.398， 由点的坐标为，点的坐标为，得， 所以圆弧的长为32.175， 所以过桥道路的总长度为， 解法2：因为，， 则，即， 所以圆弧的长为， 又由点的坐标为，得， 所以圆弧的长为， 所以过桥道路的总长度为63.9． （3）解：设计让桥的侧面所在平面垂直于地平面，则桥拱左侧铺设的是以曲边形为底面， 高为10米的柱体；桥拱右侧铺设的是以曲边形（）为底面，高为10米的柱体， 提问：铺设坡道共需要混凝土多少立方米？ 方案1：， 所以，铺设过桥路需要混凝土10（）． 方案2：， 所以，铺设过桥路需要混凝土10（）． 学科 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 第21讲 直线与圆的方程 目录 01 常考题型过关练 题型01 直线的倾斜角与斜率 题型02 已知直线平行与垂直 题型03 直线的方程 题型04 直线的交点坐标与距离公式 题型05 圆的方程 题型06 直线与圆的位置关系 题型07 圆与圆 02 核心突破提升练 01直线的倾斜角与斜率 1．若是直线的一个方向向量，则直线的倾斜角大小为 ． 2．已知直线经过点，则直线倾斜角的大小为 ． 3．直线与直线的夹角大小等于 . 4．直线与直线的夹角大小为 . 5．已知直线的倾斜角为，且直线与直线：垂直，则 6．已知直线的倾斜角比直线的倾斜角小，则的斜率为 ． 7．直线的倾斜角为 .（用反三角函数表示） 8．（2025·上海奉贤·二模）已知是斜率为的直线的倾斜角，计算 ． 9．（2025·上海·三模）若是直线的一个法向量，则直线的倾斜角大小为 ． 10．直线与直线的夹角大小为 ． 02 已知直线平行与垂直 11．若直线与直线垂直，则实数a的值为（    ） A． B． C． D． 12．设点满足，则“”是“为定值”的（     ）. A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 13．（2025·上海·三模）设为实数，直线，直线，则“”是“平行”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分又不必要 14．（2025·上海·模拟预测）“”是“直线与直线相互平行”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 15．已知直线与直线，则“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 16．已知直线，若，则实数a的值是 ． 17．若直线与直线平行，则这两条直线间的距离是 ． 18．若关于、的方程组无解，则实数 19．已知直线，，若，则 . 20．已知直线和，若，则 . 21．若直线：与直线：互相垂直，则 ． 22．（2025·上海黄浦·三模）直线，直线，若，则 ． 03 直线的方程 23．若直线l的一个方向向量为，则l的法向量可以是（    ） A． B． C． D． 24．直线的单位法向量是 25．直线l的方向向量，且经过曲线的中心，则直线l的方程为 . 26．过点且在轴，轴上截距相等的直线方程为 27．过点与直线垂直的直线方程为 . 28．（2025·上海徐汇·三模）直线m过点且法向量，则直线m的点法向式方程为 . 04直线的交点坐标与距离公式 29．设直线与关于直线对称，则直线的方程是（　　） A． B． C． D． 30．直线与x轴交点的坐标为 . 31．若关于，的方程组有唯一解，则实数a满足的条件是 . 32．（2025·上海浦东新·三模）已知复数满足，则（i是虚数单位）的最小值为 . 05 圆的方程 33．（2025·上海金山·二模）已知点在圆上，点在圆上，且为坐标原点.对于以下两个命题，判断正确的是（    ） ①在坐标平面内存在点，使得恒成立； ②三角形面积的最小值为. A．①是真命题，②是真命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①是真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是假命题 34.已知圆C的一般方程为，则圆C的半径为 35．（2025·上海杨浦·模拟预测）设.已知方程表示的曲线是一个圆，则的取值范围为 . 36.以为圆心，为半径的圆的标准方程是 . 37．（2025·上海浦东新·二模）设圆方程为，则圆的半径为 ． 38.已知圆的周长为，则实数的值为 . 39．（2025·上海·模拟预测）圆上的点到直线的距离最大值为 . 40．（2025·上海宝山·三模）已知复数，集合所构成区域的面积是 . 41．（2025·上海杨浦·三模）已知三角形的，则三角形的面积的取值范围是 ． 42.在平面上，对任意的，曲线都不经过一些点，则这些点组成的区域的面积为 43.已知平面向量满足，若平面向量满足，则的最大值为 . 44.已知平面直角坐标系中的点、、，．记为外接圆的面积，则 ． 45．（2024·上海·模拟预测）正方形草地边长到距离为到距离为，有个圆形通道经过，且经过上一点，求圆形通道的周长 .（精确到）    46.平面点集所构成区域的面积为 . 47．（2025·上海黄浦·二模）已知为常数，圆与圆有公共点，当取到最小值时，的值为 ． 48.已知正实数满足则当 取得最小值时， 49．