练案24 3.2 第1课时 函数的零点、二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系-【成才之路•练案】2025-2026学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导(人教B版)

所以据此可作出函数y=f(x)的图像，如图所示， 根据函数的图像，知不等式f代x)≥0的解集为(-∞，-3] U[-7,2]U[3,+∞）不等式fx)<0的解集为 (-3.u(2} -2 1023x (x+3)(x-1) 对点训练3：将原不等式化为x+2)-引>0， 即(x+3)(x+2)(x-1)(x-3)>0, 各因式所对应的根分别为-3，-2,1,3，在数轴上标根并画出 根据图像得，若方程f(x)=a恰有3个不同的解， 示意图，如图所示 则a的取值范围是(-1,1) + -322 0i3 对点训练2：(1)设f(x)=a2+bx+c(a≠0)， 因为f0)=3,所以c=3, 故原不等式的解集为xlx<-3或-2<x<1或x>3. 所以f代x)=ax2+bx+3, 课堂检测固双基 所以fx+1)=a(x+1)2+b(x+1)+3=ax2+(2a+b)x+a 1.A令x2+x+3=0,△=1-12=-11<0，所以方程无实数根， +b+3,f(x)+2x=a.x2+(b+2)x+3, 故函数f代x)=x2+x+3无零点，故选A. 因为f(x+1)=fx)+2x, 2.C方程a2+bx+c=0(a≠0)有两个实根1,2，则 所以2a+6=6+2, 「1+2= b a’ a+b+3=3, 解得a=1,b=-1, 1×2=c a 所以fx)=x2-x+3. (2)由(1)得，g(x)=x2-lxl+3+m, 所以=-3，=2， a 在平面直角坐标系中，画出函数g(x)的图像，如图所示， 于是)=ed+c+a=a台+合+川=a(2r-3x+0 a =a(x-1)(2x-1),所以该函数的零点是1,2故选C 3.0由奇函数的对称性知，若f(x1)=0,则f代-x1)=0,即零点 y=3+m 关于原点对称，且f(0)=0,故x1+x2+x3+x4+x=0. 11 4.0或-①当a=0时，函数为y=-x-L,显然该函数的图 1 y= +m x=- 像与x轴只有一个交点，即函数只有一个零点 ②当a≠0时，函数y=ar2-x-1是二次函数， 由于函数g(x)有4个零点，因此函数g(x)的图像与x轴有4 因为y=ax2-x-1只有一个零点， 个交点 所以关于x的方程a2-x-1=0有两个相等的实数根， 3+m>0, 所以4=0，即1+4a=0, 由图像得 1 4 +m<0, 解得a=-子 解得-3<m<- 11 5.{xl-3≤x≤-1或x≥3}原不等式可化为(x+1)(x+3)(: 4 -3)≥0，则对应方程的三个实数根分别为-1，-3,3. 即实数m的取值范围是(-3，-) 如图所示，在数轴上标出三个实数根，从右上方开始依次穿 过.由图可知不等式(x+1)(x2-9)≥0的解集为{x1-3≤x 1 7 例3：函数的零点为-3，-2,2,3，函数的定义域被这四个点 ≤-1或x≥3} 分为五部分，每一部分函数值的符号如下表： -0,-3） 3,2 ,+0 f(x) 所以函数图像的示意图如图： 练案[24] A组基础巩固 1.C令fx)=0,得x(x-2)(x+2)=0, 解得x=0或x=±2，故选C- —216 2.A由表格可知，函数的图像开口向上，且零点为x=-2,x= ②当a-1≠0，即a≠1时，函数y=(a-1)x2+x+2是二次 3,因此图像关于直线x=对称，从而一元二次不等式m+ 1: 函数 .