第13讲 函数的零点与方程的解　讲义——2026届高三数学一轮复习

2026高考数学一轮专题讲义与课时精练 第13讲 函数的零点与方程的解 【基础回顾】 知识点1．函数的零点与方程的解 (1)函数零点的概念 对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点． (2)函数零点与方程实数解的关系 方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点． (3)函数零点存在定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解． 知识点2．二分法 对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 【必备知识】 若连续不断的函数f(x)是定义域上的单调函数，则f(x)至多有一个零点． 题型一 函数零点所在区间的判定 确定函数零点所在区间的常用方法 (1)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续；再看是否有f(a)·f(b)<0，若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点． (2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断． 【例题精讲】 1．函数的零点所在的区间为（　　） A．（﹣2，﹣1） B．（﹣1，0） C．（0，1） D．（1，2） 2．已知函数f（x）＝x2﹣log0.3x，则该函数的零点所在区间是（　　） A．（0，0.3） B．（0.3，0.5） C．（0.5，1） D．（1，2） 3．已知点在幂函数f（x）＝xα的图象上，则函数h（x）＝f（x）+lgx﹣18的零点所在区间为（　　） A．（1.5，2） B．（2，2.5） C．（2.5，3） D．（3，3.5） （多选）4．若函数f（x）＝2ex的图象与函数的图象交点的横坐标所在的区间为（k，k+1），则k的可能取值为（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 （多选）5．函数的零点所在的区间是（　　） A．（1，2） B．（2，4） C．（4，8） D．（8，+∞） 题型二 函数零点个数的判定 求解函数零点个数的基本方法 (1)直接法：令f(x)＝0，方程有多少个不同的实数根，则f(x)有多少个零点． (2)定理法：利用函数零点存在定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等． (3)图象法：一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数． 【例题精讲】 1．当∪∪时，函数f（x）＝|cosx|﹣|tanx|的零点个数为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 2．函数y＝2x2﹣3x+1的零点个数是（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．不能确定 3．函数f（x）＝（a+1）x﹣ax+x（a＞1）的零点的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．无法确定，与a的取值有关 （多选）4．定义，已知函数f（x）＝max{a﹣|x﹣1|，x2﹣（2+a）x+2a}，0＜a＜1，则函数y＝f（x）的零点个数可能为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 （多选）5．已知函数，其中a，b∈R，且ab≠0．则（　　） A．当ab＞0时，函数f（x）有且只有两个零点 B．当ab＜0时，函数f（x）有且只有一个零点 C．当a﹣b＝0时，函数y＝f（x）的图象是轴对称图形 D．当a+b＝0时，函数y＝f（x）的图象是中心对称图形 题型三 根据函数零点求参数 根据函数零点的情况求参数的三种常用方法 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式(组)，再通过解不等式确定参数(范围)． (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域确定参数范围． (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后利用数形结合法求解. 【例题精讲】 1．若函数没有零点，则实数a的取值范围是（　　） A．[﹣4，+∞） B．（﹣4，+∞） C．（﹣∞，﹣4] D．[4，+∞） 2．已知函数f（x）＝x2﹣acosx+2有且仅有一个零点，则实数a的值为（　　） A． B． C．2 D．﹣2 3．若函数有两个零点，则a的取值范围为（　　） A．（﹣∞，1） B．（1，+∞） C．（0，1）∪（1，+∞） D．（0，1） （多选）4．已知函数f（x）＝ex+e﹣x﹣a有两个零点x1，x2（x1＜x2），则下列说法正确的是（　　） A．f（x）为偶函数 B．a＜﹣2或a＞2 C．x1+x2＝0 D．x1x2＜0 （多选）5．设函数若f（x）＝a有四个实数根x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则的值不可以是（　　） A． B． C．3 D． 题型四 根据复合函数零点求参数 对于复合函数y＝f(g(x))的零点个数问题，求解思路如下： (1)确定内层函数u＝g(x)和外层函数y＝f(u)； (2)确定外层函数y＝f(u)的零点u＝ui(i＝1,2,3，…，n)； (3)确定直线u＝ui(i＝1,2,3，…，n)与内层函数u＝g(x)图象的交点个数分别为a1，a2，a3，…，an，则函数y＝f(g(x))的零点个数为a1＋a2＋a3＋…＋an. 【例题精讲】 1．已知函数，若函数y＝f（f（x））有6个零点，则实数a的取值范围为（　　） A．a＞1 B．a＜0 C．a＜﹣1 D．﹣1＜a＜0 2．已知函数，若函数g（x）＝f（x）﹣|x﹣k|恰有2个零点，则实数k的取值范围是（　　） A．[﹣1，e） B．（﹣∞，﹣1]∪[e，+∞） C．（﹣1，1] D．