第四单元比【从新情境到新素养】-2025-2026学年六年级数学上册书山培优系列（原卷版+解析版）人教版

昨夜西风凋碧树，独上高楼，望尽天涯路。 ——宋·晏殊《蝶恋花·槛菊愁烟兰泣露》 2025-2026学年六年级数学上册书山培优系列「2025秋」 第四单元比【从新情境到新素养】 【典型例题】 【新情境·时事热点主题】电影《哪吒之魔童降世》上映后，某商场统计发现二月份哪吒玩偶与敖丙玩偶的销售总额高达18000元，其中哪吒玩偶的销售额与敖丙玩偶的销售额之比是7∶5，那么这两种玩偶的销售额分别是多少元？ 【对应练习】 1．【新情境·传统文化主题】出自房山区琉璃河遗址西周墓的伯矩鬲（古代煮粥的锅），是首都博物馆的镇馆之宝。伯矩鬲的金属成分主要是铜和锡，还含有少量铅和其他微量元素，其铜、锡、铅的配比约为21∶3∶1。已知其中的铜含量约为6.3千克，伯矩鬲中含锡约多少千克？ 2．【新情境·传统文化主题】《考工记》是我国春秋时期的一部文献，记述了官营手工业各工种规范和制造工艺。镈是当时的一种重要农具，制造镈所需铜和锡的比是5∶1。如果制造一件镈需要铜和锡共4920克，那么需要铜多少克？ 3．【新情境·科技生活主题】神舟十八号载人飞船于2024年4月25日20时58分57秒在酒泉卫星发射中心成功发射。为了普及航天知识，赵老师制作了一个面积是360平方分米的宣传栏，其中“航天英雄”版面占总面积的，剩下的面积按3∶2分给“航天知识”和“航天历程”版面。“航天知识”和“航天历程”版面的面积各是多少平方分米？ 【典型例题】 【新素养·创新意识】小区有一个长12米、宽8米的长方形水池，物业计划将其扩建。方案一：长增加4米，宽保持不变；方案二：宽增加3米，长保持不变。居民讨论时，有人认为“方案一的面积增加更多”，也有人觉得“方案二的形状更接近正方形，更美观”。 （1）分别计算两种扩建方案后水池的面积，并求出面积比原来增加了多少平方米。 （2）“面积增加更多”和“形状更接近正方形”哪个更合理？结合数学概念（如面积变化量、长宽比）说明你的观点。 【对应练习】 1．【新素养·创新意识】现有一批沙棘树苗共2340株，需种植于一沙地。甲工人单独种需12小时；乙工人单独种需15小时。现两人全程合作种完这批树苗。完工时，甲工人种了多少株？ （1）根据以下两位同学的思路，完成填空。 小梦：可以先计算两人合作的工作时间，再利用“_______×______＝工作量”的数量关系解决问题。 小晨：既表示两人的_____之比，也表示_____之比。 （2）我选择了_____的解题思路，并列式解答。 2．【新素养·创新意识】要用30立方米混凝土浇一段水泥路，混凝土按照水泥、沙子、石子1∶1.3∶2.5配比。1立方米混凝土大约重3吨。 （1）浇这段路需要水泥多少吨？ （2）根据信息，提出一个不同的数学问题并列式计算。 ？ 列式： 3．【新素养·创新意识】甲和乙共有84枚邮票，甲邮票数量的和乙邮票数量的相等。甲和乙各有多少枚邮票？ 下面是文锋和肖弘的解法。 甲：（枚） 乙：（枚） 解：设甲有x枚邮票，则乙有（84－x）枚邮票。 文锋（    ） 肖弘（    ） （1）文锋和肖弘的解法对吗？对的画“√”，错的画“×”。 （2）请你将解法正确同学的思路进一步解释清楚，写在下面。 （3）请你将错误解法改正过来。 【典型例题】 【新趋势·图形结合与创新探究】如图1所示，有一个长方形的操场ABCD，麓麓（点P）从A点出发顺时针方向跑步，速度为1米／秒。麓麓（点P）和A点、B点构成一个三角形PAB，它的面积随着时间的变化而变化（如图2，当运动时间为2秒时，三角形PAB的面积为50平方米）。       （1）求长方形操场ABCD的长和宽分别是多少米？ （2）连接BD两点，若线段BD和AP相交于点N，当三角形PBN的面积与三角形ABN的面积比为1∶2时，P点的运动时间为（    ）秒。 