函数y=(a-1)x2+x+2只有一个零点， bx+c>0的解集为{xlx<-2或x>3}. “关于x的方程为(a-1)x2+x+2=0有两个相等的实 3.A因为△=a2+4m>0,所以函数y=mx2-ax-1的图像与x 数根， 轴有两个交点，又m>0,所以原不等式的解集不可能是B、C、 D选项. ·4=1-8(a-1)=0,解得a= 8 4.A由题意，知a>0,且1是ax-b=0的根，所以a=b>0,所 综上所述，实数a的取值集合是，号} 以(ax+b)(x-3)=a(x+1)(x-3)>0,所以x<-1或x> 3,因此原不等式的解集为(-0，-1)U(3,+∞. B组素养提升 5AD由)=0可得m=1x-4,作出y=1x-4x1的函数1.D 因为不等式a2+2x+c<0的解集是 图像如图所示 fa<0, 1 1 a=-12 v=lx2-4xl 所以 a -3+2’解得 c=2 11 =-3x2 a 所以不等式cx2+2x+a≤0可化为2x2+2x-12≤0，即x2+x 2 -6≤0，解得-3≤x≤2 因为f代x)恰好有两个不同的零点， 2.C由已知16-46+e=6, b=4, 解得 4-2b+c=-2, c=2. 所以直线y=m与y=Ix2-4x1的图像有两个不同的交点，所 「x2+4x+2,x≤0， 以m=0或m>4, .fx)= l2,x>0. 6.3.·f(x)=(x-1)(x2+3x-10) 当x≤0时，方程为x2+4x+2=x, =(x-1)(x+5)(x-2), 即x2+3x+2=0,x=-1或x=-2; ..由f(x)=0得x=-5或x=1或x=2. 当x>0时，方程为x=2,方程fx)=x有3个解. 7.1,1+2由fx)=x, 3.AC令g(x)=(x-2)(x-5),则f(x)=g(x)-1,故函数y 得2或≤-1或-1<x<2, =f代x)的零点就是函数g(x)=(x-2)(x-5)与函数y=1图 或{ x=1, 像交点的横坐标.在同一平面直角坐标系中作出函数g(x)= 解得x=1+2或x=1. (x-2)(x-5)的图像与y=1的图像，如图所示，结合图像知 8.(-0,1]当a≥0时，a2+2a≤3，所以0≤a≤1：当a<0时， i. A,C中关系错误，B,D中关系正确 -a2+2a≤3，所以a<0.综上所述，a的取值范围是(-∞， v=g(x) 1]. 9.(1)函数有两个零点，则对应方程-3x2+2x-m+1=0有两 -y=1 个不相等的实数根，易知4>0，即4+12(1-m)>0, 0x25x 4 可解得m<3 由4=0，可解得m=专： 4.(1,4)(1,3]U(4,+∞)当入=2时， 「x≥2， x<2, 由题意得 4 或{ 由4<0，可解得m>3 1x-4<01lx2-4x+3<0, 解得2≤x<4或1<x<2,即1<x<4,不等式f(x)<0的解集 放当m<号时，函数有两个零点： 是(1,4. 当m=号时，函数有一个零点： 当入>4时，f(x)=x-4>0,此时f(x)=x2-4x+3=0,x=1 或3，即仅在(-0，入)上有两个零点： 当m>号时，函数无零点 当A≤4时，f(x)=x-4=0,x=4,由f(x)=x2-4x+3在 (-0,)上只能有一个零点得1<A≤3. (2)因为0是对应方程的根，所以1-m=0,解得m=1. 综上，入的取值范围为(1,3]U(4,+0). 10.①当a-1=0,即a=1时，函数为y=x+2,显然该函数的图 像与x轴只有一个交点，即函数只有一个零点 5(-2）(x-a)o(x+a)=(-a）1-x-a), -217 ..不等式(x-a)⊙(x+a)<1, ! 关键能力攻重难 即(x-a)(1-x-a)<1对任意实数x恒成立， 例1：(1)B(2)A(1)由函数f代x)=x3+x-5可得f0)=0+0- 即x2-x-a2+a+1>0对任意实数x恒成立， 5=-5<0f1)=1+1-5=-3<0, 所以4=1-4(-d+a+)<0,解得-方<a<多 f2)=8+2-5=5>0,f(3)=27+3-5=25>0,f(4)=64 +4-5=63>0. 6.(1)“对于任意的a∈R,方程f(x)=1必有实数根”是真命题. 