1.1.3 第2课时 补集及其应用-【成才之路•学案】2025-2026学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导(人教B版)

015 第2课时 补集及其应用 素养目标定方向 学习目标 核心素养 1.了解全集的含义及其符号表示.（易混点） 1.通过补集的运算，培养数学运算素养 2.理解给定集合中一个子集的补集的含义，并会求给 2.借助集合思想对实际生活中的对象进行判断归类， 定子集的补集.（重点、难点） 培养数学抽象素养 3.会用维恩图、数轴进行集合的运算.（重点）》 必备知识 探新知 知识点1全集的概念及符号表示 在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的 ,那 思考：全集一定是实 么称这个给定的集合为全集.全集通常用U表示。 ●[思考] 数集R吗？ 知识点2补集及其性质 提示：全集不是固定 1.定义 不变的，它是一个相 对概念，是依据具体 对于一个集合，由全集 中不属于 问题来选择的，如在 集合A的所有元素组成的集合称为集合 自然语言 实数范围内解不等 A相对于全集U的补集，简称为集合A的 式，全集为实数集 补集，记作 R,而在整数范围内 解不等式，则全集为 符号语言→CA={xx∈U,且xEA 整裁集Z. 图形语言 A 2.补集的常用性质 (1)CACU; (2)CU=☑，C☑=U; (3)C(CA)=A; (4)AU(CA)=U,An(CA)=. 提醒：补集是相对于全集而存在的，当全集变化时，补集也随之玫变，所以在讨论 一个集合的补集时，女须说明是在哪个集合中的补集 。对应练习 1.设集合U=R,M={xx>2或x<0{,则CM= A.{x10≤x≤2} B.x10<x<2 C.{xlx<0或x>2} D.{xlx≤0或x≥2 2.已知全集U={xl-5<x<5,xeZ},A={0,1,2},则CA= 3.设全集为U,M={0,2,4,CM={6},则0= 016 关键能力 攻重难 题型一补集的运算 归纳提升：求集合补 1.(1)已知全集为，集合A=1,3,5,7},CA=2,4,6},CB=1,4,6},则集合 集的两种方法 B= (1)当集合用列举法 (2)已知全集U=xx≤5，集合A={x|-3≤x<5},则CA= 表示时，可直接用定 义或借助维恩图 [归纳提升] 求解. 对点训练 (2)当集合是用描述 1.(1)设全集U=R,集合A=x2<x≤5}，则CA= 法表示的连续数集 (2)设全集U={x-5≤x<-2,或2<x≤5，x∈Z},A=x1x2-2x-15=0},B= 时，可借助数轴，利 用裁轴分折求解。 {-3,3,4},则CA= ,CoB= ●题型二交集、并集、补集的综合运算 归纳提升：解决集合 例 2.（1)已知全集U={xx≤4}，集合A={x|-2<x<3},B={xl-3<x≤3}，求 运算问题的方法 CA,AnB,C(AB),(CA)B. (1)解决集合的混合 (2)全集U={xlx<10,x∈N},ACU,BCU,(CB)∩A={1,9},A∩B=3}, 运算问题时，一般先 (CA)n(CB)={4,6,7},求集合A,B. 运算括号内的部分， 思路探究：(1)可借助数轴分析求解.(2)将集合用维恩图表示出来，进行观察 如求(CA)∩B时，先 求出CuA,再求交集： 易写出集合A和B中的元素；也可直接根据集合运算的含义分析求解. 求C(AUB)时，先求 出AUB,再求补集. (2)当集合用列举法 表示时（如裁集），可 以通过列举集合的元 素分别得到所求的集 合；当集合用描述法 表示时（如不等式形 [归纳提升] 式表示的集合)，则可 对点训练 运用裁轴求解。 2.已知集合A,B均为全集U=1,2,3,4的子集，且C(AUB)={4},B=1,2},则A∩ CB等于 () 归纳提升：由集合的 补集求解参数的方法 A.{3} B.{4} C.{3,4} D.0 (1)有限集：由补集 ●题型三与补集相关的参数值的求解 求参数问题，若集合 中元素个数有限时， 3.设集合A={xlx+m≥0}，B={xl-2<x<4},全集U=R,且(CA)∩B=☑，求 可利用补集定义并结 实数m的取值范围。 合集合知识求解 (2)无限集：与集合 交、并、补运算有关的 求参裁问题，若集合中 元素有无限个时，一般 借助数轴分析求解 [归纳提升] 017 )对点训练 3.已知全集U=R,集合A={xl-2≤x≤5}，B=xla≤x≤a+2},若BC(CA),求实数a的取值范围. 