精品解析：河北省沧州市四校2025-2026学年高三上学期11月期中联考数学试题

数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上． 2．作答时，将答案写在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答 题卡上的非答题区域均无效． 3．考试结束后，本试题卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合 则（ ） A. B. C. D. 2. 已知， 为虚数，则 的值可能为（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 3. 沙漏是一种古代计时仪器．如图，某沙漏由上下两个相同圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为6cm，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的，则这些细沙的体积为（ ） A. B. C. D. 4. 一组数据按从小到大排列为2，4，6，a，13，14，如果该组数据的中位数与这组数据的第60百分位数相等，则该组数据的平均数为（ ） A. 7.5 B. 6 C. 4.5 D. 3 5. 已知等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. 36 B. 48 C. 60 D. 120 6. 设函数的图象的一个对称中心为，则的一个最小正周期是（ ） A. B. C. D. 7. 在中，内角、、的对边分别为、、，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 若，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知平面向量．与的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 在上的投影向量为 10. 已知函数，则（ ） A. 是奇函数 B. C. 在区间单调递减 D. 有且仅有2个零点 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，是上第一象限内一点，则（ ） A. 若点关于原点对称的点为点，且，则 B. 的右顶点到渐近线的距离为 C. 内切圆的圆心在直线上 D. 不存在点，使得点关于点对称的点在上 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数在点处的切线与直线垂直，则_____． 13. 记为等比数列的前项和，且的公比为2，若，则_____． 14. 一个项数为的正整数数列满足，且，若为不大于 的偶数，则符合条件的数列共有_________个. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知函数． （1）求的最小正周期及单调递增区间； （2）求在区间上的最大值、最小值及相应的的值． 16. 已知是椭圆的右焦点，是上一点. （1）求的方程； （2）记为坐标原点，过的直线与交于两点，若，求的值. 17. 如图，在多面体中，四边形是菱形，平面，，，，为的中点，为的中点． （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 18. 已知函数． （1）若函数的图象在处的切线与直线垂直，求实数a的值； （2）讨论函数的单调性； （3）当时，若恒成立，求实数m的取值范围． 19. 现有一种不断分裂的细胞，每个时间周期内分裂一次，一个细胞每次分裂能生成一个或两个新的细胞，每次分裂后原细胞消失，设每次分裂成一个新细胞的概率为，分裂成两个新细胞的概率为；新细胞在下一个周期内可以继续分裂，每个细胞的分裂相互独立. 设有一个初始的细胞，在第一个周期内开始分裂，记个周期结束后，细胞的数量为，其中. （1）若，求的分布列和数学期望； （2）求； （3）求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上． 2．作答时，将答案写在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答 题卡上的非答题区域均无效． 3．考试结束后，本试题卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合 则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解指数不等式得集合，求函数定义域得集合，然后根据交集的定义求解. 【详解】因为集合，， 所以. 故选：C. 2. 已知， 为虚数，则 的值可能为（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】设且，根据复数的运算由得，进而得，即可求解. 【详解】设且，由得，解得， 所以，所以， 故A正确，B错误，C错误，D错误. 故选：A. 3. 沙漏是一种古代计时仪器．如图，某沙漏由上下两个相同圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为6cm，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的，则这些细沙的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据比例关系结合锥体的体积公式运算求解即可. 【详解】由题意可知：这些细沙的体积为. 故选：B. 4. 一组数据按从小到大排列为2，4，6，a，13，14，如果该组数据的中位数与这组数据的第60百分位数相等，则该组数据的平均数为（ ） A. 7.5 B. 6 C. 4.5 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用中位数、第60百分位数的定义求出，进而求出平均数. 