故有f(1)f(2)<0,根据函数零点存在定理可得，函数f(x) 依题意f(x)=1有实根，即x2+(2a-1)x-2a=0有实根，因 的零点所在区间为(1,2) 为4=(2a-1)2+8a=(2a+1)2≥0对于任意的aeR恒成 (2)因为fx)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x- 立，即x2+(2a-1)x-2a=0必有实根，从而f代x)=1必有实根. c)(x-a),所以fa)=(a-b)(a-c),fb)=(b-c)(b- （2)依题意，要使y=fx)在区间(-1,0)及(0，）内各有- a),fc)=(c-a)(c-b), f-1)>0, 因为a<b<c,所以fa)>0,fb)<0,fc)>0, 3-4a>0. 所以fa)fb)<0,fb)fc)<0,故]x1e(a,b),x2∈(b, 个零点，只需 f0)<0, 即 1-2a<0. c),f(x1)=0,f(x2)=0,所以f(x)的两个零点分别位于区 )>o, 3 4 -a>0, 间(a,b)和(b,c)内. 解得时<a<子 对点训练1：(1)B(2)B(1)依题意，因为f2)>0f3)<0, (4)>0,f(5)<0,所以根据零点存在定理可知，在区间(2,3) 故实数a的取值花围为乞，》 和(3,4)及(4,5)内各至少含有一个零点，故函数在区间[1 6]上的零点至少有3个，故选B. C组创新拓展 (2)令fx)=x3-3x+1, A若a≥0，则当x>1时，f(x)=ax-a+1≥1，无零点，当x 易知f(x)的图像在R上连续， ≤1时，f代x)最多有两个零点，故当x∈R时，f(x)最多有两个 f(-1)=-1+3+1=3>0,f-2)=-8+6+1=-1<0, 零点，不符合题意，排除C,D;易知a<0,当x>1时，fx)=ax f(0)=0-0+1=1>0, -a+1单调递减，f(1)=a-a+1=1>0,故f(x)在区间(1， f1)=1-3+1=-1<0f2)=8-6+1=3>0, +∞）上存在一个零点，所以当x≤1时，f(x)=ax2-x+2有 故f(x)在(-2，-1)，(0,1)，（1,2)上有零点， 两个零点.要使f代x)=ax2-x+2在区间(-∞，1]上有两个 故方程x3-3x+1=0在区间(-1,0)上没有实数解。 ra <0. 例2：由于f-2)=-1<0,f-3)=4>0,故取区间(-3，-2) <1 作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，列表如下： 零点，则{2a 解得a≤-1，排除B. 4=1-8a>0, 区间 中点的值 中点函数近似值 a-1+2≤0， (-3,-2) -2.5 1.25 第2课时 零点的存在性及其近似值的求法 (-2.5,-2) -2.25 0.0625 (-2.25,-2) -2.125 -0.4844 必备知识探新知 知识点1：(1)fa)f(b)<0即3x∈(a,b),f代xo）=0 (-2.25,-2.125) -2.1875 -0.2148 对应练习 (-2.25,-2.1875) -2.21875 -0.0771 1.(1)×(2)×(3)V(4)× 由于1-2.25-（-2.1875)1=0.0625<0.1，所以函数的 2.C如图所示，当f代a)>0,f(b)>0时，函数图像与x轴可以 一个近似负零点可取-2.25. 有一个或两个交点，还可以没有交点.故A、B、D不正确，C 对点训练2：1.4375根据题意，方程f(x)=0的根应该在区间 正确. (1.375,1.5)上，则m=375+1.5=1.4375. 2 例3：由函数零点存在定理以及二次函数图像的特征，得 f-1)>0, 2>0, o a b x O a f0)<0, 2m+1<0, (1) (2) (3) 解得、5 1 f1)<0, 4m+2<0, 6 <m<-2, 知识点2：1.a)·f(b)<0一分为二2. b f2)>0, 6m+5>0. 