1.1 第2课时 集合的表示-【成才之路•学案】2025-2026学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导(人教A版)

学案及练案部分 参考答案 [学案部分] 第一章集合与常用逻辑用语 例3：由题意可知，x-2=-3或2x2+5x=-3. 当x-2=-3时，x=-1,把x=-1代人2x2+5x, 得集合的三个元素分别为-3，-3,12， 1.1集合的概念 不满足集合中元素的互异性： 第1课时集合的概念 当2+5x=-3时x=-弓或x=-1(含去)， 教材梳理 明要点 当x=-时，集合的三个元素分别为-子，-3,12，满足集 新知初探 知识点一 合中元素的互异性，故x=子 1.研究对象2.总体集 跟踪训练3：0或-1：-3eA,-3=a-3或-3=2a-1. 知识点二 若-3=a-3,则a=0,此时集合A中含有两个元素-3，-1， 1.确定性互异性无序性2.一样的 符合题意.若-3=2a-1,则a=-1,此时集合A中含有两个 知识点三 元素-4，-3，符合题意.综上所述，实数a的值为0或-1. 1.aeA aeA 随堂检测重反馈 预习自测 1.BCA中，接近于1的所有正整数标准不明确，故不能构成 1.BCD“高尚”没有严格的标准，选项A中的元素不能构成集 集合；B中，小于0是一个明确的标准，能构成集合；C中，点 合，故选BCD (2,1)与(1,2)是两个不同的点，是确定的，能构成集合；D 2.年生华华∈∈ 中，未来世界的高科技产品没有判断标准，是不确定的，不能 题型探究提技能 构成一个集合 例1：(1)ABC(2)±2 2.B因为-1是整数，不是自然数，所以A不正确；因为0不是 【解析】(1)在A中，中国古代四大发明具有确定性，能构成 正整数，所以B正确：因为3是无理数，不是有理数，所以C 集合：在B中，周长为10cm的三角形具有确定性，能构成集 合：在C中，方程x2+2x-3=0的实数根为-3和1，能构成 不正确：因为子是实数，所以D不正确 集合；在D中，地球上的小河流不确定，因此不能构成集合 :3.∈由集合相等的定义可知，1∈B. (2)由题意得a2=4,a=±2 4.5由题意得a=3,b=2,所以a+b=5 跟踪训练1：(1)D(2)-1 【解析】(1)在平面内与定，点A,B等距离的点在AB的垂直 第2课时集合的表示 平分线上，能构成集合，故A错误；游泳能手没有确定的标 教材梳理 明要点 准，故不能构成集合，故B错误；由集合中元素的互异性可 新知初探 知，由tile中的字母构成的集合中元素为t,i,l,e,共4个，故 知识点一 C错误；因为集合的元素具有互异性，所以a,b,c互不相等， 一一列举列举法 故不可能构成等腰三角形，故D正确. 知识点二 (2)由已知可得a≠0，因为两集合相等，又1≠0，所以6 =0 {x∈AIP(x) 预习自测 所以b=0,所以a=1,即a=±1，又当a=1时，集合A、B均 1.(1)V(2)×(3)V 不满足集合中元素的互异性，舍去，所以a=-1.所以a2+ 【解析】(1)与(3)都是用列举法表示集合，(2)中只有一个元 b202四=-1. 素(1,2) 例2：(1)D(2)BC 2.C该集合是点集，元素的代表符号应为点的坐标(x,y),故 【解析】(1)5>1，故A错；-2<0<1，故B错；1M,故C 选C. 错：-2<-牙<1，故D对 题型探究提技能 例1：(1)大于4且不大于8的整数有5,6,7,8，故所求集合为5,6， (2)令3张-1=-2解得k=-行，号Z,所以-2g4:令 1 7,8 (2)方程x2=2x的解是x=0或x=2,所以方程的解组成的集 认-1=-1山，解得=9-碧eZ,所以-1华：因为 合为0,2}. (3)将x=0代人y=x+2024,得y=2024,即直线与y轴的 eZ,所以32-1eA:令3k-1=-34,解得k=-11,-11∈ 交点是(0,2024)，将y=0代人y=x+2024,得x=-2024, Z,所以-34∈A. 即直线与x轴的交点是(-2024,0)，故直线与坐标轴的交点 跟踪训练2：(1)ABC（2)0,1,2 组成的集合是{(0,2024)，(-2024,0)}. 【解析】(1)？是实数，5是无理数，1-31=3是自然数， 跟踪训练1：(1)16的约数有1,2,4,8,16.故A={1,2,4,8,16} (2)方程(x-4)(x-2)=0的解为x=2或x=4,所以B= 1-51=√5是无理数.因此，A、B、C正确，D错误，故选ABC 2,4}. (2)由题意可得：3-x可以为1,2,3,6，且x为自然数，因此x 的值为2,1,0.因此A中元素有2,1,0. （3)1得2所以c=6.2 x-y=1, -309 例2：(1){xeRI1<x<10}. (3)①因为P是偶数集，Q是4的倍数集，所以Q军P.②P= (2){(x,y)1x<0,且y>0} (3){xlx=3n+1,n∈N}. 1x-3>0=1x>3,0=x2-5≥0；={≥} 跟踪训练2：(1)奇数可表示为2k+1,k∈Z,又因为大于6，故k 所以P军Q.③P=xlx2-x=0}={0,1}.在Q中，当n为奇 ≥3，故可用描述法表示为{xIx=2k+1,k∈N,且k≥3}. 数时，x=1+)=0,当n为偶数时，x=1+)-)=1,所 (2)点可用实数对表示，故可表示为{(x,y)y=3x2-1}, 2 2 (3){xlx是三角形}. 以Q={0,1},所以P=Q 例3：(1)①当k=0时，方程kx2-8x+16=0变为-8x+16=0, 跟踪训练1：(1)C(2)A 解得x=2,满足题意；②当k≠0，要使集合A={xk2-8x+ 【解析】(1)B={yly=6m+5,meZ}=xlx=6m+5,me 16=0}中只有一个元素，则方程kx2-8x+16=0有两个相等 Z},任意x∈B,则存在m∈Z,使x=6m+5,而x=6m+5= 的实数根，所以△=64-64k=0,解得k=1,此时集合A= 3(2m+2)-1∈A,故BCA,又.2∈A,2B,∴.BA.故选C 4},满足题意.综上所述，k=0或k=1,故实数k的值组成的 (2)集合A,B,C,D,E之间的关系可 A 集合为0,1} 用Venn图表示，结合右图可知，应 (2)由题意可知，方程kx2-8x+16=0有两个不等实根，故k 选A )D ≠0，且△=64-64k>0,即k<1,且k≠0.所以实数k的值组 例2：(1)D (2)见解析 成的集合为{kIk<1,且k≠0}. 【解析】(1)满足题意的集合A可 跟踪训练3：(1)由A={2,3}知，方程x2-ax+b=0的两根为 以是{1,3,1,2,1,3,2,3 2,3, 共有5个. 由根与系数的关系得仔好么因此a=56=6 (2)因为A={(x,y)lx+y=2,x,yeN},所以A={(0,2),(1,1), (20)}. (2)当a=0时，方程化为-2x+2=0,解得x=1,此时M= 所以A的子集有：0，(0,2)}，(1,1)}，{(2,0)}，(0,2)， 1},满足条件. (1,1)},{(0,2),(2,0)},(1,1),(2,0)},{(0,2),(1,1), 当a≠0时，方程为一元二次方程，由题意得4=4-8a≤0，即 (2,0)}. ≥子，此时方程无实数根或有两个相等的实数根综合(1) 跟踪训练2：C由题意知，集合A可以为a,b},a,b,c},a,b, di,a,b,e,a,b,c,d,a,b,c,ej,a,b,d,ej. (2)可知，当a≥？或a=0时，集合M中至多有一个元素 例3：(1)当ACB时，如图所示，此时B≠O. r2m-1>m+1, rm>2. 随堂检测重反馈 {m+1≤-2，即{m≤-3， l2m-1≥5. m+1-2052m-1x 1.AD由题意可知，满足题设条件的有选项AD,故选AD 【m≥3， 2.B选项A是以方程为元素的集合，其中只有一个元素.B选 ∴.m不存在，即不存在实数m使ACB. 项中化简得{0,1}符合题意.C选项是个无限集，D选项也是 (2)①当B≠☑时，若B军A,如图所示 无限集. rm+1≥-2， rm+1>-2 3.DA=(x,y)lxy≤0，xeR,yeR}的元素满足xy<0或y 2m-1<5,或2m-1≤5， -2m+102m-1 =0,当y=0时，表示两个坐标轴上的点，当y<0时，表示 2m-1≥m+1,【2m-1≥m+1. 