2.1.1 等式的性质与方程的解集-【成才之路•学案】2025-2026学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导(人教B版)

032 第二章等式与不等式 2.1等式 2.1.1等式的性质与方程的解集 素养目标 定方向 学习目标 核心素养 1.能够从具体实例中探索等式的性质.（重点） 1.借助等式的性质，培养逻辑推理的素养。 2.理解恒等式的概念，会进行恒等变形.（难点） 2.通过求方程的解集，提升数据分析、数学运算的核心 3.会求方程的解集.（重点） 素养 必备知识 探新知 知识点1等式的性质 文字语言 符号语言 等式的两边同时加上同一个数或代数式，等式仍 性质1 如果a=b,则对任意c,都有 成立 等式的两边同时乘以同一个不为零的数或代数 性质2 如果a=b,则对任意不为零的c,都有 式，等式仍成立 提醒：等式性质的延伸： 1.对称性：等式左右两边互换，所得结果仍是等式，即如果a=b,那么b=; 2.传递性：如果a=b,b=c,那么a=c(也叫等量代换). ●对应练习 思考辨析（正确的打“V”,错误的打“×”） (1)若a=b,则a-c=c-b. () (2)若a2=ab,则a=b. ( (3)若a=6,则-名 () (④)若8=总，则a=6 033 知识点2恒等式 1.恒等式的含义 一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取 时等式都成立，则称其 为恒等式，也称等式两边恒等。 2.常见的代数恒等式 (1)(a+b)2= (a-b)2=a2-2ab+b2 (a+b+c)2= 思考1：十字相乘法分解 (2)a2-b2= 因式的关键是什么？ (3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2),a3-b3= 提示：把二次项和常数项 3.十字相乘法 分解，交叉相乘，得到 (1)给定式子x2+Cx+D,如果能找到a和b,使得D=ab且C=a+b,则x2+Cx两个因式，再把两个因 +D= 为了方便记忆，已知C和D,寻找满足条件的a和b的过程，通常式相加，看它们的和是 L 不是正好等于一次项 用图来表示： ,其中两条交叉的线表示对应数相乘后相加要等于 ,也 系数 1 b 正因为如此，这种因式分解的方法称为“十字相乘法”， 代数式x2+Cx+D能进行因式分解的条件是C2-4D≥0. (2)用“十字相乘法”分解因式： ①直接利用公式x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)进行分解； ②利用公式acx2+(ad+bc)x+bd=(a+b)(cx+d)进行分解 [思考1] ●对应练习 思考辨析（正确的打“√”，错误的打“×”） (1)计算(2a+5)(2a-5)=2a2-25. (2)因式分解过程为：x2-3xy-4y2=(x+y)(x-4). ( ) (3)用因式分解法解方程时部分过程为： 思考2：把方程通过适当 (x+2)(x-3)=6,所以x+2=3或x-3=2. ( 变换后，求出的未知数的 知识点3方程的解集 值都是这个方程的解 1.方程的解（根）：能使方程左右两边相等的未知数的值 (根)吗？ 提示：把方程通过变换， 2.方程的解集：一个方程所有的解组成的集合 ●[思考2] 求出的未和裁的值不一定 。对应练习 是这个方程的根，也可能 1.方程2(x-2)+x2=(x+1)(x-1)+3x的解集为 是这个方程的增根 2.若m(3x-y2)=9x2-y4,则m= 关键能力攻重难 ●题型一 等式性质的应用 例 .(1)“●”“■”“▲”分别表示三种不同的物体，如图所示， 地地4子 前两架天平保持平衡，若要使第三架天平也平衡，那么“？”处应放“■” 的个数为 A.5 B.4 C.3 D.2 034 (2)下列变形一定正确的是 () A.若ax=bx,则a=b B.若(a+1)x=a+1,则x=1 C.若x=y,则x-5=5-y D.若x=y,则。+1。+1 归纳提升：等式的性 [归纳提升] 质是进行恒等变形的 对点训练 依据，是解题过程正 1.