（﹣∞，﹣1）∪[1，+∞） 3．若函数则函数y＝[f（x）]2﹣5f（x）+6的零点个数为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 （多选）4．已知函数，函数g（x）＝f（f（x））﹣m，则下列结论正确的是（　　） A．若m＝0，则g（x）有1个零点 B．若m＝3，则g（x）有6个零点 C．若g（x）有5个零点，则m的取值范围为（0，3） D．g（x）一定有零点 （多选）5．已知函数g（x）＝﹣x2+2|x|+3，h（x）＝f（g（x））﹣m，则下列结论正确的是（　　） A．当m＝0时，h（x）有1个零点 B．当0＜m＜1时，h（x）有4个零点 C．h（x）可能有6个零点 D．当h（x）的零点个数最多时，m的取值范围为（ln3，ln4） 课时精练 一．选择题（共8小题） 1．已知函数f（x）＝x2﹣log0.3x，则该函数的零点所在区间是（　　） A．（0，0.3） B．（0.3，0.5） C．（0.5，1） D．（1，2） 2．函数f（x）lnx的零点所在的区间为（　　） A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4） 3．若关于x的方程mx2+2x+2＝0至少有一个负实根，则实数m的取值范围是（　　） A．0＜m＜2 B． C． D．m≤2 4．已知函数f（x）为偶函数，且，若方程f（x）﹣a＝0有六个不同的实根，则实数a的取值范围是（　　） A．（1，2） B．[1，2] C．[﹣2，﹣1）∪（1，2] D．（﹣2，﹣1）∪（1，2） 5．若函数则函数y＝[f（x）]2﹣5f（x）+6的零点个数为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 6．已知f（x）为偶函数，当x≥0时，，若关于x的方程f2（x）﹣（a+8）f（x）+8a＝0恰有4个不同的实根，则实数a的取值范围为（　　） A．（3，+∞） B．（3，+∞）∪{1} C．（3，8）∪（8，+∞） D．（3，8）∪（8，+∞）∪{1} 7．设函数g（x），则方程的实数根的个数可能为（　　） A．1 B．3 C．1或3 D．3或5 8．已知函数g（x）＝x﹣3，方程f（g（x））＝﹣3﹣g（x）有两个不同的根，分别是x1，x2，则x1+x2＝（　　） A．0 B．3 C．6 D．9 二．多选题（共3小题） （多选）9．已知函数若关于x的方程f（x）＝m有3个实数解x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），则（　　） A．x1+x2＜0 B．1＜x1+x2+x3＜2 C． D．关于x的方程f（x）＝f（m）恰有3个实数解 （多选）10．若函数，则下列说法正确的是（　　） A．值域为R B．单调递增区间是[﹣1，0]和（0，1] C．f（x）有两个零点 D．方程有5个实根 （多选）11．已知函数则下列说法正确的是（　　） A．当m＜﹣2，n＜﹣2时，f（m+n）＝f（m）+f（n）+8 B．对于∀x1∈（0，2）∀x2∈（﹣2，0），|f（x1）﹣f（x2）|≤2 C．若方程f（x）﹣a＝0有4个不相等的实根x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4的范围为 D．方程f[f（x）]＝2有6个不相等的实根 三．填空题（共3小题） 12．已知g（x）＝2x﹣2+1，若|g（x+2）﹣3|＝6b有两个不相等的实根，则b的取值范围是 　 　 ． 13．已知函数，若存在实数a，b，c满足a＜b＜c，且f（a）＝f（b）＝f（c），则（a+b）c的取值范围是 　 　 ． 14．已知函数若关于x的函数y＝f2（x）﹣bf（x）+3有8个不同的零点，则实数b的取值范围为 　 　 ． 四．解答题（共5小题） 15．已知函数f（x）＝x2﹣2|x2﹣x|﹣m． （1）求f（x）的单调区间； （2）讨论f（x）零点的个数； （3）若f（x）有4个零点x1，x2，x3，x4，判断x1+x2+x3+x4是否为定值，并说明你的理由． 16．已知函数f（x）＝2x2+mx+n的图象过点（0，﹣1），且满足f（﹣1）＝f（2）． （1）求函数f（x）的解析式； （2）设函数f（x）在[a，a+2]上的最小值为h（a），求h（a）； （3）若x0满足f（x0）＝x0，则称x0为函数y＝f（x）的不动点．函数g（x）＝f（x）﹣tx+t有两个不相等的不动点x1，x2，且x1＞0，x2＞0， ①求实数t的取值范围；②求的最小值． 17．已知a＞0且a≠1，函数，． （1）方程f（x）＝0的两根为x1和x2，且x1•x2＝3，求a的值； （2）当a＝2时，对任意的x1∈[1，8]，都存在x2∈[0，+∞），使得f（x1）＝g（x2），求m的取值范围． 18．已知函数y＝ax2﹣（a+2）x+2，a∈R． （1）y＜3﹣2x对任意x∈R恒成立，求实数a的取值范围； （2）求不等式y≥0的解集； （3）若存在m＞0使关于x的方程有四个不同的实根，求实数a的取值范围． 19．已知函数． （1）若a＝2，求函数f（x）在（1，f（1））处的切线方程； （2）若函数f（x）有三个零点，求a的取值范围． 第7页（共7页） 学科网（北京）股份有限公司 $2026高考数学一轮专题讲义与课时精练 第13讲 函数的零点与方程的解 【基础回顾】 知识点1．函数的零点与方程的解 (1)函数零点的概念 对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点． (2)函数零点与方程实数解的关系 方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点． (3)函数零点存在定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解． 知识点2．二分法 对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 【必备知识】 若连续不断的函数f(x)是定义域上的单调函数，则f(x)至多有一个零点． 