精品解析：湖南省岳阳市岳阳县第一中学2025-2026学年高二上学期10月月考数学试题

2025年10月高二上学数学月考试题 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 已知复数，则（ ） A. B. 1 C. D. 2. 已知直线的方向向量为，平面的法向量为，则与的关系是（ ） A. B. C. D. 或 3. 袋子中有大小、形状、质地完全相同的4个小球，分别写有“风”、“展”、“红”、“旗”四个字，若有放回地从袋子中任意摸出一个小球，直到写有“红”、“旗”的两个球都摸到就停止摸球.利用电脑随机产生1到4之间取整数值的随机数，用1，2，3，4分别代表“风”、“展”、“红”、“旗”这四个字，以每三个随机数为一组，表示摸球三次的结果，经随机模拟产生了以下20组随机数： 411 231 324 412 112 443 213 144 331 123 114 142 111 344 312 334 223 122 113 133 由此可以估计，恰好在第三次就停止摸球的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，已知点是线段上的动点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知直线，且与以点，为端点的线段有公共点，则直线斜率的取值范围为 （ ） A. B. C. D. 6. 同时抛掷一白一红两枚质地均匀的骰子，用表示白色骰子的点数，表示红色骰子的点数，设事件“”，事件“为偶数”，事件“”，则下列结论正确的是（ ） A. 与对立 B. C. 与相互独立 D. 与相互独立 7. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 8. 已知圆，一条光线从点处射到直线上，经直线反射后，反射光线与圆有公共点，则反射光线斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每题5分，共15分） 9. 下列四个命题中正确的有（ ） A. 过点，且在轴和轴上的截距的绝对值相等的直线方程为， B. 若直线和以为端点的线段相交，则实数的取值范围为 C. 若三条直线不能构成三角形，则实数所有可能的取值组成的集合为 D. 若直线沿轴向左平移个单位长度，再沿轴向上平移个单位长度后，回到原来的位置，则该直线的斜率为 10. 关于下列命题，正确的是（ ）． A. 若点在圆外，则或 B. 已知圆，直线，则直线l与圆M相交或相切 C. 已知点P是直线上一动点，PA、PB是圆的两条切线，A、B是切点，则四边形PACB的最小面积是2 D. 设直线系，M中的直线所能围成的正三角形面积都等于 11. 如图，在棱长为1的正方体中，下列命题正确的是（ ） A. 平面平面，且两平面的距离为 B. 当点在线段上运动时，四面体的体积恒等于四面体的体积 C. 与正方体所有棱都相切的球的体积为 D. 若是正方体的内切球的球面上任意一点，是外接圆的圆周上任意一点，则的最小值是 三、填空题（（每题5分，共15分） 12. 已知动直线，圆，则直线与圆C相交的最短弦长为______． 13. 已知向量以为基底时的坐标为，则以为基底时的坐标为______． 14. 小华玩一种跳棋游戏，一个箱子中装有大小质地均相同的且标有的10个小球，每次随机抽取一个小球并放回，规定：若每次取到号码小于或等于5的小球，则前进1步，若每次取到号码大于5的小球，则前进2步．每次抽取小球互不影响，记小华一共前进步的概率为，则______，______．（用表示） 四、解答题（共80分） 15. 已知直线． （1）求经过点且与直线垂直的直线方程； （2）求经过直线与的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程． 16. 已知的三个顶点是，，． （1）求边上的中线所在直线的一般式方程； （2）过点B做直线的垂线，求垂足D的坐标． 17. 若的内角，，的对边分别为，，，且，，是边上一点. （1）求外接圆的半径； （2）若是的平分线，且的周长为15，求线段的长； （3）若，且，求的面积. 18. 已知定点，点为圆上的动点，为的中点． （1）求的轨迹方程； （2）若过定点的直线与的轨迹交于两点，且，求直线的方程． 19. 已知一条动直线，直线l过动直线的定点P，且直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点． （1）是否存在直线l满足下列条件：①△AOB的周长为12；②△AOB的面积为6．若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由． （2）当取得最小值时，求直线l的方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年10月高二上学数学月考试题 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 已知复数，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出复数，再利用复数的模长公式求解即可. 【详解】因为， 所以. 故选：C. 2. 