2.2.4 第2课时 均值不等式的应用-【成才之路•学案】2025-2026学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导(人教B版)

c0生 F(a>0,b>0- -b+c≥2c>0. a a 2c(*+(+ -1-1-“20, b b b =2+++++ -1=0+b+c-1=a+b≥2画>0， c (+)+(+)+(÷+） 将以上三式相乘得 (日---8画匹8 abc 当且仅当=y号我=y多时取等号。 当且仅当a=6=c=了时取等号。 2 C组创新拓展 3BC对于A,a+6+≥2Vb+ ab √a ≥22<3，当且仅当a B因为a6,均为正实数则二+号≥a,当且仅 y x+y =动=号时等号同时成立 当：=b时等号成立， 对于B,a+b)(日+古)=2+号+号 +b≥2+2√6 又0<x<2,即1-2x>0, 4,当且仅当a=b时取等号； 于是号+5，当且仅当号云 (2+3)2 3 对于C,0+6≥(a+b)2≥(a+b) √而≥2a而≥a+b =a+b,当且仅当a=b时 即x=写时取等号。 取等号； 所以2+？20<x<宁)的最小值为25 对于D,当a=b=时，= 3 2 /ab 6 第2课时均值不等式的应用 √石√>√层所以点<瓜 必备知识探新知 知识点：(1)大(2)小 4a<2b<分<G2+公<b因为0<a<6,a+b=l,所以a< 对应练习 (1)V(2)V(3)×(1)由a+b≥2√ab可知正确 <6 ① 2ab<a2+b2. ② (2)由a6≤（生=4可知正编 因为2+8>2=分 (3)V√一不是常数故错识 a2+b2=a·a+b2<a·b+b2=(1-b)b+62=b, 关键能力攻重难 所以号<a2+2<6. 例1：(1)-12因为x<0,所以-x>0. 又2<2=分2>2xg0=a, 则3+-[2+(-3小-2(-30 -12, 所以a<2d<分，所以a<2b<3<d+62<6 当且仅当12=-3x,即x=-2时，3+2取得最大值为 5.6-万6由y(x+6)=1,可得x(x+6）=了， -12. 故(x+3y)2=2+6xr+9y72=x(x+6y)+9y2= +9y2≥ （2)因为x>2,所以x-2>0,所以x+2=x-2+2寸 2√9听=6，当显仅当号9r. 22√-2)‘5+2=4， 即=县时，等号成立 所以当且仅当x-2=x>2. 此时x+3y取最小值6，x=6-3y=6-√5. 即x=3时+2的最小值为4 6因为a+6+c=l,a>0.b>0,c>0,所以-1=0+6上-1 a (3)因为0<x<号所以1-2x>0, 一191 所以31-2)=片x2✉(1-2)22 所以2x+y的最小值为9 例3：设将楼房建为x层，则每平方米的平均购地费用为 =6 2160×10410800 2000x 所以当且仅当2x=1-2x(0<x<分） .每平方米的平均综合费用 即x=时，(1-2)的最大值为6 y=560+48+0g0=50+48(x+2) x 对点训练1：(1)因为x<子，所以4x-5<0,5-4>0, 当x+25取最小值时，y有最小值 1 1 .x>0,.x+ 225 所以4x-5+3 4-5-(5-4r+5-4)+3 ≥2√ ,225=30. 1 ≤-2√(5-4x)·5-4+3=l 当且仅当x=22 当且仅当5-4=写时等号成立，又5-4x>0,所以5-红 即x=15时，上式等号成立 .当x=15时，y有最小值2000元. 1 =1,即x=1时，4x-2+4x-5的最大值是1 因此该楼房建为15层时，每平方米的平均综合费用最少 对点训练3：(1)设每间虎笼长为xm,宽为ym,则由条件得4x (2)因为x>0,所以x+4≥4，所以2-x-4=2- +6y=36,即2x+3y=18,设每间虎笼面积为Sm2,则S=y. (+)≤2-4=-2，所以当且仅当x=(x>0),即x=2 由于2x+3y≥2√/2x·3y=26xy, 时，2-x-4的最大值是-2. 所以26≤18，得≤多。 即S牙当且仅当2=3y时，等号成立。 例2：(1)x>0,y>0,8+1=1, x y r2x+3y=18 由 42=(受+水*20=0++ 12x=3y, 解得45， y=3, x 故每间虎笼长为4.5m,宽为3m时，可使每间虎笼面积最大 ≥10+2√ .6=18， (2)方法一：由条件知S=xy=24(m2),设钢筋网总长为l,则1 =4x+6y: 8 1=1, x y 因为2x+3y≥2/2x·3=26xy=24, 当且仅当 即/s12, 时，等号成立， =16y, ly=3 所以l=4x+6y=2(2x+3y）)≥48，当且仅当2x=3y时，等号 l y 成立 故当x=12,y=3时，(x+2y）min=18. (2).x>0,y>0,且x+2y=1, 电a在 故每间虎笼长6m,宽4m时，可使围成四间虎笼的钢筋网总 长最小 -8+++2=0t+7≥0+26=18 y 方法二：由=24，得x=24 当且仅当6=七时取等号， 2 1 所以14+6华+669+y小=6×2Vy48. 