易混易错警示忽视全集 例4已知集合A=-4+1=0,eR,B=(-x,0),若An8≠⑦，求实数m的取值范围 错因探究：本题容易忽略全集的范国，误认为U=R,从而得到错误答案：实数m的取值范国是m<2 误区警示：当出现“至少”“至多”或正面直接求解情况较多时，我们可以考虑运用补集思想去解决，但必 须明确全集是谁，只有正确求出全集，才可能求出补集 课堂检测 固双基 1.(2023·全国乙卷)设全集U={0,1,2,4,6,8},集合 A.A (CB) B.(CA)OB M={0,4,6},N={0,1,6},则MUCN=(） C.Cu(AnB) D.C(AUB) A.{0,2,4,6,8} B.{0,1,4,6,8} 4.已知全集U={1,2,3,4,5,6,7},A={3,4,5},B= C.{1,2,4,6,8 D.U {1,3,6{,那么集合{2,7}是 () 2.设全集U=R,区间A=(0,+0),B=（1,+0),则 A.AUB B.A∩B An(CB)= C.C(AnB) D.C(AUB) A.[0,1) B.(0,1] 5.设全集U=R,集合A={xI0≤x≤2}，B={yI1≤y≤ C.(-0,0) D.(1,+0)） 3,则(CA)UB= 3.如图阴影部分表示的集合是 U 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[5]当a=2时，A={1,4},与A={1}矛盾，舍去。 CB={-5,-4,5. 综上所述，存在实数a=-1,使得A,B满足条件. 例2：(1)把全集U和集合A,B在数轴上表示（如图所示）， 第2课时补集及其应用 B 必备知识探新知 A 知识点1：子集 -3-2 34 知识点2：AUC4 由图可知CA={xlx≤-2，或3≤x≤4}，A∩B={xl-2<x 对应练习 <3}, 1.A如图，在数轴上表示出集合M,可知CM={xl0≤x≤2}. C(AnB)={xx≤-2，或3≤x≤4}， (CA)∩B=xl-3<x≤-2，或x=3}. 02 (2)方法一：根据题意作出维恩图如图所示。 2.{-4,-3,-2,-1,3,4}易知0={-4，-3，-2，-1,0,1， U 2,3,4},A={0,1,2}, 6 故C4=-4,-3,-2,-1,3,4}. 7 3.{0,2,4,6}M={0,2,4},CM=6}, .U=0,2,4,6}. 由图可知A={1,3,9},B={2,3,5,8} 关键能力攻重难 方法二：(CB)nA={1,9},(CA)n(CB)={4.6,7}, 例1：(1){2,3,5,7}(2){x1x<-3或x=5}(1)方法一（定 CB={1,4,6,7,9. 义法)：因为A={1,3,5,7},CA=2,4,6},所以0={1， 又U=11,2,3,4,5,6,7,8,9}B={2,3,5,8 2,3,4,5,6,7.又CB=1,4,6},所以B=2,3,5,7} (CB)∩A=1,9,AnB=3.∴.A=1,3,9 方法二（维恩图法）：满足题意的维恩图如图所示 对点训练2：AU=1,2,3,4},C(AUB)={4}, U .AUB=1,2,3}.又B={1,2}, .13}≤AC{1,2,3. 又CB=3,4},.AnCB=3}. 例3：方法一（直接法）：由A=xIx+m≥0}=x1x≥-m},得 由图可知B=2,3,5,7. CuA=xlx<-m. (2)将全集U和集合A分别表示在数轴上，如图所示. 因为B={xl-2<x<4},(CA)∩B=⑦，结合数轴 B -3 -m-2 4 由补集的定义可知CA=xlx<-3或x=5}. 所以-m≤-2，即m≥2，所以m的取值范围是{mlm≥2}. 对点训练1：(1)xlx≤2，或x>5}(2)-5,-4,3,4 方法二（集合间的关系）：由(CA)∩B=☑可知BCA, -5,-4,5}（1)用数轴表示集合A为图中阴影部分， 又B=xl-2<x<4},A=xlx+m≥0}=xlx≥-m}, 结合数轴： B .CmA={xlx≤2，或x>5} -m (2)方法一：在集合0中， ·xeZ,则x的值为-5，-4，-3,3,4,5， 得-m≤-2，即m≥2.所以m的取值范围是mlm≥2}. .0={-5,-4,-3,3,4,5} 对点训练3：：A={xl-2≤x≤5}， 又A=xlx2-2x-15=0}={-3,5}, CA={xlx<-2或x>5. .CmA={-5,-4,3,4,CB=-5,-4,5 如图所示： 方法二：可用维恩图表示 CA U B B aa+2-2 5 aa+2 又BC(CA),a+2<-2或a>5, 5 故得a<-4或a>5, -4 .a的取值范围为(-∞，-4)U(5,+0). 