3.1.1 第2课时 函数的表示方法-【成才之路•学案】2025-2026学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导(人教B版)

067 课堂检测 固双基 1.下列说法正确的是 (）3.下列函数中，与函数y=x是同一个函数的是() A.函数值域中每一个数在定义域中一定只有一个数 A.y=()2 B.y= 与之对应 B.函数的定义域和值域可以是空集 C.y= D.y= C.函数的定义域和值域一定是非空的数集 D.函数的定义域和值域确定后，函数的对应关系也 4函数)=的定义竣为 就确定了 5.函数y=√16-x2的值域为 2.下列图像中不能表示函数的图像的是 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[17] 第2课时 函数的表示方法 素养目标定方向 学习目标 核心素养 1.掌握函数的三种表示方法：解析法、图像法、列表法 (重点) 1.通过函数表示的图像法，培养直观想象素养 2.会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数.（难 2.通过函数解析式的求法，培养数学运算素养 点) 3.利用函数解决实际问题，培养数学建模素养 3.能在实际问题中选择恰当的方法表示两变量之间的 函数关系，并能解决有关问题.（重点、难点） 必备知识 探新知 知识点1 函数的表示方法 思考：函数的三种表示方法各自有 函 解析法 就是用 表 哪些优缺点？ 示两个变量之间的对应关系 提示： 的 就是用 表示两个变量之间 方 伐点 铁点 图像法 的对应关系 法 示 不需要计算就可以 就是列出 来表示两个变量 只能表示自变量 法 列表法 之间的对应关系 到恭法 直接看出与自变量 可以一一列出的 的值相对应的函 最值 函数关系 ●对应练习 [思考] 只能近似地求出 能形象直观地表示 自变量的值所对 1.已知y与x成反比，且当x=2时，y=1,则y关于x的函数关系式 像 出函数的变化情况 应的函数值，而 且有时误差较大 为 一是简明、全而地 2.已知函数f(x)由下表给出，则f(f(3))= 梳括了变量间的关 系从“数”的方 不够形象、直观 2 解 面揭示了西数关 具体，而且升不 系；二是可以道过 是所有的函数都 法 能用解析法表示 f(x) 3 解折式求出任意一 出来 个自变量的值所对 应的函数值 068 3.已知函数f(x)的图像如图所示，其中点A,B的坐标分别为(0,3)，(3,0)，则f(f(0)) 0 知识点2用集合语言对函数的图像进行描述 (1)定义：将函数y=(x),x∈A中的自变量x和对应的函数值y,分别看成平面直 角坐标系中点的横坐标与纵坐标，则满足条件的点(x,y)组成的集合F称为函数的图 像，即F={(x,y)Iy=f(x),x∈A}. (2)F是函数y=(x)的图像，必经满足下列两条： ①图像上 的坐标(x,y)都满足函数关系y=f(x); ②满足函数关系y=f(x)的点(x,y)都在 ●对应练习 小明和小华进行自行车比赛，刚开始小华领先，但关键时刻自行车链子掉了.小明赶 超小华.小华修好车后，奋起直追，但为时已晚.小明还是先到了终点.如果用s1,52分 别表示小明和小华所行走的路程，表示时间，则图中与该事件符合的是() 关键能力 攻重难 归纳提升：列表法表 ●题型一 列表法表示函数 示的函数的求值问题 的解法 例 1.(1)已知函数y=∫(x)用列表法表示如表： 解决此类问题关键在 0 于弄清表格中每一个 0 自变量x与y的对应 关系，对于八g(x)这 则f(-2)+f(-2))= 类函数值的求解，应 A.-4 B.0 C.2 D.3 从内到外逐层求解， (2)已知函数f(x),g(x)分别由下表给出： 而求自变量x时，则由 1 外向内逐层求解 x 2 3 f(x) 1 3 1 1 2 3 8(x) 3 2 1 则f(g(1))的值是 ;满足f(g(x))>g(f(x)的x的值是 ●[归纳提升] ●069 )对点训练 1.下列给出函数y=f(x)的部分对应值，则ff(8))等于 0 1 4 8 0 1 -3 1 A.T B.4 C.8 D.0 。题型二函数图像的作法及应用 例2作出下列函数的图像并求出其值或 (1)y=2x+1,xe[0,2]; 归纳提升：描点法作 (2)y=2 函数图像的步骤 x∈[2，+∞)： (1)列表：先我出一 (3)y=x2+2x,x∈[-2,2]. 