已知直线的方向向量为，平面的法向量为，则与的关系是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线的方向向量与平面法向量的位置关系确定直线与平面的位置关系. 【详解】因为，所以. 所以. 故选：A 3. 袋子中有大小、形状、质地完全相同的4个小球，分别写有“风”、“展”、“红”、“旗”四个字，若有放回地从袋子中任意摸出一个小球，直到写有“红”、“旗”的两个球都摸到就停止摸球.利用电脑随机产生1到4之间取整数值的随机数，用1，2，3，4分别代表“风”、“展”、“红”、“旗”这四个字，以每三个随机数为一组，表示摸球三次的结果，经随机模拟产生了以下20组随机数： 411 231 324 412 112 443 213 144 331 123 114 142 111 344 312 334 223 122 113 133 由此可以估计，恰好在第三次就停止摸球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用列举法求出恰好在第三次就停止摸球的随机数有3个，再利用古典概型的概率求解. 【详解】由题得恰好在第三次就停止摸球的随机数有：324，443，334，共有3个. 由古典概型的概率公式得恰好在第三次就停止摸球的概率为. 故选：B 4. 在平面直角坐标系中，已知点是线段上的动点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可知：表示点与点连线的斜率，结合图象分析斜率的取值范围即可. 【详解】当时，；当时，， 所以线段的最左端是，最右端是， 表示点与点连线的斜率， 当点在点A处时，； 当点在点B处时，； 结合图象可知，的取值范围是． 故选：C． 5. 已知直线，且与以点，为端点的线段有公共点，则直线斜率的取值范围为 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合图象，求出端点处的斜率，从而求出函数的斜率的取值范围即可. 【详解】 直线恒过定点， 直线过点时，设直线的斜率为， 所以， 直线过点时，设直线的斜率为， 所以， 要使直线与线段有公共点， 则直线的斜率的取值范围为. 故选：. 6. 同时抛掷一白一红两枚质地均匀的骰子，用表示白色骰子的点数，表示红色骰子的点数，设事件“”，事件“为偶数”，事件“”，则下列结论正确的是（ ） A. 与对立 B. C. 与相互独立 D. 与相互独立 【答案】B 【解析】 【分析】根据对立事件的定义，可判定A错误；根据古典摡型的概率计算公式，可判定B正确；利用古典摡型的概率计算公式，结合，可判定C错误；结合，可判定D错误. 【详解】对于A中，当时，，，事件与同时发生， 所以事件与不对立，所以A错误； 对于B中，因为，当时，要使得为偶数，有6种情况； 当时，要使得为偶数，则，有3种情况； 当时，要使得为偶数，有6种情况， 又由抛掷两枚骰子，共有种情形，所以，所以B正确； 对于C中，事件有：，共有5种情形，概率为， 事件“”，有 ，共有18种情形， 所以概率为，且， 则，所以与不相互独立，所以C错误； 对于D中，事件“为偶数”，事件“为奇数”， 有共9种情形， 所以概率为， 又由，，可得， 所以与不相互独立，所以D错误. 故选：B. 7. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间直线与平面，直线与直线，平面与平面不同位置的定义，判定定理及性质定理，以及几何特征，逐项分析即可． 【详解】选项A，若，，， 则直线与直线可能平行，可能相交，可能异面，故A选项不正确； 选项B，若，，， 则平面与平面可能平行，可能相交；故B选项不正确； 选项C，若，，，则，故C选项正确； 选项D，，，， 则直线与直线可能平行，可能相交，可能异面，故D选项不正确； 故选：C. 8. 已知圆，一条光线从点处射到直线上，经直线反射后，反射光线与圆有公共点，则反射光线斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用对称关系，转化为过定点的直线与圆有公共点，转化为圆心到直线的距离小于等于半径，即可列式求解. 【详解】点关于直线的对称点， 由题意可得反射光线过点，显然过点的直线与圆有公共点的直线的斜率存在， 设反射光线的斜率为，则反射光线的方程为，即， 圆心到反射光线的距离， 整理可得：，解得. 故选：B. 二、多选题（每题5分，共15分） 9. 下列四个命题中正确的有（ ） A. 过点，且在轴和轴上的截距的绝对值相等的直线方程为， B. 若直线和以为端点的线段相交，则实数的取值范围为 C. 若三条直线不能构成三角形，则实数所有可能的取值组成的集合为 D. 若直线沿轴向左平移个单位长度，再沿轴向上平移个单位长度后，回到原来的位置，则该直线的斜率为 【答案】BD 【解析】 【分析】A选项，举出反例；B选项，求出恒过，求出直线，的斜率，数形结合得到或，求出实数的取值范围；C选项，当三条直线交于一点时，，C错误；D选项，当直线的斜率不存在时，不满足要求，当斜率存在时，设直线方程为，从而得到平移后的解析式，从而得到方程，求出. 【详解】A选项，当直线经过原点时，且经过，此时直线方程为，也符合题意，故 A错误， B选项，直线，恒过定点， 直线，的斜率分别为，， 又直线的斜率为，所以或， 解得或，故实数的取值范围为，B正确；  对于C，当直线，平行时，解得， 当直线，平行时，解得， 显然直线，交于点， 当点在直线时，， 实数的取值集合为，故 C错误； 对于D，当直线的斜率不存在时，不满足要求， 当斜率存在时，设直线方程为， 沿轴向左平移个单位长度，再沿轴向上平移个单位长度后， 得到，即，故，解得， 则该直线的斜率为，故D正确． 故选：BD． 10. 关于下列命题，正确的是（ ）． A. 若点在圆外，则或 B. 已知圆，直线，则直线l与圆M相交或相切 C. 已知点P是直线上一动点，PA、PB是圆的两条切线，A、B是切点，则四边形PACB的最小面积是2 D. 设直线系，M中的直线所能围成的正三角形面积都等于 【答案】BC 【解析】 【分析】根据一般方程表示圆和点列不等式组可解出实数的取值范围，可判断A选项；计算圆心到直线的距离的取值范围，可判断B选项；找出当切线、的长取得最小值时点的位置，计算出的长，并计算出此时四边形的面积，可判断C选项；由直线系方程可知，中所有直线都是定圆的切线，易知中的直线所能围成的正三角形的面积不一定都相等，即可判断D选项. 【详解】A选项：点在圆外，即， ，， ∴或.又∵，即， ∴，∴或.A选项错误； B选项，直线过原点，圆的圆心的坐标为，且，所以圆心到直线的距离，则直线l与圆M相交或相切，B选项正确； C选项，圆的标准方程为，圆心的坐标为，半径长为， 圆心到直线的距离为， ∴，则， 四边形的面积的最小值为，C选项正确； D选项，直线系的方程为，由于点到直线的距离为，直线系中所有的直线都是圆的切线，如下图，中的直线所能围成的正三角形和面积不相等，D选项错误. 故选：BC. 【点睛】关键点点睛：本题考查直线与圆的位置关系，解题的关键是掌握点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系的应用，考查了转化和数形结合思想等数学思想方法. 11. 如图，在棱长为1的正方体中，下列命题正确的是（ ） A. 平面平面，且两平面的距离为 B. 当点在线段上运动时，四面体的体积恒等于四面体的体积 C. 与正方体所有棱都相切的球的体积为 D. 若是正方体的内切球的球面上任意一点，是外接圆的圆周上任意一点，则的最小值是 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据面面平行的判定以及空间点面以及面面距离的求解判断A；根据三棱锥的体积计算判断B；确定球的半径即可求得球的体积，判断C；将的最小值转化为正方体的外接球和内切球半径之差，判断D. 【详解】对于A，正方体中，， 即四边形为平行四边形，故， 平面，平面，故平面， 同理可证平面，而平面， 故平面平面； 设B到平面的距离为d，，则, 即，则； 同理求得到到平面的距离为； 连接，则，由于平面平面， 故，平面， 故平面，平面，故， 同理可证，而平面， 故平面，而平面平面，则平面， 又， 故平面和平面之间的距离为，A错误； 对于B，当点在线段上运动时，四面体的体积为； 而四面体的体积， 即当点在线段上运动时，四面体的体积恒等于四面体的体积，B正确； 对于C，与正方体所有棱都相切的球的直径为正方体面对角线长, 故该球体积为，C正确； 对于D，正方体的内切球球心和正方体外接球球心是同一个点，即为正方体的中心， 外接球直径为，内切球直径为1； 而外接圆为正方体外接球的一个小圆， 故由是正方体的内切球的球面上任意一点，是外接圆的圆周上任意一点， 得的最小值为正方体的外接球半径减去正方体球内切球半径，即，D正确， 故选：BCD 【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于要发挥空间想象能力，明确空间的点线面的位置关系，特别是选项D的求解，求解两个动点之间的距离的最小值，要能想象出两动点分别在正方体的内切球和外接球上运动，从而可求得距离的最小值. 三、填空题（（每题5分，共15分） 12. 已知动直线，圆，则直线与圆C相交的最短弦长为______． 【答案】2 【解析】 【分析】找到动直线经过的定点，即可找到圆心到直线距离的最大值，由垂径定理即可求出直线与圆相交的最短弦长. 【详解】动直线经过定点，且点在圆内， 圆心，圆心到动直线最长距离， ∴直线与圆C相交的最短弦长为. 故答案为：2. 13. 已知向量以为基底时的坐标为，则以为基底时的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据向量以为基底时的坐标，得到关于，，的表达式，然后设以为基底时的坐标为，得到关于，，的表达式，最后通过向量相等建立方程组，求解方程组得到，，的值，即为所求坐标. 【详解】因为向量以为基底时的坐标为，所以． 设向量在新基底下的坐标为， 则， 即 则，解得， 所以以为基底时的坐标为． 故答案为：. 14. 小华玩一种跳棋游戏，一个箱子中装有大小质地均相同的且标有的10个小球，每次随机抽取一个小球并放回，规定：若每次取到号码小于或等于5的小球，则前进1步，若每次取到号码大于5的小球，则前进2步．每次抽取小球互不影响，记小华一共前进步的概率为，则______，______．（用表示） 【答案】 ①. ## ②. （） 【解析】 【分析】根据题意由互斥事件概率加法公式和相互独立事件乘法公式求得，求出递推公式，即可得解. 【详解】由题意，前进1步的概率和前进2步的概率都是，所以， 所以； 当时，其前进步是由两部分组成：第一部分先前进步，再前进1步，其概率为； 第二部分先前进步，再前进2步，其概率为，所以. 故答案为： ；（） 四、解答题（共80分） 15. 已知直线． （1）求经过点且与直线垂直的直线方程； （2）求经过直线与的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）利用垂直的性质可设斜截式直线方程，利用待定系数法求解直线即可； （2）利用截距为0和不为0分类讨论，再结合过原点直线方程和截距式直线方程求解即可. 【小问1详解】 由直线可得斜率为， 所以根据垂直关系可设所求直线方程为， 则依题意有，解得， 所以所求直线方程为，整理得； 【小问2详解】 联立，解得，即直线与的交点为， 当直线经过原点时，满足题意，假设直线方程为， 代入得，此时； 当直线的截距都不为0时，假设直线方程为， 依题意，解得，此时直线方程为，即 综上所述：所求直线方程为或． 16. 已知的三个顶点是，，． （1）求边上的中线所在直线的一般式方程； （2）过点B做直线的垂线，求垂足D的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求得AB的中点，再利用两点式求解； （2）根据直线AC与直线BD垂直，求得直线BD的方程，然后联立方程组求解. 【小问1详解】 中点为，由直线两点式方程， 故边上的中线所在直线的一般式方程为． 【小问2详解】 由题意知，，则垂线的斜率， 故直线的方程为，即， 直线的方程为，即， 联立和方程，，解得垂足． 17. 若的内角，，的对边分别为，，，且，，是边上一点. （1）求外接圆的半径； （2）若是的平分线，且的周长为15，求线段的长； （3）若，且，求的面积. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理边角互化和三角恒等变换求得，根据即可求得外接圆的半径； （2）先由题设及余弦定理求得与，再根据平分线条件利用底面积法得到即可求得； （3）将两边平方，结合余弦定理求得，即可求得面积. 【小问1详解】 由题意知，由正弦定理得， 即， 因为， 所以， 因为，所以， 所以，即， 因为，所以，所以，， 令外接圆的半径为， 根据正弦定理可得，即 【小问2详解】 由（1）知， 在中，由余弦定理得， 所以，即， ∵的周长为15，，∴， 所以，解得， 因为， 因为是的平分线， 所以 即，解得 【小问3详解】 因为， 所以， 又，所以，即 又， 解得 所以. 18. 已知定点，点为圆上的动点，为的中点． （1）求的轨迹方程； （2）若过定点的直线与的轨迹交于两点，且，求直线的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）设点的坐标为，表达出点的坐标，将其代入中，整理可得的轨迹方程； （2）考虑直线的斜率不存在和斜率存在两种情况，由点到直线距离和弦长公式进行求解，得到答案. 【小问1详解】 设点的坐标为，则点的坐标为， 点为圆上的动点， ，化简得， 故的轨迹方程为． 【小问2详解】 圆的圆心坐标为，半径， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 此时圆心到直线的距离是，所以，满足条件； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 化简得， 因为，所以圆心到直线的距离， 由圆心到直线的距离公式得， 所以，即，平方得， 整理得，解得，故直线的方程为，即． 综上，直线的方程为或． 19. 已知一条动直线，直线l过动直线的定点P，且直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点． （1）是否存在直线l满足下列条件：①△AOB的周长为12；②△AOB的面积为6．若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由． （2）当取得最小值时，求直线l的方程． 【答案】（1）存在，3x＋4y－12＝0 （2）3x＋3y－10＝0 【解析】 【分析】（1）将直线方程化为，再根据定点满足条件列式，再设直线l的截距式方程，代入定点P，再分别表示△AOB的周长和面积，求解参数即可； （2）由（1）直线l的倾斜角，再根据三角函数表达出，令，再根据三角函数的范围与函数的单调性求解即可. 【小问1详解】 ，即， 由，解得，故动直线过定点． 设直线l的方程为， 将代入得．① 由A（a，0），B（0，b），△AOB的周长为12，面积为6，得， 令a＋b＝t，则，所以，即，化简得24t＝168，解得t＝7， 所以有，解得或． 其中不满足①，满足①． 所以存在直线l的方程为，即3x＋4y－12＝0满足条件． 【小问2详解】 由（1）可知直线l过定点，直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，所以直线l的倾斜角， 所以，， 所以，② 令， 因为，所以，所以， 所以． 则， 因为在上为减函数，所以在上为增函数， 故当，即时，取得最小值． 此时直线l的方程为，即3x＋3y－10＝0． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $