第五单元圆【从新情境到新素养】-2025-2026学年六年级数学上册书山培优系列（原卷版+解析版）人教版

学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 昨夜西风调碧树，独上高楼，望尽天涯路。 —宋·晏殊《蝶恋花槛菊愁烟兰泣露》 第1页共16页 品学科网 www.zX×k.Com 让教与学更高效 2025-2026学年六年级数学上册书山培优系列「2025秋] 第五单元圆【从新情境到新素养】 新 情境主题 吕【典型例题】 【新情境时事热点】从美国的出口管制，到全球范围的芯片短缺，芯片引发了全民关注，发 展国产芯片也成为我国国策。 (1)电脑CPU芯片是由一种叫单晶硅的材料组成的，未切割的单晶硅材料是一种薄型的圆 片，叫“晶圆片”，如果晶圆片的直径为30厘米，那么它的面积是多少平方厘米？ (2)据统计，2004年我国芯片产值仅为540亿元，比2024年芯片产值的2少4亿元，2024 年的芯片产值是多少亿元？ 【答案】(1)706.5平方厘米 (2)6528亿元 【分析】(1)已知晶圆片的直径为30厘米，则它的半径是(30÷2)厘米；根据圆的面积公式 S=2,求出它的面积。 (2)根据题意可得出等量关系：2024年芯片产值×：一4=2004年我国芯片产值，据此列出 方程，并求解。 【详解】(1)3.14×(30-2)2 =3.14×152 =3.14×225 =706.5(平方厘米) 答：它的面积是706.5平方厘米。 (2)解：设2024年的芯片产值是x亿元。 1x-4=540 1 1x-4+4=540+4 12 第2页共16页 学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 1x=544 1 1 2=5442 12 x=544×12 x=6528 答：2024年的芯片产值是6528亿元。 肥【对应练习】 1.【新情境·主题对话】图形A和图形B(图中阴影)是两个半圆的一部分，芳芳和东东正 在讨论A和B的大小。 芳芳说：“A的面积比B的面积大。” 东东说：B的周长比A的周长大。” 你同意他俩的观点吗？给出你判断的理由。 Q 5cm 5cm 4cm 6cm 【答案】同意芳芳，不同意东东；理由见详解 【分析】两个图形阴影部分的面积都等于大半圆的面积减去2个空白半圆的面积，根据圆的面 积公式S=π，分别求出图形A、B的面积，再比较，得出结论； 两个图形阴影部分的周长都等于大圆周长的一半加上2个空白圆周长的一半，根据圆的周长公 式C=d,分别求出图形A、B的周长，再比较，得出结论。 【详解】5+5=10(cm) 4+6=10(cm) 图形A的面积： π×(10：2)2÷2-π×(5÷2)22×2 =π×52÷2-元×2.52÷2×2 =π×25÷2-π×6.25÷2×2 =π×25÷2-π×6.25÷2×2 =12.5π-6.25π =6.25π(cm2) 第3页共16页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 图形B的面积： 元×(10：2)2÷2-π×(4÷2)2÷2-π×(6÷2)2÷2 =元×52÷2-π×22÷2-元×32÷2 =π×25÷2-π×4÷2-π×9÷2 =12.5元-2π-4.5π =6π(cm2) 6.25π>6π，A的面积比B的面积大。 图形A的周长： π×10-2+元×5÷2×2 =5π+5元 =10元(cm) 图形B的周长： π×10：2+π×4÷2+π×6÷2 =5π+2π十3元 =10m(cm) 10m=10m,A的周长与B的周长一样大。 答：我同意芳芳的观点，不同意东东的观点。因为A的面积比B的面积大，A的周长与B的 周长一样大。 2.【新情境科技生活】在现代科技中，数学的应用也是无处不在，如下面飞行器中的数学 问题。飞行器甲的发射轨道与飞行器乙的运行轨道分别是以点O和点O为圆心的两个圆形轨 道（如图）。已知飞行器甲的飞行速度为40千米/分，飞行器乙的飞行速度为20千米/分，某 行星在B点（假定不动），弧BC与弧AC的长度差为3600千米。早上9：00飞行器甲准时 发射，此时飞行器乙正好在A点，要求在C点处对接。 A飞行器乙 0 0 B 飞行器甲 (1)请你计算两个飞行器在几时对接。 (2)飞行器甲的发射轨道与飞行器乙的运行轨道的半径各是多少千米？（结果取整数） 第4页共16页 命学科网 www.zX×k.com 让教与学更高效 【答案】(1)12：00 (2)飞行器甲1529千米；飞行器乙2293千米 【分析】(1)已知飞行器甲、乙的飞行速度分别是40千米/分、20千米/分，弧BC与弧AC 的长度差为3600千米，即两个飞行器在C点处对接时飞行的路程差是3600千米，根据追及 时间=路程差÷速度差，求出两个飞行器从出发到对接所需的时间，再加上发射的时刻，即可 求出两个飞行器的对接时刻。注意单位的换算：1小时=60分。 (2)先根据速度×时间=路程分别求出对接时飞行器甲、乙飞行的路程，即弧BC与弧AC 的长度 从图中可知，弧BC的长度占它的圆周长的子，弧AC的长度占它的圆周长的，分别把两个 圆的周长看作单位1”，单位1”未知，根据分数除法的意义求出两个圆的周长： 由圆的周长公式C=2π，可知1=C÷π2，据此求出飞行器甲的发射轨道的半径与飞行器乙的 运行轨道的半径。 