1.1.1 第1课时 集合的概念-【成才之路•学案】2025-2026学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导(人教B版)

学案及练案部分 参芳答案 第一章 集合与常用逻辑用语 例2：(1)A(2)0,1,2(1)因为a=2+5<4+4=4<5, 所以aeA.因为a+1<4++1=5,所以a+1eA,因为 1.1集合 a2=(2)2+22×5+(5)2=5+26>5,所以a2EA, 1.1.1集合及其表示方法 因为 1 5-2 a2+5(2+5)(5-2) =5-2<5,所以 第1课时集合的概念 ed. 必备知识探新知 (2)由eN.rcN知0，写>0，且x3, 6 知识点1：1.对象2.每个对象3确定性 故0≤x<3.又x∈N,故x=0,1,2. 对应练习 6 6 (1)×(2)×(3)×(1)集合中的元素可以是数学中的 当x=0时320=2eN,当x=1时3°=3eN 数、点、代数式，也可以是现实生活中的各种各样的事物或人等 (2)“漂亮的花”标准不明确，具有不确定性，故不能组成 当x=2时362=6eN 集合 故集合A中的元素为0,1,2 (3)由2-4=0得x=±2，由x-2=0得x=2,由于集合中的对点训练2：BCDA不正确，反例：a=1eN,=1EN; 元素具有互异性，故由两方程的根组成的集合中有2个元素. 知识点2：aeAa壁A B正确，因为整数的平方仍是整数； C正确，因为有理数的绝对值仍是有理数： 对应练习 0或-1-3eA,.-3=a-3或-3=2a-1. D正确，因为实数的立方根仍是实数， 若-3=a-3,则a=0.此时集合A中含有两个元素-3，-1，例3：由题意可知，a=1或a2=a, 符合题意； ①若a=1,则a2=1,这与a2≠1相矛盾，故a≠1. 若-3=2a-1,则a=-1,此时集合A中含有两个元素-4，-3， ②若a2=a,则a=0或a=1(舍去)，又当a=0时，A中含 有元素1和0，满足集合中元素的互异性，符合题意.综上 符合题意。 可知，实数a的值为0. 综上所述，实数a的值为0或-1. 知识点3：1.任何元素02.完全相同 对点训练3：AC由题意可得3x2+3x-4=2或x2+x-4=2, 对应练习 若3x2+3x-4=2,即x2+x-2=0,∴.x=-2或x=1. 当x=-2时，x2+x-4=-2,与元素互异性矛盾，舍去； ①③②①因为小于8的正奇数为1,3,5,7，所以其组成的 当x=1时，x+x-4=-2,与元素互异性矛盾，舍去 集合是有限集， 若x2+x-4=2,即2+x-6=0, ②因为大于5且小于20的实数有无数个，所以其组成的集合 .x=2或x=-3,经检验x=2或x=-3为满足条件的实数 是无限集 x,故选AC. ③因为小于0的自然数不存在，所以其组成的集合是空集，含有0 个元素，所以其组成的集合是有限集 课堂检测固双基 知识点4：NN*或N ：1.D选项A,B,C所描述的对象没有一个明确的标准，故不能 构成一个集合，选项D的标准唯一，故能构成集合. 对应练习 ①④N表示自然数集，Q表示有理数集，Z表示整数集，R2.D由题意知a应为无理数，故a可以为万 表示实数集，故0eN,πEQ,2Q,-1eZ,2eR 3.A由已知，a≠0，故a+b=0,则6=-1，所以a=-1,b=1. 关键能力攻重难 b-a=2. 例1：()D(2)±2(1)由集合中元素的确定性知，①中“优4D5>1,故A错；-2<0<1，故B错；1M,故C错；-2< 秀医护人员”和⑤中“聪明的学生”不确定，所以不能构成 集合 ~受<1，放D正确 (2)由题意，得a2=4,a=±2. 5.-1或-4因为3eA,所以a2-a+1=3或1a+11=3. 对点训练1：(1)正确，(1)中的元素是确定的，互异的，可以构成 ①若a2-a+1=3,则a=2或a=-1. 