2.2.4 第1课时 均值不等式-【成才之路•学案】2025-2026学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导(人教B版)

053 A.xlx>3或x<-2} 5.若a>0,b>0,则不等式-b< <a的解集为 B.{xlx>2或<-3} C.{xl-2<x<3} D.{xl-3<x<2 夯基提能作业 4.不等式x2-4x+4≤0的解集是 ,x2-4x+4 请同学们认真完成练案[14] ≥0的解集是 2.2.4均值不等式及其应用 第1课时均值不等式 素养目标定方向 学习目标 核心素养 1.掌握均值不等式，明确均值不等式成立的条件.（难 1.通过不等式的证明，培养逻辑推理的素养。 点) 2.通过均值不等式形式求简单的最值问题，提升数学 2.会用均值不等式证明一些简单的不等式或比较代数 运算的素养 式的大小.（重点） 必备知识 探新知 知识点1均值不等式（基本不等式） 1.算术平均值与几何平均值 前提 给定两个正数a,b 思考1：均值不等式与 数粉为，5的 不等式a2+b≥2ab 结论 的关系如何？请对此 数√ab称为a,b的几何平均值 进行讨论 提示：(1)在a2+b2≥ 2.均值不等式 2ab中，a,b∈R；在 前提 a,b都是 a+b≥2ab中，a, 结论 b>0. (2)两者都带有等 等号成立的条件 当且仅当 时，等号成立 号，等号成立的条件 几何意义 所有周长一定的矩形中，正方形的面积最大 从形式上看是一样 [思考1] 的，但实质不同（范 围不同). ●对应练习 (3)证明的方法都是 下列结论正确的有 （填序号). 作差比较法 ①对任意a,beR,a2+b2≥2ab均成立. (4)都可以用来求 ②若a>0,b>0且a≠b,则a+b>2√ad. 最值. ③若a>0.6>0,则6≤( ④a,6同号时，名+公≥2 054 知识点2均值不等式与最值 思考2：应用上述两个 两个正数的积为常数时，它们的和有最 结论时，要注意哪些 值； 两个正数的和为常数时，它们的积有最 值. ●[思考2] 事项？ 提示：应用上述性质 ●对应练习 时注意三点：（1)各1.已知0<x<1,则x(3-3x)取得最大值时x的值为 项或各因式均为正： A号 B c 0. (2)和或积为定值 )8项支各国式能2设，y为正数侧(x+)(仕+ 的最小值为 取得相等的值.即“一 A.6 B.9 C.12 D.15 正二定三相等” 关键能力 攻重难 归纳提升：在均值不 ●题型一 对均值不等式的理解 等式应用过程中要注 意“一正、二定、三相 (1)(多选题)(2024·大连高一检测)若ab>0,则下列不等式中恒成立的有 等 一正，a,b均为正数 A.a2+b2≥2ab B.a+b≥2√ad 二定，不等式一边为 定值： c(a+分o+日）≥4 +8≥2 三相等，不等式中的 (2)“0<a<b"是“√a<a+b的 2 等号能取到，即a=b 有解 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 归纳提升：利用均值 >[归纳提升] 不等式求最值的两种 对点训练 类型和一个关注点 1.下列不等式的推导过程正确的是 (1)两种类型 ①若a+b=p(两个正 ①若>1，则x+2-2： 数a,b的和为定值)， 则当a=b时，积ab有 ②若<0，则+其=-(-)+(-〗≤-2√《-)(-)=4 最大位军，可以用均 ③若aeR则+≥2号=2 值不等式a而≤0+b ●题型二利用均值不等式求最值 2 求得 2.(I)已知m,n>0,且m+n=16,求)mn的最大值； ②若ab=S(两个正数 的积为定值)，则当a (2)已知x>3,求)=+，写的最小值： =b时，和a+b有最 小值2S,可以用均 (3)设x>0,y>0,且2x+y=1,求+的最小值， y 值不等式a+b≥ 2ab求得. (2)一个关注点：不论 哪种情况都要注意等 号取得的条件 >[归纳提升] ●055 )对点训练 2.