【详解】(1)3600：(40-20) =3600÷20 =180(分) 180分=3小时 9时+3小时=12时 答：两个飞行器在12：00对接。 (2)弧BC的长度：40×180=7200（千米） 弧AC的长度：20×180=3600（千米） 飞行器甲运行一圈长： 7200:3 =7200 3 =9600(千米) 飞行器甲的发射轨道的半径： 9600-3.14÷2≈1529（千米） 飞行器乙运行一圈长： 36004 第5页共16页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 =3600×4 =14400(千米) 飞行器乙的运行轨道的半径： 14400:3.14÷2≈2293（千米） 答：飞行器甲的发射轨道的半径约是1529千米，飞行器乙的运行轨道的半径约是2293千米。 【点睛】解答本题的关键是先根据追及问题的公式求出追及时间，再根据路理=速度×时间， 分别求出两个飞行器在对接时飞行的路程，也就是两个弧长，从图中得出两个弧长分别占它们 圆周长的几分之几，根据分数除法的意义求出两个圆的周长，最后利用圆的周长公式求出两个 圆的半径 3.新情境。传统工艺】妈妈教兰兰“一剪成裙的伞裙制作方法：先取一块边长是1.6米的 正方形布，把它按照图①对折，按照图②再对折，变成一个小正方形。然后分别以小正方形的 边长、是边长画圆弧并剪下，得到如图④的圆环，再折出裙褶、加上裙腰就是一条伞裙了。 裙长 剪成裙 ① ② ③ (1)做出来的裙长是多少？（裙腰不算在内） (2)裙身的裙褶完全打开，平铺的面积是多少？ 【答案】(1)0.6米；(2)1.884平方米 【分析】(1)看图可知，裙长是剪出来的大圆的半径减去小圆的半径。根据折叠过程可知， 大圆的半径是正方形边长的一半，小圆的半径是大圆半径的：。据此，用正方形边长除以2， 先求出大圆半径。再将大圆半径乘，求出小圆半径。将大圆半径减去小圆半径，即可求出裙 长： (2)圆面积=π，据此分别求出大圆和小圆的面积，再将大圆面积减去小圆的面积，即可求 出裙身的面积。 【详解】(1)1.6÷2=0.8（米） 08x}=02(米) 第6页共16页 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 0.8-0.2=0.6(米) 答：做出来的裙长是0.6米。 (2)3.14×0.82-3.14×0.22 =3.14×0.64-3.14×0.04 =2.0096-0.1256 =1.884(平方米) 答：裙身的裙褶完全打开，平铺的面积是1.884平方米。 新 素养培优 吕【典型例题】 【新素养·几何直观能力】下面每个正方形的边长都是2厘米。 (1)请计算第一幅图中阴影部分的面积。 (2)在空白的正方形中画出2个不同的图形，涂阴影部分，要求阴影部分面积和第一幅阴影 部分面积相等 【答案】0.86平方厘米；见详解 【分析】(1)阴影部分面积=正方形面积-两个半圆面积，两个半圆面积合起来就是一个完整 的圆面积，且圆的直径就是正方形的边长，所以直径为2厘米，半径=直径÷2，代入数值求出 半径为1厘米，圆的面积=π×半径×半径，代入求出圆的面积为3.14平方厘米。正方形面积 边长×边长，再用正方形面积减去圆面积即可。 (2)根据题意只要在正方形中画的空白处的面积等于3.14平方厘米，即只要空白处能拼接成 个边长为2厘米的圆即可。 【详解】(1)2÷2=1（厘米） 3.14×1×1=3.14(平方厘米) 2×2=4(平方厘米) 4-3.14=0.86(平方厘米) 第7页共16页 学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 答：第一幅图中阴影部分的面积是0.86平方厘米。 (2) 即【对应练习】 1.【新素养·几何直观能力】根据要求画一画，探一探。 (1)画一画：画一个边长是4厘米的正方形，再在正方形内画一个最大的圆。（注意保留作 图痕迹) (2)算一算：从正方形中剪去这个最大的圆，剩下部分的面积是多少？ (3)探一探：小丽同学在同样大小的正方形中剪下了4个相同大小的圆（如图）。剪去后， 剩下的面积和第（2)题的答案一样吗？请说说你的理由。 【答案】(1)见详解 (2)3.44平方厘米 (3)答案一样；理由见详解。 【分析】(1)先画一个边长是4c的正方形，再分别连接其两条对角线，以两条对角线相交 的点为圆心，以正方形的边长的一半为半径画圆即可。 (2)根据正方形的面积=边长×边长，圆的面积公式S=π2，代入数据计算出正方形的面积和 圆的面积，再用正方形的面积减圆的面积即可。 (3)观察可知，圆的半径是正方形边长的，根据正方形的面积=边长×边长，圆的面积公式 S=四2，代入数据计算出正方形的面积和圆的面积，再用正方形的面积减4个圆的面积即可得 解。 第8页共16页 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 【详解】(1)据分析作图如下： 边长4cm (2)4×4-3.14×(4÷2)2 =16-3.14×22 =16-3.14×4 =16-12.56 =3.44(平方厘米) 答：剩下部分的面积是3.44平方厘米。 (3)4×4-3.14×(4×)2x4 =16-3.14×12×4 =16-3.14×4 =16-12.56 =3.44(平方厘米) 3.44=3.44 答：剩下的面积和第(2)题的答案一样，理由见计算过程。 2.【新素养。模型意识】如图所示，院子两堵围墙的长度分别为6米和9米，墙外是一片草 地。如果将小羊拴在围墙边上的点A处，绳长4米。 6m 院子 9m 4m (1)请画出这只小羊吃到草的所有范围。 (2)小羊吃到草的所有面积是多少平方米？ 【答案】(1)见详解 第9页共16页 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 (2)37.68平方米 【分析】(1)将小羊拴在围墙边上的点A处，绳长4米，以A点为圆心，半径为4米画圆， 由于院子右上方有两堵围墙，两堵围墙的夹角处小羊吃不到，因此去掉圆的四分之一，剩余的 圆的四分之三就是小羊能吃到草的范围： (2)由(1)可知，小羊能吃到草的面积是以A点为圆心，半径为4米的圆面积的四分之三， 根据圆的面积公式：S=π，代入数据计算，即可求出小羊吃到草的所有面积，据此解答。 【详解】(1)如图： 6m 院子 9m 4m (2)3.14x42×3 =3.14×16×4 =37.68(平方米) 答：小羊吃到草的所有面积是37.68平方米。 3. 【新素养·模型意识】一个正方形羊圈，边长6米（如图）。A点是一条边的中点，B点 是一个顶点。 (1)把一只羊放到羊圈外的草地上吃草。主人用一根2米长的绳子，一端系在A点处，一端 系住羊。请在图上画出这只羊可吃到草的区域（示意图)，并计算出面积。 (2)如果主人用一根4米长的绳子将羊系在B点处，那么这只羊可吃到草的面积是多少平方 米？ 【答案】(1)图见详解：6.28平方米 (2)37.68平方米 第10页共16页 昨夜西风凋碧树，独上高楼，望尽天涯路。 ——宋·晏殊《蝶恋花·槛菊愁烟兰泣露》 2025-2026学年六年级数学上册书山培优系列「2025秋」 第五单元圆【从新情境到新素养】 【典型例题】 【新情境·时事热点】从美国的出口管制，到全球范围的芯片短缺，芯片引发了全民关注，发展国产芯片也成为我国国策。 （1）电脑CPU芯片是由一种叫“单晶硅”的材料组成的，未切割的单晶硅材料是一种薄型的圆片，叫“晶圆片”，如果晶圆片的直径为30厘米，那么它的面积是多少平方厘米？ （2）据统计，2004年我国芯片产值仅为540亿元，比2024年芯片产值的少4亿元，2024年的芯片产值是多少亿元？ 【对应练习】 1．【新情境·主题对话】图形A和图形B（图中阴影）是两个半圆的一部分，芳芳和东东正在讨论A和B的大小。 芳芳说：“A的面积比B的面积大。” 东东说：“B的周长比A的周长大。” 你同意他俩的观点吗？给出你判断的理由。 2．【新情境·科技生活】在现代科技中，数学的应用也是无处不在，如下面飞行器中的数学问题。飞行器甲的发射轨道与飞行器乙的运行轨道分别是以点O和点O'为圆心的两个圆形轨道（如图）。已知飞行器甲的飞行速度为40千米/分，飞行器乙的飞行速度为20千米/分，某行星在B点（假定不动），弧BC与弧AC的长度差为3600千米。早上9：00飞行器甲准时发射，此时飞行器乙正好在A点，要求在C点处对接。 （1）请你计算两个飞行器在几时对接。 （2）飞行器甲的发射轨道与飞行器乙的运行轨道的半径各是多少千米？（结果取整数） 3．【新情境·传统工艺】妈妈教兰兰“一剪成裙”的伞裙制作方法：先取一块边长是1.6米的正方形布，把它按照图①对折，按照图②再对折，变成一个小正方形。然后分别以小正方形的边长、边长画圆弧并剪下，得到如图④的圆环，再折出裙褶、加上裙腰就是一条伞裙了。    （1）做出来的裙长是多少？（裙腰不算在内） （2）裙身的裙褶完全打开，平铺的面积是多少？ 【典型例题】 【新素养·几何直观能力】下面每个正方形的边长都是2厘米。 （1）请计算第一幅图中阴影部分的面积。 （2）在空白的正方形中画出2个不同的图形，涂阴影部分，要求阴影部分面积和第一幅阴影部分面积相等 【对应练习】 1．【新素养·几何直观能力】根据要求画一画，探一探。 （1）画一画：画一个边长是4厘米的正方形，再在正方形内画一个最大的圆。（注意保留作图痕迹） （2）算一算：从正方形中剪去这个最大的圆，剩下部分的面积是多少？ （3）探一探：小丽同学在同样大小的正方形中剪下了4个相同大小的圆（如图）。剪去后，剩下的面积和第（2）题的答案一样吗？请说说你的理由。 2．【新素养·模型意识】如图所示，院子两堵围墙的长度分别为6米和9米，墙外是一片草地。如果将小羊拴在围墙边上的点A处，绳长4米。 （1）请画出这只小羊吃到草的所有范围。 （2）小羊吃到草的所有面积是多少平方米？ 3．【新素养·模型意识】一个正方形羊圈，边长6米（如图）。A点是一条边的中点，B点是一个顶点。 （1）把一只羊放到羊圈外的草地上吃草。主人用一根2米长的绳子，一端系在A点处，一端系住羊。请在图上画出这只羊可吃到草的区域（示意图），并计算出面积。 （2）如果主人用一根4米长的绳子将羊系在B点处，那么这只羊可吃到草的面积是多少平方米？ 【典型例题】 【新趋势·观察与探究】数学思想方法是数学的灵魂。转化思想作为重要的数学思想方法之一，在我们的学习生活中无处不在。如，推导圆的面积计算公式时，把圆转化为长方形 （1）下面有一种有意思的推导圆的面积方法，读一读，填一填。 这时，三角形的面积相当于圆的面积。 观察这个三角形，底相当于圆的____________，高相当于圆的____________。 ②如果圆的半径是，三角形的面积：，那么圆的面积：________________（填写字母） （2）用转化的数学思想求出如图中阴影部分的面积。 【对应练习】 1．【新趋势·获取阅读信息】重庆火锅，是一张有味道的城市名片，深受人们的喜爱。张叔叔想定做一张家用圆形火锅桌，需求如下：①张叔叔家餐厅长4.5米，宽3.2米，圆桌与餐厅四周墙壁之间至少预留1米宽的通道方便人就座和通行；②在圆桌中心预留一个圆孔，用于内置安放直径0.6米的圆形电磁炉：③为更加美观、耐用，要在桌子边缘贴一圈装饰带，并在圆桌桌面铺上一层透明隔热垫。如果你是设计师，请根据张叔叔家的需求和实际情况，为他设计一张最大的圆桌，并计算该圆桌桌边所贴装饰带的长度和桌面隔热垫的大小。（π取3.14） （1）装饰带长度。 （2）隔热垫大小。 2．【新趋势·操作与探究】如图，一个等边三角形的边长是一个小圆的周长的2倍，小圆的半径为2cm。若这个小圆按箭头方向从某一位置沿着等边三角形的周边作无滑动滚动，直至回到原出发位置，在计算小圆滚动的面积的时候，聪聪的想法如下，请你据此计算。 第1步：先把小圆滚过的图形进行分割：小圆经过的面积为3个长方形面积＋3个扇形面积。 第2步：3个扇形面积分析：1个扇形圆心角＋三角形的1个内角＝180°，则3个扇形圆心角＋三角形的3个内角＝540°。因为三角形3个内角的和为180°，所以3个扇形圆心角的和为360°，即3个扇形面积的和为一个圆的面积。 3．【新趋势·操作与探究】生活中许多现象可以提炼成数学问题去研究，我们一起探索图形运动产生的数学奥秘吧！数线上的长方形长4厘米，宽2厘米，圆的半径为1厘米，长方形以1厘米/秒的速度向右平移。 （1）当长方形运动4秒时，长方形与圆的重叠面积为（    ）平方厘米。 （2）长方形刚好完全穿过并离开圆时，长方形运动了（    ）秒。 （3）当长方形运动到第几秒时，长方形与圆的重叠面积为1.57平方厘米？ 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 昨夜西风凋碧树，独上高楼，望尽天涯路。 ——宋·晏殊《蝶恋花·槛菊愁烟兰泣露》 2025-2026学年六年级数学上册书山培优系列「2025秋」 第五单元圆【从新情境到新素养】 【典型例题】 【新情境·时事热点】从美国的出口管制，到全球范围的芯片短缺，芯片引发了全民关注，发展国产芯片也成为我国国策。 （1）电脑CPU芯片是由一种叫“单晶硅”的材料组成的，未切割的单晶硅材料是一种薄型的圆片，叫“晶圆片”，如果晶圆片的直径为30厘米，那么它的面积是多少平方厘米？ （2）据统计，2004年我国芯片产值仅为540亿元，比2024年芯片产值的少4亿元，2024年的芯片产值是多少亿元？ 【答案】（1）706.5平方厘米 （2）6528亿元 【分析】（1）已知晶圆片的直径为30厘米，则它的半径是（30÷2）厘米；根据圆的面积公式S＝πr2，求出它的面积。 （2）根据题意可得出等量关系：2024年芯片产值×－4＝2004年我国芯片产值，据此列出方程，并求解。 【详解】（1）3.14×（30÷2）2 ＝3.14×152 ＝3.14×225 ＝706.5（平方厘米） 答：它的面积是706.5平方厘米。 （2）解：设2024年的芯片产值是亿元。 －4＝540 －4＋4＝540＋4 ＝544 ÷＝544÷ ＝544×12 ＝6528 答：2024年的芯片产值是6528亿元。 【对应练习】 1．【新情境·主题对话】图形A和图形B（图中阴影）是两个半圆的一部分，芳芳和东东正在讨论A和B的大小。 芳芳说：“A的面积比B的面积大。” 东东说：“B的周长比A的周长大。” 你同意他俩的观点吗？给出你判断的理由。 【答案】同意芳芳，不同意东东；理由见详解 【分析】两个图形阴影部分的面积都等于大半圆的面积减去2个空白半圆的面积，根据圆的面积公式S＝πr2，分别求出图形A、B的面积，再比较，得出结论； 两个图形阴影部分的周长都等于大圆周长的一半加上2个空白圆周长的一半，根据圆的周长公式C＝πd，分别求出图形A、B的周长，再比较，得出结论。 【详解】5＋5＝10（cm） 4＋6＝10（cm） 图形A的面积： π×（10÷2）2÷2－π×（5÷2）2÷2×2 ＝π×52÷2－π×2.52÷2×2 ＝π×25÷2－π×6.25÷2×2 ＝π×25÷2－π×6.25÷2×2 ＝12.5π－6.25π ＝6.25π（cm2） 图形B的面积： π×（10÷2）2÷2－π×（4÷2）2÷2－π×（6÷2）2÷2 ＝π×52÷2－π×22÷2－π×32÷2 ＝π×25÷2－π×4÷2－π×9÷2 ＝12.5π－2π－4.5π ＝6π（cm2） 6.25π＞6π，A的面积比B的面积大。 图形A的周长： π×10÷2＋π×5÷2×2 ＝5π＋5π ＝10π（cm） 图形B的周长： π×10÷2＋π×4÷2＋π×6÷2 ＝5π＋2π＋3π ＝10π（cm） 10π＝10π，A的周长与B的周长一样大。 答：我同意芳芳的观点，不同意东东的观点。因为A的面积比B的面积大，A的周长与B的周长一样大。 2．【新情境·科技生活】在现代科技中，数学的应用也是无处不在，如下面飞行器中的数学问题。飞行器甲的发射轨道与飞行器乙的运行轨道分别是以点O和点O'为圆心的两个圆形轨道（如图）。已知飞行器甲的飞行速度为40千米/分，飞行器乙的飞行速度为20千米/分，某行星在B点（假定不动），弧BC与弧AC的长度差为3600千米。