一个集合 当a=2时，Ia+1|=3,此时与集合元素的互异性相矛盾，因 (2)不正确，“一些点”标准不明确，不能构成一个集合 此应舍去. (3)不正确，方程的解只有1和-2，集合中有2个元素 当a=-1时，Ia+1l=0≠3，满足题意 -157 ②若1a+11=3,则a=-4或a=2(舍去). 若a=4,则4-a=0N*,此时A不满足要求，故选AC. 当a=-4时，a2-a+1=21≠3，满足题意. 3.CD当x,y,z的值同时为正数时，代数式的值为4； 综上可知，a=-1或a=-4. 当x,y,z中只有一个负数或两个负数时，代数式的值为0： 练案[1] 当x,y,z的值同时为负数时，代数式的值为-4， 结合选项，CD正确. A组基础巩固 4.(1)(2)∈(3)(4)(5)∈(1)因为N*为正 1.BB选项中“难题”的标准不明确，不符合确定性，所以选B. 整数集，所以0N:(2)因为N为自然数集，所以1∈N:(3) 2.B因为方程x2-16=0的解为4，-4，而-4}是一个集合， 因为Z为整数集，所以1.5Z;(4)因为Q为有理数集，所以 “∈”表示元素与集合之间的关系，所以B中关系错误 2√2Q:(5)因为R为实数集，所以2+5eR 3.D∵3-1=2>5,3A. 5.63,4,5.'x∈N,2<x<a,且集合P中恰有三个元素， 又-3-1=-4<5，.-3eA ∴.结合数轴（图略）知a=6,此时集合P中的元素是3,4,5. 4C这两个方程的实数解分别是2,3和2，-1，根据集合中元6.(1)证明：因为1S,由- 1eS,可得 素的互异性，可知集合M中的元素个数为3. 5.C代人检验可知，当a=6时，a2,2-a,4三个数互不相同.故 1 1 -ES, 选C. 1-a 6.3集合M中的元素为(2，-2)，2，-2，其中(2，-2)是一实 即 =1-0=1- -ES. 数对，所以共3个 1- 1 -a 7.k≠±1因为1∈A,2∈A,结合集合中元素的互异性可知 1-a ≠1，解得k≠±1. 故若aeS,则1-1 8.(1)生∈(2)生∈(3)华∈(1)因为25=2 >T,所以25B:因为(1+2)2=3+22<3+2×4= (2)由2eS,得2=-1es 1 11,所以1+2<I1,所以1+√2∈B. 由-1e3,得-（-D2eS: (2)因为n是正整数，所以n2+1≠3，所以3壁C:当n=2时， n2+1=5,所以5eC. =2∈S,…, (3)因为集合D中的元素是有序实数对(x,y),而-1是数，所 1-2 以-1生D;又(-1)2=1，所以(-1,1)eD. 因此当2ES时，集合S中必含有-1，？两个元素。 9.因为-3eA,所以a-2=-3或2d2+5a=-3, C组创新拓展 解得a=-1或a=-子 (1)a是集合S中的元素，因为a=a+0×√2∈S. 当a=-1时，a-2=-3,2a2+5a=-3,不符合集合中元素 (2)不妨设x1=m+n√2，x2=p+g√2，m,n,P,9eZ 的互异性，舍去； 则x1+2=(m+n√2)+(p+q√2)=(m+p)+(n+q)迈，因 当a=-多时，a-2=子2。+5a=-3,即集合4中的元 7 为m,n,P,9∈Z. 3 所以n+qeZ,m+peZ. 7 素为-2，-3,12，满足题意.故a=- 所以x1+x2∈S, 10.因为集合A,B相等，则x=0或y=0. x1·2=(m+n2)·(p+q2)=(mp+2ng）+(mg+p)2, ①当x=0时，x2=0,则不满足集合中元素的互异性，故！ 因为m,n,P,9eZ 舍去 故mp+2geZ,mg+np∈Z. ②当y=0时，x=x2,解得x=0或x=1. 所以x1·x,∈S. 由①知x=0应舍去，经检验x=1符合题意 综上，x1+2,1·都属于S 综上知，x=1,y=0. B组素养提升 :: 第2课时集合的表示方法 1.B:集合A中有三个元素0，m,m2-3m+2,且2eA,.m=2必备知识探新知 或m2-3m+2=2,即m=0或m=2或m=3.当m=0或m= 知识点1：一一列举 2时，集合A中的元素不满足互异性，.m=3. 对应练习 2.AC因为a∈A且4-aeA,a∈N*且4-aeN, 1,2,3,4}x-3<2,.x<5.又xeN,x=1,2,3,4,故 若a=1,则4-a=3,此时A满足要求； 可表示为1,2,3,4. 若a=2,则4-a=2,此时A含1个元素不满足要求. 知识点2：2.{xlp(x)} 若a=3,则4-a=1,此时A满足要求； ;, 3.xlp(x) -158001 第一章集合与常用逻辑用语 1.1集合 1.1.1集合及其表示方法 第1课时集合的概念 素养目标定方向 学习目标 核心素养 1.通过实例了解集合的含义.（难点） 1.通过集合概念的学习，逐步形成数学抽象素养 2.掌握集合中元素的三个特性.（重点） 2.借助集合中元素的互异性的应用，培养逻辑推理 3.体会元素与集合的“属于”和“不属于”关系，记住常 素养 用数集的表示符号并会应用.（重点、易混点） 必备知识 探新知 知识点1元素与集合的概念 1.集合 定义 把一些能够确定的、不同的 汇集在一起，就说由这些对象组成一个集合（有时简称为集） 表示方法 通常用英文大写字母A,B,C,…表示 2.元素 定义 组成集合的 都是这个集合的元素 表示方法 通常用英文小写字母a,b,c,…表示 3.集合的元素具有的三个特性 集合的元素必须是确定的 互异性 对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的 无序性 集合中的元素可以任意排列，与次序无关 提醒：集合中的元素，女须具备确定性、互异性、无序性.反过来，一组对象若不具备这三个特性，则这组 对象也就不能构成集合 002 思考1：(1)某班所有的 ●对应练习 [思考1] “帅哥”能否构成一个 集合？ 思考辨析（正确的打“V”,错误的打“×”） (2)某班身高高于175厘 (1)集合中的元素只能是数、点、代数式. 米的男生能否构成一个 (2)漂亮的花可以组成集合， 集合？ (3)由方程x2-4=0和x-2=0的根组成的集合中有3个元素. 提示：（1)某班所有的 知识点2元素与集合的关系 “冲哥”不能构成集合， 关系 记法 读法 因为“帅哥“没有明确 a是集合A的元素 的标准. a属于集合A (2)某班身高高于175厘 a不是集合A的元素 a不属于集合A 米的男生能构成一个集 合，因为标准确定 ●对应练习 已知集合A中含有两个元素a-3和2a-1,若-3∈A,则实数a的值为 知识点3空集、集合相等与集合的分类 1.空集 思考2：对于任意元素a, a与空集⑦的关系是 定义 不含 的集合称为空集 什么？ 表示方法 记作 提示：由空集的定义可 知，a⑦. 2.两个集合相等 P[思考2] 给定两个集合A和B,如果组成它们的元素 ,就称这两个集合 定义 相等 表示方法 记作A=B 3.集合的分类 思考3：N,N,N有什么 有限集：含有有限个元素的集合， (1)集合 区别？ 无限集：含有无限个元素的集合 提示：(1)N为非负整裁 (2)空集可以看成包含0个元素的集合，所以空集是有限集 集（或自然数集），而N 提醒：不要把0与☑混淆. 或N,表示正整数集，不 ●对应练习 同之处就是N包括0，而 下列集合中 是有限集， 是无限集（填序号）. N(N,)不包括0. ①由小于8的正奇数组成的集合； (2)N和N,的含义是一 ②由大于5且小于20的实数组成的集合； 样的，初学者往往会误 ③由小于0的自然数组成的集合： 记为N。或N,为避免 知识点4常见的数集及表示符号 出错，对于N和N,, 数集 非负整数集（自然数集） 正整数集 整数集 有理数集 实数集 可形象地记为“星星 符号 Z Q R (*)在天上，十字(+) ●对应练习 在地下”. [思考3] 下列元素与集合的关系判断正确的是 ,(填序号) ①0eN;②π∈Q;③2∈Q;④-1eZ;⑤2eR 003 关键能力 攻重难 ●题型一 集合的相关概念 归纳提升：判断一组对象 能否组成集合的标准 例 1.