第二象限或者第四象限的点.故选D. 解这两个不等式组，得2≤m≤3， 4.-1,4}4eA,.16-12+a=0,.a=-4,.A={x ②当B=☑时，满足BA,由m+1>2m-1,得m<2. x-3x-4=0}={-1,4} 综上可得，m的取值范围是{mlm≤3}. 跟踪训练3：(1)D(2)见解析 1.2集合间的基本关系 【解析】(1)当B=☑，即a=0时满足条件.当B≠☑，即a 教材梳理 明要点 ≠0时，B={ =-日}因为Bc4,所以有-。eA,所以 新知初探 知识点 a=±1；综上可得实数a的所有可能取值的集合是-1,0， 1}.故选D. 1.封闭曲线 2.任意子集ACBA包含于B ACA ACC (2)当B=⑦时，只需2a>a+3,即a>3,此时满足B二A,适 3.A=B ACB BCA 合题意；当B≠⑦时，根据题意作出如图所示的数轴， 知识点二 x生AA军BA真包含于B 2aa+3-14x 142aa+3x 知识点三 不含任何元素⑦ 可符+92i6320解开。<-4成2<a≤3 la+3<-1, 预习自测 上可得，实数a的取值范围为{ala<-4或a>2. 1.D1e1,2,3},2年{1}，1}军{1,2,3}.故选D. 2.(1)∈(2)e(3)=(4)￥(5)￥(6)= 随堂检测重反馈 1.D 题型探究提技能 2.BCA应是{1}{0,1,2}；对于B,集合中的元素有无序性 例1：(1)BC(2)D(3)见解析 故B正确；对于C,任何集合都是本身的子集，故{0,1,2}C 【解析】(1)☑不含任何元素，0⑦，故A错误；空集是任何集 合的子集，故B正确；10,2}=2,0}，故C正确；D错误，应该是 {1,0,2},故C正确；D应是☑车{0}. 0{0,1,2}. 3.C 由数轴知B军A.A (2)在A中，M和N中的元素表示不同的，点；在B中，M是空 -2-101 集，N是单元素集；在C中，M是数集，N是点集；在D中，M= 4.{ala≥6}A={xI1<x<6},B={xlx<a},由ACB,结合 yly=x2+1,xeR={yly≥1}，N={tlt=(y-1)2+1,ye R}=t川t≥1}.因此，M=N.故选D. 数轴可知a≥6.6。 -310004 第2课时 集合的表示 新课程标准解读 学科核心素养 掌握集合的两种表示方法（列举法和描述法）. 数学抽象 能够运用列举法和描述法表示一些简单集合 数学抽象 教材梳理 明要点 [提示] ●情境导入 我们可以用列举法和描述法 语言是人类交流和沟通的重要工具.集合可以用自然语言来 来表示集合 叙述，如何用数学的语言来表示集合呢？ >[提示] [知识点反思] 1列举法表示集合，元素间要 目新知初探 用“，”隔开，元素个数较多 知识点一列举法 且元素的排列又呈现一定的 规律时，在不至于发生误解的 把集合的所有元素 出来，并用花括号“{}”括起来表示 情况下，也可列出几个元素作 集合的方法叫做 代表，其他元素用省略号表示， 知识点二描述法 如正整数集可表示为{1,2,3， 一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x) 4,5,…). 2用描述法表示集合，元素的 的元素x所组成的集合表示为 ,这种表 代表符号不能省略，如{xx 示集合的方法称为描述法. ●[知识点反思] >1)不能写成{x>1);所 有描述的内容都要写在花括 目预习自测 号内，如{x∈Z|x=2m, 1.判断下列说法是否正确，正确的打“V√”，错误的打“×”。 meN*)；元素的取值（或变 (1)由1,2,3组成的集合可用列举法表示为1,2,3} 化)范围，从上下文的关系来 (2)集合{(1,2)}中的元素是1和2. ( 看，若x∈R是明确的，则 (3)集合A={x|x-1=0}与集合B={1}表示同一个集合.( x∈R可省略不写，如集合 {x∈RIx20}也可表示为 2.用描述法表示函数y=3x+1图象上的所有点的集合是 {xlx20). A.{x|y=3x+1} B.yly=3x+1 C.{(x,y)ly=3x+1} D.