12.3.1 等腰三角形的性质（教学课件）数学新教材华东师大版八年级上册

该初中数学课件聚焦等腰三角形的定义、“等边对等角”“三线合一”性质及等边三角形性质。课堂导入通过观察图片引发兴趣，前承全等三角形判定，后经剪纸对折等合作探究引导发现性质，构建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以几何直观（图片观察）和动手操作培养数学眼光，通过性质证明和例题推理发展数学思维，结合屋顶钢架、斜拉索桥等情境强化数学语言应用。典例与变式结合，小结系统梳理，助力学生构建知识体系，也方便教师高效备课。

12.3.1 等腰三角形的性质 第12章 全等三角形 华师大版2024·八年级上册 章节导读 学 习 目 标 掌握等腰三角形基本定义 能准确定义等腰三角形；能正确识别图形中的腰、底边；能准确标注顶角和底角；掌握基本要素间的对应关系 掌握等腰三角形的性质一 能完整表述"等边对等角"定理；能用几何语言表达定理（若AB=AC，则∠B=∠C）；理解并证明其逆定理（等角对等边） 掌握等腰三角形的性质二 理解"三线合一"的具体含义；能证明顶角平分线、底边中线、高线三线重合；会利用该性质简化几何证明；能解决相关的实际测量问题 课堂导入 观察下面的图片，你能说出里面有那个几何图形？ 说一说他们有哪些共同的特点 新知探究 等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，如图所示AC=BC，△ABC是等腰三角形。 指出等腰三角形中，腰、底边、顶角和底角 等腰三角形中相等的两边都叫做腰； 另一边叫做底边两腰的夹角叫做顶角；腰和底边的夹角叫做底角 合作探究 请同学们拿出剪刀、纸分别剪出三个不同的等腰三角形（如图所示） 将左边三个等腰三角形对折，使得两腰重合，你发现了什么？ 新知探究 等腰三角形的性质1 由此得到以下等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，简写成 “等边对等角”如图所示，若△ABC为等腰三角形，则∠A=∠B 同学们交流一下，写出证明过程。 典例分析 例1 . 如图，在△ABC中，∠C=55°，将△ABC绕点A 顺时针旋转一定角度后，得到△A'B'C'， 且点C'在边BC上，则∠B'C'B的度数为（ ） A. 50° B. 70° C. 75 ° D. 80° B 变式训练 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，将△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到△A'B'C'（点B的对应点是点B'，点C的对应点是点C'），连接CC'．若∠CC'B'=32°，则∠BCA=（ ） A．13° B. 28° C. 32° D. 45° A 典例分析 例2 . 已知：如图，在△ABC中，CD是中线，且CD=AB，试判断△ABC是什么形状，并说明理由． 解：△ABC是直角三角形 ∵AD=DB，CD=AB，∴AD=BD=CD ∴∠A=∠2，∠1=∠B 又∵∠A+∠2+∠1+∠B=180° ∴∠2+∠1=90°，即∠ACB=90° ∴△ABC是直角三角形 1 2 变式训练 如图，在△ABC中，AB=BC，BE平分∠ABC，AD为BC边上的高，且AD=BD．求证：∠ABE=∠CAD． 证明：∵AD为BC边上的高，且AD=BD ∴∠ABD=∠BAD=45° ∵BE平分∠ABC ∴∠ABE=∠ABC=22.5° ∴∠BAC=∠C= ∴∠DAC=∠BAC-∠BAD=67.5°-45°=22.5° ∴∠ABE=∠CAD 新知探究 等腰三角形的性质2 等腰三角形底边上的高、中线及顶角的平分线重合，简写成“等腰三角形的三线合一” CD 是等腰△ABC的角平分线、中线、高 典例分析 例3 .如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中AB=AC，工人师傅在焊接立柱时，只需找到BC的中点D，就可以说明竖梁AD垂直于横梁BC了，工人师傅这种操作方法的依据是（ ） A. 等边对等角 B. 等角对等边 C. 垂直平分线的性质 D. 等腰三角形的“三线合一” D 变式训练 图1为某斜拉索桥，该斜拉索桥的拉索和桥面构成等腰三角形．图2为其示意图，在△ABC中，AB=AC，若D是BC边上的一点，则下列条件不能说明AD⊥BC的是（ ） A. BD=CD B. ∠ADB=∠ADC C. ∠BAD=∠CAD D. BC=2AD D 典例分析 例4 .已知：如图AB=AC，∠EFH=∠B，BE=CF，M是EH的中点．求证：FM⊥EH． 