题型一 函数零点所在区间的判定 确定函数零点所在区间的常用方法 (1)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续；再看是否有f(a)·f(b)<0，若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点． (2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断． 【例题精讲】 1．函数的零点所在的区间为（　　） A．（﹣2，﹣1） B．（﹣1，0） C．（0，1） D．（1，2） 【答案】B 【解答】解：由已知，f（x）为R上的连续函数， 因，，，，， f（﹣1）•f（0）＜0， 则由零点存在性定理可知，函数f（x）的零点所在的区间为（﹣1，0）． 故选：B． 2．已知函数f（x）＝x2﹣log0.3x，则该函数的零点所在区间是（　　） A．（0，0.3） B．（0.3，0.5） C．（0.5，1） D．（1，2） 【答案】C 【解答】解：由题意可得函数的定义域为（0，+∞）， 又因为y＝x2、y＝﹣log0.3x在（0，+∞）上单调递增， 所以函数y＝f（x）在（0，+∞）上单调递增， 又f（0.3）＝0.09﹣1＜0，f（0.5）＝0.25﹣log0.30.5＝log0.3log0.30.5＝log0.3log0.30， f（1）＝1﹣log0.31＝1＞0， 所以函数的零点在（0.5，1）． 故选：C． 3．已知点在幂函数f（x）＝xα的图象上，则函数h（x）＝f（x）+lgx﹣18的零点所在区间为（　　） A．（1.5，2） B．（2，2.5） C．（2.5，3） D．（3，3.5） 【答案】C 【解答】解：由于点在幂函数f（x）＝xα的图象上，所以， 所以f（x）＝x3，则h（x）＝x3+lgx﹣18． 又因为函数y＝lgx，y＝x3在（0，+∞）上都单调递增， 则h（x）在定义域（0，+∞）上单调递增， h（3）＝lg3+33﹣18＝lg3+9， 因为lg3＞lg1，即lg3＞0，所以h（3）＞0， h（2.5）＝lg2.5+（2.5）3﹣18＝lg2.5﹣2.375， 因为lg2.5＜lg10，即lg2.5＜1，所以h（2.5）＜0， 因为h（x）在（0，+∞）上单调递增，h（2.5）•h（3）＜0， 所以h（x）在（0，+∞）上只有一个零点，且在（2.5，3）内． 故选：C． （多选）4．若函数f（x）＝2ex的图象与函数的图象交点的横坐标所在的区间为（k，k+1），则k的可能取值为（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 【答案】BC 【解答】解：f（x）与g（x）交点横坐标即方程2ex5的解， 即h（x）＝2ex5的零点，则h（x）在（﹣∞，0）和（0，+∞）上递增， 因为h（﹣1）4＜0，x趋于0且x＜0时，h（x）趋于正无穷， h（1）＝2e﹣6＜0，h（2）＝2e20， 所以h（x）的零点在区间（﹣1，0）和（1，2）上， 故k＝﹣1或k＝1． 故选：BC． （多选）5．函数的零点所在的区间是（　　） A．（1，2） B．（2，4） C．（4，8） D．（8，+∞） 【答案】AD 【解答】解：函数的定义域为（0，+∞）， ，当0＜x＜4时，f′（x）＜0，函数f（x）在（0，4）上单调递减， 当x＞4时，f′（x）＞0，函数f（x）在（4，+∞）上单调递增， 又， 因此函数的零点所在的区间是（1，2）和（8，+∞）． 故选：AD． 题型二 函数零点个数的判定 求解函数零点个数的基本方法 (1)直接法：令f(x)＝0，方程有多少个不同的实数根，则f(x)有多少个零点． (2)定理法：利用函数零点存在定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等． (3)图象法：一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数． 【例题精讲】 1．当∪∪时，函数f（x）＝|cosx|﹣|tanx|的零点个数为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解答】解：由f（x）＝|cosx|﹣|tanx|＝0，得|cosx|＝|tanx|， 作出y＝|cosx|，y＝|tanx|，x的图象， 由图可知，两函数的图象的交点有4个，则曲线f（x）＝|cosx|﹣|tanx|在[0，2π]上的零点个数为4． 故选：B． 2．函数y＝2x2﹣3x+1的零点个数是（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．不能确定 【答案】C 【解答】解：y＝2x2﹣3x+1＝（2x﹣1）（x﹣1）， 所以y＝2x2﹣3x+1有两个零点，分别为x和x＝1． 故选：C． 3．函数f（x）＝（a+1）x﹣ax+x（a＞1）的零点的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．无法确定，与a的取值有关 【答案】A 【解答】解：∵a＞1时，∴由指数函数的图象与性质知， 当x＜0时，（a+1）x﹣ax＜0，x＜0，可得f（x）＜0， 当x＞0时，（a+1）x﹣ax＞0，x＞0，可得f（x）＞0， 当x＝0时，f（x）＝（a+1）x﹣ax+x＝0，则函数f（x）只有一个零点． 故选：A． （多选）4．定义，已知函数f（x）＝max{a﹣|x﹣1|，x2﹣（2+a）x+2a}，0＜a＜1，则函数y＝f（x）的零点个数可能为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】BCD 【解答】解：函数f（x）＝max{a﹣|x﹣1|，x2﹣（2+a）x+2a}，0＜a＜1， 令g（x）＝a﹣|x﹣1|，h（x）＝x2﹣（2+a）x+2a， 当x2﹣（2+a）x+2a＝0时，x＝a或x＝2， 当a﹣|x﹣1|＝0时，x＝1+a或x＝1﹣a， ①当x＝2时，h（2）＝0，g（2）＝a﹣1， ∵0＜a＜1，∴g（a）＝a﹣1＜0， x＝2是y＝f（x）的零点． ②当x＝1﹣a时，g（1﹣a）＝0，h（1﹣a）＝1﹣2a+a2+a2+a﹣2+2a＝2a2+a﹣1， 令2a2+a﹣1＜0，则， 即当时，x＝1﹣a是y＝f（x）的零点；当时，x＝1﹣a不是y＝f（x）的零点． ③当x＝1+a时，g（1﹣a）＝0，h（1+a）＝1+2a+a2﹣a2﹣3a﹣2+2a＝a﹣1， ∵0＜a＜1，∴h（1﹣a）＜0，即x＝1+a是y＝f（x）的零点； ④当x＝a时，h（a）＝0，g（a）＝a﹣|a﹣1|， ∵0＜a＜1，∴g（a）＝a﹣|a﹣1|＝a﹣1+a＝2a﹣1， 即当时，x＝a是y＝f（x）的零点；当时，x＝a不是y＝f（x）的零点． 