些有代表性的自变量 x的值，再计算出与 这些自变量x相对应 的函数值(x),并用 表格的形式表示 [归纳提升] 出来 对点训练 (2)描点：把第(1)步 2.已知函数f代x)的图像如图所示，则此函数的定义域是 ,值域是 表格中的点（x, f(x)一一在平面直 角坐标系中描出来 (3)连线：用光滑的 曲线把这些点按自变 量由小到大（或由大 3.作出下列函数的图像，并根据图像求其值域； 到小)的顺序连接 (1) 起来 -4 -2 [注意](1)画函数的 -3 图像时要注意函数的 定义域 (2)y=-4 ,xe[-3,0)U(0,1]; (2)要作出更精确的 (3)y=x2+4x+1,x∈[-3,0]. 图像，常常需要描出 更多的点. 070 归纳提升：待定系数法求函数解析式 ●题型三函数解析式的求法 已知函裁的类型求函数解析式，常采用待定系 角度一：已知函数的类型，求函数的解析式 数法，由题设条件求待定系数， 3.(1)已知一次函数f(x)满足ff(x)=4x+6,则f(x) 待定系裁法求函裁解析式的步骤如下 的解析式为 (1)设出所求函数含有待定系裁的解析式.如一 次函裁的解折式设为f(x)=ax+b(a≠0)，反 (2)已知二次函数f(x)满足f0)=1f(1)=2,f(2)= 5,则该二次函数的解析式为 北例西藏的解折式设为)=兰(0)。二火 [归纳提升] 函数的解析式设为f(x)=ax2+bx+c(a≠0). 角度二：已知八g(x)的解析式，求f八x)的解析式 (2)把已知条件代入解析式，列出关于待定系 (1)已知函数f(x+1)=x2+2x,则f(x)的解析式为 数的方程或方程组. () (3)解方程或方程组，得到待定系裁的值. (4)将所求待定系数的值代回所设解析式， A.f(x)=x2+1 归纳提升：换元法、配凑法求函数解析式 B.f(x)=x2+2x-1 已知f(g(x)=h(x),求f(x)的两种方法 C.fx)=x2-1 (1)换元法：即令t=g(x),解出x,代入h(x) D.f(x)=x2+2x+1 中，得到一个含t的解折式，再用x替换，便得 (2)已知f(√x+1)=x+2√，则f(x)的解析式为 到f(x)的解析式 利用换元法解题时，换元后要确定新元的取 值范围，即函数f代x)的定义域 [归纳提升] (2)配凑法：即从(g(x)的解析式中配凑出 "g(x)”,即用g(x)来表示h(x),然后将解析 角度三：已知中含有八))或八x)-)形式的函数， 式中的g(x)用x代替即可 求f(x)的解析式 例 5.(1)已知函数x)满足八x)+2) =x,则函数f(x)的 归纳提升：消元法（或解方程组法）求函数解 析式 解析式为 在已知式子中，含有关于两个不同变量的函 (2)已知af(x)+f(-x)=bx,其中a≠±1，则函数 数，而这两个变量有着某种关系，这时就要依 f(x)的解析式为 据两个变量的关系，建立一个新的关于这两个 [归纳提升] 变量的式子，由两个式子建立方程组，通过解 方程组消去一个变量，得到目标变量的解析 》对点训练 式，这种方法称为消元法（或解方程组法） 4.已知函数f(x+1)=3x+2,则f(x)的解析式是 即已知f(x)与f(p(x))满足的关系式，要求 A.f(x)=3x-1 B.f八x)=3x+1 f(x)时，可用p(x)代替两边的所有的x,得到 C.f(x)=3x+2 D.f(x)=3x+4 关于f(x)及f((x)的方程组，解之即可求出八x).5.已知函数f(x)对于任意的x都有f(x)-2f(-x)=1+2x, 则f(x)= 课堂检测 固双基 1.若f(x)是一次函数，2f(2)-3f(1)=5,2(0)-3.已知函数x)=x-”,且此函数图像过点(5,4)，则 f(-1)=1,则f(x)= A.3x+2 B.3x-2 实数m的值为 C.2x+3 D.2x-3 4.如图所示，函数f八x)的图像是折线段ABC,其中A,B, 2.设f(x)=2x+3,g(x)=f八x-2),则g(x)=() C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f(3)= A.2x+1 B.2x-1 ,ff(4))= .(用数宇作答) C.2x-3 D.2x+7 071 2 5.