将等式变形，过程如下： 确性的保证，应引起 因为3a-2b=2a-2b 重视 所以3a=2a(第一步) 所以3=2（第二步） 上述过程中，第一步的依据是 ;第二步得出错误的结论，其原因 是 归纳提升：利用十字 ●题型二用十字相乘法分解因式 相乘法对代数式ax2 +bx+c进行因式 列 2.把下列各式因式分解. (1)x2+3x+2; 分解 (2)6x2-7x-5; 对于ax2+bx+c,将 (3)5x2+6xy-8y2. 二次项的系裁a分解 成a1xa2,常数项c 分解成C1xc2,并且把 a1,a2,9,c2排列如 图： X 按斜 az C2 线交叉相乘，再相加， [归纳提升] 就得到a192+a2c1,如 对点训练 果它正好等于ax2+bx2.把下列各式因式分解： +c的一次项系数b, (1)x2+13x+36; 那么ax2+bx+c就可 (2)x2-2x-15; 以分解成(a1x+ (3)12x2-5xy-2y2; C1)(a2x+c2) (4)(x2+x)2-8(x2+x)+12. ●035 ●题型三方程的解集 例3求下列方程的解集 2-=+1: (2)x2+4x-5=0: (3)(x2-4x)2-2(x2-4x)-15=0; 4+子 (5)x+/x-1=3. [归纳提升]归纳提升：解会有分 》对点训练 数系数的一元一次方 3如果方程号-8=-号的解集与方程4-(3③+1)=6+2a-1的解集相同，求 程时应注意以下三 2 点：(1)分母含有小 式子a-的值 数的应先化小数分母 为整数分母，再去分 母，(2)分子如果是 一个多项式，去掉分 母后，要添上括号： (3)去分母时，方程 两边所有的项都乘以 各分母的最小公 ○易混易错警示忽略系数为零 倍数. 例4求关于x的方程(a+3)=6-1的解集 错因探究：未知数的系数含有字母，a+3与0的关系不确定，因此应对a进行讨 论，初勿直提利用等式的性质得出十号 误区警示：在解方程时，若未知数的系数含有字母，则利用等式的性质2进行变 形时，必须考虑未知数的系数是否等于0 036 课堂检测 固双基 1.(多选题)若3a=2b,下列各式进行的变形中，正确的 是 D.-名=2的解集是{-引 A.3a+1=2b+1 B.3a-1=2b-1 3.(m+n)-2(m-n)的计算结果是 C.9a=4b D.-=-b A.3n +2m B.3n+m 3 C.3n-m D.3n-2m 2.下列方程的解正确的是 )4.方程-3x2-4x+4=0的解集是 A.x-3=1的解集是{-2 5.因式分解：(a-b)2+11(a-b)+28= B. 2x-2x=6的解集是{-4 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[9] C3x-4=(x-3)的解集是13到 2.1.2一元二次方程的解集及其根与系数的关系 素养目标 定方向 学习目标 核心素养 1.理解一元二次方程的定义，并会求一元二次方程的解集.（重点） 1.通过对一元二次方程的解集及根与系数 2.掌握一元二次方程的根的判别式，并会用其判断根的个数.（重 的关系的学习，培养数学抽象、逻辑推理 点) 的数学素养 3.掌握一元二次方程的根与系数的关系，并会用其求一些关于方 2.通过求一元二次方程的解集，提升数学 程两根的代数式的值.（重点、难点） 运算素养。 必备知识探新知 知识点1一元二次方程的定义及其解法 1.一元二次方程的定义：形如ax2+bx+c=0的方程为一元二次方程，其中a,b,c 思考1：方程ax2+bx 。 ,且 [思考1] +c=0(a,b,c是常 2.一元二次方程的解法 数)一定是一元二次 直接开 方程吗？ 形如(x-k)2=t(t≥0)的方程，两边 转化为两个一元一次方程 平方法 提示：不一定，a≠0 时为一元二次方程，a 把一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)通过 化成(x-)2=t(t≥0)的 配方法 =0,b≠0时为一元 形式，再用 求解 一次方程 元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)满足b2-4ac≥0，利用求根公式x= 公式法 求解 因式 一元二次方程的一边为0，另一边分解成两个 的乘积，即可化成 分解法 a(x+m)(x+n)=0(a≠0)的形式，即可解得两根为：x,= ,x2= 提醒：求根公式只适用于解一元二次方程，只有确定方程是一元二次方程才能使 用，其使用的限制条件是△=b2-4ac≥0.