(1)已知ab=100,且a>0,b>0,求a+b的最小值； (2)已知x>0,y>0,且2x+3y=6,求xy的最大值； )已知>0y>0,+=1,求+y的装小t 归纳提升：(1)利用均 值不等式证明不等 题型三利用均值不等式证明不等式 式，关键是所证不等 例3已知a6,ceR,求证：o+公+e≥+62+ca 式中须有“和”式或 “积”式，通过将 “和”式转化为“积“ 式或将“积”式转化为 “和”式，从而达到放 缩的效果. (2)注意多次运用均 [归纳提升]值不等式时等号能否 》对点训练 取到. 3已知a,6是正数求证2≤，瓜 a b 课堂检测 固双基 1.对于任意a,b∈R,下列不等式一定成立的是( ）3:若实数4，b满足+ ,× b -=√b,则ab的最小值为 A≥瓜 B.a+≥2 () c+片≥2 +g2 A.2 B.2 C.22 D.4 2.若a>b>0,则下列不等式成立的是 A.azb>atb>/ab 2 4已知x>0,y>0,g=0,则：=子+3的最小值为 B.a>a+b>a而>b 2 5.若a>0,b>0且2a+方=3，则号的最大值为 1 Ca>经6>届 D.a>a而>a+b>b 夯基提能作业 2 请同学们认真完成练案[15]所以-3≤-a<-2,即2<。≤3， 】>2.③中忽视了利用均值不等式时每一项必须为正数这一 所以2a-2<b≤3a-3, 条件 因为b<1+a, 例2：(1)因为m,n>0且m+n=16, 所以2a-2<1+a,解得a<3, 综上，1<a<3. 所以由均值不等式可得m≤（士）=(）-64， 当且仅当m=n=8时，mm取到最大值64. 2.2.4均值不等式及其应用 所以7m的最大值为2 第1课时均值不等式 4 (2)因为x>3,所以x-3>0,-3>0, 必备知识探新知 4 知识点1：1.算术平均值2.正数√ada=b 于是f(x)=x+ +x-3+32√-3) -3=x-3+4 x-3 对应练习 +3=7, ①②3④ 当且仅当x-3=3即=5时)取到最小值7 知识点2：小大 对应练习 (3)方法一：因为x>0,y>0,2x+y=1, 1.B因为0<x<1,则1-x>0, 所以↓+↓=2+y+2x+y=3+义+2红≥3+ 所以(3-3)=3a(1-)≤3[+售=子当且仅当 23a x=1-x,即x=弓时等号成立。 当且仅当之=，即y=2x时，等号成立， 2By为正数.(x+列+）=1+4++警≥9.当且 解得=1-是2-1， 仅当y=2x时等号成立，故选B. 关键能力攻重难 所以当x1要y=厅-1时，+有最小值3+22 例1：(1)ACD(2)A(1)因为a2+b2-2ab=(a-b)2≥0， 所以a2+b2≥2ab恒成立，所以A选项符合题意； 方法=+=（生+）1（付+）2+》=3 当a<0,b<0时，显然ab>0成立， 但是a+b≥2√ab不成立，所以B选项不符合题意； +之32√322 y 以下同方法一 因为b>0,所以(e+古〔6+日）=6+6+2≥对点训练2：)因为b=10.且a0,6>0。 2√d~+2=4(当且仅当b=时取等号，即a6=1 因此由均值不等式可得a+b≥2√adb=2√100=20， 当且仅当a=b=10时，a+b取到最小值20. 时取等号），所以C选项符合题意； (2)因为x>0,y>0,2x+3y=6, 因为>0所以+2√合-2（当且仅当 所以=古23哈(2=石×（号 a i 当且仅当2x=3y, =合时取等号，即a=b>0或a=b<0时取等号），所以D 即x=子y=1时灯取到最大值号 选项符合题意， (2)若0<a<6,由基本不等式可以得出V瓜<“（因为 (3)因为+？