则CA=-5,-4,3,4}, 例4：设全集U={ml4=(-4m)2-4≥0}= —165 {mm≤-2或m≥} 8.ala>3}因为A={xlx<3或x≥7}，所以CRA={xl3≤x< 7},又(CA)∩B≠☑，则a的取值范围为ala>3. 若4nB=⑦，则方程2-4mx+1=0的两根x出均非负，9.方法一AUB=1,2,3,45,8, 又：x1x2=1>0, U={1,2,3,4,5,6,7,8,9}, 方程x2-4mx+1=0有两正根，则有 .C(AUB)={6,7,9. rm∈U, Lx1+x2=4m>0, 得m≥2 AnB={5,8},C(AnB)={1,2,3,4,6,7,9}. CA=1,3,6,7,9},CB={2,4,6,7,9}, 因为{mm≥}关于U的补集为{mm≤-} .(CA)n(CB)=6,7,9}, (CA)U(CB)=1,2,3,4,6,7,9}. 所以实数m的取值范围为mm≤-} 方法二：作出维恩图，如图所示，由图形也可以直接观察出来 课堂检测固双基 结果 1.A由题意可得CN=2,4,8,则MUCW=0,2,4,6,8. 故选A. 2.4 1,3 2.B图中的阴影部分表示的是集合A与B的补集的交集，即为 6.7.9 A∩(CB),故选B. 由图得C(AUB)={6,7,9}, C. C(A∩B)=11,2,3,4,6,7,9}, 0 1 (CA)n(CB)={6,7,9, 3.A由维恩图可知，阴影部分在集合B外，同时在集合A内，10.（1)由于A=xx≤-2或x≥5，B=x≤2，则4UB (CA)U(CB)={1,2,3,4,6,7,9}. 应是An(CB). 4.DA=3,4,5},B=1,3,6,AUB={1,3,4,5,6},又 xlx≤2或x≥5}， U=1,2,3,4,5,6,7},.C(AUB)=2,7}. 又全集U=R,C(AUB)={xl2<x<5}. 5.xlx<0,或x≥1}因为CA={xlx>2,或x<0},B={yl1≤ (2)由(1)得D=x12<x<5}, 由C∩D=C得CCD, y≤3}， ①当C=时，有-a<2a-3,解得a>1满足题意： 所以(CA)UB={xlx<0,或x≥1}. 2a-3≤-a, 练案[5] ②当C≠☑时，有2a-3>2, A组基础巩固 -a<5, 1.A方法-：0={1,2,3,4,5}，A={1,3},B={1,2,4}, 解得a∈). 则CB={3,5},故(CB)UA={1,3,5}.故选A. 综上，a的取值范围为(1，+o) 方法二：因为3EA,可排除C选项和D选项；5∈C,B,可排除B组素养提升 B,故选A. 1.A由题意可得MUW={xx<2},则C(MUW)={xx≥2}， 2.D由题意可知，AUB=xlx≤0，或x≥1}， 选项A正确： 所以C(AUB)={xI0<x<1. CM=xlx≥1}，则WUCM=xlx>-1},选项B错误； 3.CCA=(1,3),由(CA)∩B≠☑可得1<k<3或1<k+1< MnN=xl-1<x<1},则C(MnN)={xlx≤-1或x≥1}， 3,所以0<k<3. 选项C错误； 4.B由A=x10<x<9}可得C4=xlx≤0或x≥9}，B=x∈ CW=xlx≤-1或x≥2}，则MUCN={xlx<1或x≥2}， Z1-4<x<4}={-3,-2,-1,0,1,2,3}, 选项D错误；故选A. (CA)∩B=-3,-2,-1,0},故选B. :2.AB阴影部分的元素是由不属于集合A且不属于集合B的 5.D因为CN是CM的真子集，所以M是N的真子集，所以a 元素构成，即元素xeU但x生A,xB,即x∈(CA)∩(C,B), 即xe(C(AUB). -1≥-2且a+1≤2（等号不同时成立），解得-1≤a≤1. 6.{x1≤x≤2}：M={xlx<0或x>2}, :3.ACD由已知得C(B)=3或1.当C(B)=1时，x2+ax=0有 CRM={xl0≤x≤2}，又N=xlx≥1}， 两个相等实根，即4=a2=0,即a=0,此时x2+ax+2=0没有 .Nn(CRM)=xl1≤x≤2}. 实根，所以a=0符合题意；当C(B)=3时，x2+ax=0有两个 7.34因为U=R,A={xla≤x≤b}, 不等实根，且x2+ax+2=0有两个相等实根，即a2>0且a2-8 所以CA=xlx>b或x<a}. =0,即a≠0且a=±22，所以a=±22.综上，a=0或 又C4={xlx>4或x<3}, ±22，故选ACD. 所以a=3,b=4. 4.2或8由题意M={1,3},所以1a-51=3,即a=2或8. -166