【对应练习】 1．【新趋势·图形结合与创新探究】如图，每个小正方形都相同，涂色部分是一个直角三角形，它的周长是60厘米，这个三角形的面积是多少平方厘米？ 2．【新趋势·综合主题】小明准备用一根铁丝做一个长方形框架和一个三角形框架。他先做了一个长方形框架，其长和宽的比是2∶1，铁丝被用去总长的，剩余的铁丝做了一个三角形框架，其三边的长度之比为3∶4∶5，其中最长边比最短边长8厘米。 （1）做三角形框架用去了多长的铁丝？ （2）长方形框架的面积是多少平方厘米？ 3．【新趋势·综合主题】一条大河有A、B两个港口，水由A流向B，水流速度为4千米/时。甲、乙两船同时由A向B行驶，各自不停地在A、B之间往返航行，甲在静水中的速度是28千米/时，乙在静水中的速度是20千米/时，已知两船第二次迎面相遇地点与甲船第二次追上乙船（不算开始时甲、乙在A处的那一次）的地点相距40千米，求A、B两个港口的距离。 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 昨夜西风凋碧树，独上高楼，望尽天涯路。 —宋·晏殊《蝶恋花·槛菊愁烟兰泣露》 第1页共7页 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2025-2026学年六年级数学上册书山培优系列「2025秋J 第四单元比【从新情境到新素养】 新 情境主题 吕【典型例题】 【新情境·时事热点主题】电影《哪吒之魔童降世》上映后，某商场统计发现二月份哪吒玩偶 与敖丙玩偶的销售总额高达18000元，其中哪吒玩偶的销售额与敖丙玩偶的销售额之比是7：5， 那么这两种玩偶的销售额分别是多少元？ 肥【对应练习】 1.【新情境·传统文化主题】出自房山区琉璃河遗址西周墓的伯矩鬲（古代煮粥的锅），是 首都博物馆的镇馆之宝。伯矩鬲的金属成分主要是铜和锡，还含有少量铅和其他微量元素，其 铜、锡、铅的配比约为21：3：1。已知其中的铜含量约为6.3千克，伯矩鬲中含锡约多少千克？ 伯矩鬲 第2页共7页 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2.【新情境·传统文化主题】《考工记》是我国春秋时期的一部文献，记述了官营手工业各 工种规范和制造工艺。镈是当时的一种重要农具，制造镈所需铜和锡的比是5：1。如果制造 件镈需要铜和锡共4920克，那么需要铜多少克？ 3.【新情境·科技生活主题】神舟十八号载人飞船于2024年4月25日20时58分57秒在酒 泉卫星发射中心成功发射。为了普及航天知识，赵老师制作了一个面积是360平方分米的宣传 栏，其中航天英雌"版面占总面积的；，剩下的面积按3：2分给航天知识和航天历程”版面。 “航天知识”和“航天历程”版面的面积各是多少平方分米？ 新 素养培优 吕【典型例题】 【新素养·创新意识】小区有一个长12米、宽8米的长方形水池，物业计划将其扩建。方案 一：长增加4米，宽保持不变；方案二：宽增加3米，长保持不变。居民讨论时，有人认为“方 案一的面积增加更多”，也有人觉得“方案二的形状更接近正方形，更美观”。 (1)分别计算两种扩建方案后水池的面积，并求出面积比原来增加了多少平方米。 (2)“面积增加更多和“形状更接近正方形哪个更合理？结合数学概念（如面积变化量、长 宽比)说明你的观点。 第3页共7页 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 肥【对应练习】 1.【新素养·创新意识】现有一批沙棘树苗共2340株，需种植于一沙地。甲工人单独种需 12小时；乙工人单独种需15小时。现两人全程合作种完这批树苗。完工时，甲工人种了多少 株？ (1)根据以下两位同学的思路，完成填空。 小梦：可以先计算两人合作的工作时间，再利用“ ×=工作量”的数量关系解决问 题。 小晨：=54既表示两人的之比，也表示之比。 1215 (2)我选择了 的解题思路，并列式解答。 2.【新素养·创新意识】要用30立方米混凝土浇一段水泥路，混凝土按照水泥、沙子、石子 1:1.3:2.5配比。1立方米混凝土大约重3吨。 (1)浇这段路需要水泥多少吨？ (2)根据信息，提出一个不同的数学问题并列式计算。 列式： 第4页共7页 西学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 3.【新素养·创新意识】甲和乙共有84枚邮票，甲邮票数量的；和乙邮票数量的4相等。甲 和乙各有多少枚邮票？ 下面是文锋和肖弘的解法。 解：设甲有x枚邮票，则乙有(84-一x) 甲：84÷(3+4)×3=36（枚） 枚邮票。 乙：84÷(3+4)×4=48（枚） 写+84-)=84 1 文锋() 肖弘() (1)文锋和肖弘的解法对吗？对的画V”,错的画“×”。 (2)请你将解法正确同学的思路进一步解释清楚，写在下面。 (3)请你将错误解法改正过来。 新的 趋势命题 吕【典型例题】 【新趋势·图形结合与创新探究】如图1所示，有一个长方形的操场ABCD,麓麓（点P)从 A点出发顺时针方向跑步，速度为1米/秒。麓麓（点P)和A点、B点构成一个三角形PAB, 它的面积随着时间的变化而变化（如图2，当运动时间为2秒时，三角形PAB的面积为50平 方米)。 △PAB面积(m) 300 D 50 图1 02 时问（秒） 图2 第5页共7页 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)求长方形操场ABCD的长和宽分别是多少米？ (2)连接BD两点，若线段BD和AP相交于点N,当三角形PBN的面积与三角形ABN的 面积比为1：2时，P点的运动时间为()秒。 Q【对应练习】 1.【新趋势·图形结合与创新探究】如图，每个小正方形都相同，涂色部分是一个直角三角 形，它的周长是60厘米，这个三角形的面积是多少平方厘米？ 2.【新趋势。综合主题】小明准备用一根铁丝做一个长方形框架和一个三角形框架。他先做 了一个长方形框架，其长和宽的比是2：1，铁丝被用去总长的)，剩余的铁丝做了一个三角形 框架，其三边的长度之比为3：4：5，其中最长边比最短边长8厘米。 (1)做三角形框架用去了多长的铁丝？ (2)长方形框架的面积是多少平方厘米？ 第6页共7页 学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 3.【新趋势·综合主题】一条大河有A、B两个港口，水由A流向B,水流速度为4千米/ 时。甲、乙两船同时由A向B行驶，各自不停地在A、B之间往返航行，甲在静水中的速度 是28千米/时，乙在静水中的速度是20千米/时，已知两船第二次迎面相遇地点与甲船第二次 追上乙船（不算开始时甲、乙在A处的那一次）的地点相距40千米，求A、B两个港口的距 离。 第7页共7页 昨夜西风凋碧树，独上高楼，望尽天涯路。 ——宋·晏殊《蝶恋花·槛菊愁烟兰泣露》 2025-2026学年六年级数学上册书山培优系列「2025秋」 第四单元比【从新情境到新素养】 【典型例题】 【新情境·时事热点主题】电影《哪吒之魔童降世》上映后，某商场统计发现二月份哪吒玩偶与敖丙玩偶的销售总额高达18000元，其中哪吒玩偶的销售额与敖丙玩偶的销售额之比是7∶5，那么这两种玩偶的销售额分别是多少元？ 【答案】10500元；7500元 【分析】根据题意，二月份哪吒玩偶与敖丙玩偶的销售总额高达18000元，其中哪吒玩偶的销售额与敖丙玩偶的销售额之比是7∶5，哪吒玩偶的销售额占，敖丙玩偶的销售额占，然后用18000分别乘哪吒玩偶的销售额占比和敖丙玩偶的销售额占比即可解答。 【详解】18000× ＝18000× ＝10500（元） 18000× ＝18000× ＝7500（元） 答：哪吒玩偶的销售额是10500元，敖丙玩偶的销售额是7500元。 【对应练习】 1．【新情境·传统文化主题】出自房山区琉璃河遗址西周墓的伯矩鬲（古代煮粥的锅），是首都博物馆的镇馆之宝。伯矩鬲的金属成分主要是铜和锡，还含有少量铅和其他微量元素，其铜、锡、铅的配比约为21∶3∶1。已知其中的铜含量约为6.3千克，伯矩鬲中含锡约多少千克？ 【答案】0.9千克 【分析】把铜、锡、铅的重量和看作单位“1”，铜、锡、铅的配比约为21∶3∶1，即铜占铜、锡、铅的重量和的，对应的是铜的重量6.3千克，求单位“1”，用铜的重量÷，求出铜、锡、铅的重量和；锡占铜、锡、铅重量和的，用铜、锡、铅的重量和×，即可求出锡的重量。 【详解】6.3÷× ＝6.3÷× ＝6.3×× ＝0.9（千克） 答：伯矩鬲中含锡约0.9千克。 2．【新情境·传统文化主题】《考工记》是我国春秋时期的一部文献，记述了官营手工业各工种规范和制造工艺。镈是当时的一种重要农具，制造镈所需铜和锡的比是5∶1。如果制造一件镈需要铜和锡共4920克，那么需要铜多少克？ 【答案】4100克 【分析】根据题意，把制造镈所需铜的质量看作5份，所需锡的质量看作1份，已知制造一件镈需要铜和锡共4920克，用4920克除以制造一件镈需要铜和锡的份数和，求出一份的量是多少克，再乘铜的质量对应的份数，即可求出需要铜多少克。 【详解】4920÷（5＋1）×5 ＝4920÷6×5 ＝820×5 ＝4100（克） 答：需要铜4100克。 3．【新情境·科技生活主题】神舟十八号载人飞船于2024年4月25日20时58分57秒在酒泉卫星发射中心成功发射。为了普及航天知识，赵老师制作了一个面积是360平方分米的宣传栏，其中“航天英雄”版面占总面积的，剩下的面积按3∶2分给“航天知识”和“航天历程”版面。“航天知识”和“航天历程”版面的面积各是多少平方分米？ 【答案】“航天知识“版面的面积是120平方分米，“航天历程“版面的面积是80平方分米 【分析】把赵老师制作的宣传栏的总面积看作单位“1”， 其中“航天英雄”版面占总面积的，则剩下的占总面积的1－，根据分数乘法的意义：求一个数的几分之几是多少，用乘法，用360×（1－）列式求出剩下的面积；再根据按比例分配的方法，把3∶2看作份数比，用剩下的面积除以份数和，求出1份是多少平方分米，再分别乘3、2即可求出“航天知识”和“航天历程”版面的面积各是多少平方分米。 【详解】360 ＝360 ＝200（平方分米） 200÷（3＋2） ＝200÷5 ＝40（平方分米） 40×3＝120（平方分米） 40×2＝80（平方分米） 答：“航天知识“版面的面积是120平方分米，“航天历程“版面的面积是80平方分米。 【典型例题】 【新素养·创新意识】小区有一个长12米、宽8米的长方形水池，物业计划将其扩建。方案一：长增加4米，宽保持不变；方案二：宽增加3米，长保持不变。居民讨论时，有人认为“方案一的面积增加更多”，也有人觉得“方案二的形状更接近正方形，更美观”。 （1）分别计算两种扩建方案后水池的面积，并求出面积比原来增加了多少平方米。 （2）“面积增加更多”和“形状更接近正方形”哪个更合理？结合数学概念（如面积变化量、长宽比）说明你的观点。 【答案】（1）方案一：128平方米；32平方米 方案二：132平方米；36平方米 （2）方案二；观点见详解 【分析】（1）根据长方形的面积＝长×宽，分别计算原来水池的面积以及两种扩建方案后水池的面积，再分别用两种扩建方案后水池的面积减去原来水池的面积，求出扩建后比原来增加的面积。 （2）“面积增加更多”，比较上一题中两种扩建方案水池比原来增加的面积，得出哪种方案的面积增加得更多即可。 “形状更接近正方形”，因为正方形的长宽比为1∶1，长宽比越接近1，形状越接近正方形；据此分别求出原水池、两种扩建方案中长方形的长宽比，即可得解。 【详解】（1）原水池面积： 原长12米，原宽8米，原面积＝12×8＝96（平方米） 方案一（长增加4米，宽不变）： 新长：12＋4＝16（米），宽：8米，新面积：16×8＝128（平方米） 面积增加量：128－96＝32（平方米） 方案二（宽增加3米，长不变）： 长：12米，新宽：8＋3＝11（米），新面积：12×11＝132（平方米） 面积增加量：132－96＝36（平方米） 答：方案一：扩建后的水池面积是128平方米，比原来增加了32平方米；方案二：扩建后的水池面积是132平方米，比原来增加了36平方米。 （2）面积增加量：方案二（36平方米）＞方案一（32平方米），因此方案二的面积增加量更多。 长宽比：正方形的长宽比为1∶1，长宽比越接近1，形状越接近正方形（美观性通常与对称性相关）。 原水池长宽比：12∶8＝12÷8＝1.5，即长是宽的1.5倍； 方案一长宽比：16∶8＝16÷8＝2，即长是宽的2倍； 方案二长宽比：12∶11＝12÷11≈1.09，即长是宽的1.09倍。 显然，方案二的长宽比更接近1，形状更接近正方形。 答：若以“面积增加更多”为目标，方案二更合理；若以“形状更接近正方形”为目标，方案二同样更合理（因长宽比更接近1）。因此，方案二更合理。 【对应练习】 1．【新素养·创新意识】现有一批沙棘树苗共2340株，需种植于一沙地。甲工人单独种需12小时；乙工人单独种需15小时。现两人全程合作种完这批树苗。完工时，甲工人种了多少株？ （1）根据以下两位同学的思路，完成填空。 小梦：可以先计算两人合作的工作时间，再利用“_______×______＝工作量”的数量关系解决问题。 小晨：既表示两人的_____之比，也表示_____之比。 （2）我选择了_____的解题思路，并列式解答。 【答案】（1）答题空1：工作效率； 答题空2：工作时间； 答题空3：工作效率； 答题空4：工作量。 （2）小晨；见详解。（二选一） 【分析】（1）答题空1、答题空2：根据“工作效率×工作时间＝工作量”来解决； 答题空3、答题空4：根据两人的工作效率的比就是工作量的比来解决。 （2）答题空1：小晨。可以选择小晨的思路来列式解答。也可以选择小梦的思路来列式解答。（二选一）。 【详解】（1）小梦：因为“工作效率×工作时间＝工作量”，所以她是利用工程问题的数量关系来解决问题；所以答题空1：工作效率；答题空2：工作时间。 小晨：表示甲工人的工作效率，表示乙工人的工作效率。在相同时间内，他们的工作效率之比就是他们的工作量之比；所以答题空3：工作效率；答题空4：工作量。 （2）小晨。（二选一） 小晨： ＝（）∶（） ＝5∶4 甲：2340× ＝2340× ＝1300（株） 答：甲工人种了1300株。 小梦： 甲：2340÷12＝195（株/时） 乙：2340÷15＝156（株/时） 合作时间： 2340÷（195＋156） ＝2340÷351 （小时） 甲： 答：甲工人种了1300株。 2．【新素养·创新意识】要用30立方米混凝土浇一段水泥路，混凝土按照水泥、沙子、石子1∶1.3∶2.5配比。1立方米混凝土大约重3吨。 （1）浇这段路需要水泥多少吨？ （2）根据信息，提出一个不同的数学问题并列式计算。 ？ 列式： 【答案】（1）18.75吨 （2）浇这段路需要沙子多少吨； 24.375吨 【分析】（1）已知1立方米混凝土大约重3吨，那么30立方米混凝土重（30×3）吨。 已知混凝土按照水泥、沙子、石子1∶1.3∶2.5配比，即水泥占1份，沙子占1.3份，石子占2.5份，一共是（1＋1.3＋2.5）份； 先用混凝土的总吨数除以总份数，求出一份数，也就是需要水泥的吨数。 （2）根据信息，提出数学问题，如：浇这段路需要沙子多少吨？ 用混凝土的总质量除以总份数，求出一份数，再用一份数乘沙子占的份数，即可求出需要沙子的吨数。 【详解】（1）30×3＝90（吨） 90÷（1＋1.3＋2.5） ＝90÷4.8 ＝18.75（吨） 答：浇这段路需要水泥18.75吨。 （2）提问：浇这段路需要沙子多少吨？（答案不唯一） 列式：90÷（1＋1.3＋2.5）×1.3 ＝90÷4.8×1.3 ＝18.75×1.3 ＝24.375（吨） 答：浇这段路需要沙子24.375吨。 3．【新素养·创新意识】甲和乙共有84枚邮票，甲邮票数量的和乙邮票数量的相等。甲和乙各有多少枚邮票？ 下面是文锋和肖弘的解法。 甲：（枚） 乙：（枚） 解：设甲有x枚邮票，则乙有（84－x）枚邮票。 文锋（    ） 肖弘（    ） （1）文锋和肖弘的解法对吗？对的画“√”，错的画“×”。 （2）请你将解法正确同学的思路进一步解释清楚，写在下面。 （3）请你将错误解法改正过来。 【答案】见详解 【分析】文锋：文锋想通过按比分配问题的解题方法解答。求一个数的几分之几是多少用乘法，假设甲＝乙＝1，根据积÷因数＝另一个因数，分别计算出甲和乙，两数相除又叫两个数的比，根据比的意义，确定甲和乙的数量比。将比的前后项看成份数，总数量÷总份数＝一份数，一份数分别乘甲和乙的对应份数，即可求出甲和乙的数量； 肖弘：肖弘想通过列方程进行解答。求一个数的几分之几是多少用乘法，设甲有x枚邮票，则乙有（84－x）枚，根据甲的数量×＝乙的数量×，列出方程求出x的值是甲的数量，总数量－甲的数量＝乙的数量。 根据以上分析逐项完成三个小题即可。 【详解】（1） 甲：（枚） 乙：（枚） 解：设甲有x枚邮票，则乙有（84－x）枚邮票。 文锋（ √ ） 肖弘（ × ） （2）假设甲＝乙＝1 甲＝1÷＝1×3＝3 乙＝1÷＝1×4＝4 甲乙数量比：3∶4 一份数：84÷（3＋4） ＝84÷7 ＝12（枚） 甲：12×3＝36（枚） 乙：12×4＝48（枚） 综合算式：甲：84÷（3＋4）×3 ＝84÷7×3 ＝36（枚） 乙：84÷（3＋4）×4 ＝84÷7×4 ＝48（枚） （3）解：设甲有x枚邮票，则乙有（84－x）枚邮票。 84－36＝48（枚） 答：甲和乙各有36枚、48枚邮票。 【典型例题】 【新趋势·图形结合与创新探究】如图1所示，有一个长方形的操场ABCD，麓麓（点P）从A点出发顺时针方向跑步，速度为1米／秒。麓麓（点P）和A点、B点构成一个三角形PAB，它的面积随着时间的变化而变化（如图2，当运动时间为2秒时，三角形PAB的面积为50平方米）。       （1）求长方形操场ABCD的长和宽分别是多少米？ （2）连接BD两点，若线段BD和AP相交于点N，当三角形PBN的面积与三角形ABN的面积比为1∶2时，P点的运动时间为（    ）秒。 【答案】（1）长：50米；宽：12米； （2）37或68 【分析】（1）当运动时间为2秒时，AP的长度是（2×1）米，此时三角形的底是AB，高是AP，根据三角形的底＝面积×2÷高列式计算即可求出AB的长度；当P运动到D点时三角形PAB的面积达到最大值300，此时三角形的底是AB，高是AD，根据三角形的高＝面积×2÷底列式求出三角形的高即AD即可。 （2）分为两种情况：①点P在CD上，因为三角形ABN的边AN上的高和三角形PBN的边PN上的高相等，所以当三角形PBN的面积∶三角形ABN的面积＝1∶2时AN＝2PN，再结合DP∥AB进一步求出PD的长度，最后求出AD＋DP的长度，并除以速度即可得到时间； ②点P在BC上，因为三角形ABN的边AN上的高和三角形PBN的边PN上的高相等，所以当三角形PBN的面积∶三角形ABN的面积＝1∶2时，AN＝2PN，再结合PB∥AD进而求出 PB的长度，再根据PC＝CB－PB求出PC的长度，最后求出AD＋DC＋CP的长度并求出运动时间。 