结合x+2y=1,得x=方y=6 当且仅当6=，即y=4时，等号成立，此时x=6 当=号=合时+取到最小1 故每间虎笼长6m,宽4m时，可使围成四间虎笼的钢筋网总 对点训练2：B因为+2y=,则2=+2=1，又，) 长最小 xy 是正数， 例4：(1)D(2)D)由已知a>0.6>0,若不等式+方≥ 所以2x+=(2x+)1=(2+)(}+2)-5+2+ y 十相成立， ≥5+2· /2x.2=9, 所以m≤（年+古）a+6)相成立， 当且仅当2=24，即x=3且y=3时取等号， y 转化成求y=(任+古)a+6)的最小值。 —192 =(任+方a+=5+兽+85+2√巴89， =-4,当且仅当-x=,即x=-1时取等号.故选C 当组仅当兰=云时取等号，所以m≤9 3. 3 2 .x>0,y>0,2x+3y=6, (2)因为关于x的一元二次不等式mx2-3x+1<0的解集 为(a,b), m>0, 哈2 所以a+b=3 m'所以a+b=3ab, 3 当且仅当2x=3y即x=2y=1时等号成立. 1 ab=- “y的最大值为之 3 所以（日+方）=1， 八，9=6=3，当且仅当6= 4.3由题设，得a+6≥2Nab/而 因为a+46=(a+40)x写（日+石） ! 9a=6时等号成立， 5+丝+云)≥5+2√典8=3， 5.az5 1 .x>0, 当且仅当a=2b时等号成立，所以(a+4b)=3, 由a+4b≥2+k+3恒成立得3≥2+k+3, 2 当且仅当x=1时，取等号 所以2+k≤0，解得-1≤k≤0.所以实数k的取值范围是 1 11 [-1,0]. 小2+3x+1 +32*35 对点训练4：(1)因为关于x的不等式-x2+ax+b≥0的解集为 [-1,2], 所以-1和2是方程-2+ax+b=0的两个实数根，可 a≥5 得1+2=a, 练案[16] l-1×2=-b, :A组基础巩固 解得 2经检验0=1， '满足条件，所以a=1,b=2. b=2 b=2 A由+2-=0，得子+= (2)由1)知=1， 可得上+2=1， 1b=2 所以x+2=x+2)·(层+）女+兰+4≥4+4=8， 则2x+y2+)(+）=4+子+=4+ 当且仅当x=2y时等号成立. 2.A因为a>0,6>0,是+子=1，所以2+36=(2a+ 2√28 当议到等号收立 36(2+8)=8+g+013+2√g=25, b a 当且仅当9-必即a=6=5时等号皮立 因为2x+y≥及+k+6恒成立，所以(2x+y)≥k2+k+6,即 a 8≥+k+6,可得+k-2≤0，解得-2≤6≤1，所以4的取3.BD设两地路程为，则全程所需的时间为六+疗，则全程的 值范围为[-2,1] 课堂检测固双基 平均速度u一2m故A错误，B正确：又由n>m> + 1.B由题意得，A(1+a)(1+b) m n =A(1+x)2,则(1+a)(1+b)=(1+x)2, 0,由均值不等式可得，m+n>2/mm,故=2mm<2mn= m+n2√/mn 因为1+o1+6)≤（±a, mn,故C错误因为=mmmm-m>心二m0 m n m+n 所以1+x≤2+0+也=1+0+b 2 21 所以v>m,则m<v<√mn,故D正确. 所以≤“中，当且仅当a=b时取等号。 4.C因为0<x<2,所以1-4>0，所以xV-4=分×2x 2c<0->0y=-(-动+】-2≤-22×个-≤分2+号-当且取当2x=个- 2 一193056 第2课时 均值不等式的应用 素养目标 定方向 学习目标 核心素养 1.熟练掌握利用均值不等式求函数的最值问题.（重1.通过均值不等式求最值，提升数学运算素养 点) 2.借助均值不等式在实际问题中的应用，培养数学建 2.会用均值不等式求解实际应用题.（难点） 模素养 必备知识 探新知 知识点重要结论 已知x,y都是正数 (1)若x+y=S(和为定值)，则当x=y时，积y取得最 (2)若=P(积为定值)，则当x=y时，和x+y取得最 值2√P 上述命题可归纳为口诀：积定和最小，和定积最大 ●对应练习 思考辨析（正确的打“V”,错误的打“×”） (1)两个正数的积为定值，一定存在两数相等时，它们的和有最小值. () (2)若a>0,b>0且a+b=4,则ab≤4. (3)当>1时，函数y=+,≥2√后所以函数y的最小值是2、 关键能力攻重难 归纳提升：通过拼凑 ●题型一利用均值不等式求最值 法利用均值不等式求 最值的策略 角度1间接利用均值不等式求最值 拼凑法的实质在于代 例 .(1)已知x<0,则3+12的最大值为 戴式的灵活变形，拼 系数、凑常数是关 (2)已知x>2,求x+x-2的最小值. 键，利用拼凑法求解 (3)已知0≤r<号，求(1-2x)的最大值 1 最值应注意以下几个 方面的问题 (1)拼凑的技巧，以 整式为基础，注意利 用系裁的变化以及等 式中常数的调整，做 到等价变形 (2)代裁式的变形以拼凑 出和或积的定值为目标 (3)拆项、添项应注意 P[归纳提升] 检验利用均值不等式求 最值的三个条件 057 )对点训练 1.()已知x<子，试求4-2+-5的最大值， (2)已知>0，求2--的最大值 归纳提升：常数代换 法求最值的方法步骤 常数代换法适用于求 解条件最值问题.应 用此种方法求解最值 的基本步骤为： (1)根据已知条件或 角度2利用均值不等式求条件最值 其变形确定定值（常 例2(1)已知x>0,>0,且清足8+=1，求x+2y的最小值 数) x y (2)把确定的定值（常 (2)已知x>0,>0,若x+2y=1,求8+上的最小值 裁)变形为1. (3)把“1”的表达式 与所求最值的表达式 相乘或相除，进而构 造和或积的形式 (4)利用均值不等式 求最值. ●[归纳提升] )对点训练 2.(2024·济南高一检测)若正实数x,y满足x+2y=xy,则2x+y的最小值为（) 归纳提升：用均值不 A.8 B.9 C.10 D.11 等式解决实际问题的 ●题型二利用均值不等式解决实际问题 步骤 例入菜位用60万元购得块空地计划在该地块上建造一陈至少10层，每层 (1)理解题意，设好 变量 2000平方米的楼房.经测算，如果将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均 (2)建立相应的关系 建筑费用为560+48x(单位：元).为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该 式，把实际问题转 楼房应建为多少层？ 化、抽象为最大值或 (注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用=购地总费里) 最小值问题. 建筑总面积 (3)在自变量范围 内，求出最大值或最 小值. (4)结合实际意义求 出正确的答案，回答 实际问题 ●[归纳提升] )对点训练 3.如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利 用原有的墙，其他各面用钢筋网围成. (1)现有可围36m长的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少 时，可使每间虎笼面积最大？ (2)若使每间虎笼面积为24m2,则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间 虎笼的钢筋网总长最小？ 058 ●题型三均值不等式的综合应用（逻辑推理〉 例 +≥6恒成立，则 .(1)(2024·大连高一检测)已知a>0,6>0,若不等式4+≥ m的最大值为 () A.10 B.12 C.16 D.9 (2)(2024·沈阳高一检测)已知关于x的一元二次不等式mx2-3x+1<0的解 集为(a,b),且对于任意的正实数a,b,a+4b≥2+k+3恒成立，则实数k 归纳提升：不等式恒 的取值范围是 A.[-3,2] B.(-∞，-1]U[0,+∞) 成立问题的求解策略 C.[-2,3] D.[-1,0] 1.不等式恒成立问题 的实质是已知不等式 [归纳提升] 的解集求不等式中参 对点训练 数的取值范围 4.(2024·威海高一检测)关于x的不等式-x2+ax+b≥0的解集为[-1,2]. 2.对于求不等式成立 (1)求a,b的值； 时参数的范围问题， (2)当x>0,y>0,且满足：+。=1时，有2x+y≥？+k+6恒成立，求实数飞的取值 在满足条件的情况下 x y 可以把参裁分离出 范围。 来，使不等式一端是 含参数的式子，另一 端是一个具体的代裁 式，把问題转化为只 有一端是参数的不等 式的形式，便于问题 的解决. 3.常见求解策略是将 不等式恒成立问题转 化为求最值问题，即 y≥m恒成立台yim≥ m;y≤m恒成立台yma ≤m. 课堂检测 固双基 1.(2024·潍坊高一检测)某工厂第一年年产量为A,第3.已知x>0,y>0,2x+3y=6,则y的最大值 二年的增长率为a,第三年的增长率为b,这两年的平 为 均年增长率为x,则 ( )4.(2024·济南高一检测)已知正实数a,b,满足ab=4, A.x=a+b 2 B“乡 则上+ +方的最小值为 C.x>a+b 2 D.t≥a+b 2 5若对任意x>0,+3x+≤a恒成立，则a的取值范 1 2.已知x<0,则y=x+ -2有 ( 围是 A.最大值为0 B.最小值为0 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[16] C.最大值为-4 D.最小值为-4