综上所述：x＝1+a和x＝2一定是y＝f（x）的零点，x＝1﹣a和x＝a可能是y＝f（x）的零点． 故选：BCD． （多选）5．已知函数，其中a，b∈R，且ab≠0．则（　　） A．当ab＞0时，函数f（x）有且只有两个零点 B．当ab＜0时，函数f（x）有且只有一个零点 C．当a﹣b＝0时，函数y＝f（x）的图象是轴对称图形 D．当a+b＝0时，函数y＝f（x）的图象是中心对称图形 【答案】BCD 【解答】解：因为，定义域为R， 又因为ab≠0，所以a≠0，b≠0， 令f（x）＝0， 得a•2x+b•2﹣x＝0，即a•22x+b＝0， 所以，又22x＞0， 所以当ab＞0时，，方程无解， 所以函数f（x）没有零点，故A错误； 当ab＜0时，，解得， 函数f（x）有且只有一个零点，故B正确； 当a﹣b＝0，即a＝b时， f（x）＝a•2x+a•2﹣x，f（﹣x）＝a•2﹣x+a•2x＝f（x）， 所以f（x）是偶函数，图象关于y轴对称，故C正确； 当a+b＝0，即b＝﹣a时， f（x）＝a•2x﹣a•2﹣x，f（﹣x）＝a•2﹣x﹣a•2x＝﹣f（x）， 所以f（x）是奇函数，图象关于原点对称，故D正确． 故选：BCD． 题型三 根据函数零点求参数 根据函数零点的情况求参数的三种常用方法 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式(组)，再通过解不等式确定参数(范围)． (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域确定参数范围． (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后利用数形结合法求解. 【例题精讲】 1．若函数没有零点，则实数a的取值范围是（　　） A．[﹣4，+∞） B．（﹣4，+∞） C．（﹣∞，﹣4] D．[4，+∞） 【答案】A 【解答】解：因为当x≤2时，y＝2x﹣a＞0恒成立， 要使f（x）没有零点， 所以x＞2时，2x+a＞0恒成立， 即a＞﹣2x恒成立， 又因为函数y＝﹣2x在（2，+∞）上单调递减， 所以a≥﹣2×2＝﹣4， 即实数a的取值范围是[﹣4，+∞）． 故选：A． 2．已知函数f（x）＝x2﹣acosx+2有且仅有一个零点，则实数a的值为（　　） A． B． C．2 D．﹣2 【答案】C 【解答】解：因为f（x）＝x2﹣acosx+2，所以f（x）定义域为R， 又f（﹣x）＝（﹣x）2﹣acos（﹣x）+2＝x2﹣acosx+2＝f（x），所以f（x）是偶函数， 则f（x）图象关于y轴对称， 因为f（x）有且仅有一个零点，所以有f（0）＝0， 即f（0）＝﹣a+2＝0，所以a＝2． 故选：C． 3．若函数有两个零点，则a的取值范围为（　　） A．（﹣∞，1） B．（1，+∞） C．（0，1）∪（1，+∞） D．（0，1） 【答案】C 【解答】解：因为，x＞0， 且f（1）＝0， 所以x＝1是函数的一个零点， 所以函数还有一个不为1的零点， 当x≠1时，令f（x）＝0， 得alnx， 所以a， 令g（x）（x＞0且x≠1）， 则g'（x）， 令h（x）＝2xlnx﹣x， 则h'（x）＝2lnx+1， 所以当x∈（0，1）时，h'（x）＜0，h（x）单调递减； 当x∈（1，+∞）时，h'（x）＞0，h（x）单调递增； 所以h（x）＞h（1）＝0， 即g'（x）＞0， 所以g（x）单调递增， 作出函数y＝g（x）（x＞0且x≠1）的图象，如图所示： 所以当a∈（0，1）∪（1，+∞）时，满足题意． 故选：C． （多选）4．已知函数f（x）＝ex+e﹣x﹣a有两个零点x1，x2（x1＜x2），则下列说法正确的是（　　） A．f（x）为偶函数 B．a＜﹣2或a＞2 C．x1+x2＝0 D．x1x2＜0 【答案】ACD 【解答】解：因为f（﹣x）＝e﹣x+ex﹣a＝f（x），所以函数f（x）为偶函数，故A正确； 因为函数f（x）＝ex+e﹣x﹣a有两个零点，所以f（x）＝0有两个根，即ex+e﹣x＝a有两个根， 令t＝ex，t＞0， 所以在（0，+∞）上有两个根，即t2﹣at+1＝0在（0，+∞）上有两个不相等的实数根， 所以解得a＞2，故B错误； 因为函数f（x）为偶函数，且有两个零点x1，x2（x1＜x2），所以x1+x2＝0，故C正确； 因为x1+x2＝0，x1＜x2，所以x1x2＜0，故D正确． 故选：ACD． （多选）5．设函数若f（x）＝a有四个实数根x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则的值不可以是（　　） A． B． C．3 D． 【答案】ACD 【解答】解：由分段函数知，当1＜x≤2时，f（x）∈[0，+∞），且单调递减； 当2＜x≤3时，f（x）∈（0，1]，且单调递增；当3＜x＜4时，f（x）∈（0，1），且单调递减； 当x≥4时，f（x）∈[0，+∞），且单调递增．f（x）的图象如图所示． f（x）＝a有四个实数根x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4． 由图知，当0＜a＜1时，f（x）＝a有四个实数根，且． 又x3+x4＝8，由对数函数的性质知（x1﹣1）（x2﹣1）＝x1x2﹣（x1+x2）+1＝1，可得． 设，且．由在上单调递增， 可知，所以． 故选：ACD． 题型四 根据复合函数零点求参数 对于复合函数y＝f(g(x))的零点个数问题，求解思路如下： (1)确定内层函数u＝g(x)和外层函数y＝f(u)； (2)确定外层函数y＝f(u)的零点u＝ui(i＝1,2,3，…，n)； (3)确定直线u＝ui(i＝1,2,3，…，n)与内层函数u＝g(x)图象的交点个数分别为a1，a2，a3，…，an，则函数y＝f(g(x))的零点个数为a1＋a2＋a3＋…＋an. 【例题精讲】 1．已知函数，若函数y＝f（f（x））有6个零点，则实数a的取值范围为（　　） A．a＞1 B．a＜0 C．a＜﹣1 D．