（2025·上海·模拟预测）在平面中，和是互相垂直的单位向量，向量满足，向量满足，求在方向上的数量投影的最大值 ． 06 直线与圆的位置关系 50.从圆上的一点向圆引两条切线，连接两切点间的线段称为切点弦，则圆内不与任何切点弦相交的区域面积为（    ） A． B． C． D． 51.直线经过定点，且与轴正半轴、轴正半轴分别相交于，两点，为坐标原点，动圆在的外部，且与直线及两坐标轴的正半轴均相切，则周长的最小值是（    ） A．3 B．5 C．10 D．12 52.已知直线与圆有公共点，且公共点的横､纵坐标均为整数，则满足的有（    ） A．40条 B．46条 C．52条 D．54条 53.已知圆，则直线和圆的位置关系为 . 54．（2025·上海浦东新·模拟预测）直线被圆截得的弦长为 . 55．（2025·上海松江·二模）已知点为直线上的点，过点作圆的切线，切点为，则最大值为 . 56．（2025·上海嘉定·二模）直线与圆相交所得的弦长为 ． 57.在平面直角坐标系中，过点作圆的两条切线，切点分别为，．若，则实数的值等于 ． 58.设Pn(xn，yn)是直线3x+y=(n∈N*)与圆x2+y2=5在第四象限的交点，则极限= . 59.设是直线与圆在第一象限的交点，则 . 60.设，，三条直线，，，则与的交点M到的距离的最大值为 ． 61.在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），圆的参数方程为（为参数），则直线与圆的位置关系是 ． 62．（2025·上海浦东新·模拟预测）已知直线过点，且上至少有一点到点的距离为2，则的倾斜角的最大值为 . 63．（2025·上海松江·二模）设向量，记.若点为圆：上任意三点，且满足，则的取值范围是 . 07 圆与圆 64．已知正方体的棱长为，，，…，为正方形边上的个两两不同的点．若对任意的点，存在点.使得直线与平面以及平面所成角大小均为，则正整数的最大值为 ． 65．（2025·上海金山·三模）已知，集合，（其中为虚数单位），若，且满足，则实数的取值范围是 ． 一、单选题 1．直线倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．已知圆（θ为参数），与圆C关于直线x+y＝0对称的圆的普通方程是（　　） A． B． C． D． 3．已知圆：，直线：，则直线与圆有公共点的必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 4.如图，在中，，，，点、分别在轴、轴上，当点在轴上运动时，点随之在轴上运动，在运动过程中，点到原点的最大距离是（    ） A． B． C．3 D． 5．（2025·上海·三模）过点向曲线：（为正整数）引斜率为的切线，切点为，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C．数列的前项和为 D． 二、填空题 6．圆的半径等于 . 7．已知实数满足，则的最小值为 8．已知直线与直线互相平行且距离为.等差数列的公差为，且，令，则的值为 ． 9．已知、，若曲线上的点P满足条件，则t的取值范围为 . 10．若圆上有且只有两点到直线的距离为2，则圆的半径的取值范围是 . 11．设有直线的倾斜角为．若在直线上存在点满足，且，则的取值范围是 ． 12．设直线系，对于下列四个命题： ①M中所有直线均经过一个定点； ②存在定点P不在M中的任一条直线上； ③对于任意整数，存在正n边形，使其所有边均在M中的直线上； ④M中的直线所能围成的正三角形面积都相等． 其中真命题的序号是 （写出所有真命题的序号） 三、解答题 13．如图，我海监船在D岛海域例行维权巡航，某时刻航行至A处，此时测得其北偏东30°方向与它相距20海里的B处有一外国船只，且D岛位于海监船正东18海里处. (1)求此时该外国船只与D岛的距离； (2)观测中发现，此外国船只正以每小时4海里的速度沿正南方航行.为了将该船拦截在离D岛12海里的E处（E在B的正南方向），不让其进入D岛12海里内的海域，试确定海监船的航向，并求其速度的最小值.（角度精确到0.1°，速度精确到0.1海里/小时） 14.已知，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，.设的外接圆为. （1）若，求的标准方程； （2）求面积最小时的值. 15.江南某公园内正在建造一座跨水拱桥．如平面图所示，现已经在地平面以上造好了一个外沿直径为20米的半圆形拱桥洞，地平面与拱桥洞外沿交于点与点． 现在准备以地平面上的点与点为起点建造上、下桥坡道，要求：①；②在拱桥洞左侧建造平面图为直线的坡道，坡度为 （坡度为坡面的垂直高度和水平方向的距离的比）；③在拱桥洞右侧建造平面图为圆弧的坡道；④在过桥的路面上骑车不颠簸． (1)请你设计一条过桥道路，画出大致的平面图，并用数学符号语言刻画与表达出来； (2)并按你的方案计算过桥道路的总长度；（精确到0.1米） (3)若整个过桥坡道的路面宽为10米，且铺设坡道全部使用混凝土．请设计出所铺设路面的相关几何体，提出一个实际问题，写出解决该问题的方案，并说明理由 （如果需要，可通过假设的运算结果列式说明，不必计算）． 学科 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $