5.4.2 第1课时 正弦、余弦函数的周期性与奇偶性-【成才之路•学案】2025-2026学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导(人教A版)

154 3,函数y-品的定义域为 A.[0,π] B.{第一或第二象限的角} C.{x|2π<x<(2k+1)T,k∈Z D.(0,T) 4.在[0,2π]内，不等式sinx<- 5的解集为 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[47] 5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质 第1课时 正弦、余弦函数的周期性与奇偶性 新课程标准解读 学科核心素养 了解周期函数的概念、正弦函数与余弦函数的周期性，会求函数的周期 数学抽象、数学运算 了解三角函数的奇偶性以及对称性，会判断给定函数的奇偶性 逻辑推理、直观想象 教材梳理明要点 9情境导入 春夏秋冬，一年四季更替，以年为周 期；月亮盈亏转换，以月为周期；日出日落， 一个周期是24小时.正弦函数与余弦函数 [提示] 有周期性吗？ D[提示] 正弦函数与余弦函数 曰新知初探 都是周期函数，都以 2元为周期. 知识点一函数的周期 1.周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D,如果存在一个非零常数T,使 得对每一个x∈D都有(x+T)∈D,且 ,那么函数(x)叫做周期函 数. 叫做这个函数的周期。 2.最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个 ,那么 这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期. 知识点二正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性 [知识点反思] 函数 y=sin x y=cos x 周期函数的周期不止 一个，若T是周期，则 周期 2kπ(k∈Z且k≠0) 2kT(k∈Z且k≠0) kT欣∈N*)一定也是周 期；函数y=Asin(ωx+ 最小正周期 2T 2π p),y=Acos(ωx+o)的 奇偶性 奇函数 偶函数 最小正周期T-2元 Iω [知识点反思] ●155 ©预习自测 1.函数f(x)=√2sin2x的奇偶性为 A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数 2.若函数y=sin(x+p)(0≤p≤π)在R上为偶函数，则p可等于（ A.0 c段 D.不 题型探究提技能 题型一三角函数的周期 例1求下列函数的周期： [方法总结1] （1)y=sim2;(2y=2sin3-君：(3y=lsx,xeR 求三角函数周期的 方法 >[方法总结1] 1.定义法：紧扣周期 函数的定义，寻求对定 义域内的任意实数x 都满足(x+T)=f(x) 〉跟踪训练1 的非零常数T.该方法 主要适用于抽象函数 求下列函数的最小正周期： 2.公式法：对形如y= (1)y=sm3x+写：(2y=mx1:(3)y=sin2-年 Asin(ωx+p)和y=A cos(ωx+p)(其中A, ω，0是常数，且A≠0， ω≠0)，可利用T= 题型二三角函数奇偶性的判断 得未求 例2判膨断下列函数的奇偶性： 3.图象法：可画出函 数的图象，借助于图象 (1)f(x)=Isin xl cos x;(2)f(x)=sin +: 判断函数的周期，特别 是对于含绝对值的函 (3)f(x)=1+sin x-cos'x 数一般可采用此法 1 sin x P[方法总结2] [方法总结2] 三角函数奇偶性的判 》跟踪训练2 断，先根据诱导公式将 判断下列函数的奇偶性： 函数式化简，再依据函 数奇偶性定义，一看函 (1)=s(牙+2x·0s(m+x):(2)=V-cosx+/eos-I. 数的定义域是否关于 原点对称；二看f(x) 与-x)的关系判断. 