﹣1＜a＜0 【答案】D 【解答】解：当a≥0，x≤0时，函数f（x）＝﹣x2+2ax，对称轴为x＝a≥0， 因此函数f（x）在（﹣∞，0）单调递增，函数图象如下： 令函数f（x）＝t，y＝f（f（x））＝f（t）＝0，解得t＝0或t＝1， 即f（x）＝t＝0或f（x）＝t＝1，根据图象f（x）＝t＝0有2个解，f（x）＝t＝1有1个解， 因此此时函数y＝f（f（x））有3个零点，不符合题意； 当a＜0，x≤0时，函数f（x）＝﹣x2+2ax，对称轴为x＝a＜0， 所以f（x）在（a，0）单调递减，在（﹣∞，a）单调递增，函数图像如下： 令函数f（x）＝t，y＝f（f（x））＝f（t）＝0，解得t＝2a或t＝0或t＝1， 根据图象，f（x）＝t＝0有3个解，f（x）＝t＝2a＜0有2个解， 又y＝f（f（x））有6个零点，所以f（x）＝t＝1要有1个解， 即，解得﹣1＜a＜0． 故选：D． 2．已知函数，若函数g（x）＝f（x）﹣|x﹣k|恰有2个零点，则实数k的取值范围是（　　） A．[﹣1，e） B．（﹣∞，﹣1]∪[e，+∞） C．（﹣1，1] D．（﹣∞，﹣1）∪[1，+∞） 【答案】C 【解答】解：由题意知，要使得g（x）＝f（x）﹣|x﹣k|恰有2个零点， 即方程g（x）＝f（x）﹣|x﹣k|＝0有两个实数根， 所以直线y＝|x﹣k|与函数y＝f（x）的图象有2个交点， 当x＞0时，g（x）＝|lnx|﹣|x﹣k|， 令g（x）＝0，可得|lnx|＝|x﹣k|； 当x＜0时，g（x）＝ex﹣|x﹣k|， 令g（x）＝0，可得|x﹣k|＝ex． 在同一坐标系下，作出函数y＝|lnx|，y＝ex和y＝|x﹣k|的图象，如图所示： 由函数y＝lnx，可得，且当x＝1时，y＝0，y′|x＝1＝1， 故函数y＝lnx在x＝1处的切线方程为y＝x﹣1， 又由函数y＝﹣lnx，可得，可得x＝1时，y＝0，y′|x＝1＝﹣1， 故函数y＝﹣lnx在x＝1的切线方程为y＝﹣x+1， 所以函数y＝|lnx|与y＝|x﹣1|只有一个公共点（1，0）， 结合图象得：当k≤﹣1时，g（x）恰有3个零点； 当﹣1＜k≤1时，g（x）恰有2个零点； 当k＞1时，g（x）恰有3个零点， 要使得y＝g（x）恰有2个零点，则满足﹣1＜k≤1， 所以实数k的取值范围为（﹣1，1]． 故选：C． 3．若函数则函数y＝[f（x）]2﹣5f（x）+6的零点个数为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【解答】解：令[f（x）]2﹣5f（x）+6＝0， 则有f（x）＝2或f（x）＝3， 作出函数y＝f（x）的图象，如图所示： 因为直线y＝2与y＝f（x）的图象有3个交点， 直线y＝3与y＝f（x）的图象有4个交点， 所以原方程有7个解． 故选：C． 二．多选题（共2小题） （多选）4．已知函数，函数g（x）＝f（f（x））﹣m，则下列结论正确的是（　　） A．若m＝0，则g（x）有1个零点 B．若m＝3，则g（x）有6个零点 C．若g（x）有5个零点，则m的取值范围为（0，3） D．g（x）一定有零点 【答案】BD 【解答】解：令f（x）＝4，解得x＝1﹣e或2； 令f（x）＝3，解得x＝0或1或3， 根据函数图象的平移变换，可画出f（x）的简图， 令g（x）＝0，因此f（f（x））＝m， 令f（x）＝t，因此f（t）＝m， 如果m＞4时，f（t）＝m只有1解，且t＜1﹣e，此时f（x）＝t只有1解，因此g（x）只有1个零点， 如果m＝4时，f（t）＝4有2解，即t＝1﹣e或2， f（x）＝1﹣e有1解；f（x）＝2有2解．因此g（x）有3个零点， 如果m∈（3，4）时，f（t）＝m有3解t1，t2，t3，t1∈（1﹣e，0），t2∈（1，2），t3∈（2，3）， 如果t1∈（1﹣e，0）时，f（x）＝t1只有1解； 如果t2∈（1，2）时，f（x）＝t2有2解； 如果t3∈（2，3）时，f（x）＝t3有2解，因此g（x）有5个零点， 如果m＝3时，f（t）＝3有3解，即t＝0或1或3， f（x）＝0只有1解； f（x）＝1有2解； f（x）＝3有3解．因此g（x）有6个零点， 如果m∈（0，3）时，f（t）＝m有2解t4，t5，t4∈（0，1），t5∈（3，4）， 如果t4∈（0，1）时，f（x）＝t4有2解； 如果t5∈（3，4）时，f（x）＝t5有3解．因此g（x）有5个零点， 如果m＝0时，f（t）＝0只有1解t＝4，f（x）＝4有2解，因此g（x）有2个零点， 如果m＜0时，f（t）＝m只有1解，且t＞4，此时f（x）＝t只有1解，因此g（x）只有1个零点． 故选：BD． （多选）5．已知函数g（x）＝﹣x2+2|x|+3，h（x）＝f（g（x））﹣m，则下列结论正确的是（　　） A．当m＝0时，h（x）有1个零点 B．当0＜m＜1时，h（x）有4个零点 C．h（x）可能有6个零点 D．当h（x）的零点个数最多时，m的取值范围为（ln3，ln4） 【答案】BCD 【解答】解：A选项：h（x）的零点个数等价于关于x的方程f（g（x））＝m的解的个数，令t＝g（x），函数f（t），g（x）的图象如图， 如果m＜0时，f（g（x））＝m无解；如果m＝0时，f（t）＝0的解为1，则g（x）＝1有两个解，故A选项错误； B选项：如果0＜m＜1时，设方程f（t）＝m的解为t1，t2，易得，1＜t2＜e， 则g（x）＝t1，g（x）＝t2均有两个根，因此g（x）＝t有4个解，因此f（g（x））＝m有4个解，故B选项正确． C选项：如果m＝1时，易得方程f（t）＝m的解为0，，e，则g（x）＝0，，g（x）＝e，均有2个解，因此g（x）＝t有6个解，因此f（g（x））＝m有6个解，故C选项正确． D选项：如果m＞1时，设方程f（t）＝m的解为t3，t4，t5，易得t3＜0，，t5＞e， 则g（x）＝t3，g（x）＝t4均有2个解，g（x）＝t5最多有4个解，因此f（g（x））＝m最多有8个解， 如果g（x）＝t5有4个解时，则3＜t5＜4，因此ln3＜m＝f（t5）＜ln4， 因此如果f（g（x））＝m的解最多时，m的取值范围为（ln3，ln4），故D选项正确． 故选：BCD． 课时精练 一．选择题（共8小题） 1．已知函数f（x）＝x2﹣log0.3x，则该函数的零点所在区间是（　　） A．（0，0.3） B．（0.3，0.5） C．（0.5，1） D．