练案21 3.1.2 第2课时 函数的平均变化率-【成才之路•练案】2025-2026学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导(人教B版)

练案[21] 第三章 函 数 3.13.1.2 [第2课时 函数的平均变化率] A组基础巩固 (2)函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为 一、选择题 1.已知函数(x)=1在[1,2]上的最大值为A,最小值 7.(2020·北京卷)为满足人民对美好生活的向往，环 保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企 为B,则A-B等于 业要限期整改.设企业的污水排放量W与时间：的关 R-分 C.1 D.- 系为W=心)，用-b）二@的大小评价在[a,b] b-a 2.李华在参加一次同学聚会时，他 这段时间内企业污水治理能力的强弱.已知整改期 用如图所示的圆口杯喝饮料，李 内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图 华认为：如果向杯子中倒饮料的 所示 速度一定（即单位时间内倒入的 W↑甲企业 饮料量相同)，那么杯子中饮料 的高度h是关于时间t的函数 乙企业 乙企业 h(t),则函数h(t)的图像可能是 污水达标 二二 排放量 甲企亚 0 lt 给出下列四个结论： ①在[1,2]这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙 企业强； ②在2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ③在3时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标； 3.已知函数f(x)为R上的减函数，则满足f ④甲企业在[0,1]，[1,2]，[2,3]这三段时间中，在 f1)的实数x的取值范围是 [0,]的污水治理能力最强。 A.(-1,1) 其中所有正确结论的序号是 B.(0,1) 8.已知函数f(x)=x2-6x+8,x∈[1，a],并且/x)的最 C.(-1,0)U(0,1) 小值为f(a),则实数a的取值范围是 D.(-∞，-1)U(1,+∞) 三、解答题 4函数x)=从1到a的平均变化率为4，则实数a9.已知函数)=-(a>0c>0). 的值为 ( (1)求证：f(x)在(0，+∞)上是增函数； A.10 B.9 (2)若x)在[2,2]上的值域是[22，求a的值 C.8 D.7 5.(2024·上饶高一检测)已知对任意的0<x1<x2,都有 fx)-f2>0,设a=m),6=f2),则 () X2-x1 A.axb B.a=b C.a<b D.a,b的大小关系不能确定 二、填空题 6.如图是函数y=f(x)的图像， 1 -101234x (1)函数f(x)在区间[-1,1]上的平均变化率为 ； 141 10.已知函数f八x)=x2-2x+2 :5.(2024·菏泽高一检测)设f(x)=x2-2ax+a2,xe (1)求)在区间2,3]上的最大值和最小值： [0,2].当a=-1时，f(x)的最小值是」 .若 (2)若g(x)=f八x)-mx在[2,4]上是单调函数，求 f(0)是f(x)的最小值，则a的取值范围为 m的取值范围。 三、解答题 6.已知f(x)=x(x≠a). x-4 (1)若a=-2,试证f(x)在(-∞，-2)内单调递增： (2)若a>0且f(x)在(1，+o)内单调递减，求a的 取值范围 B组素养提升 一、选择题 1.若函数y=ax+1在[1,2]上的最大值与最小值的差 为2，则实数a的值是 ( A.2 B.-2 C.2或-2 D.0 2.(多选题)下列关于函数y=ax+1,x∈[0,2]的说法 正确的是 () A.当a<0时，此函数的最大值为1，最小值为2a+1 B.当a<0时，此函数的最大值为2a+1,最小值为1 C.当a>0时，此函数的最大值为1，最小值为2a+1 D.当a>0时，此函数的最大值为2a+1,最小值为1 3.(多选题)下列函数中满足“对任意x1,x2∈(0， C组创新拓展 +如)，都有)- >0”的是 ( 若存在实常数k和b,使得F(x)和G(x)对其公共定 X1-x2 义域上的任意实数x都满足：F(x)≥x+b和G(x) A)=-2 B.f(x)=3x-1 ≤x+b恒成立，则称此直线y=x+b为F(x)和 G(x)的“分隔直线”.已知函数f(x)=-x2(x∈R), C.f(x)=x2-4x-3 D.f(x)=x-1 g(x)=上(x>0),若f(x)和g(x)之间存在“分隔直 二、填空题 线”，则b的取值范围为 4.函数f(x)=√6-x-3x在区间[2,4]上的最大值 为 : 142故当a>0时<0，函数x)在(-1，)上单调递减： 子，解得a=9,故选B。 当a<0时，>0，函数)在(-1，)上单调递指 5.C 因为）->0,0<<，所以函数在(0，+0） X2-X1 对点训练4：设x1,x2∈(0，+∞)且1≠x2,则 上单调递减， (+）(+ a(x1-x2） （x2-x1)+ 因为π>2>0，所以fπ)<f(2),即a<b. x1/ x1X2 △x 2-x1 x2-x1 =16()片（2)子()函数)在区间-1，小上的平均变化 x1x2 *州分分 由x1,x2e(0,+0)知12>0， (2)由函数f(x)的图像知 当有e(0,同时.0<<a>1会0，函数)在 x1x2 fx）= 所以函数f(x)在区间[0,2]上的平 (0,回上是减函数；当，e(石，+0)时，无>a>0, x+1,1<x≤3 <1,>0,函数代)在(6，+)上是指函数。 3 X1X2 3-2-3 均变化率为2012-子 2-0 综上可知，函数x)=x+（(a>0)在(0，同上是减函数，在 7.①23_b)-@表示在[a,b]上割线斜率的相反数， (a,+0)上是增函数. b-a 课堂检测固双基 f(b)-f八a越大治理能力越强. b-a 1.C由函数最大值的概念知②③正确： 对于①，在[t1,2]这段时间内，甲企业对应图像的割线斜率的 2.C观察题中图像可知，图像的最高点坐标是(0,3)，从而其 相反数大，故甲企业的污水治理能力比乙企业强，正确；对于 最大值是3；图像无最低点，即该函数不存在最小值.故选C. ②，要比较2时刻的污水治理能力，即看在2时刻两曲线的 3.C△y=f1+△x)-f1)=2(1+△x)2-4-(2-4)= 切线斜率，切线斜率的相反数越大，污水治理能力越强，故在 2(4x)2+4Ax,A=24r+4,故选C 2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强，正确：对于③，在 :3时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水达标排放量以 4B晒数)=宁-+子=宁-1户+1的定义城和 下，正确；对于④，甲在[t,t2]这段时间内的污水治理能力最 值域都是[1，b],且函数f代x)在[1，b]上为增函数， 强，错误.综上，正确的序号为①②③ =6-10+1=6,即}6-1)2=6-1 8.(1,3]如图可知f(x)在[1，a]内是单调递减的， 又：6>1(6-1)=1，解得6=3，放选B 5.1<2<31= ）-s=,-）-6① ti-to t-ti kn,。=飞）二)=hx,由图得<h<心<属< t3-t2 01 练案[21] 又：f代x)的单调递减区间为(-，3]，.1<a≤3. A组基础巩固 9.(1)证明：设x1,2∈(0，+∞)且x1≠x2,则 1.A函数代)=在[1,2]上是减函数，所以x=1时，x)的 △y △x 2一x1 2一1x1X2 最大值为1，即A=1,x=2时)的最小值为2，即B= 1 由x1,2∈(0，+∞)知，x152>0, 10 则A-B=1-子宁 ! >0,故f(x)在(0，+0)上是增函数 △x 2.B由于圆口杯的形状是“下细上粗”，则开始阶段饮料的高度 增加较快，往后高度增加得越来越慢，仅有B中的图像符合题意. (2)由(1)可知)在[宁2]上为增函数。 1 3.C由已知得：>1…-1<x<0或0<x<1,故选C =-2=方2)=-2，解得a= 4Bf八x)=反从1到a的平均变化率为义=五-l= 1 △x=a-11+a 后=0.(1))=2-2x+2=(x-1)2+1,xe3,3, 208 “九)的最小值是f)=1,又因为2)=子3)=5， 1 则A=专+2+2.为（西+2）-1(5+2) 所以f(x)的最大值是f3)=5, X2-x Γ(x2-x1)(x1+2)(x2+2) 2 即f(x)在区间[2,3]上的最大值是5，最小值是1， =(x+2)(x+2) (2)g(x)=f(x)-mx=x2-(m+2)x+2在[2,4]上是单 由1，x2e(-0,-2)知，x1+2<0,2+2<0, 调函数.m2≤2或m+2≥4，即m≤2或m≥6 所以(x1+2)(:2+2)>0,即A>0, 2 2 △x 故m的取值范围是(-∞，2]U[6,+0). 所以f(x)在(-∞，-2)内单调递增， B组素养提升 (2)任取x1,x2∈(1，+0)，且x1≠x2, 1.C当a>0时，函数y=ax+1在[1,2]上单调递增， X2 X1 .ymin =a+1,ymus =2a+1, 则Ay=女-a-0(-a）-(32-a) △x x2-x1 (x2-1)(x1-a)(x2-a .2a+1-a-1=2,.a=2. -a 当a<0时，函数y=ax+1在[1,2]上单调递减， =(-a)(-a ∴.ymin=2a+1,yx=a+l, 由a>0,1,e(1,+0),且A<0知(x-a)(6-a)>0 a+1-2a-1=2,a=-2. △x 综上可知a=±2. 恒成立，所以a≤1，故0<a≤1， 2.AD当a<0时，函数y=ax+1在区间[0,2]上单调递减，当 所以a的取值范围为(0,1]： x=0时，函数取得最大值为1；当x=2时，函数取得最小值为C组创新拓展 2a+1.当a>0时，函数y=ax+1在区间[0,2]上单调递增， [0,4]如图所示， 当x=0时，函数取得最小值为1，当x=2时，函数取得最大值 为2a+1.故选AD =+ -g(x) 3AD因为对任意e(0,+2),都有-人>0， x1-X2 所以代0在0，+0)上单调递增.对于A,易知=2 x 在(0，+∞)上单调递增，故A正确： y=fx) 对于B,f(x)=3x-1在R上单调递增，故B正确； 由图可知，-≤x+b≤文，可得x+c+b≥0对任意的xe 对于C,f(x)=x2-4x-3的图像开口向上，对称轴方程为x= R恒成立， 2,所以f(x)在(-∞，2)上单调递减，在[2，+∞)上单调递： 则41=2-4b≤0，即2≤4b,不等式k2+bx-1≤0对任意的 增，故C错误； x>0恒成立， 对于D)=-因为y=在(0，+0)上单调递增，y ①若k>0,当x→+∞时，(kx2+bx-1)→+∞，不符合题意； -士在(0，+如)上单调递增。 ②若k=0,则x-1≤0对任意的x>0恒成立，则6≤}，可得 b≤0， 所以)=-士在(0，+×)上单调递增，放D正确 又b≥号对任意的xeR恒成立，则b≥0，所以6=0： 4.-4因为y=√6-x在区间[2,4]上是减函数，y=-3x在区 ③若k<0,则△2=b2+4k≤0，所以b≤16k2≤64b, 间[2,4]上是减函数，所以函数f(x)=√6-x-3x在区间[2， 即b4-64b=b(b3-64)=b(b-4)(b2+4b+16)≤0，解得0≤ 4]上是减函数，所以f(x)m=f2)=√6-2-3×2=-4 b≤4. 5.1(-∞，0]当a=-1时，f(x)=x2+2x+1,其图像开口 综上所述，实数b的取值范围是[0,4]. 向上，对称轴为直线x=-1, 3.1.3函数的奇偶性 所以函数f(x)=x2+2x+1在[0,2]上单调递增，所以函数 fx)在[0,2]上的最小值为f(0)=1.若f(0)是f(x)的最小 第1课时 函数的奇偶性 值，说明f(x)图像的对称轴，即直线x=a在y轴左侧或与y 轴重合，则a≤0，所以a的取值范围为(-o,0]. 必备知识探新知 知识点1：任意一个x-f(x)f(x) 6()证明：当a=-2时)=平2 对应练习 设x1,x2e(-0,-2),且x1≠x2, 1.()×(2)×(3)V(1)不一定，如函数x)= —209