156 题型三三角函数奇偶性与周期性的综合运用 例3(I)下列函数中是奇函数，且最小正周期是m的函数是 () A.y=cos12xl B.y=Isin 2xl C.y=sin(+2 D.y=cs (2)定义在R上的函数f(x)既是偶函数，又是周期函数，若f(x)的最 小正周期为m,且当x∈0，牙时，x)=sinx,则fT等于 ( 1 A.一2 B I C.3 03 [方法总结3] 2 解答此类题目的关键 [方法总结3] 是利用化归的思想，借 》跟踪训练3 助于周期函数的定义 把待求问题转化到已 (1)奇函数f(x)满足fx+罗=x),当xe[-牙，0时fx)=3cosx,则 知区间上，代入求解 即可， 月-西)的值为 (2)函数y=f(x)是R上的周期为4的奇函数，且f(-3)=3,则f(2023)= 随堂检测重反馈 1函数y=sm一受+平的最小正周期为 A.T B.2π C.4π 2 2.(多选)如图所示的是定义在R上的四个函数的图象，其中是周期函数的图象的是 0 3.函数y=cos2x的图象 A关于直线x=-平对称 B.关于直线x=~罗对称 C.关于直线x=对称 D.关于直线x-平对称 4.(2023·天津高考)已知函数f(x)图象的一条对称轴为直线x=2,f(x)的一个周期为4，则f(x)的 解析式可能为 A.)=sin B.F()=00 Cx)=sin平 Dx)=cos平r 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[48]4π5m 5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质 lsin x 第1课时正弦、余弦函数的周期性与奇偶性 教材梳理明要点 图2 新知初探 (2)首先用五点法作出函数y=sinx,xe[0,4π]的图象，再将 知识点 x轴下方的部分对称到x轴的上方.如图2所示 跟踪训练2：D将函数写成分段函数可得y= 1.f代x+T)=f代x)非零常数T2.最小的正数 预习自测 sin,0≤x<牙， 1.Af代x)=2sin2x的定义域为R,f代-x)=2sin2(-x)= <x≤T,观察选项可知选D. -2sin2x=-f(x),所以f(x)是奇函数.故选A. 2.C 3 代人排除，当9=受时，y=in(x+受)=0sx为偶 sinxx2 函数 例3：首先作出y=sinx在[0， 题型探究提技能 2π]上的图象.如图所示，作 直线y=之 = 例1：(1)方法一：令u=7x,则y=sinu是周期函数，且周期 为2π. 根据特殊角的正弦值，可知该 直线与y=sinx,xe[0,2π]的交点横坐标为π和严 m(分+2）=sm7,即sim[(e+4)]=sim 6 6 作直线y-该直线与y=e[0,2a]的交点横坐标 ·y=sm之x的周期是4m 为号和停 方法二：（公式法）：。=分7-2平=4m 1 观察图象可知，在[0,2m]上，当行<x≤号，或≤x<时， 3 6 (2)方法-2m(告-君+2）=2n(号-石）。 不等式<血成立 2in[3(x+6)-]=2(-） 所以<血s 的解集为 y=2n(号-无)的周期是6m。 {君+2m<≤号+2m或写+2km<君+2m,heZ} 3 6 方法二：0=T-平=6m 1 跟踪训练3：（任，子） 在同一坐标系中画出y=sinx,xe(0 (3)y=Icos xl的图象如下图（实线部分）所示， 2m)与y=cosx,xe(0,2m)的图象如图所示， 由图象可知，y=Icos x|的周期为T. y=sin x y=cos x 2 42 跟踪训练1：(1)w=3,.T=2四 3 由图象可观察出当x∈（4,4 (T5π 时，sinx>cosx. (2)作图如下： 随堂检测重反馈 1.A 2.D用特殊点来验证.x=0时，y=-sin0=0,排除选项A、C; 观察图象可知最小正周期为π 又=-受时，y=-m(-受）=1，排除选项B (3:0=2心7=2=m 2 3.C要使函数y二√有意义，则需sm>0,由y=simx的 例2：(1)函数的定义域为R 图象可得{xl2kT<x<(2k+1)π，keZ f(-x)=Isin(-x)I cos(-x)=Isin xl cos x=f(x), 4() 由图可知，当xe(怎号)时，不等式m< .函数f代x)是偶函数. 2=(+）=-eR -347 第2课时正弦、余弦函数的单调性与最值 函数)=m(华+要)是偶函数 教材梳理明要点 新知初探 (3)函数应满足1+sinx≠0， 知识点 则函数fx)=1+ix二cos的定义域为 1+sinx [-1,1] [-1,][-受+26m,受+26m]kez[受+ {eRx≠2hm+要，keZ 2kr,2k kez [-m+2ka,2km],kez [2ka,n+ 显然定义域不关于原点对称， 故函数x)=I+si血x-c0s为非奇非偶函数。 2m],keZ牙+2km,keZ-牙+2km,keZ2km,keZ 1+sin x 跟踪训练2：(1)函数的定义域为R, 1 T+2km,kEZ -1 预习自测 由)=c（受+2x）·co(m+)=-m2x·(-cosx) 12km-受(keZ)因为y=2-simx,所以当mx=-1时， =sin2x·cosx f-x)=sin(-2x)·cos(-x)=-sin2x·cosx ym=3,此时x=2km-交(keZ). 所以f代-x)=-f(x)fx)为奇函数. 2.[-π，0]函数y=2cosx在区间[-π，π]上的单调递增区 (2)由1-c0sx≥0且c0sx-1≥0，得c0sx=1,从而x=2hT, 间与y=cosx的相同，为[-T,0] keZ, 此时f(x)=0,故该函数既是奇函数又是偶函数 题型探究提技能 例3：(1)D(2)D 例1：【分析】(1)可采用整体换元法并结合正弦函数、余弦函 【解析】(1)y=cos2xl是偶函数，y=lsin2xl是偶函数，y= 数的单调区间求解；(2)可先将自变量x的系数转化为正数 再求单调区间. m(7+2x）=6as2x是偶画数，y=cs(要-2x）= 【解析】()令z=2x+牙，而函数y=c0sz的单调递减区间 -si2x是奇函数，根据公式得其最小正周期T=π.故选D. 是[2km,2km+π](keZ): 2r()=f(-）=f()=f(-）= 当原函数单调道减时，可得2km≤2x+号≤2km+m(ke ()()号-要 Z), 跟踪训练3：()-子（2)-3 解得m-石≤≤km+号(keZ). 【解析】(D由(+受)=)可知T=7(-) 原函数的单调递减区间足[k-m+]eZ) =(-3m+君）=f(君}又)为寺画数，且当xe (2)y=3am(石-3x）=-3sin(3x-石)】 (-年0)时f)=5csx,f(石）=-f(-石）= 令：=3x-石，则y=-3,由y=-3sin:的单洞递减区 间，即为y=sinz的单调递增区间， -5ms(-g）=-3 -受+2m≤：≤受+2hm,keZ (2):f(x)为周期是4的奇函数，f(2023)=f(4×505+3) =f(3)=-f代-3)=-3. 即-号+2km≤3x-石≤号+2m,keZ 随堂检测重反馈 1=4m故选c. 2π 解得-哥+2≤≤3+号，eZ 0 3 3 1.CT= -2 所以原画美的单调线区网为[-号+号+]乙 2.ABC观察图象易知，只有D选项中的图象不是周期函数的 图象.故选ABC. 跟踪训练1：()A(2[km+名，m+keZ) 3B函数的对称轴满足2x=m,ke乙所以x=宁，ke乙，取 【解析】（(1)方法一（常规求法）：令-受+26m≤x-石≤ k=-1得B选项，选B. 4.B由三角函数的最小正周期T-红，可得y=sim(受)与y 受+2m,keZ,符-号+2m≤≤+2hm,keZ取k=0, 则-晋≤≤罗因为(0受)[-于，所以在区间 =co()的最小正周期为4，而y=si血（平）和y (0,受)上画数x)单调递增，故选A cos(牙)的最小正周期为8，故排除C、D.因为函数f(x)图 象的一条对称轴为直线x=2,所以f(x)在x=2处取得最值. 方法二（判断单调性法）：当0<x<受时，石<x-石<牙， 对于A,f(2)=im(受×2）=inm=0,对于B,f2)= 所以)在(0，受）上单调递增，故A正确：当受<x<m时， ca(7×2)=osπ=-1，所以)的解析式可能为x)= 哥<-石<所以)在（受m）上不单调，故B不正 6 co(牙x)故选B 确：当n<<受时语<-后<号所以)在(，号) 2 -348-