【详解】这组数据的中位数为，由，得这组数据的第60百分位数为， 因此，解得，所以这组数据的平均数为. 故选：A 5. 已知等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. 36 B. 48 C. 60 D. 120 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列片段和的性质及等差中项的性质求. 【详解】由等差数列片段和的性质，，，，成等差数列， 故，则. 故选：B 6. 设函数的图象的一个对称中心为，则的一个最小正周期是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由正切函数的对称中心得到，，再对各选项逐一检验分析即可. 【详解】根据题意得，，则， 又，则，， 对于A，若是的最小正周期，则，得，与矛盾，故A错误； 对于B，由得，满足条件，故B正确； 对于C，由得，与矛盾，故C错误； 对于D，由得，与矛盾，故D错误. 故选：B. 7. 在中，内角、、的对边分别为、、，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用余弦定理结合正弦定理化简得出，结合两角和的正弦公式以及求出的值，由此可得出的值. 【详解】因为，由余弦定理可得， 所以，由正弦定理可得， 所以①， 因为②， 联立①②可得，故. 故选：C. 8. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用切化弦可求得，利用诱导化式与二倍角的余弦公式可求的值. 【详解】因为，所以， 所以，所以， 所以， 所以. 故选：C. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知平面向量．与的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 在上的投影向量为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据给定条件，利用向量的坐标运算逐项求解判断. 【详解】对于A，因为，即不存在实数使，所以与不共线，故A不正确； 对于B，，所以，故B正确； 对于C，因为，，所以故C正确； 对于D，在上的投影向量为.故D不正确. 故选：BC. 10. 已知函数，则（ ） A. 是奇函数 B. C. 在区间单调递减 D. 有且仅有2个零点 【答案】AC 【解析】 【分析】利用奇函数的定义判断A；求导求出导数值判断B；利用导数确定单调性判断C；利用奇函数的对称性判断D. 【详解】函数的定义域为R， 对于A，，是奇函数，A正确； 对于B，求导得，，B错误； 对于C，，当时，，， 奇函数在上递减，则在上递减，因此在上递减，C正确； 对于D，奇函数满足，因此零点个数必为奇数，D错误. 故选：AC 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，是上第一象限内一点，则（ ） A. 若点关于原点对称的点为点，且，则 B. 的右顶点到渐近线的距离为 C. 内切圆的圆心在直线上 D. 不存在点，使得点关于点对称的点在上 【答案】ACD 【解析】 【分析】判断四边形为平行四边形，结合对角线相等可得四边形为矩形，可判断A；根据点到直线距离公式可判断B；利用双曲线定义求出内切圆的圆心横坐标可判断C；假设点关于点对称的点在上，导出矛盾可判断D. 【详解】由双曲线可得，，， 对于A，因为点，关于原点对称，所以四边形为平行四边形， 又因为，所以四边形为矩形，所以，故A正确； 对于B，由题意知的渐近线方程为， 则右顶点到直线的距离为，故B错误； 对于C，如图所示， 设内切圆与的三边分别相切于点，，，则，， ，由，可得， 即，所以，又， 所以，所以，所以内切圆的圆心在直线上，故C正确； 对于D，假设点关于点对称的点在上， 由题意可知直线的斜率存在且不为0，则， 由，两式相减得， 即，则， 所以直线的方程为，即， 此时直线为的一条渐近线，与无交点，与假设矛盾， 即不存在点，使得点关于点对称的点在上，故D正确． 故选：ACD． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数在点处的切线与直线垂直，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】先求，进而得，由函数在点处的切线与直线垂直即可求解. 【详解】由题意有，所以， 由函数在点处的切线与直线垂直， 所以，所以. 故答案为：. 13. 记为等比数列的前项和，且的公比为2，若，则_____． 【答案】## 【解析】 【分析】根据等比数列及题干条件，可求得的值，代入公式即可求得结果. 【详解】由可得，解得， 所以，，故． 故答案为：． 14. 一个项数为的正整数数列满足，且，若为不大于 的偶数，则符合条件的数列共有_________个. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，先确定数列中的值，再利用组合知识，即可得到结论. 【详解】由题意，且， 当时，，则可以取或，且逐项不减小， 此时满足条件的数列的个数有个； 当，，则可以取或或或，且逐项不减小， 此时满足条件的数列的个数有个； 当，，则可以取或或或或或，且逐项不减小， 此时满足条件的数列的个数有个； 当，，则可以取或或或或或或或， 且逐项不减小，此时满足条件的数列的个数有个； 综上，满足条件的数列共有. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：先确定数列中的值，之后再分析的取值，可能都是同一个值；可能是从可取值中选两个出来，比如选和，那么可能，可能或有三种可能；依次分析即可. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知函数． （1）求的最小正周期及单调递增区间； （2）求在区间上的最大值、最小值及相应的的值． 【答案】（1）， （2）的最小值为，此时；的最大值为，此时 【解析】 【分析】（1）由题意，利用简单的三角恒等变换化简函数解析式，再根据正弦型函数的周期性得出结论； （2）由题意，根据正弦型函数的定义域和值域求得函数在区间上的最值及相应的的值. 【小问1详解】 故； 由令 则 故函数的单调递增区间为； 【小问2详解】 当时，， 则，即， 即在区间上的最小值和最大值分别为0，3， 即时，即时有最小值0， 当，即时有最大值3． 16. 已知是椭圆的右焦点，是上一点. （1）求的方程； （2）记为坐标原点，过的直线与交于两点，若，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将P点带入椭圆方程，再根据椭圆中a、b、c的关系列式计算即可； （2）分类讨论的斜率存在与不存在两种情况，不存在根据对称性即可求出两点坐标，通过向量法即可证明是否垂直；斜率存在时，联立直线与椭圆方程，运用韦达定理解出直线斜率，最后用弦长公式计算得出答案. 【小问1详解】 由题可知，解得 则的方程为. 【小问2详解】 若的斜率不存在，根据对称性，不妨令，则，不符合条件. 若的斜率存在，设的方程为， 联立方程组整理得， 则. 因为，所以 ，解得， 则. 17. 如图，在多面体中，四边形是菱形，平面，，，，为的中点，为的中点． （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1） 取线段的中点，连接、，如下图所示： 因为、分别为、的中点，所以，且， 因为四边形为菱形，所以，， 因为为的中点，所以，， 所以，，所以，四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，故平面. （2） 【解析】 【分析】（1）取线段的中点，连接、，证明出四边形为平行四边形，可得出，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立； （2）连接、，设，以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得平面与平面夹角的余弦值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接、，设，则， 又因为平面，以点为坐标原点， 、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系， 设，则，可得、、、， 设平面的一个法向量为，，， 则，取，可得， 设平面的一个法向量为，， 则，取，可得， 所以， 故平面与平面夹角的余弦值为. 18. 已知函数． （1）若函数的图象在处的切线与直线垂直，求实数a的值； （2）讨论函数的单调性； （3）当时，若恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） 时，在单调递减，在单调递增； 当时，在，单调递减，在单调递增； 当时，在单调递减； 当时，在，单调递减，在单调递增． （3）． 【解析】 【分析】（1）求导，根据垂直关系可得求解. （2）求导，讨论时，，得，当时，，当时， ，即可结合导函数的正负，确定函数的单调性， （3）构造，判断是奇函数，进而得的对称中心为，根据对称性可得，进而根据函数的单调性得解. 【小问1详解】 ， 因为函数的图象在点处的切线与直线垂直， 所以，解得． 【小问2详解】 当时，令，得，当时，，在单调递减，时，，在单调递增； 当时，令，得，， 当时，，， 所以当，或时，，在，单调递减， 当时，，在单调递增； 当时，恒成立，所以在单调递减； 当时，，，所以当，或时，，在，单调递减， 当时，，在单调递增； 综上所述，时，在单调递减，在单调递增； 当时，在，单调递减，在单调递增； 当时，在单调递减； 当时，在，单调递减，在单调递增． 【小问3详解】 由（2）可知，当时，在单调递减， 令，， 是奇函数，则的对称中心为， 恒成立， ，即，，则． 19. 现有一种不断分裂的细胞，每个时间周期内分裂一次，一个细胞每次分裂能生成一个或两个新的细胞，每次分裂后原细胞消失，设每次分裂成一个新细胞的概率为，分裂成两个新细胞的概率为；新细胞在下一个周期内可以继续分裂，每个细胞的分裂相互独立. 设有一个初始的细胞，在第一个周期内开始分裂，记个周期结束后，细胞的数量为，其中. （1）若，求的分布列和数学期望； （2）求； （3）求证：. 【答案】（1） （2） （3）个周期结束后共有3个细胞，设细胞在第个周期时分裂为个新的细胞， 这两个细胞在剩下的个周期中，其中一个分裂为个细胞， 另一个一直保持分裂为个细胞，此事件的概率 ， 得， ， 其中，. 令，， 记，，令，得. 当，，单调递增； 当，，单调递减， 故， 即. 【解析】 【分析】（1）分别求出取所有可能的值时的概率，再列出分布列，求出数学期望即可； （2）设细胞在第个周期时分裂为个细胞，之后一直有个细胞，先求出这一事件的概率，再求出的所有情况的概率，再求和即可. （3）设细胞在第个周期时分裂为个新的细胞，这两个细胞在剩下的个周期中，其中一个分裂为个细胞，另一个一直保持分裂为个细胞，先求出这一事件的概率，再求出的所有情况的概率，再求和得到的解析式，再借助导数求出其最值即可得证. 【小问1详解】 的可能取值为， 其中， ， ， ， 所以分布列为 ； 【小问2详解】 个周期结束后共有个细胞，则必在某一个周期结束后分裂成个细胞. 不妨设细胞在第个周期时分裂为个细胞，之后一直有个细胞， 此事件概率， 所以 . 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $