2.1 第1课时 不等式关系与比较大小-【成才之路•学案】2025-2026学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导(人教A版)

031 第二章一元二次函数、方程和不等式 己.1等式性质与不等式性质 新课程标准解读 学科核心素养 会用不等式（组）表示实际问题中的不等关系 数学抽象 梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质 逻辑推理 第1课时 不等式关系与比较大小 教材梳理明要点 ●情境导入 生活中，我们经常在路上或桥上看到下列交通标志，你知道它们的含 [提示] 义吗？你能用一个数学式子表示下列关系吗？ ①最低限速50kmh, v≥50.@限制质量 10t,0<ω≤10. :30-10:00 ③限制高度3.5m,0< ② ③ ⑤ [提示] h≤3.5.④限制宽度3 4 m,0<x≤3.⑤通行时 9新知初探 间7：30-10：00， 知识点一不等关系与不等式 7.5≤t≤10. 用数学符号“≠”“>”“<”“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之 间的不等关系.含有这些 叫做不等式. 知识点二实数大小比较的基本事实 [知识点反思] 不等式a≥b读作“a 文字表示 符号表示 大于或等于b”,其 如果a-b是正数，那么 a-b>0台 含义是指“a>b或a =b”,等价于“a不 如果a-b等于0，那么 a-b=0台 小于b”,即a>b或 如果a-b是负数，那么 a-b<09 Q=b中有一个正确， 则Q≥b正确.利用作 知识点三重要不等式 差法比较大小只需判 -般地，Ha,b∈R,有a2+b2 2ab,当且仅当 时，等号 断差的符号，无需关 成立 注差的大小 [知识点反思] 032 目预习自测 1,判断下列说法是否正确，正确的打“V”,错误的打“×”. (1)不等式x≥2的含义是指x不小于2. ( (2)若x2=0,则x≥0. (3)若x-1≤0，则x<1 ( (4)两个实数a,b之间，有且只有a>b,a=b,a<b三种关系中的一种 2.若实数a>b,则a2-ab ba-b2.(填“>”或“<”) 3.已知x≠2，则x2+4与4x的大小关系为 题型探究提技能 题型一用不等式（组）表示不等关系 [方法总结1] 利用不等式（组）表示 例 1.京沪线上，复兴号列车跑出了350k/h的速度，这个速度的2倍再加 上l00km/h也不超过民航飞机的最低时速，可这个速度已经超过了普 不等关系的注意点 /,在用不等式（组）表示 通客车的3倍，请你用不等式表示三种交通工具的速度关系 不等关系时，要进行 ●[方法总结1] 比较的各量必须具有 相同性质，且单位要 统一； 2.明确表示不等关系 的关键词语：至多、 至少、大于等； )跟踪训练1 3注意隐性不等关系， 用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m,要求菜 如由变量的实际意义 园的面积不小于110m,靠墙的一边长为xm,试用不等式表示其中的不等 限制的范围 关系 [方法总结2] 作差法比较两个实数 大小的基本步骤 作 差 a-b 变 采用配方、因式 分解、通分、 有 题型二 比较两数（式）的大小 形 理化等手段，把差 转化为n个因式 乘积或商的形式 例 2.已知x<1,试比较x-1与2x2-2x的大小 ●[方法总结2] 有时也转化为完 全平方的形式 判断差与0的大小 结 利用实数a,b大 论 小比较的基本事 实 033 〉跟踪训练2 设x,y,名∈R,比较5x2+y2+z2与2xy+4x+2z-2的大小. 题型三 不等式的证明 [方法总结3] 在不等式的证明过程 例3已知a>0,求证：a+≥2， >[方法总结3] a 中，常将不等式中的 字母作适当的代换， 转换为重要不等式的 形式，呈现其内在结 构的本质， 〉跟踪训练3 已知a>0,b>0,求证：a2+3b≥2b(a+b). 随堂检测 重反馈 1.下列说法正确的是 A.某人月收入x不高于2000元可表示为“x<2000” B.小明的身高x,小华的身高y,则小明比小华矮表示为“x>y” C.某变量x至少是a可表示为“x≥a” D.某变量y不超过a可表示为“y≥a'” 2.设a=3x2-x+1,b=2x2+x,则a、b的大小关系为 () A.a>b B.a<b C.a≥b D.a≤b 3.某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩x不低于95分，文化课总分y高于380分，体育成 绩z超过45分，用不等式表示为 x≥95， x≥95， x>95, x≥95， A.y≥380， B.y>380, y>380, D.y>380, z>45 1z≥45 z>45 z>45 4.一个两位数个位数字为x,十位数字为y,且这个两位数大于70，用不等式表示为 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[10]章末复习与总结 知识点三 ≥a=b 例1：(1)C(2)C 预习自测 【解析】（1)①当x=0时，y=0,1,2,此时x-y的值分别为 1.(1)V(2)V(3)×(4)V 0,-1,-2;②当x=1时，y=0,1,2,此时x-y的值分别为1， 【解析】(1)不等式x≥2表示x>2或x=2,即x不小于2. 0,-1:③当x=2时，y=0,1,2,此时x-y的值分别为2,1,0. (2)若x2=0,则x=0,所以x≥0成立. 所以B=-2,-1,0,1,2},故选C (3)若x-1≤0，则x<1或者x=1,即x≤1 (2)若a=1,则2a-1=1,矛盾；若2a-1=1,则a=1,矛盾， (4)任意两数之间，有且只有a>b,a=b,a<b三种关系中的 故2a-1=1,解得a=1(舍)或a=-1,故M=}-1,-3, 一种，没有其他大小关系. 1},M中所有元素之和为-3，故选C 2.>因为(a2-ab)-(ba-b2)=(a-b)2,又a>b,所以(a- 例2：(1)D(2){ala<-8或a≥3} b)2>0. 【解析】(1)由题意得集合A={1},{1,2},1,3},{1,4},3.x2+4>4x方法一：x2+4-4x=(x-2)2,而x≠2，所以(x- 1,2,3},1,2,4},{1,3,4},{1,2,3,4}.故选D. 2)2>0,所以x2+4-4x>0,所以x2+4>4x. (2)用数轴表示两集合的位置关系，如图所示， 方法二：由重要不等式可知x2+4≥4x,当且仅当x=2时等号 B☐A A 成立，又x≠2，所以x2+4>4x a+1a+3-5 0 4 题型探究提技能 A 例1：设复兴号列车速度为u,km/h,民航飞机的最低速度为2 AB km/h,普通客车速度为3km/h. 或 -504a+1a+3 要使BCA,只需a+3<-5或a+1≥4，解得a<-8或a≥ 1、巧2的关系：21+100≤2,13的关系：1>32 3.所以实数a的取值范围为{ala<-8或a≥3} 跟踪训练1：由于矩形菜园靠墙的一边长为xm,而墙长为18m, 例3：(1)C(2)B 所以0<x≤18， 【解析】(1)由题图所示，U={0,1,2,3,4,5,6,7,8},A= 这时莱园的另一条边长为”02=(15-之)(m。 {1,2,3},B=3,5,6},所以CB=0,1,2,4,7,8},(CmB)∩A =1,2}.故选C. 因此菜园面积5=x·（15-交)，依题意有S≥10。 (2)由AUB=A知BCA,所以m=3或m=m.当m=3时，A ={1,3,5},B={1,3},满足AUB=A;若m=m,则m=1 即x(15-)≥110， 或0.当m=1时，/m=1,不合题意，舍去，当m=0时，A= 故该题中的不等关系可用不等式组表示 {1,3,0},B={1,0},满足AUB=A. r0<x≤18， 例4：(1)由题意得P是Q的真子集，当P是空集时，满足PQ, 为 即a+1>2a+1,解得a<0; (15-)≥10， ra≥0， 例2：(x2-1)-(2x2-2x)=x3-2x2+2x-1 当P是非空集合时，要使PQ,则{a+1≥-2，且a+1=-2 =(x3-x2)-(x2-2x+1)=x2(x-1)-(x-1)2 2a+1≤5， 与2a+1=5不同时成立， =x-0(-+1)=x-[(-）+] 解得0≤a≤2，故a的取值范围是{ala≤2}. (2)若“xeA”是“xeB”的必要条件，则BCA, (-）+>0-10 又集合B为非室集合，故有+2a之5：解得}≤a<2, r1+2a≥2， G-0-广引0e-12-2a 所以a的取值范围 1 a 2sa<2 跟踪训练2：：5x2+y2+2-(2xy+4x+2z-2) 例5：(1)A(2)C =4x2-4x+1+x2-2y+y2+z2-2z+1 【解析】(1)命题“Hx≤2，x2+2x-8>0”的否定是：3x≤ =(2x-1)2+(x-y)2+(z-1)2≥0， 2,x2+2x-8≤0.故选A. .5x2+y2+z2≥2xy+4x+2z-2, (2)由题意得“xeR,使得mx2+4x-1=0”是真命题，当m 1 当且仅当x=y=2且z=1时取等号 =0,x=4符合题意；当m≠0，只要4=16+4m≥0即可，解 例3：证法一：利用a+b≥2ab. 得m≥-4且m≠0.综上：实数m的取值范围是{mlm≥ 4}. a>0a+}a+()广=2a=2 第二章一元二次函数、方程和不等式 当且仅当a=二即a=1时，等号成立.a+1≥2. a 2.1等式性质与不等式性质 证法二：.a+ 日-2=(a+(）-2=(a-) ≥0， 第1课时不等式关系与比较大小 教材梳理明要点 a+日≥2 新知初探 跟踪训练3：因为a2+362-2b(a+b)=a2-2ab+b2=(a-b)2 知识点 ≥0， 不等号的式子 当且仅当a=b时，等号成立，所以a2+3b2≥2b(a+b) 知识点二 随堂检测重反馈 axb axb a=b a=b a<b a<b :1.CA应为x≤2000；B应为x<y;D应为y≤a,故选C -315 2.Ca-b=3x2-x+1-(2x2+x)=x2-2x+1=(x-1)2≥0， .a-b≥0即a≥b,故选C. 又：a>6>0,两边同乘正数站得方>。>0. ② 3.D“不低于”即“≥”，“高于”即“>”，“超过”即“>”，x≥ 95,y>380,z>45. 由08得>会 4.10y+x>70该两位数可表示为10y+x,∴.10y+x>70. 例3：(1)因为1≤a≤2，所以4≤4a≤8. ① 因为2≤b≤4，所以-8≤-2b≤-4 ② 第2课时等式性质与不等式性质 由①+②，得-4≤4a-2b≤4. 教材梳理 明要点 (2)方法一：设u=a+b,=a-b得a=“”,b=“” 2 2 新知初探 知识点 .4a-2b=2u+2m-u+v=u+3. 1≤u≤4，-1≤v≤2，.-3≤3v≤6 b=aa=ca±c=b±cac=bca=b c c 则-2≤u+3m≤10，即-2≤4a-2b≤10. 知识点二 方法二：令4a-2b=x(a+b)+y(a-b). b<a azc a+czb+c aczbe a+c>b+d aczbd a" ..4a-26=(x+y)a+(x-y)b. >b" [x+y=4,x=1,又1≤a+b≤4， 预习自测 x-y=-2,y=3.又{-3≤3(a-b)≤6. 1.D令a=2,b=-2,c=3,d=-6,可排除A、B、C.由不等式 .∴.-2≤4a-2b≤10. 的性质5知，D一定成立 跟踪训练3：(1){x-2yl-11<x-2y<0 2.(1)>(2)<(3)>(4)< (2){4a-2b15≤4a-2b≤10} 【解析】(1)如果a>b>0,那么0<L<上， ，即>>0 【解析】(1)因为2<y<3,所以-6<-2y<-4.所以-5+ 6> a (-6)<x-2y<4+(-4),即-11<x-2y<0. (2)如果a>b,那么-2a<-2b: (2)令a+b=4,a-b=v,则2≤u≤4,1≤u≤2.由 (3)如果a>b>0,那么a0>b10 (4)如果a>-b,那么-a<b,所以c-a<c+b. a+b=,解得 a=utu 2, 题型探究提技能 a-b=v; 则40-2b=4ד生-2ד2号 2 例1：(1)D(2)AD 【解析】（1)方法一：c2≥0，.c=0时，有ac2=bc2,故A 2u+2v-u+=u+3.而2≤u≤4,3≤3≤6，则5≤u+3u≤ 为饭命通：由a6>0,有的>0→品>流行>。故B为 10.故5≤4a-2b≤10 随堂检测重反馈 假命题： 0x6<03-a>-b20=-方>-7043 1.B.x<a<0,.x2>a2.x2-ax=x(x-a)>0,.x2>ax 又ax-a2=a(x-a)>0,..ax>a2..x2>ax>a2.故选B. La<b<0=-a>-b>0 ra>b→b-a<0, 2A若a>1,则0<人<1，故<1，所以“a>1”能推出“ {>6→->062>0=b< 。,故C为假命题；1>11 a ab <1”.取a=-1,则<1成立，但a>1不成立，故“a>1”是 0.:a>b,.a>0且b<0,故D为真命题 方法二：特殊值排除法.取c=0,则ac2=bc2,故A错误；取a “上<1”的充分非必要条件，故选A a =2,b=1,则1 =分石=1，有行<方，故B辑误；取a=3B对于①.由0>0>6可知，0≤a<-6,则由性质7可知。 11 -26=-1,则台=分号=2，有台号故c错说 (-b)2>(-a)2,即62>a2,故①错误；对于②，性质7不具有 可逆性，故②错误：对于③，当0>4>b时，>1，故③错误： (2)若a<0<b,c<d<0,则ac>bd,故A错误；若ab>0,bc a以>0，则片-号>0故B三确：若6>d则-d> 对于④，因为a>b,所以a-b>0,所以a3-b=(a-b)(a2+ -c,又a>b,则a-d>b-c,故C正确；若a=-1,b=-2,c 山+)=(a-6)[(a+)广+]>0，放d>6,④正确 =2,d=1,则号-1，兰=-1，号=名故D错说 4.{x-yl27<x-y<56} 28<y<33, 跟踪训练1：AD①由2>t可知2>0，所以x>y,故2> -33<-y<-28.又：60<x<84,.27<x-y<56.由 t→x>y;②当t>0时，x>y,当t<0时，x<y,故xt>t台x >y;③若x=-2,y=-1,则虽有x2>y2,但是x<y,故x2>y 28<y<33,得 3 为>④由0<士<知，>0，所以0<上<10< 1 y 2.2 基本不等式 ·y<·yx>y 第1课时基本不等式 例2：因为a>b>c,所以-c>-b. 所以a-6>8-6>0所以。6>>06.2>0， 教材梳理 明要点 a-b a-c 新知初探 即1 1>0.又b-c>0, 知识点一 即a-6+e-a a=b算术几何不小于 所以，>0所以。6+6e+。>0 知识点二 跟踪训练2：.a>b>0,∴.a>b>0. ① 22p 4 -316-