充分但不必要条件.（答案不唯一） “■”.故选A。 (3)求实数a的取值范围，使它成为M∩P=x5<x≤8} (2)等式的性质中两边同除以一个不为0的数，等式成立， 的一个必要但不充分条件，就是另求一个集合O,使{a1 应找不为0的式子，而A,B中字母都可取0，而D中a2+1 -3≤a≤5}是集合Q的一个真子集.易知当a≤5时，未必 >0,故D正确.故选D. 有M∩P={x15<x≤8}，但是M∩P={xI5<x≤8}时，必对点训练1：等式的两边同时加上同一个数或代数式，等式仍成 有a≤5，故ala≤5}是所求的一个取值范围.（答案不唯一） 立a=0第一步的依据是等式的性质1.第二步得出错误 例4：(1)C(2)B(1)A中命题可改写为：任意一个实数乘以 的结论，其原因是a=0. 零都等于零，故A是全称量词命题；B中命题可改写为：任：例2：(1)因为 意的自然数都是正整数，故B是全称量词命题：C中命题可 改写为：高一(1)班存在部分同学是团员，C不是全称量词 命题；D中命题可改写为：任意的一个实数都有大小，故D 1×2+1×1=3 是全称量词命题.故选C. 所以x2+3x+2=(x+1)(x+2). (2)由于0>0不成立，故“Hx∈R,x2>0”为假命题，根据 全称量词命题的否定是存在量词命题可知，“Hx∈R,x2> (2)因为 0”的否定是“]x∈R,x2≤0”，故选B. 第二章等式与不等式 2×(-5)+3×1=-7 所以6x2-7x-5=(2x+1)(3x-5). 2.1等式 (3)因为 2.1.1等式的性质与方程的解集 5-4y 必备知识探新知 1×(-4y)+5×(2y)=6y 知识点1：a+c=b+cac=bc 所以5x2+6y-8y2=(x+2y)(5x-4y). 对应练习 对点训练2：(1)因为 (1)×(2)×(3)×(4)V(1)中，由等式的性质1可 得a-c=b-c,而不是a-c=c-b,故(1)错误 (2)中，根据等式的性质2，只有当a≠0时，等式两边才能同 1×4+1×9=13 时除以a,从而得到a=b,故(2)错误. 所以x2+13x+36=(x+4)(x+9). (3)中，根据等式的性质2，只有当c≠0时，等式两边才能同时 (2)因为 除以，从而得到？=。，放(3)错误 (4)中，由分式的分母不为0可知c≠0，根据等式的性质2，等 式两边同时乘以c,可得a=b,故(4)正确. 1×(-5)+1×3=-2 知识点2：1.任意实数2.(1)a2+2ab+b2a2+b2+c2+ 所以x2-2x-15=(x-5)(x+3). 2ab+2bc+2ac(2)(a+b)(a-b)(3)(a-b)(a2+ab+b2) (3)因为 3.(1)(x+a)(x+b)C 对应练习 (1)×(2)×(3)×(1)(2a+5)(2a-5)=(2a)2-25 3×y+4×(-2y)=-5y =4a2-25. 所以12x2-5y-2y2=(3x-2y)(4x+y）. (2)x2-3xy-4y2=(x+y)(x-4y). (3)若(x+2)(x-3)=0,可化为x+2=0或x-3=0. (4)(x2+x)2-8(x2+x)+12=(x2+x-6)(x2+x-2)= (x+3)(x-2)(x+2)(x-1). 知识点3： 对应练习 例3：1)2-之=分x+1,即宁+号=1，x=号，解集 1.-3}2.3x+y2 关键能力攻重难 为{} 例1：(1)A(2)D(1)设“●”“■”“▲”的质量分别为x,y,2, (2)x2+4x-5=0,(x+5)(x-1)=0,x1=-5,2=1. 由题图可知，2x=y+z①，x+y=z②，②两边都加上y,得x 解集为-5,1}. +2y=y+z③，由①③，得2x=x+2y,所以x=2y,代人②， (3)(x2-4x)2-2(x2-4x)-15=0, 得z=3y,因为x+z=2y+3y=5y,所以“？