早上9：00飞行器甲准时发射，此时飞行器乙正好在A点，要求在C点处对接。 （1）请你计算两个飞行器在几时对接。 （2）飞行器甲的发射轨道与飞行器乙的运行轨道的半径各是多少千米？（结果取整数） 【答案】（1）12：00 （2）飞行器甲1529千米；飞行器乙2293千米 【分析】（1）已知飞行器甲、乙的飞行速度分别是40千米/分、20千米/分，弧BC与弧AC的长度差为3600千米，即两个飞行器在C点处对接时飞行的路程差是3600千米，根据追及时间＝路程差÷速度差，求出两个飞行器从出发到对接所需的时间，再加上发射的时刻，即可求出两个飞行器的对接时刻。注意单位的换算：1小时＝60分。 （2）先根据“速度×时间＝路程”分别求出对接时飞行器甲、乙飞行的路程，即弧BC与弧AC的长度； 从图中可知，弧BC的长度占它的圆周长的，弧AC的长度占它的圆周长的，分别把两个圆的周长看作单位“1”，单位“1”未知，根据分数除法的意义求出两个圆的周长； 由圆的周长公式C＝2πr，可知r＝C÷π÷2，据此求出飞行器甲的发射轨道的半径与飞行器乙的运行轨道的半径。 【详解】（1）3600÷（40－20） ＝3600÷20 ＝180（分） 180分＝3小时 9时＋3小时＝12时 答：两个飞行器在12：00对接。 （2）弧BC的长度：40×180＝7200（千米） 弧AC的长度：20×180＝3600（千米） 飞行器甲运行一圈长： 7200÷ ＝7200× ＝9600（千米） 飞行器甲的发射轨道的半径： 9600÷3.14÷2≈1529（千米） 飞行器乙运行一圈长： 3600÷ ＝3600×4 ＝14400（千米） 飞行器乙的运行轨道的半径： 14400÷3.14÷2≈2293（千米） 答：飞行器甲的发射轨道的半径约是1529千米，飞行器乙的运行轨道的半径约是2293千米。 【点睛】解答本题的关键是先根据追及问题的公式求出追及时间，再根据路珵＝速度×时间，分别求出两个飞行器在对接时飞行的路程，也就是两个弧长，从图中得出两个弧长分别占它们圆周长的几分之几，根据分数除法的意义求出两个圆的周长，最后利用圆的周长公式求出两个圆的半径。 3．【新情境·传统工艺】妈妈教兰兰“一剪成裙”的伞裙制作方法：先取一块边长是1.6米的正方形布，把它按照图①对折，按照图②再对折，变成一个小正方形。然后分别以小正方形的边长、边长画圆弧并剪下，得到如图④的圆环，再折出裙褶、加上裙腰就是一条伞裙了。    （1）做出来的裙长是多少？（裙腰不算在内） （2）裙身的裙褶完全打开，平铺的面积是多少？ 【答案】（1）0.6米；（2）1.884平方米 【分析】（1）看图可知，裙长是剪出来的大圆的半径减去小圆的半径。根据折叠过程可知，大圆的半径是正方形边长的一半，小圆的半径是大圆半径的。据此，用正方形边长除以2，先求出大圆半径。再将大圆半径乘，求出小圆半径。将大圆半径减去小圆半径，即可求出裙长； （2）圆面积＝πr2，据此分别求出大圆和小圆的面积，再将大圆面积减去小圆的面积，即可求出裙身的面积。 【详解】（1）1.6÷2＝0.8（米） 0.8×＝0.2（米） 0.8－0.2＝0.6（米） 答：做出来的裙长是0.6米。 （2）3.14×0.82－3.14×0.22 ＝3.14×0.64－3.14×0.04 ＝2.0096－0.1256 ＝1.884（平方米） 答：裙身的裙褶完全打开，平铺的面积是1.884平方米。 【典型例题】 【新素养·几何直观能力】下面每个正方形的边长都是2厘米。 （1）请计算第一幅图中阴影部分的面积。 （2）在空白的正方形中画出2个不同的图形，涂阴影部分，要求阴影部分面积和第一幅阴影部分面积相等 【答案】0.86平方厘米；见详解 【分析】（1）阴影部分面积＝正方形面积−两个半圆面积，两个半圆面积合起来就是一个完整的圆面积，且圆的直径就是正方形的边长，所以直径为2厘米，半径＝直径÷2，代入数值求出半径为1厘米，圆的面积＝π×半径×半径，代入求出圆的面积为3.14平方厘米。正方形面积＝边长×边长，再用正方形面积减去圆面积即可。 （2）根据题意只要在正方形中画的空白处的面积等于3.14平方厘米，即只要空白处能拼接成一个边长为2厘米的圆即可。 【详解】（1）2÷2＝1（厘米） 3.14×1×1＝3.14（平方厘米） 2×2＝4（平方厘米） 4−3.14＝0.86（平方厘米） 答：第一幅图中阴影部分的面积是0.86平方厘米。 （2） 【对应练习】 1．【新素养·几何直观能力】根据要求画一画，探一探。 （1）画一画：画一个边长是4厘米的正方形，再在正方形内画一个最大的圆。（注意保留作图痕迹） （2）算一算：从正方形中剪去这个最大的圆，剩下部分的面积是多少？ （3）探一探：小丽同学在同样大小的正方形中剪下了4个相同大小的圆（如图）。剪去后，剩下的面积和第（2）题的答案一样吗？请说说你的理由。 【答案】（1）见详解 （2）3.44平方厘米 （3）答案一样；理由见详解。 【分析】（1）先画一个边长是4cm的正方形，再分别连接其两条对角线，以两条对角线相交的点为圆心，以正方形的边长的一半为半径画圆即可。 （2）根据正方形的面积＝边长×边长，圆的面积公式，代入数据计算出正方形的面积和圆的面积，再用正方形的面积减圆的面积即可。 （3）观察可知，圆的半径是正方形边长的，根据正方形的面积＝边长×边长，圆的面积公式，代入数据计算出正方形的面积和圆的面积，再用正方形的面积减4个圆的面积即可得解。 