(1)下列对象能构成集合的是 ( 判断一组对象能否组成集 ①某医院的优秀医护人员；②所有的饨角三角形；③2020年诺贝尔经济 合，关健看该组对象是否 学奖得主；④大于等于0的整数；⑤我校所有聪明的学生 满足确定性，如果此组对 A.①②（④ B.②5) C.③④5 D.②③4④ 象满足确定性，就可以组 (2)集合P中含有两个元素分别为1和4，集合Q中含有两个元素1和a2, 成集合，否则，就不能组 若P与Q相等，则a= ●[归纳提升] 成集合.同时还要注意集 》对点训练 合中元素的互异性、无 序性 1.判断下列说法是否正确，并说明理由. (1)大于3小于5的所有自然数构成一个集合； 归纳提升：判断元素和集 (2)直角坐标平面内第一象限的一些点组成一个集合； 合关系的两种方法 (3)方程(x-1)2(x+2)=0所有解组成的集合有3个元素。 (1)直接法. ①使用前提：集合中的元 素是直接给出的： ②判断方法：首先明确集 合是由哪些元素构成，然 ●题型二元素与集合的关系 后再判断该元素在已知集 合中是否出现即可 例之(1)由不超过5的实数组成集合A,a=5+5,则 (2)推理法， ①使用前提：对于某些不 A.a∈A B.a2∈A C.A D.a+lA 便直接表示的集合 (2)集合A中的元素x满足3∈N,xeN,则集合A中的元素为 ②判断方法：首先明确已 知集合的元素具有什么特 [归纳提升] 征，然后判断该元素是否 满足集合中元素所具有的 )对点训练 特征即可. 2.(多选题)下列结论中，正确的是 A若aeN,则后eN 归纳提升：根据集合中元 B.若a∈Z,则a2∈Z 素的特性求值的三个步骤 C.若aeQ,则lal∈Q D.若aeR,则a∈R 根据集合中元 素的确定性， ●题型三集合中元素的特性及应用 求解 解出宇母的所 例3已知集合A含有两个元素1和心，若ac4,求实数u的值 有取值 根据集合中元 素的互异性， [归纳提升] 检验 对解出的值进 )对点训练 行检验 3.(多选题)已知集合M中含有三个元素-2,3x2+3x-4和x2+x-4,若2是M中 的元素，则满足条件的实数x可能为 写出所有特 A.2 B.-2 C.-3 D.1 作答一合题意的宇 母的取值 004 课堂检测 固双基 1.下列几组对象可以构成集合的是 )A.2 B.-1 A.充分接近π的实数的全体 C.1 D.-2 B.善良的人 4.集合M是由大于-2且小于1的实数构成的，则下列 C.世界著名的科学家 表示正确的是 D.某单位所有身高在1.7m以上的人 A.5∈M B.0gM 2.若a是R中的元素，但不是Q中的元素，则a可以是 C.1EM D.-ZeM A.3.14 B.-5 5.已知集合A由a2-a+1,1a+11两个元素构成，若 c多 D.√7 3∈A,则a的值为 夯基提能作业 3.设a,b∈R,集合A中含有3个元素1，a+b,a,集合B中 请同学们认真完成练案[1] 含有3个元素0，名，b,若A=B,则6-4= 第2课时 集合的表示方法 素养目标 定方向 学习目标 核心素养 1.借助空集、区间的概念，培养数学抽象的素养. 1,掌握集合的两种表示方法.（重点、难点） 2.通过学习集合的两种表示方法，培养数学运算的 2.掌握区间的概念及表示方法.（重点） 素养 必备知识 探新知 知识点1 列举法 把集合中的元素 出来（相邻元素之间用逗号分隔），并写在大括号内，以 思考1：一一列举元素 此来表示集合的方法 时，需要考虑元素的 提醒：(1)元素与元素之间女须用“，”隔开： 顺序吗？ (2)集合中的元素女须是明确的 提示：用列举法表示 集合时不女考虑元素 (3)集合中的元素不能重复： 的顺序.例如：{a, (4)集合中的元素可以是任何事物. [思考1] b}与{b,a}表示同一 ●对应练习 个集合 不等式x-3<2且x∈N·的解集用列举法可表示为 知识点2描述法 1.特征性质：属于集合A的任意一个元素x都具有性质(x),而不属于集合A的元 素都不具有这个性质，则性质(x)称为集合A的一个特征性质. 2.特征性质描述法（简称为描述法） 集合A可以用它的特征性质p(x)表示为