（1，2） 【答案】C 【解答】解：由题意可得函数的定义域为（0，+∞）， 又因为y＝x2、y＝﹣log0.3x在（0，+∞）上单调递增， 所以函数y＝f（x）在（0，+∞）上单调递增， 又f（0.3）＝0.09﹣1＜0，f（0.5）＝0.25﹣log0.30.5＝log0.3log0.30.5＝log0.3log0.30， f（1）＝1﹣log0.31＝1＞0， 所以函数的零点在（0.5，1）． 故选：C． 2．函数f（x）lnx的零点所在的区间为（　　） A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4） 【答案】B 【解答】解：函数的定义域为（0，+∞），而在（0，+∞）为减函数，y＝lnx在（0，+∞）为增函数， ∴f（x）lnx在（0，+∞）为减函数， 又， 所以由零点存在性定理可知，函数f（x）在区间（1，2）有零点． 故选：B． 3．若关于x的方程mx2+2x+2＝0至少有一个负实根，则实数m的取值范围是（　　） A．0＜m＜2 B． C． D．m≤2 【答案】C 【解答】解：当m＝0时，方程为2x+2＝0，有一个负根； 当m≠0时，mx2+2x+2＝0为一元二次方程， 关于x的方程mx2+2x+2＝0至少有一个负根， 设根为x1，x2， 当Δ＝4﹣8m＝0时，即 时， 方程为，解得x＝﹣2，满足题意； 当Δ＝4﹣8m＞0，即时，且m≠0时， 若有一个负根，则，解得m＜0； 若有两个负根，则，解得， 综上所述，则实数m的取值范围是． 故选：C． 4．已知函数f（x）为偶函数，且，若方程f（x）﹣a＝0有六个不同的实根，则实数a的取值范围是（　　） A．（1，2） B．[1，2] C．[﹣2，﹣1）∪（1，2] D．（﹣2，﹣1）∪（1，2） 【答案】A 【解答】解：当0≤x＜1时，函数f（x）＝21﹣x；当1≤x＜2时，函数f（x）＝2x﹣1， 那么当x≥0时，函数， 令f（x）﹣a＝0，那么a＝f（x），f（x）﹣a＝0有6个不同实根， 即y＝a与y＝f（x）的图象有6个交点， 在同一坐标系内作出y＝a与y＝f（x）的图象， 观察图象得当且仅当a∈（1，2）时y＝a与y＝f（x）的图象有6个交点， 所以实数a的取值范围是（1，2）． 故选：A． 5．若函数则函数y＝[f（x）]2﹣5f（x）+6的零点个数为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【解答】解：令[f（x）]2﹣5f（x）+6＝0， 则有f（x）＝2或f（x）＝3， 作出函数y＝f（x）的图象，如图所示： 因为直线y＝2与y＝f（x）的图象有3个交点， 直线y＝3与y＝f（x）的图象有4个交点， 所以原方程有7个解． 故选：C． 6．已知f（x）为偶函数，当x≥0时，，若关于x的方程f2（x）﹣（a+8）f（x）+8a＝0恰有4个不同的实根，则实数a的取值范围为（　　） A．（3，+∞） B．（3，+∞）∪{1} C．（3，8）∪（8，+∞） D．（3，8）∪（8，+∞）∪{1} 【答案】D 【解答】解：因为f2（x）﹣（a+8）f（x）+8a＝0， 所以[f（x）﹣8]•[f（x）﹣a]＝0， 解得f（x）＝8或f（x）＝a， 当0≤x＜1时，3﹣2x∈（1，3]， 此时方程f（x）＝8无解； 当x≥1时，令f（x）＝1+lnx＝8， 即lnx＝7，解得x＝e7， 因为f（x）为偶函数，所以f（x）＝8有两解，分别为e7和﹣e7． 又方程f2（x）﹣（a+8）f（x）+8a＝0恰有4 个不同的实根， 所以f（x）＝a也有两个不同于e7和﹣e7的两根． 作出函数f（x）的草图如下： 要使f（x）＝a有两个不同于e7和﹣e7的两根，则a＝1或a＞3且a≠8． 所以实数a的取值范围为（3，8）∪（8，+∞）∪{1}． 故选：D． 7．设函数g（x），则方程的实数根的个数可能为（　　） A．1 B．3 C．1或3 D．3或5 【答案】B 【解答】解：因为g（x），x∈R， 所以g'（x）， 所以当x∈（﹣∞，﹣2）时，g'（x）＜0，g（x）单调递减； 当x∈（﹣2，1）时，g'（x）＞0，g（x）单调递增； 当x∈（1，+∞）时，g'（x）＜0，g（x）单调递减； 所以g（x）极小值＝g（﹣2）＝﹣e2，g（x）极大值＝g（1）， 令g（x）＝0，得x或x， 所以当x时，g（x）＞0； 当x时，g（x）＜0； 当x时，g（x）＞0； 令g（x）＝t， 则方程即为t2+mt﹣5e＝0， 又因为Δ＝m2+20e＞0， 所以此方程必有两个不等实根t1，t2（t1＜t2）， 则有t1+t2＝﹣m，t1t2＝﹣5e＜0， 所以t1，t2异号， 所以t1＜0，t2＞0， 当t1＜﹣e2时，g（x）＝t1无解； 此时t2， 所以g（x）＝t2有3个解， 所以原方程有3个解； 当t1＝﹣e2时，g（x）＝t1有1个解， 此时t2， 所以g（x）＝t2有2个解； 所以原方程有3个解； 当﹣e2＜t1＜0时，g（x）＝t1有2个解， 此时t2， 所以g（x）＝t2有1个解， 所以原方程有3个解； 综上，方程的实数根的个数为3． 故选：B． 8．已知函数g（x）＝x﹣3，方程f（g（x））＝﹣3﹣g（x）有两个不同的根，分别是x1，x2，则x1+x2＝（　　） A．0 B．3 C．6 D．9 【答案】B 【解答】解：由题意得：g（x）＝x﹣3为R上的增函数，且g（3）＝0， 当x≤3时，g（x）≤0，f（g（x））＝ex﹣3， 当x＞3时，g（x）＞0，f（g（x））＝ln（x﹣3）， 方程f（g（x））＝﹣3﹣g（x）＝﹣x有两个不同的根， 等价于函数y＝f（g（x））与y＝﹣x的图象有两个交点， 作出函数f（g（x））与y＝﹣x的图象如下图所示： 由图可知y＝ex﹣3与y＝ln（x﹣3）图象关于y＝x﹣3对称， 则A，B两点关于y＝x﹣3对称，中点C在y＝x﹣3图象上， 由，解得：． 所以． 故选：B． 二．多选题（共3小题） （多选）9．已知函数若关于x的方程f（x）＝m有3个实数解x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），则（　　） A．x1+x2＜0 B．1＜x1+x2+x3＜2 C． D．