已知函数fx)是二次函数，且f(0)=1,f(x+1)- f(x)=2x+2,则fx)= 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[18] B 0 123456 第3课时 分段函数 素养目标 定方向 学习目标 核心素养 理解分段函数的概念，会求分段函数的函数值，能画出 通过分段函数的学习，培养直观想象素养、逻辑推理 分段函数的图像.（重点、难点） 素养 必备知识 探新知 知识点1分段函数的定义 如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有不同的 则称其为分段函数 ●[思考] 知识点2几个特殊的函数 1.高斯取整函数 y=[x],定义域为R,值域为Z. 思考：分段函数是一 2.狄利克雷函数 个函数还是几个 ,x∈0定义域为R,值域为0,1： 函数？ D(x)= 0,xQ, 提示：分段函数是一 3.常数函数 个函数，而不是几个 y=c,c为常数，定义域为R,值域为{c,图像为垂直于y轴的直线. 函数 ●对应练习 1.下列给出的式子是分段函数的是 (填序号) 「x2+1,1≤x≤5， 「x+1,x∈R, ①f(x)= ②f(x)= 2x,x<1. lx2,x≥2. 2x+3,1≤x≤5， [x2+3,x<0 ③f(x)= ④f(x)= lx2,x≤1. x-1,x≥5. 2.已知f(x)= 「-x,x≤0 x2,x>0 '则f(-2)= 3.函数y= x2,x>0, -2x<0 的定义域为 ,值域为 4.下列图形是函数y=xlx的图像的是 (填序号)，第2课时函数的表示方法 (3)作出函数y=x2+4x+1,x∈[-3,0]的图像，如图③所 示，由图像可知值域为[-3,1] 必备知识探新知 知识点1：代数式（或解析式）图像表格 3 对应练习 1.y=2 设y=k,代入(2,1)得k=2, 4-3-2-101 1234元 3-2-1 0 2 所以y=是 -3 -4 2.1f3)=4ff3)=f4)=1. ① ② 3.0结合题图可得f0)=3,则ff0)=f3)=0. 例3：(1)f(x)=2x+2或fx)=-2x-6(2)f(x)=x2+1 知识点2：任意一点函数的图像F上 (1)设f(x)=ax+b(a≠0)，则ffx)）=fax+b)=a(ax 对应练习 +b)+b=x+ab+6=4x+6,于是有0=4， 解得 B小明匀速至终点，小华开始骑得快，中途修车路程未变，后 lab+b=6. 又快速骑至终点，此时小明已到终点，只有B符合 fa=2, 关键能力攻重难 6=2或6所以)=2心+2或)=-2x-6. 例1：(1)D(2)12(1)由题干表格可得f(-2)=1, (2)设二次函数的解析式为f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，由 所以ff(-2)=f(1)=2,所以f(-2)+ff代-2)=3. c=1, (2)fg(1)）=f3)=1. 题意得{a+b+c=2, 当x=1时，fg(1))=1,g(f1)=g(1)=3,不满足条件； l4a+2b+c=5. 当x=2时fg(2)=f2)=3,g(f2)=g(3)=1,满足 ra=1, 条件； 解得b=0,故f(x)=x2+1. 当x=3时fg(3))=f1）=1,g(f3)=g(1)=3,不满 lc=1, 足条件.所以只有当x=2时，满足条件 例4：(1)C(2)f(x)=x2-1(x≥1)(1)方法一（换元法）：令 对点训练1：A因为f(8)=1,f(1)=π，所以f(f(8)=f(1) x+1=t,则x=t-1,teR,所以ft)=(t-1)2+2(t-1)= =T. 2-1,即fx)=x2-1. 例2：(1)当x∈[0,2]时，图像是直线y=2x+1的一部分（如图 方法二（配凑法）：因为x2+2x=(x2+2x+1)-1=(x+1) ①)，观察图像可知，其值域为[1,5]. -1,所以fx+1)=(x+1)2-1,即f(x)=x2-1 (2)当x∈[2，+0)时，图像是反比例函数y=2的一部分 (2)方法一（换元法）：令t=√+1，则x=(t-1)2,t≥1. 所以f代t)=(t-1)2+2(t-1)=-1(t≥1)， (如图②)，观察图像可知其值域为(0,1] (3)当-2≤x≤2时，图像是抛物线y=x2+2x的一部分 所以函数的解析式为f(x)=x2-1(x≥1) (如图③). 方法二（配凑法）：f(E+1)=x+2R=x+2+1-1= 由图可得函数的值域是[-1,8]. (E+1)2-1. 