证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C ∵∠EFH=∠B，∴∠CFE=∠B+∠BEF=∠EFH+∠BEF ∵∠CFE=∠EFH+∠CFH ∴∠BEF=∠CFH 在△BEF和△CFH中， ∴△BEF≌△CFH（ASA） ∴EF=FH ∵M是EH的中点，∴FM⊥EH 变式训练 如图，在△ABC中，AB=AC，D、E分别是边BC，AC上的点，连接AD，BE．若AD、BE分别是△ABC的中线和角平分线，∠CAD=20°，求∠CBE的度数． 解：∵AB=AC，AD是△ABC的中线，∠CAD=20° ∴AD⊥BC，∠CAD=∠BAD=20° ∴∠BAC=40°， ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠C=(180°-∠BAC)=70° ∵BE=∠ABC的角平分线 ∴∠CBE=∠ABC=35° 新知探究 等边三角形 定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，如图所示，若AB=AC=BC，则三角形ABC是等边三角形 等边三角形的各个角都相等， 并且每一个角都等于60° 60° 60° 60° 典例分析 例5 .如图，在等边△ABC中，AB=6cm，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，且∠E=30°．则CE的长是（ ） A．1cm B. 2cm C.3cm D.4cm C 提示：根据等边三角形的性质得∠ACB=60°，DC=AD=3cm。运用三角形的外角性质得∠EDC=30°=∠E，再由等角对等边，解答即可 变式训练 如图，在△ABC中，AB=AC．以AB、AC为边在△ABC的外侧作两个等边三角形△ABE和△ACD，且∠EDC=40°，则∠ABC的度数为（ ） 提示：由题意得∠EAB=∠AEB=∠CAD=∠ADC=60°，AB=AC=AE=AD，∠ABC=∠ACB， 则有∠AED=∠ADE=20°，然后根据三角形内角和及等腰三角形的性质可进行求解 A．75° B. 80° C.70° D.55° B 课堂练习 1.如图，△ABC中，AB=AC，∠B=70°，AD是BC边上的中线，则∠CAD的度数为（ ） B A．20° B. 30° C.40° D.50° 提示：根据三角形内角和定理得出∠BAC=180°-70°-70°=40°，再由等腰三角形的性质求解即可 课堂练习 2．如图，在△ABC中，∠C=55°，将△ABC绕点A顺时针旋转一定角度后，得到△A'B'C'，且点C'在BC边上，则∠B'C'B的度数为（　　） B A．50° B. 70° C. 75° D.80° 提示：先根据旋转的性质得到AC'=AC，∠AC'B'=∠C=55°，再结合等边对等角，得到∠AC'C=∠C=55°，最后列式计算，即可作答 课堂练习 3．如图，点B，E，C，F在同一条直线上，△ABC≌△DEF，且AB=4，BC=6，BE=2，∠B=60°，连接DC，则DC的长为（ ） B A．3 B. 4 C.5 D.6 课堂练习 4. 如图，AB∥CD，△ACE为等边三角形，∠DCE=40°，则∠EAB的度数为_____． 20° 5. 如图，在△ABC中，AB=AC，点D在边BC上，连接AD，AD=CD，E是DA延长线上一点，且AE=AD，AB⊥ED，连接BE，则求∠ABC的度数为_______． 30° 课堂练习 6. 一个等边三角形、一个直角三角形以及一个等腰三角形如图放置，已知等腰三角形的底角∠3=70°，则∠1+∠2= ________． 140° 7. 如图在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，以点C为圆心，CB长为半径作圆弧，交AB于点D，若CB=4，则BD的长为______． 4 课堂练习 7．已知△ABC和△ADE按如图所示的方式放置，点D在BC边上，若AC=AE，AB=AD，∠BAD=∠CAE．求证：∠ADB=∠ADE． 证明：∠BAD=∠CAE ∴∠BAD+∠CAD=∠CAE+∠CAD 即∠BAC=∠DAE 在△ABC和△ADE中， ∴△ABC≌△ADE（SAS） ∴∠B=∠ADE，∵AB=AD,∴∠B=∠ADB ∴∠ADB=∠ADE 课堂小结 基本定义 定义：等腰三角形是指至少有两条边长度相等的三角形。相等的两条边称为腰，第三边称为底边。两腰所夹的角称为顶角，底边所对的两个角称为底角。 性质 ①等边对等角性质 两腰所对的两个底角相等 数学表达：若AB=AC，则∠B=∠C ②三线合一性质 顶角平分线、底边中线、底边高线三线重合 感谢聆听! 高效备课·轻松学习 初 中 数 学 $