练案25 3.2 第2课时 零点的存在性及其近似值的求法-【成才之路•练案】2025-2026学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导(人教B版)

练案[25] 第三章 函 数 3.2[第2课时 零点的存在性及其近似值的求法] A组基础巩固 8.求函数f(x)=x3-x-1在区间(1,1.5)内的一个零 一、选择题 点（精确度ε=0.1），用“二分法”逐次计算列表如下： 1.函数f八x)=x-9的零点所在的大致区间是( 端（中） A.(-1,0) B.(0,1) 中点函数值符号 零点所在区间 l a.-b. 点的值 C.(1,2) D.(2,3) 2.在用二分法求函数(x)零点的近似值时，第一次所 (1,1.5) 0.5 取的区间是[-2,4]，则第三次所取的区间可能是 1.25 f(1.25)<0 (1.25,1.5) 0.25 ( 1.375 f1.375)>0 (1.25,1.375) 0.125 A.[1,4] B.[-2,1] 1.3125f1.3125)<0 (1.3125,1.375)0.0625 c[-2别 D.[ 则函数零点的近似值为 3.已知函数f(x)=3ax-1-2a在区间(-1,1)上存在 三、解答题 零点，则 ( )9.已知二次函数f(x)=x2-2ax+4,求下列条件下，实 A写<a<1 B.a>5 1 数a的取值范围。 (1)零点均大于1； Ca<写或a>1 Da<- ! (2)一个零点大于1，一个零点小于1； (3)一个零点在(0,1)内，另一个零点在(6,8)内. 4.(2024·盐城高一检测)若函数f(x)唯一的一个零点 同时在区间(0,2)，(0,4)，(0,8)，(0,16)内，则下列 结论中正确的是 A.函数f(x)在区间(0,1)内有零点 B.函数f(x)在区间[2,16)内无零点 C.函数f(x)在区间(1,16)内无零点 D.函数f(x)在区间(0,1)或(1,2)内有零点 5.(多选题)(2024·石家庄高一检测)已知函数f八x)在 区间(0,3)上有两个零点，且都可以用二分法求得， 其图像是连续不断的，若f(0)>0,f(1)f(2)f(3)<0, 则下列命题正确的是 ( A.函数f(x)的两个零点可以分别在区间(0,1)和(1， 2)内 B.函数f(x)的两个零点可以分别在区间(1,2)和(2， 3)内 C.函数f(x)的两个零点可以分别在区间(0,1)和(2， 3)内 D.函数f(x)的两个零点不可能同时在区间(1,2)内 二、填空题 6.用二分法求函数y=f(x)在区间[2,4]上零点的近似 值，经验证有f(2)·f(4)<0.取区间的中点x1= 2+4=3,计算得(2)·f(x)<0,则此时零点∈ 2 (填区间). 7.函数f(x)=x2+ax+b有零点，但不能用二分法求 出，则a,b的关系是 一149 0已知数)：am-2m+3a-4在区(-1，)6设新数)-+u≤0时者f(-4)=2. 上有一个零点 12(x>0), (1)求实数a的取值范围； f(-2)=-2,则关于x的方程f(x)=x的解的个数 (2)若4=器用二分法求方程)=0在区间 8 三、解答题 (-1,1)上的根 6.已知函数f(x)=3ax2+2bx+c,a+b+c=0,f(0)>0, f(1)>0,证明a>0,并利用二分法证明方程f(x)=0 在[0,1]内有两个实根 B组素养提升 一、选择题 1.已知函数∫(x)=ax2-x+2,函数g(x)= 「-2，x≤-2， C组创新拓展 x,-2<x<2,若函数y=f(x)-g(x)恰好有2个不 对于函数f八x),若存在xo,使f(x)=x成立，则称xo 2,x≥2， 为函数f(x)的不动点，已知f(x)=x2+bx+c 同的零点，则实数a的取值范围是 (1)若f(x)的两个不动点为-3,2，求函数(x)的 A.(-0,0)》 零点 k(-x,0)u0,2) (2)当c=6时，函数)没有不动点，求实数6的 c(-a,u(兮， 取值范围。 D.(-0,0)U(1,+o) 2.已知函数(x)在(1,2)内有1个零点，用二分法求零 点的近似值时，若精度为0.01，则至少计算中点函数 值 () A.5次 B.6次 C.7次 D.8次 3.