2 对应练习 即实数m的康值范阁足（一各一》 1.A2.(0,0.5)f0.25) 对点训练3：(-12,0)根据二次函数及其零点所在区间可画 —218练案[24] 第三章 函数 3.2[第1课时 函数的零点、二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系] A组基础巩固 三、解答题 一、选择题 9.已知函数f(x)=-3x2+2x-m+1. 1.函数f八x)=x3-4x的零点为 (1)当m为何值时，函数有两个零点、一个零点、无 A.(0,0),(2,0) 零点； B.(-2,0),(0,0),(2,0) (2)若函数恰有一个零点在原点处，求m的值. C.-2,0,2 D.0,2 2.二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)的部分对应值如 下表： -3-2 -10 1 234 y60-4-6-6-406 则一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集是( A.{xlx<-2或x>3} B.{xx≤-2或x≥3 C.xl-2<x<3 D.xl-2≤x≤3 3.不等式mx2-ax-1>0(m>0)的解集可能是( .1V Ax<-1或x>} B.R 31 D.☑ 4.关于x的不等式ax-b>0的解集是(1，+∞)，则关 于x的不等式(ax+b)(x-3)>0的解集是() A.(-o,-1)U(3,+∞) B.(-1,3) C.(1,3) D.(-∞，1)U(3,+∞) 5.(多选题)(2024·台州高一检测)函数f(x)=1x2-4x1 -m恰好有两个不同零点，则m的值可以是（） A.5 B.4 C.2 D.0 二、填空题 6.函数f(x)=(x-1)(x2+3x-10)的零点有 个 7.若f(x)= -x-1,≥2或x≤-1则图数g()= 1,-1<x<2, f(x)-x的零点为 8.已知函数f(x)= 「x2+2x,x≥0， -x2+2x,x<0. 若f(a)≤3，则a 的取值范围是 147 10.若函数y=(a-1)x2+x+2只有一个零点，求实数三、解答题 a的取值集合. 6.已知二次函数f(x)=x2+(2a-1)x+1-2a. (1)判断命题：“对于任意的a∈R,方程f(x)=1必 有实数根”的真假，并写出判断过程； (2)若y=)在区间(-1,0)及(0，)内各有-个 零点，求实数a的取值范围. B组素养提升 一、选择题 1.(2023·十堰高一检测)若不等式ax2+2x+c<0的 解集是(-0，-)U(分，+∞小，则不等式x2+2x +a≤0的解集是 ( a[分司 B[引 C.[-2,3] D.[-3,2] 2.设函数f(x)= 2+bx+c,≤0，若f(-4)=f0), 12,x>0, (-2)=-2,则方程f(x)=x的解的个数是() A.1 B.2 C.3 D.4 3.(多选题)(2024·天津高一检测)函数(x)=(x- 2)(x-5)-1有两个零点x1,x2,且x1<x2,下列关于 x1,x2的关系中错误的有 A.x1<2且2<x2<5 B.x1<2且x2>5 C.2<x1<5且x2>5 D.x1+x2=7 二、填空题 「x-4,x≥入， 4.已知入∈R,函数f(x)= 当入=2 C组创新拓展 1x2-4x+3,x<λ. 时，不等式∫(x)<0的解集是 若函数 已知函数f(x)={ 2-x+2x≤l恰有三个零点，则 ax-a+1,x>1 f(x)恰有2个零点，则入的取值范围是 实数a的取值范围是 () 5.在R上定义运算⊙：A⊙B=A(1-B),若不等式(x- A.(-∞，-1] B.(-∞，-1) a)⊙(x+a)<1对任意的实数x∈R恒成立，则实数 C.[-1,1] D.[1,+o) a的取值范围为 148