=1，所以+y=(x+:(任+号) y =1+9x++9=Y+9x+10, a≠b,所以取不到等号)：反之若瓜<“生艺，可得a>0, x 又因为x>0,y>0, 6>0且(V画<(，化简得a>0,6>0且a-6 所以之+些+0≥2√任· y.9x+10=16, x y >0,即a>0,b>0且a≠b,得不到0<a<b,所以是充分不 必要条件 当且仅当之=9，即y=3x时，等号成立 y 对点训练1：②①中忽视了均值不等式等号成立的条件，当x [y=3x, =子，即当x=1时x+≥2等号成立，因为>1，所以+ 得∫4， 由{L+9=1,=12， x y -189 即当x=4,y=12时，x+y取得最小值16. 5.B因为a,b都为正实数，2a+b=1, 例3：由均值不等式可得 a+64=(a2)2+(b2)2≥2a262. 所以婆安 同理：b4+c4≥2b2c2,c4+a≥2a2c2,所以(a4+b)+(b+ 当且仅当2a-b,即a=子，b=2时，ab取最大值8 c4)+(c4+a4)≥2a2b2+2bc2+2a2c2, 从面。++≥W+b+ea(当且仅当2=8=624因为+号=1≥2√品所以≥8因此3≥24，当 时，等号成立) 1 对点训练3：因为a>0,6>0,所以+≥2√品>0， /1 且仪当=名，即a=26=4时，取等号 所以、2 7.58年平均利润之=-+18-空-(+匀)+18≤8 1 ==√ab, 当且仅当=5时，等号成立.()=8， 即2（当a=-6时取） 即机器运转5年时，年平均利润最大，为8万元 a+6 8.[6,+0）因为x>0,y>0, 课堂检测固双基 由均值不等式得x+y+3=y≤（生）， 1.DA选项，当a<0,且b<0时不成立；B选项，当a<0时不成 立；C选项，当a与b异号时不成立.故选D. 令4y=则43≤（月 2Ba=>生的瓜>~6=6，因此只有B项正确 化简得2-4t-12≥0， 2 解得t≥6或t≤-2（舍去）， 3c由瓜=+云≥2√层得2，当且仪当女-子 a 所以x+y的取值范围为[6，+∞). 9.因为x>-1,所以x+1>0. 时取“=”.故选C 设x+1=t>0,则x=t-1,于是有： 4.2已知x>0,y>0,y=10,则z=+3≥2 0=2,故 Nxy (x+5)(x+2)(t+4)(t+1)+5t+4 x+1 t t 2小值=2，当且仅当2y=5x时取等号.又xy=10,即x=2,y=5 4 74 时等号成立 =t++5≥2√：+5=9. 因为a>0,6>0,所以2a+古=3≥2√停，当且仅当2a 当且仅当1=号，即1=2时取等号，此时x= =即ú=子=号时，等号成立所以≤ 所以当x=1时，x+5)(x+2取得最小值是9. x+1 练案[15] 10.(1).·1=4a+b≥2/4ab=4ab 1 1 A组基础巩固 ad≤4ab≤16 1.A62+1≥2b,.a+2b≤a+b2+1. 2.A因为a,beZ,所以2>0,2>0，所以2"+2≥2√2·2 当且仅当a=日6=时，取等号， =2√2*6=2，当且仅当a=b=0时，等号成立.所以2“+2 故ab的最大值为石 的最小值是2. (2).x+3y=5xy,x>0,y>0, 3A>02+≥2=6 13 当且仅当x=号，即x=3时取得最小值6，故选1 3+4=3x+4(+动-+影+x3≥号+ 4D由V瓜≤生艺-2得b≤4，市≥子，放A错： 2像要5 abab≥L,故B错： 当且仅当等-之，即==1时取等号， 由a+6=4,得瓜≤号=2，放C错： !B组素养提升 ≥（得+≥2×号）=8， 1.D 由图形可知0F=宁4B=“生，0c=“2之在A0c中， 2 。+6≤名，DE确 1 由购暖定理可得5√生+√ -190