关于x的方程f（x）＝f（m）恰有3个实数解 【答案】ABD 【解答】解：由题意作出y＝f（x）的图象： 要使f（x）＝m有3个实数解，只需0＜m＜1，且﹣1＜x1＜0，x2+x3＝2， 对于A，作出x＜0时，f（x）的部分图象关于y轴对称的图象，可知交点在x2与x＝1之间， 则﹣x1＞x2＞0，所以﹣1＜x1+x2＜0，A对； 对于B，据图可知﹣1＜x1＜0，x2+x3＝2，所以1＜x1+x2+x3＜2，B对； 当m→0时，x1→0，x2x3→0，即x1x2x3＜0，故C错； 因为0＜m＜1，所以f（m）∈（0，1），所以关于x的方程f（x）＝f（m）有三个实数根，D对． 故选：ABD． （多选）10．若函数，则下列说法正确的是（　　） A．值域为R B．单调递增区间是[﹣1，0]和（0，1] C．f（x）有两个零点 D．方程有5个实根 【答案】BD 【解答】解：因为， 所以当x≤0时，f（x）＝x2+2x+1＝（x+1）2， 此时函数f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递减，在[﹣1，0]上单调递增， 当x＞0时，，则， 令f′（x）＞0，得0＜x＜1，令f′（x）＜0，得x＞1， 所以函数f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减， 且x→0时，f（x）→0，x＞0时，f（x）＞0， 作出函数f（x）的图象，如下： 由图可知，函数f（x）的值域为[0，+∞）， 函数f（x）的单调递增区间是[﹣1，0]和（0，1]， f（x）只有一个零点﹣1，故A错误，B正确，C错误； 对于D，由，令f（x）＝t，t∈[0，+∞），则， 由图可知，函数f（x）和在[0，+∞）上有2个交点， 则t有两个值，且t1∈（0，1）和t2∈（1，+∞）， 当t1∈（0，1）时，函数f（x）和y＝t1在R上有4个交点， 当t2∈（1，+∞）时，函数f（x）和y＝t2在R上有1个交点， 所以方程有5个实根，故D正确． 故选：BD． （多选）11．已知函数则下列说法正确的是（　　） A．当m＜﹣2，n＜﹣2时，f（m+n）＝f（m）+f（n）+8 B．对于∀x1∈（0，2）∀x2∈（﹣2，0），|f（x1）﹣f（x2）|≤2 C．若方程f（x）﹣a＝0有4个不相等的实根x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4的范围为 D．方程f[f（x）]＝2有6个不相等的实根 【答案】ACD 【解答】解：依题意有． 对于A，当m＜﹣2，n＜﹣2时，m+n＜﹣4， 则f（m+n）＝﹣4（m+n）﹣8，f（m）+f（n）+8＝﹣4m﹣8﹣4n﹣8+8＝﹣4（m+n）﹣8， 所以f（m+n）＝f（m）+f（n）+8，故A正确； 对于B，当x∈（0，2）时，f（x）＝﹣2（x﹣1）2+2， 所以对∀x1∈（0，2），则0＜f（x1）≤2， 当x∈（﹣2，0）时，f（x）＝2x+4，所以对∀x2∈（﹣2，0），0＜f（x2）＜4， 所以﹣4＜﹣f（x2）＜0，所以﹣4＜f（x1）﹣f（x2）＜2，故B错； 对于C，依题意作出f（x）的图象，如图所示， 若方程f（x）﹣a＝0有4个不相等的实根x1，x2，x3，x4， 即函数f（x）的图象与直线y＝a有四个交点，由图象可知0＜a＜2， 不妨设x1＜x2＜x3＜x4，由f（x1）＝a得﹣4x1﹣8＝a，则， 由f（x2）＝a得2x2+4＝a，则， 由二次函数图象的对称性可知，x3，x4关于直线x＝1对称，所以x3+x4＝2， 所以， 因为0＜a＜2，所以， 即x1+x2+x3+x4的范围为，故C正确； 对于D，方程f[f（x）]＝2中，令f（x）＝t，则方程化为f（t）＝2， 由图象可得，若t＜﹣2，则﹣4t﹣8＝2，解得，则方程有一个根， 若﹣2≤t＜0，则2t+4＝2，解得t＝﹣1，则方程f（x）＝﹣1有一个根， 若t≥0，则﹣2t2+4t＝2，解得t＝1，则方程f（x）＝1有四个根， 综上所述，方程f[f（x）]＝2有6个不相等的实根，故D正确． 故选：ACD． 三．填空题（共3小题） 12．已知g（x）＝2x﹣2+1，若|g（x+2）﹣3|＝6b有两个不相等的实根，则b的取值范围是 　　 ． 【答案】． 【解答】解：根据题知，|g（x+2）﹣3|＝|2x﹣2|＝6b， 对于y＝|2x﹣2|的图像如下， 那么要使|g（x+2）﹣3|＝6b有两个不相等的实根， 那么可得0＜6b＜2，因此，所以b∈． 故答案为：． 13．已知函数，若存在实数a，b，c满足a＜b＜c，且f（a）＝f（b）＝f（c），则（a+b）c的取值范围是 　（﹣4，﹣2log23]　 ． 【答案】（﹣4，﹣2log23]． 【解答】解：如图，画出函数f（x）的图象， 因为当x≤0，y＝﹣x2﹣2x+1图象的开口向下，对称轴为x＝﹣1， 又因为存在a＜b，f（a）＝f（b），则a+b＝﹣2， 令2x﹣2＝1，得x＝log23，令2x﹣2＝2，得x＝2， 如图可知，log23≤c＜2， 所以（a+b）c＝﹣2c∈（﹣4，﹣2log23]． 故答案为：（﹣4，﹣2log23]． 14．已知函数若关于x的函数y＝f2（x）﹣bf（x）+3有8个不同的零点，则实数b的取值范围为 　　 ． 【答案】． 【解答】解：如图，作出函数的图象， 易知f（0）＝4， 当0＜a≤4时，此时f（x）＝a有4个不同的实数根， 当a＞4或a＝0时，此时f（x）＝a有3个不同的实数根， 当﹣5＜a＜0时，此时f（x）＝a有2个不同的实数根， 当a＝﹣5时，此时f（x）＝a有1个不同的实数根， 当a＜﹣5时，此时f（x）＝a没有实数根， 因此只有在0＜a≤4时直线y＝a与y＝f（x）的图象有4个交点， 所以要满足关于x的函数y＝f2（x）﹣bf（x）+3有8个不同的零点， 令f（x）＝t，则方程t2﹣bt+3＝0在（0，4]上有两个不等实根， 则有，解得， 所以实数b的取值范围为． 故答案为：． 四．解答题（共5小题） 15．已知函数f（x）＝x2﹣2|x2﹣x|﹣m． （1）求f（x）的单调区间； （2）讨论f（x）零点的个数； （3）若f（x）有4个零点x1，x2，x3，x4，判断x1+x2+x3+x4是否为定值，并说明你的理由． 【答案】（1）单调递增区间为：（﹣∞，0]，；单调递减区间为：，[1，+∞）． （2）①当m＞1时，f（x）无零点； ②当m＝1时，f（x）有1个零点； ③当或0＜m＜1时，f（x）有2个零点； ④当或m＝0时，f（x）有3个零点； ⑤当时，f（x）有4个零点． （3），理由如下， 由（2）知，当时，f（x）有4个零点x1，x2，x3，x4，不妨设x1＜x2＜x3＜x4， 由二次函数的对称性可知 所以． 