(多选题)对于方程x3+x2-2x-1=0,下列判断正确 的有 A.在(-2，-1)内有实数根 B.在(-1,0)内有实数根 C.在(1,2)内有实数根 D.在(-∞，+∞)内没有实数根 二、填空题 4已知函数/(x)=厂-2x,≤m, 如果函数f(x)恰 x-4,x>m. 有两个零点，那么实数m的取值范围为 —150出大致图像，如图： 确；若f1)<0,f(2)>0,则f0)f(1)<0,f(1)f(2)<0,即此 时函数f(x)的两个零点分别在区间(0,1)和(1,2)内，故A正 确.综上两种情况，可知选项C错误，D正确 6.(2,3)因为f(2)·f3)<0,所以零点在区间(2,3)内. -23 fx)=3x2-5x+a 7.a2=4b:函数f(x)=x2+ax+b有零点，但不能用二分法， .函数f代x)=x2+ax+b图像与x轴相切.△=a2-4b=0. f-2)>0, 12+10+a>0. .a2=4h. f0)<0, 由图可知 即 a<0 8.1.3125:精确度e=0.1, f(1)<0, 3-5+a<0 由表可知11.375-1.31251=0.0625<0.1， f3)>0, 27-15+a>0, .函数零点的近似值为1.3125. 解得-12<a<0. 9.(1)由题可得方程x2-2ax+4=0的两根均大于1，结合二次 课堂检测固双基 4=(-2a)2-16≥0， 1.B令-x2+8x-16=0,得x=4,故函数y=-x2+8x-16在 函数的单调性与零点存在定理，得f(1)=5-2a>0, [3,5]上有一个零点.故选B. la>1. 2.C利用变号零点的性质验证可得当x=2时，y=-2<0,当x 解得2≤a< 5 =3时，y=3>0,故选C 3.⑤①油条件f(a)fb)<0成立，则在(a,b)内可能不止一个 (2)由题可得方程x2-2ax+4=0的一个根大于1，一个根小 零点；②在f代a)f(b)>0的情况下，未必无零点；③在(a,b)内 于1，结合二次函数的单调性与零点存在定理，得f(1)=5- 有零点，也未必有f(a)f(b)<0成立：④注意端点问题，可能 a,b恰好使得f代x)=0. 20<0,解得a>号 4.(2,3)设f(x)=x3-2x-5f1)=1-2-5=-6<0,f2) (3)由题可得方程x2-2ax+4=0的一个根在(0,1)内，另 =23-4-5=-1<0,f3)=33-6-5=16>0,f(x)零点所在 个根在(6,8)内，结合二次函数的单调性与零点存在定理，得 的区间为(2,3)，所以方程x3-2x-5=0下一个有根的区间 f(0)=4>0, 是(2,3) f1)=5-2a<0, f(6)=40-12a<0, 4 练案[25] f(8)=68-16a>0, A组基础巩固 10.(1)若a=0,则f八x)=-4,与题意不符，.a≠0. 1.D因为函数f(x)=x-9在R上单调递增，f(2)=8-9=i 由题意得f(-1)·f1)=8(a-1)(a-2)<0, -1<0,f(3)=27-9=18>0,所以根据零点存在定理，可得 即-0或1>0 函数f代x)=x-9的零点所在的大致区间是(2,3) 1a-2>0la-2<0, 2.D第一次所取的区间是[-2,4]， .1<a<2,故实数a的取值范围为(1,2) .第二次所取的区间可能为[-2,1]，[1,4]，.第三次所取 (2)若a=号期)=器停+器。 的区间可能为[-2，-2-小[1，[3 -)-9>0,0)-器>0.1)=-音<0， 4 3.C:f(x)=3ax-1-2a在区间(-1,1)上单调且存在零点， ∴.f(-1）·f1)=(-3a-1-2a)·(3a-1-2a) 函数零点在(0,1)内，又）=0， =(-5a-)·(a-0<0a>1或a<-5赦选C “方程)=0在区间(-1,1)上的根为子 4.B由函数f(x)唯一的一个零点同时在区间(0,2)，(0,4)，B组素养提升 (0,8),(0,16)内，可确定零点在区间(0,2)内，故代x)在区间1.B依题意有f(x)的图像与g(x)的图像有2个不同的交点， [2,16)内无零点，选项A和C中结论不一定成立；由题意得 且f(x)的图像过点(0,2).当a=0时，f(x)=2-x,此时g(x) f代x)的零点可能为1，故选项D中结论不一定成立 的图像与x)的图像仅有1个交点，舍去 5.ABD因为函数f(x)在区间(0,3)上有两个零点，且都可以用 当a<0时f(x)的图像是开口向下且过点(0,2)的抛物线，此 二分法求得，其图像是连续不断的，所以零点两侧函数值异 时f(x)与g(x)的图像一定有2个不同的交点. 号，又f0)>0,f1)f(2)f(3)<0,所以f(3)>0,f(1)f(2)< 当a>0时，fx)的图像是开口向上且过点(0,2)，对称轴为直 0.若f(1)>0,f2)<0,可得f(2)f(3)<0,f1)f(2)<0,即此 时函数代x)的两个零点分别在区间(1,2)和(2,3)内，故B正 线x=2>0的抛物线当)=a-+2与g()=(-2 一219 <x<2)的图像有且只有个交点时，可求得a=子要使61)>0,3a+26+e>0,即3(a+b+0-b-2c>0, a+b+c=0,.-b-2c>0,则-b-c>c,即a>c. f代x)与g(x)有2个不同的交点，只需0<a<2 1 .f(0)>0,.c>0,则a>0. 综上所述，a的取值范围为(-，0)U(0,) 在[0,1小内选取二等分点7 3 2B初始区间长度为1.第1次计算后区间长度为分： 则2）=a+b*e=+(-a)=-子a<0 .f0)>0,f1)>0, 第2次计算后区间长度为空：第3次计算后区间长度为： ∴x)在区间(0，)和(2,1上至少各有一个零点， 1 第4次计算后区间长度为 又f(x)最多有两个零点，从而f(x)=0在[0,1]内有两个 实根. 第5次计算后区间长度为25>0.02： C组创新拓展 (1)由题意知f(x)=x有两根，即x2+(b-1)x+c=0有两 第6次计算后区间长度为2°<0.02， 根，分别为-3,2 故至少计算6次 「-3+2=-(b-1) 3.ABC设f孔x)=x3+x2-2x-1, -3×2=c, 解得62， c=-6. 则f(-2)=-1<0,f(-1)=1>0, 从而f(x)=x2+2x-6. f0)=-1<0, 由fx)=0,得x1=-1-7,x2=-1+7 f1)=-1<0, 故f代x)的零点为-1±√万. f2)=7>0,则x)在(-2，-1)，(-1,0)，(1,2)内均有零 2 点，即AB、C正确 (2)若c= 年，则)=+bx+4, 4.[-2,0)U[4,+∞）作出函数y=-x2-2x和y=x-4的 .62 又代)无不动点，即方程x+x+年=x无解， 图像，如图所示， 4=(6-1)2-<0,即-2b+1<0,解得6> y=x-4 0 故实数b的取值范围是( 2,+∞ 2 3.3 函数的应用（一）】 ! 3.4数学建模活动：决定苹果的最佳出售时间点 要使函数f代x)恰有两个零点， 则-2≤m<0或m≥4， 必备知识探新知 即实数m的取值范围是[-2,0)U[4,+o). 对应练习 53由已知646+c=2得 b=4, 1.D根据题意，奖励金额f(n)可以看成年销售额n的函数，那 4-2b+c=-2c=2, 么该问题就是已知函数值为400时，求自变量n的值的问题， 「x2+4x+2(x≤0) 当ne(1000,2000)时，f(n)=0.4(n-500)=400→n= ∴.f(x）= 在同一平面直角坐标系作f代x) 2(x>0), 1500e(1000,2000)符合题意.故选D. 的图像和直线y=x如图所示. 2.D从题图可以看出，甲、乙两人同时出发(t=0),跑相同多的 路程(s),甲用时(t1)比乙用时(2)少，即甲比乙的速度快，甲 y=x2+4x+2 先到达终点.故选D. 3.35Q=0.00252-0.175v+4.27=0.0025(2-70m)+4.27 =0.0025[(v-35)2-352]+4.27=0.0025(v-35)2+ 2 1.2075.故v=35km/h时，耗油量最少 关键能力攻重难 例1：设每天从报社买进x份(250≤x≤400)报纸；每月所获利润 是y元，则每月售出报纸共(20x+10×250)份；每月退回报 社报纸共10×(x-250)份. 由图像可知代x)=x的解的个数为3. 依题意得y=(0.40-0.24)×(20x+10×250)-(0.24- -220