{y=3x+1} 题型探究提技能 题型一用列举法表示集合 [方法总结1] 例 1,用列举法表示下列集合： 用列举法表示集合的 步张 (1)大于4且不大于8的整数构成的集合； 1.求出集合的元素； (2)方程x2=2x的所有实数解组成的集合； 2.把元素一一列举出 (3)直线y=x+2024与坐标轴的交点组成的集合. 来，且相同元素只能列 举一次； [方法总结1] 3用花括号括起来。 .005 〉跟踪训练1 用列举法表示下列集合： (1)16的约数组成的集合A;“约数”是正整数 (2)方程(x-4)2(x-2)=0的根组成的集合B; (3)方程组 2x+y=8的解组成的集合C. x-y=1 [方法总结2] 描述法表示集合的两 题型二用描述法表示集合 个步骤 例2用插述法表示下列集合： 1.写代表元素：在花 括号内写上表示这个 (1)比1大又比10小的实数组成的集合； 集合的元素的一般符 (2)平面直角坐标系中第二象限内的，点组成的集合； 号及取值（或变化）范 (3)被3除余数等于1的正整数组成的集合. ●[方法总结2] 围.注意集合中的元素 是数还是，点或是其他 元素； 2.明确元素的特征： 》跟踪训练2 在竖线后写出这个集 用描述法表示下列集合： 合中元素所具有的共 (1)大于6的全体奇数组成的集合； 同特征， (2)二次函数y=3x2-1图象上的所有点组成的集合； (3)所有的三角形组成的集合， 题型三集合表示法的综合应用 例3已知集合A=1x1k:-8x+16=01. (1)若集合A中只有一个元素，求实数k组成的集合： [方法总结3] 八等价于方程x2-8x+16=0只有一个根或两个相等实根 由集合的元素个数求 (2)若集合A中有两个元素，求实数k组成的集合 参数问题的关注点 一等价于方程有两个不等实根 P[方法总结3] 1.已知集合用描述法 给出，要弄清集合的代 表元素及其限制 条件； 》跟踪训练3 2.若所给方程是一元 (1)已知集合A={xlx2-ax+b=0},若A={2,3},求a,b的值. 二次方程的形式，要对 (2)已知集合M={xla2-2x+2=0,aeR}中至多有一个元素，求实数a方程中二次项系数是 的取值范围. 否为零分类讨论， 006 随堂检测重反馈 1.(多选)由大于-3且小于11的偶数所组成的集合是 A.{-2,0,2,4,6,8,10} B.{0,2,4,6,8,10 C.{x|-3<x<11,x=2k D.xl-3<x<11,x=2k,kEZ 2.下列集合中恰有2个元素的集合是 A.{x2-x=0 B.yly2-y=0 C.xly=x2-x D.yly=x-x 3.集合A={(x,y)lxy≤0，x∈R,y∈R表示的是 A.第二象限的点 B.第四象限的点 C.第二和第四象限的点 D.不在第一象限也不在第三象限的点 4.设集合A={xx2-3x+a=0},若4∈A,用列举法表示集合A为 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[2] 1.2集合间的基本关系 新课程标准解读 学科核心素养 理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集 数学抽象、逻辑推理 在具体情境中，了解空集的含义， 数学抽象 能使用Venn图表达集合的基本关系，体会图形对理解抽象概念的作用. 数学抽象、直观想象 教材梳理 明要点 ●情境导入 我们知道，两个实数之间有相等关系、大小关系，如5=5,5<7,5>3 等等，两个集合之间是否也有类似的关系呢？ P[提示] [提示] 两个集合之间有包含 旦新知初探 关系、真包含关系、 知识点一子集 相等关系和不包含 l.Venn图：在数学中，我们经常用平面上 的内部代表集合，这种图 关系. 称为Venn图. 2.子集 一个元 定义 般地，对于两个集合A,B,如果集合A中 素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的 记法与读法 记作 (或B2A),读作“ ”(或“B包含A”) 图示 或 A (B) (1)任何一个集合是它本身的子集，即 结论 (2)对于集合A,B,C,若A二B,且BCC,则