因为+1≥1， 81 所以函数的解析式为f(x)=x2-1(x≥1). 例5：n=音+(2)=。，a≠±1(1)在 11 012x 已知等式中，将x换成女，得)+)=女，与已知等 012 -2 图① 图② 图③ )+2)=x, 式联立，得 对点训练2：[-3,3][-2,2]结合图像，知函数f(x)的定义 域为[-3,3]，值域为[-2,2]. )前)得=音 对点训练3：(1)该函数的图像如图①所示，由图可知值域为 -3,1,2,3} (2)在原式中以-x替换x,得f(-x)+f代x)=-bx， .4 (2)作出函数y= xe[-3,0)U(0,1]的图像，如图② 于是得x)+-)=bx, 所示， Laf代-x)+fx)=-bx 由图像可知值蛾为(-”，-4U[手，+）】 消-).得)=。 -199 故八)的解析式为)-。之，a≠士1 满足f2x)=2f(x),所以D正确. 对点训练4：A令x+1=,则x=1-1和)=34-D）+2=35.B方法一（配淡法）：x-）=+宁-(-宁广+2， -1,∴.fx)=3x-1. fx)=x2+2. 对点训练5：号-1由题意，在/)-2-)=1+2x中，以 方法二（换元法）：令1=x-士，则 -x代替x可得f(-x）-2f(x)=1-2x,联立可得 风)-2)1+2消去代-)可得到=子-1. f-(-=+-2+=㎡+2 f-x)-2fx)=1-2x, f代t)=2+2, 课堂检测固双基 f代x)的表达式为f(x)=x2+2(x≠0). 1.B设f(x)=ax+b(a≠0)，由题设有 6.2x-号设)=ar+6(a≠0) 「2(2a+b)-3(a+b)=5, 则f(x+1)=a(x+1)+b=a.x+a+b, l2(0·a+b)-(-a+b)=1. 依题设，3ax+3a+3b=6x+4, 解得3， b=-2. 所以选B ra=2, 2.Bf(x)=2x+3,∴fx-2)=2(x-2)+3=2x-1, +动=4，产{b-景.则0=2-号 r3a=6, 即g(x)=2x-1,故选B. ! 7. 7 35将点(5,4)代人)=-只得4=5-号m=5 3 两为2x+10=22+1)+分所以@)= 又@)=4，所以受+=4a=子 1 4.10由图可知，线段BC对应的函数是一次函数 设y=kx+b(k≠0)， 代入B(2,0),C(6,4)两点坐标得 8子 函数x)满足关系式(x)+2)=3x+1①，用替 r2k+b=0, 换x得)+2)=3+1②. x L6k+b=4. 02得)=2-+写所以2)=1-2+写=-子 .1 2 .y=x-2,f3)=1f(4)=2ff4)）=f2)=0. 5.x2+x+1设f(x)=ax2+bx+c(a≠0). 9.设f(x)=a2+br+c(a≠0)，又f0)=c=3,∴f(x)=ax2+bx .…f0)=1,∴.c=1. +3,.f代x+2)-f(x)=a(x+2)2+b(x+2)+3-(aa2+bx 又.f(x+1)-f(x)=2x+2, ∴.a(x+1)2+b(x+1)+1-(ax2+bx+1)=2x+2 +3)=4ax+4a+2b=4x+2.. 0=4，。解得1 4a+2b=2. 16=-1. 整理，得2ax+a+b=2x+2. fx)=x2-x+3. 22o1bt 10.因为函数f(x)=-x2+2x+3的定义域为R, 列表： f(x)=x2+x+1. 0 练案[18] 2 0 3 0 A组基础巩固 描点，连线，得函数图像如图： 1.B由函数g(x)的图像知，g(2)=1,则f代g(2))=f1)=2. 本y 2.C令g(x)=f(x-1)=x2-1, 则f0)=g(1)=12-1=0,故选C. 3B函数y=中的图像是由西数了=士的图像向左平移 1个单位长度得到的，而函数)=一十的图像在第二、第四象 -321 1:23 限，结合所给的四个图像只有B符合，故选B. 4.ABD对于A选项fx)=I2xl,则f(2x)=4lxl,2fx)=4lxl, 满足f(2x)=2fx),所以A正确；对于B选项，f(x)=x,满足 -5 f代2x)=2f(x),所以B正确； 对于C选项，f(x)=c,f(2x)=√2x,2f(x)=2,不满足 (1)因为f(0)=3f(1)=4,f3)=0, f(2x)=2f(x),所以C不正确； 所以f3)<f0)<f1). 对于D选项fx)=x-lxlf(2x)=2x-2lxl,2fx)=2x-2lxl, (2)根据图像，容易发现当x1<x2<1时， -200