【解答】解：（1）①当x2﹣x＜0即0＜x＜1时，f（x）＝x2﹣2（﹣x2+x）﹣m＝3x2﹣2x﹣m，二次函数开口向上，对称轴为， f（x）在区间上单调递减，在区间上单调递增； ②当x2﹣x≥0即x≤0或x≥1时，f（x）＝x2﹣2（x2﹣x）﹣m＝﹣x2+2x﹣m，二次函数开口向下，对称轴为x＝1， f（x）在区间（﹣∞，0]上单调递增，在区间[1，+∞）上单调递减． 所以f（x）的单调递减区间为：，[1，+∞）；单调递增区间为：（﹣∞，0]，． （2）根据第一问知函数， ， ①当﹣m＜0＜1﹣m即0＜m＜1时，f（x）有2个零点； ②当﹣m＝0即m＝0时，f（x）有3个零点； ③当1﹣m＜0即m＞1时，f（x）无零点； ④当1﹣m＝0即m＝1时，f（x）有1个零点； ⑤当即时，f（x）有4个零点； ⑥当即时，f（x）有3个零点； ⑦当即时，f（x）有2个零点； 综上所述：①当m＞1时，f（x）无零点； ②当m＝1时，f（x）有1个零点； ③当或0＜m＜1时，f（x）有2个零点； ④当或m＝0时，f（x）有3个零点； ⑤当时，f（x）有4个零点． （3）是定值，理由如下， 由（2）知，当时，f（x）有4个零点x1，x2，x3，x4，不妨设x1＜x2＜x3＜x4， 由二次函数的对称性可知 所以． 16．已知函数f（x）＝2x2+mx+n的图象过点（0，﹣1），且满足f（﹣1）＝f（2）． （1）求函数f（x）的解析式； （2）设函数f（x）在[a，a+2]上的最小值为h（a），求h（a）； （3）若x0满足f（x0）＝x0，则称x0为函数y＝f（x）的不动点．函数g（x）＝f（x）﹣tx+t有两个不相等的不动点x1，x2，且x1＞0，x2＞0， ①求实数t的取值范围；②求的最小值． 【答案】（1）f（x）＝2x2﹣2x﹣1． （2）． （3）①t＞1； ②最小值为6． 【解答】解：（1）因为函数f（x）＝2x2+mx+n的图象过点（0，﹣1），且f（﹣1）＝f（2）， 所以，所以n＝﹣1，m＝﹣2， 所以函数f（x）＝2x2﹣2x﹣1． （2）函数的对称轴为， 当时，所以，函数f（x）在[a，a+2]单调递减， 所以； 当时，函数f（x）在[a，a+2]单调递增，所以； 当时，即，所以， 所以． （3）①：根据已知得函数g（x）＝f（x）﹣tx+t＝x⇒2x2﹣2x﹣1﹣tx+t＝x， 所以2x2﹣（3+t）x+t﹣1＝0有两个不相等的正实数根， 所以，解得t＞1， ②：因为根据韦达定理可得， 所以， 结合①所得t＞1，所以t﹣1＞0， 所以，当且仅当t＝5时取等号， 所以，所以最小值为6． 17．已知a＞0且a≠1，函数，． （1）方程f（x）＝0的两根为x1和x2，且x1•x2＝3，求a的值； （2）当a＝2时，对任意的x1∈[1，8]，都存在x2∈[0，+∞），使得f（x1）＝g（x2），求m的取值范围． 【答案】（1）； （2）m∈[﹣1，）． 【解答】解：（1）令，解得logax＝1或logax＝2， 解得x1＝a，，则a•a2＝a3＝3，所以； （2）当a＝2时，函数， 因x∈[1，8]，那么log2x∈[0，3]，函数， 又因为在x∈[0，+∞）上单调递减，那么函数g（x）∈（m，m+3]， 根据任意的x1∈[1，8]，都存在x2∈[0，+∞），使得f（x1）＝g（x2）， 那么函数f（x）在[1，8]上的值域是g（x）在[0，+∞）上值域的子集， 因此，即m∈[﹣1，）． 18．已知函数y＝ax2﹣（a+2）x+2，a∈R． （1）y＜3﹣2x对任意x∈R恒成立，求实数a的取值范围； （2）求不等式y≥0的解集； （3）若存在m＞0使关于x的方程有四个不同的实根，求实数a的取值范围． 【答案】（1）{a|﹣4＜a≤0}． （2）当0＜a＜2时，不等式的解集为； 当a＝2时，不等式的解集为R； 当a＞2时，不等式的解集为； 当a＜0时，不等式的解集为； 当a＝0时，不等式的解集为{x|x≤1}． （3）． 【解答】解：（1）根据题有ax2﹣（a+2）x+2＜3﹣2x恒成立，即ax2﹣ax﹣1＜0恒成立， 当a＝0时，﹣1＜0恒成立，符合题意； 当a≠0时，那么，得， 得﹣4＜a＜0． 综上可得，a∈{a|﹣4＜a≤0}． （2）根据题ax2﹣（a+2）x+2≥0，即（ax﹣2）（x﹣1）≥0， 当a＝0，﹣2x+2≥0⇒x≤1，因此不等式的解集为{x|x≤1}； 当a＞0，，或x＝1； 当0＜a＜2时，，不等式的解集为； 当a＝2时，不等式的解集为R， 当a＞2时，，不等式的解集为； 当a＜0，则，不等式的解集为． 综上可得：当0＜a＜2时，不等式的解集为； 当a＝2时，不等式的解集为R； 当a＞2时，不等式的解集为； 当a＜0时，不等式的解集为； 当a＝0时，不等式的解集为{x|x≤1}． （3）当m＞0时，令， 当且仅当m＝1时取等号， 方程a|x|2﹣（a+2）|x|+2﹣t＝0有四个不等实根， 令u＝|x|，那么转化为存在t≥3使得关于u的方程， 即au2﹣（a+2）u+2﹣t＝0有两个不同正根， 那么，那么可得a＜﹣2， 根据根的判别式Δ＞0知，存在t≥3使4at+（a+2）2﹣8a＞0成立， 把t看成主元代入t＝3，因此4a×3+（a+2）2﹣8a＞0，即a2+8a+4＞0， 解得或，综合可得． 因此a∈． 19．已知函数． （1）若a＝2，求函数f（x）在（1，f（1））处的切线方程； （2）若函数f（x）有三个零点，求a的取值范围． 【答案】（1）y＝﹣x+1； （2）． 【解答】解：（1）若a＝2，则f（x）＝ex﹣1﹣x2，所以f（1）＝0， f′（x）＝ex﹣1﹣2x，则f′（1）＝﹣1， 故函数f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y﹣0＝﹣（x﹣1），即y＝﹣x+1； （2）因为f（0）＝e﹣1≠0，即x＝0不是函数的零点，所以， 令，则， 令g′（x）＞0，即，解得x＞2或x＜0， 令g′（x）＜0，即，解得0＜x＜2， 所以g（x）在（﹣∞，0）和（2，+∞）上单调递增，在（0，2）上单调递减， 且当x→﹣∞时，g（x）→0，当x→0时，g（x）→+∞，，当x→+∞时，g（x）→+∞， 由此可作出函数y＝g（x）的图象，如图所示， 因为函数f（x）有三个零点，结合图象可知，a的取值范围为． 第7页（共7页） 学科网（北京）股份有限公司 $