处应放5个 [(x2-4x)-5][(x2-4x)+3]=0, -173 (x2-4x-5)(x2-4x+3)=0, 0,解得x=子或x=-2,所以原方程的解集为{-2，号} (x+1)(x-5)(x-1)(x-3)=0.=-1,2=1,x3=3,x4 =5. 5.(a-b+4)(a-b+7)把a-b看作一个整体. 解集为-1,1,3,5}. 14 17 因为4+7=11 设=-1，即1片号2-5+2=0 新以，原式=(a-b+4)(a-b+7). -2)(2-)=01=2或号即x-1=2或7 练案[9] =3=弓解集为，} :A组基础巩固 1.A:ax=ay,当a≠0时，x=y,故A选项错误，符合题意； (5)设t=√x-1≥0.x=t+1.方程变为t2+1+t=3. ax=y,∴.ax+1=y+1,故B选项正确，不合题意；a= +t-2=0,即(t+2)(t-1)=0,所以t1=1或2=-2（舍 ay,∴.2ax=2ay,故C选项正确，不合题意；：ax=ay,.3-ax 去).所以x-I=1. ! =3-ay,故D选项正确，不合题意.故选A. x=2.解集为{2. 2.ABA、B属于恒等式；只有当x=506时，等式4x=2024才成 对点训练3：解方程，4-8=-2，去分母，得2(x-4）)-48 立，只有当x=1时，等式(x-1)2=0才成立，所以C、D不是 3 2 恒等式.故选AB. =-3(x+2), 3.A(a+b)+8(a+b)-20=[(a+b)-2][(a+b)+10]= 去括号，得2x-8-48=-3x-6, (a+b-2)(a+b+10). 移项、合并同类项，得5x=50.系数化为1，得x=10. 4.A因为对于任意实数a,b,都有a★b=a2-2a+b,所以x★3 把x=10代人方程4x-(3a+1)=6x+2a-1, ! =x2-2x+3,因为x★3=6， 得4×10-(3a+1)=6×10+2a-1,解得a=-4. 所以x2-2x+3=6, 当a=-4时，a-a 4-1= 1 15 -4-4 所以x2-2x-3=0, 因式分解得(x-3)(x+1)=0,所以x1=-1,x2=3. 例4：当a=-3,b=1时，由(a+3)x=b-1得0·x=0,此时解集 5.B因为关于x的一元二次方程 为R; (m-2)x2+x+m2-4=0有一个根为0， 当a=-3,b≠1时 所以m2-4=0且m-2≠0，解得m=-2. 由(a+3)x=b-1得0·x=b-1,此时解集为☑： 6.0}因为y=1是方程2-13(m-y)=2y的解， 当a≠-3时，由(a+3)x=6-1,得-十3，此时解集 所以2-13(m-1)=2,即m=1. 为引 所以方程m(x-3)-2=m(2x-5)变为(x-3)-2=2x-5, 解得x=0. 综上，当a=-3,b=1时，方程的解集为R; 所以方程的解集为0} 当a=-3,b≠1时，方程的解集为☑； 7.-或1设a+b=,则原方程可化为4(4x-2)-8=0,整 当a≠-3时，方程的解集为合÷} 理，得(2x+1)(x-1)=0, 课堂检测固双基 1.ABD:3a=2b,∴.3a+1=2b+1,正确，A符合题意； 解得x=-或=1，则a+6=-或1 3a=2b,3a-1=2b-1,正确，B符合题意； 8.10或-1因为将实数对(m,3m)放人其中，得到实数5， .3a=2b,.9a=6b,故此选项错误，C不符合题意； 所以m2-9m-5=5,解得m=10或-1. 30=26,一号-子正确，D符合题意 :9.:(3x+2)(x+n)=3x2+(3n+2)x+2n=3x2-mx-2, 3n+2=-m,,「m=1, 故选ABD. 2n=-2,1n=-1 2B方程x-3=1的解是x=4,7-2x=6的解是x=-4,3x10(1)2+3y+2y+2x+4y =(x+2y)(x+y)+2(x+2y) -4=弓(x-3)的解是x=-7,-号=2的解是x-6,故 =(x+2y)(x+y+2): 选B (2)4xy+1-4x2-y2 3.C原式=m+n-2m+2n=-m+3n,故选C. =1-(4x2-4xy+y2) 4{-2,子}原方程化为3x+4-4=0,即(3x-2)(x+2)= =1-(2x-y)2 =(1+2x-y)(1-2x+y). -174