【详解】（1）据分析作图如下： （2）4×4－3.14×（4÷2）2 ＝16－3.14×22 ＝16－3.14×4 ＝16－12.56 ＝3.44（平方厘米） 答：剩下部分的面积是3.44平方厘米。 （3）4×4－3.14×（4×）2×4 ＝16－3.14×12×4 ＝16－3.14×4 ＝16－12.56 ＝3.44（平方厘米） 3.44＝3.44 答：剩下的面积和第（2）题的答案一样，理由见计算过程。 2．【新素养·模型意识】如图所示，院子两堵围墙的长度分别为6米和9米，墙外是一片草地。如果将小羊拴在围墙边上的点A处，绳长4米。 （1）请画出这只小羊吃到草的所有范围。 （2）小羊吃到草的所有面积是多少平方米？ 【答案】（1）见详解 （2）37.68平方米 【分析】（1）将小羊拴在围墙边上的点A处，绳长4米，以A点为圆心，半径为4米画圆，由于院子右上方有两堵围墙，两堵围墙的夹角处小羊吃不到，因此去掉圆的四分之一，剩余的圆的四分之三就是小羊能吃到草的范围； （2）由（1）可知，小羊能吃到草的面积是以A点为圆心，半径为4米的圆面积的四分之三，根据圆的面积公式：S＝πr2，代入数据计算，即可求出小羊吃到草的所有面积，据此解答。 【详解】（1）如图： （2）3.14×42× ＝3.14×16× ＝37.68（平方米） 答：小羊吃到草的所有面积是37.68平方米。 3．【新素养·模型意识】一个正方形羊圈，边长6米（如图）。A点是一条边的中点，B点是一个顶点。 （1）把一只羊放到羊圈外的草地上吃草。主人用一根2米长的绳子，一端系在A点处，一端系住羊。请在图上画出这只羊可吃到草的区域（示意图），并计算出面积。 （2）如果主人用一根4米长的绳子将羊系在B点处，那么这只羊可吃到草的面积是多少平方米？ 【答案】（1）图见详解；6.28平方米 （2）37.68平方米 【分析】（1）A点系绳，羊吃到草的面积是以A点为圆心，绳子的长度为半径的半圆的面积，根据圆的面积公式S＝πr2，代入数据计算求解。 （2）B点系绳，羊吃到草的面积就是以B点为圆心，绳子的长度为半径的圆的面积，根据圆的面积公式S＝πr2，代入数据计算求解。 【详解】（1）如图： 3.14×22÷2 ＝3.14×4÷2 ＝6.28（平方米） 答：这只羊可吃到草的面积是6.28平方米。 （2）如图： ＝ ＝37.68（平方米） 答：这只羊可吃到草的面积是37.68平方米。 【典型例题】 【新趋势·观察与探究】数学思想方法是数学的灵魂。转化思想作为重要的数学思想方法之一，在我们的学习生活中无处不在。如，推导圆的面积计算公式时，把圆转化为长方形 （1）下面有一种有意思的推导圆的面积方法，读一读，填一填。 这时，三角形的面积相当于圆的面积。 观察这个三角形，底相当于圆的____________，高相当于圆的____________。 ②如果圆的半径是，三角形的面积：，那么圆的面积：________________（填写字母） （2）用转化的数学思想求出如图中阴影部分的面积。 【答案】（1）①周长，半径； ②2πr；r （2）25.12平方厘米 【分析】①如图可知，此时三角形的底相当于草绳最外圈的长度即圆的周长，高相当于圆的半径，据此解答即可；②根据圆的周长公式：C＝2πr，求出三角形的底，再根据三角形的面积公式代入即可； （2）根据图可知，三个扇形的半径一样，三角形的内角和是180°，所以这三个扇形可以形成一个圆心角是的扇形，再与剩下的扇形可以拼成圆心角是的扇形，此时阴影部分的面积等于半径是4厘米圆的面积的一半，据此解答即可。 【详解】①观察这个三角形，底相当于圆的周长，高相当于圆的半径。 ②如果圆的半径是，三角形的面积：，那么圆的面积：S＝2πr×r÷2＝πr2 （2）3.14×42÷2 ＝3.14×16÷2 ＝25.12（平方厘米） 答：阴影部分的面积是25.12平方厘米。 【对应练习】 1．【新趋势·获取阅读信息】重庆火锅，是一张有味道的城市名片，深受人们的喜爱。张叔叔想定做一张家用圆形火锅桌，需求如下：①张叔叔家餐厅长4.5米，宽3.2米，圆桌与餐厅四周墙壁之间至少预留1米宽的通道方便人就座和通行；②在圆桌中心预留一个圆孔，用于内置安放直径0.6米的圆形电磁炉：③为更加美观、耐用，要在桌子边缘贴一圈装饰带，并在圆桌桌面铺上一层透明隔热垫。如果你是设计师，请根据张叔叔家的需求和实际情况，为他设计一张最大的圆桌，并计算该圆桌桌边所贴装饰带的长度和桌面隔热垫的大小。（π取3.14） （1）装饰带长度。 （2）隔热垫大小。 【答案】（1）3.768米； （2）0.8478平方米 【分析】（1）根据题意，在长方形内画一个最大的圆，圆的直径等于长方形的宽。又因为要预留1米宽的通道，所以圆桌的直径要在原有的基础上少2米，再根据圆的周长＝直径×圆周率，可以算出圆桌的周长，也就是装饰带的长度； （2）根据圆的面积＝，同一个圆内，直径是半径的2倍，算出大圆的面积再减去中间直径0.6米的圆的面积，即为隔热垫的面积。 【详解】（1）圆桌直径：3.2－2＝1.2（米） 1.2×3.14＝3.768（米） 答：装饰带长度是3.768米。 （2）3.14×（1.2÷2）²－3.14×（0.6÷2）² ＝3.14×0.6²－3.14×0.3² ＝3.14×0.36－3.14×0.09 ＝3.14×（0.36－0.09） ＝3.14×0.27 ＝0.8478（平方米） 答：隔热垫大小是0.8478平方米。 2．【新趋势·操作与探究】如图，一个等边三角形的边长是一个小圆的周长的2倍，小圆的半径为2cm。若这个小圆按箭头方向从某一位置沿着等边三角形的周边作无滑动滚动，直至回到原出发位置，在计算小圆滚动的面积的时候，聪聪的想法如下，请你据此计算。 第1步：先把小圆滚过的图形进行分割：小圆经过的面积为3个长方形面积＋3个扇形面积。 第2步：3个扇形面积分析：1个扇形圆心角＋三角形的1个内角＝180°，则3个扇形圆心角＋三角形的3个内角＝540°。因为三角形3个内角的和为180°，所以3个扇形圆心角的和为360°，即3个扇形面积的和为一个圆的面积。 【答案】351.68平方厘米 【分析】由题意可知：小圆经过的面积为3个长方形面积与1个圆的面积组成。长方形的宽等于小圆的直径即宽是4厘米；长方形的长是小圆周长的2倍，小圆周长为即长为；根据长方形面积＝长×宽可以求解；1个圆的面积是由3个扇形面积组成，组成的圆的半径等于长方形的宽即小圆的直径，根据求解；将3个长方形的面积与圆的面积相加求出小圆滚动的面积。 【详解】长方形的宽： 2×2＝4（厘米） 长方形的长： 2×3.14×2＝12.56（厘米） 12.56×2＝25.12（厘米） 长方形的面积： 25.12×4＝100.48（平方厘米） 3个长方形的面积和： 100.48×3＝301.44（平方厘米） 3个扇形面积： 3.14×4×4＝50.24（平方厘米） 小圆滚过面积： 301.44＋50.24＝351.68（平方厘米） 答：小圆滚动的面积为351.68平方厘米。 【点睛】结合题意将小球滚动的路线转化成我们熟知的图形，小球滚动的面积即各部分图形的面积和。有意识的将多个扇形面积去转化成有关的圆的面积；将图上的有效信息提取出来，小球的直径等于长方形的宽，3个扇形组成的圆的半径是小球的直径；灵活的运用圆的面积公式。 3．【新趋势·操作与探究】生活中许多现象可以提炼成数学问题去研究，我们一起探索图形运动产生的数学奥秘吧！数线上的长方形长4厘米，宽2厘米，圆的半径为1厘米，长方形以1厘米/秒的速度向右平移。 （1）当长方形运动4秒时，长方形与圆的重叠面积为（    ）平方厘米。 （2）长方形刚好完全穿过并离开圆时，长方形运动了（    ）秒。 （3）当长方形运动到第几秒时，长方形与圆的重叠面积为1.57平方厘米？ 【答案】（1）3.14；（2）8；（3）第3秒或第7秒 【分析】（1）需要根据长方形平移的距离判断其与圆的位置关系，进而求出重叠面积，已知长方形速度为1厘米/秒，运动4秒，根据路程＝速度×时间，则长方形向右平移了1×4＝4厘米；此时长方形的右边缘正好与圆的右边缘重合，长方形与重合部分的面积等于圆的面积。 （2）计算长方形刚好完全穿过并离开圆时移动的总距离，再结合速度求出时间；长方形刚好完全穿过并离开圆时，也就是长方形左边的宽要移动到8厘米的位置，所以长方形向右移动8厘米，已知速度为1厘米/秒，根据时间＝路程÷速度解答。 （3）根据重叠面积反推长方形的位置，从而确定运动时间。用到的概念有圆的面积公式：S＝，以及长方形的面积公式S＝a×b（a表示长，b表示宽），同时根据速度、时间和路程的关系路程 ＝速度×时间来计算长方形移动的距离。 因为圆的半径r＝1厘米，根据圆的面积公式S＝，可得圆的面积为3.14×12＝3.14平方厘米。 当重叠面积为1.57平方厘米时，1.57＝×3.14，即重叠部分是半圆。据此分情况讨论。 【详解】（1）3.14×12 ＝3.14×1 ＝3.14（平方厘米） 所以当长方形运动4秒时，长方形与圆的重叠面积为3.14平方厘米。 （2）8÷1＝8（秒） 所以长方形刚好完全穿过并离开圆时，长方形运动了8秒。 （3）当长方形的右面与圆的圆心重合时： 3÷1＝3（秒） 当长方形的左面与圆心重合时： 7÷1＝7（秒） 答：当长方形运动到第3秒或第7秒时，长方形与圆的重叠面积为1.57平方厘米。 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 昨夜西风调碧树，独上高楼，望尽天涯路。 —宋·晏殊《蝶恋花槛菊愁烟兰泣露》 第1页共7页 品学科网 www.zX×k.com 让教与学更高效 2025-2026学年六年级数学上册书山培优系列「2025秋] 第五单元圆【从新情境到新素养】 新 情境主题 吕【典型例题】 【新情境时事热点】从美国的出口管制，到全球范围的芯片短缺，芯片引发了全民关注，发 展国产芯片也成为我国国策。 (1)电脑CPU芯片是由一种叫单晶硅的材料组成的，未切割的单晶硅材料是一种薄型的圆 片，叫“晶圆片”，如果晶圆片的直径为30厘米，那么它的面积是多少平方厘米？ (2)据统计，2004年我国芯片产值仅为540亿元，比2024年芯片产值的2少4亿元，2024 年的芯片产值是多少亿元？ 即【对应练习】 1.【新情境·主题对话】图形A和图形B(图中阴影)是两个半圆的一部分，芳芳和东东正 在讨论A和B的大小。 芳芳说：A的面积比B的面积大。 东东说：B的周长比A的周长大。” 你同意他俩的观点吗？给出你判断的理由。 5cm 5cm 4cm 6cm 第2页共7页 学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 2.【新情境。科技生活】在现代科技中，数学的应用也是无处不在，如下面飞行器中的数学 问题。飞行器甲的发射轨道与飞行器乙的运行轨道分别是以点O和点O为圆心的两个圆形轨 道（如图）。已知飞行器甲的飞行速度为40千米/分，飞行器乙的飞行速度为20千米/分，某 行星在B点（假定不动），弧BC与弧AC的长度差为3600千米。早上9：00飞行器甲准时 发射，此时飞行器乙正好在A点，要求在C点处对接。 A飞行器乙 B 飞行器甲 (1)请你计算两个飞行器在几时对接。 (2)飞行器甲的发射轨道与飞行器乙的运行轨道的半径各是多少千米？（结果取整数） 3.【新情境传统工艺】妈妈教兰兰一剪成裙的伞裙制作方法：先取一块边长是1.6米的 正方形布，把它按照图①对折，按照图②再对折，变成一个小正方形。然后分别以小正方形的 边长、号边长画圆弧并剪下，得到如图④的圆环，再折出裙褶、加上裙腰就是一条伞裙了。 裙长 ① ② ③ ④ 一剪成裙 (1)做出来的裙长是多少？ (裙腰不算在内) (2)裙身的裙褶完全打开，平铺的面积是多少？ 第3页共7页 命学科网 www.zX×k.com 让教与学更高效 新 素养培优 吕【典型例题】 【新素养·几何直观能力】下面每个正方形的边长都是2厘米。 (1)请计算第一幅图中阴影部分的面积。 (2)在空白的正方形中画出2个不同的图形，涂阴影部分，要求阴影部分面积和第一幅阴影 部分面积相等 即【对应练习】 1.【新素养。几何直观能力】根据要求画一画，探一探。 (1)画一画：画一个边长是4厘米的正方形，再在正方形内画一个最大的圆。（注意保留作 图痕迹) (2)算一算：从正方形中剪去这个最大的圆，剩下部分的面积是多少？ (3)探一探：小丽同学在同样大小的正方形中剪下了4个相同大小的圆（如图)。剪去后， 剩下的面积和第(2)题的答案一样吗？请说说你的理由。 第4页共7页 学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 2.《新素养。模型意识】如图所示，院子两堵围墙的长度分别为6米和9米，墙外是一片草 地。如果将小羊拴在围墙边上的点A处，绳长4米。 6m 院子 9m A 4m (1)请画出这只小羊吃到草的所有范围。 (2)小羊吃到草的所有面积是多少平方米？ 3.【新素养。模型意识】一个正方形羊圈，边长6米（如图）。A点是一条边的中点，B点 是一个顶点。 B (1)把一只羊放到羊圈外的草地上吃草。主人用一根2米长的绳子，一端系在A点处，一端 系住羊。请在图上画出这只羊可吃到草的区域（示意图)，并计算出面积。 (2)如果主人用一根4米长的绳子将羊系在B点处，那么这只羊可吃到草的面积是多少平方 米？ 第5页共7页 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 新 趋势命题 吕【典型例题】 【新趋势观察与探究】数学思想方法是数学的灵魂。转化思想作为重要的数学思想方法之一， 在我们的学习生活中无处不在。如，推导圆的面积计算公式时，把圆转化为长方形… @® 像三角形，它们的面积一样。 这是一个由草 沿线剪开 绳编成的圆形 茶杯垫片。 a (1)下面有一种有意思的推导圆的面积方法，读一读，填一填。 这时，三角形的面积相当于圆的面积。 观察这个三角形，底相当于圆的 高相当于圆的 ②如果圆的半径是r,三角形的面积：S=a×h÷2,那么圆的面积： S= ÷2=πm2（填写字母) (2)用转化的数学思想求出如图中阴影部分的面积。 2 4cm 4cm 即【对应练习】 1.【新趋势。获取阅读信息1重庆火锅，是一张有味道的城市名片，深受人们的喜爱。张叔 叔想定做一张家用圆形火锅桌，需求如下：①张叔叔家餐厅长4.5米，宽3.2米，圆桌与餐厅 四周墙壁之间至少预留1米宽的通道方便人就座和通行：②在圆桌中心预留一个圆孔，用于内 置安放直径0.6米的圆形电磁炉：③为更加美观、耐用，要在桌子边缘贴一圈装饰带，并在圆 桌桌面铺上一层透明隔热垫。如果你是设计师，请根据张叔叔家的需求和实际情况，为他设计 一张最大的圆桌，并计算该圆桌桌边所贴装饰带的长度和桌面隔热垫的大小。（π取3.14) (1)装饰带长度。 第6页共7页 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 (2)隔热垫大小。 2.【新趋势。操作与探究】如图，一个等边三角形的边长是一个小圆的周长的2倍，小圆的 半径为2c。若这个小圆按箭头方向从某一位置沿着等边三角形的周边作无滑动滚动，直至回 到原出发位置，在计算小圆滚动的面积的时候，聪聪的想法如下，请你据此计算。 第1步：先把小圆滚过的图形进行分割：小圆经过的面积为3个长方形面积十3个扇形面积。 第2步：3个扇形面积分析：1个扇形圆心角+三角形的1个内角=180°，则3个扇形圆心角 +三角形的3个内角=540°。因为三角形3个内角的和为180°，所以3个扇形圆心角的和为 360°，即3个扇形面积的和为一个圆的面积。 3.【新趋势操作与探究】生活中许多现象可以提炼成数学问题去研究，我们一起探索图形 运动产生的数学奥秘吧！数线上的长方形长4厘米，宽2厘米，圆的半径为1厘米，长方形以 1厘米/秒的速度向右平移。 单位：cm 012345678910111213141516 (1)当长方形运动4秒时，长方形与圆的重叠面积为()平方厘米。 (2)长方形刚好完全穿过并离开圆时，长方形运动了()秒。 (3)当长方形运动到第几秒时，长方形与圆的重叠面积为1.57平方厘米？ 第7页共7页