12.3.1 等腰三角形的性质（Word导学案）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学上册同步备课（华东师大版2024）

12.3 等腰三角形 1 等腰三角形的性质 学习目标： 1.理解等腰三角形和等边三角形的有关概念. 2.借助轴对称图形的性质来理解等腰（边）三角形的性质.（重点） 3.能运用等腰（边）三角形的性质解决有关问题.（难点） 4.学会利用直尺和圆规作已知线段的垂直平分线.　　　　　　　　　　　 自主学习 一、知识链接 1. 三角形按边来分类可分为 三角形、 三角形和 三角形. 2. 证明两个三角形全等的方法有 、 、 、 、 . 二、新知预习 根据已有的知识完成下题： 1.有两条边相等的三角形叫做 ，相等的两边叫做 ，另一边叫 做 ，两腰的夹角叫做 ，腰和底边的夹角叫做 (请在下图中标出来）. 2.（1）已知等腰三角形的周长是14 cm，若一边长是6 cm，则另外两边为 . （2）等腰三角形的顶角为150°，则它的底角为 . 合作探究 一、探究过程 探究点1：等腰三角形的性质 活动：如图，把一张长方形的纸片按图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把它展开，得到的△ABC有什么特点？ 问题1 得到的△ABC是等腰三角形吗？如果是，请指出它的腰和底角. 问题2 每个人剪的三角形大小不同，将AB与AC重合时，你发现∠A与∠C有什么特点？ 【要点归纳】等腰三角形的两底角相等.（简写成“ ”） 例1 如图，△ABC中，已知AB=AC，BC平分∠ABD，∠A=100°，求∠1的度数． 问题3 前面的活动中，AD与BC的位置关系是什么？量一量∠BAD与∠CAD的度数，你发现了什么？ 【要点归纳】等腰三角形底边上的中线、高及顶角的平分线互相重合.（简称“ ”） 例2 如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，求证：BE=CE． 【归纳总结】 1．“三线合一”是用来证明两角相等、两线段相等及两条直线互相垂直的重要依据. 2．“三线合一”不能逆过来用，即：一个三角形中，已知三线中的“二线”重合（如高和角平分线重合），那么不能直接说明这个三角形是等腰三角形.但可以通过三角形全等来证明这个三角形是等腰三角形. 例3 如图，点D,E在△ABC的边BC上,AD=AE,AB=AC,求证：BD=CE． 探究点2：作线段的垂直平分线 操作1 已知线段AB，按以下步骤作出线段AB的垂直平分线CD. （1）分别以A，B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧交于点C和点D； （2）作直线CD. 思考1:在上述作法中,为什么要以“大于AB的长”为半径作弧? 思考2:根据上面作法中的步骤,请你说明CD为什么是AB的垂直平分线,并与同伴进行交流. 【归纳总结】可以运用线段垂直平分线的尺规作图确定线段的中点. 探究点3：等边三角形的概念及性质 问题 根据学过的知识，我们知道等边三角形的三条边都相等．试根据“等边对等角”说一说等边三角形的三个内角的关系. 【要点归纳】等边三角形的性质定理：等边三角形的 角相等，并且每个角都等于 ． 例4 如图，已知等边△ABC中，D为AC的中点，CE为BC的延长线，且CE=CD．求∠BDE的度数． 二、课堂小结 内容 等腰三角形 概念 有 相等的三角形叫做等腰三角形. 性质定理 （1）等腰三角形的 相等.（简称“ ”） （2）等腰三角形的 、 、 重合.（简称“ ”） 等边三角形 概念 三边 的三角形叫做等边三角形. 性质定理 等边三角形的 都相等，并且每个角都等于 . 作已知线段的垂直平分线 分别以A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于E、F两点，作直线EF，则_________就是其垂直平分线. 当堂检测 1.一个等腰三角形的底角是40°，则它的顶角是（　　） A．40° B．50° C．80° D．100° 【变式题】等腰三角形的一个外角等于100°，则与它不相邻的两个内角的度数分别为（　　） A．40° ，40° B．80° ，20° C．50°， 50° D．50° ，50°或80° ，20° 2.如图，已知OA＝OB＝OC，BC∥AO．若∠A＝36°，则∠B等于（　　） A．54° B．60° C．72° D．76° 第2题图 第4题图 第5题图 3.下列四种基本尺规作图中，作法错误的是（　　） A．作一个角等于已知角 B．作一个角的平分线 C．作一条线段的垂直平分线 D．过直线外一点P作已知直线的垂线 4.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D，则∠ADB的度数是　 　． 5．如图，△ABC中，AE为中线，AD为高，∠BAD=∠EAD．若BC=10，则DC=　 　． 6．如图，在△ABC中，AB=AC，D是△ABC内一点，且BD=DC．求证：∠ABD=∠ACD． 7．尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）： 如图，已知△ABC，求作△ABC的高AD． 8.如图，△ABC是等边三角形，AD⊥BC于点D，DE⊥AC于点E，求∠ADE的度数． 参考答案 自主学习 一、知识链接 1.三条边都不相等的 等腰 等边 2.SAS ASA AAS SSS HL 二、新知预习 1.等腰三角形 腰 底边 顶角 底角 2.（1）6cm，2cm或4cm，4cm （2）15° 合作探究 一、探究过程 探究点1 【要点归纳】等边对等角 例1 解：∵AB=AC，∠A=100°，∴∠ABC=∠C=40°，∵BC平分∠ABD，∴∠1=∠ABC= ∠ ABD.∴∠1=∠C=40°. 【要点归纳】 三线合一 例2 证明：∵AB=AC，AD是BC边上的中线，∴AD平分∠BAC，即∠BAE=∠CAE.在△ABE和△ACE中，∴△ABE≌△ACE（SAS）.∴BE=CE. 例3 证明：作AF⊥BC于点F，∵AD＝AE，AB＝AC，∴BF＝CF，DF＝EF， ∴BF﹣DF＝CF﹣EF，∴BD＝EC. 探究点2 操作2 解：如图所示： 思考1:解：以“小于AB的长”为半径作弧没有交点；以“等于于AB的长”为半径作弧只有一个交点，即为AB中点. 思考2:解：可用“SSS”证明. 探究点3 【要点归纳】三个 60° 例4 解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=∠ABC=60°，AB=BC.∵D为AC的中点， ∴∠DBC=∠ABC=×60°=30°．∵DC=CE，∴∠E=∠CDE．∵∠ACB=∠E+∠EDC=60°， ∴∠E=∠CDE=30°．∴∠BDE=180°-30°-30°=120°． 二、课堂小结 内容 等腰三角形 概念 有 两条边 相等的三角形叫做等腰三角形. 性质定理 （1）等腰三角形的 底角 相等.（简称“ 等边对等角 ”） （2）等腰三角形的 顶角的平分线 、 底边的中线 、 底边的高 重合.（简称“ 三线合一 ”） 等边三角形 概念 三条边 都相等 的三角形叫做等边三角形. 性质定理 等边三角形的 三个角 都相等，并且每个角都等于 60° . 作已知线段的垂直平分线 分别以A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于E、F两点，作直线EF，则 直线EF 就是其垂直平分线. 当堂检测 1.D 【变式题】D 2.C 3.C 4.108° 5．7.5 6.证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB．∵BD＝CD．∴∠1＝∠2．∴∠ABC﹣∠1＝∠ACB﹣∠2．即∠ABD＝∠ACD． 7．如图，AD即为所求． 8.解：∵△ABC是等边三角形，∴∠C＝∠BAC＝60°.∵AD⊥BC于点D，∴∠DAC＝30°.∵DE⊥AC，∴∠DEA＝90°.∴∠ADE＝60°． 学科网（北京）股份有限公司 $