【详解】（1）1×2＝2（米） 50×2÷2 ＝100÷2 ＝50（米） 300×2÷50 ＝600÷50 ＝12（米） 答：长方形操场ABCD的长是50米，宽是12米。 （2）第一种情况： 因为三角形ABN的边AN上的高和三角形PBN的边PN上的高相等，所以当三角形PBN的面积∶三角形ABN的面积＝1∶2时，AN＝2PN，即PN∶AN＝1∶2。 在长方形ABCD中，DP∥AB，所以PD∶AB＝PN∶AN＝1∶2；由（1）知，AD＝12米，AB＝50米，所以PD＝50÷2＝25（米）。 AD＋DP＝12＋25＝37（米），37÷1＝37（秒），所以当点P的运动时间为37秒时，三角形PBN的面积与三角形ABN的面积比为1∶2； 第二种情况： 因为三角形ABN的边AN上的高和三角形PBN的边PN上的高相等，所以当三角形PBN的面积∶三角形ABN的面积＝1∶2时，AN＝2PN，即PN∶AN＝1∶2。 在长方形ABCD中，PB∥AD，所以PB∶AD＝PN∶AN＝1∶2；所以PB＝AD＝×12＝6（米），PC＝CB－PB＝12－6＝6（米），AD＋DC＋CP＝12＋50＋6＝68（米），68÷1＝68（秒）；所以当点P的运动时间为68秒时，三角形PBN的面积与三角形ABN的面积比为1∶2。 连接BD两点，若线段BD和AP相交于点N，当三角形PBN的面积与三角形ABN的面积比为1∶2时，P点的运动时间为37秒或68秒。 【对应练习】 1．【新趋势·图形结合与创新探究】如图，每个小正方形都相同，涂色部分是一个直角三角形，它的周长是60厘米，这个三角形的面积是多少平方厘米？ 【答案】150平方厘米 【分析】根据题意可知，每个小正方形都相同，所以三条边的比是3∶4∶5，再根据按比分配的方法，求出这个直角三角形的两条直角边的长度，再根据“三角形的面积＝底×高÷2”，把数据代入公式解答。 【详解】三角形三条边的比为：3∶4∶5。 60× ＝60× ＝15（厘米） 60× ＝60× ＝20（厘米） 15×20÷2 ＝300÷2 ＝150（平方厘米） 答：这个三角形的面积是150平方厘米。 2．【新趋势·综合主题】小明准备用一根铁丝做一个长方形框架和一个三角形框架。他先做了一个长方形框架，其长和宽的比是2∶1，铁丝被用去总长的，剩余的铁丝做了一个三角形框架，其三边的长度之比为3∶4∶5，其中最长边比最短边长8厘米。 （1）做三角形框架用去了多长的铁丝？ （2）长方形框架的面积是多少平方厘米？ 【答案】（1）48厘米 （2）200平方厘米 【分析】（1）剩余的铁丝做了一个三角形框架，其三边的长度之比为3∶4∶5，即三边的长度分别占3份、4份、5份；用最长边比最短边的长度除以（5－3）份，求出一份数，再用一份数乘（3＋4＋5）份，求出做三角形框架用去铁丝的长度。 （2）把铁丝的总长看作单位“1”，做长方形框架用去的铁丝占总长的，则做三角形框架用去的铁丝占总长的（1－），单位“1”未知，用三角形框架用去铁丝的长度除以（1－），求出铁丝的总长； 用铁丝的总长减去做三角形框架用去铁丝的长度，即是做长方形框架用去铁丝的长度； 根据长方形的周长＝（长＋宽）×2可知，长方形的长、宽之和＝周长÷2；已知长方形框架的长和宽的比是2∶1，把长看作2份、宽看作1份，一共是（2＋1）份；用长、宽之和除以（2＋1）份，求出一份数，即是宽，再用宽乘2，即是长； 最后根据长方形的面积＝长×宽，求出长方形框架的面积。 【详解】（1）一份数： 8÷（5－3） ＝8÷2 ＝4（厘米） 三角形框架用铁丝的长度： 4×（3＋4＋5） ＝4×12 ＝48（厘米） 答：做三角形框架用去了48厘米长的铁丝。 （2）铁丝的总长： 48÷（1－） ＝48÷ ＝48× ＝108（厘米） 做长方形框架用铁丝的长度：108－48＝60（厘米） 长方形框架的长、宽之和：60÷2＝30（厘米） 宽：30÷（2＋1） ＝30÷3 ＝10（厘米） 长：10×2＝20（厘米） 面积：20×10＝200（平方厘米） 答：长方形框架的面积是200平方厘米。 【点睛】（1）本题考查比的应用，把三角形的三边比看作份数，根据最长边比最短边长8厘米，求出一份数是解题的关键。 （2）把铁丝的总长看作单位“1”，单位“1”未知，根据分数除法的意义求出铁丝的总长；再灵活运用长方形的周长公式以及比的应用，求出长方形的长、宽是解题的关键。 3．【新趋势·综合主题】一条大河有A、B两个港口，水由A流向B，水流速度为4千米/时。甲、乙两船同时由A向B行驶，各自不停地在A、B之间往返航行，甲在静水中的速度是28千米/时，乙在静水中的速度是20千米/时，已知两船第二次迎面相遇地点与甲船第二次追上乙船（不算开始时甲、乙在A处的那一次）的地点相距40千米，求A、B两个港口的距离。 【答案】240千米 【分析】设A、B两个港口的距离为d，可分别求出甲乙顺水、逆水时的速度，根据两者的速度比可求出甲乙两船第二次迎面相遇与甲船第二次追上乙船时所在的位置，从而结合等量关系两地点相距40千米可列出方程，解出即可。 【详解】 设A、B两个港口的距离为d， 甲顺水速度：28＋4＝32（千米/时） 甲逆水速度：28－4＝24（千米/时） 乙顺水速度：20＋4＝24（千米/时） 乙逆水速度：20－4＝16（千米/时） 第二次相遇地点：从A到B：甲速∶乙速＝32∶24＝4∶3 甲到B，乙到E； 甲从B到A，速度24，甲速∶乙速＝24∶24＝1∶1 甲、乙在EB的中点F点第一次相遇； 乙到B时，甲到E，这时甲速∶乙速＝24∶16＝3∶2 甲到A点时，乙到C点； 甲又从A顺水，这时甲速∶乙速＝32∶16＝2∶1 所以甲、乙第二次相遇地点是AC处的点H， AH＝×AB＝AB＝d 第二次追上地点：甲比乙多行1来回时第一次追上，多行2来回时第二次追上，甲行一个来回2AB时间＋＝ 乙行一个来回2AB时间＋＝ 一个来回甲比乙少用时间：－＝ 甲多行2来回的时间是：×2＝ 说明乙第二次被追上时行的来回数是：÷＝ 甲第二次追上乙时，乙在第5个来回中，甲在第7个来回中。 甲行6个来回时间是×6＝ 乙行4个来回时间是×4＝ －＝ 从A到B甲少用时间：－＝ 说明第二次追上是在乙行到第五个来回的返回途中， －＝ 从B到A，甲比乙少用时间：－＝ ÷＝ 追上地点是从B到A的中点C处。 根据题中条件，HC＝40千米，即＝40，d＝240千米。 答：A、B两个港口的距离是240千米。 【点睛】解答本题时要抓住甲乙运动的速度之比，从而得出甲乙两船第二次迎面相遇与甲船第二次追上乙船时，在线段AB的位置，第二次追上的过程比较难分析，注意一步一步的来。 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 昨夜西风凋碧树，独上高楼，望尽天涯路。 —宋·晏殊《蝶恋花·槛菊愁烟兰泣露》 第1页共16页 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2025-2026学年六年级数学上册书山培优系列「2025秋 第四单元比【从新情境到新素养】 新 情境主题 吕【典型例题】 【新情境·时事热点主题】电影《哪吒之魔童降世》上映后，某商场统计发现二月份哪吒玩偶 与敖丙玩偶的销售总额高达18000元，其中哪吒玩偶的销售额与敖丙玩偶的销售额之比是7：5， 那么这两种玩偶的销售额分别是多少元？ 【答案】10500元：7500元 【分析】根据题意，二月份哪吒玩偶与敖丙玩偶的销售总额高达18000元，其中哪吒玩偶的销 售额与教丙玩偶的销售额之比是7：5。哪吒玩偶的销售额占5·救丙玩偶的销售额占 +5 然后用18000分别乘哪吒玩偶的销售额占比和敖丙玩偶的销售额古比即可解答。 【详解】1800：73 =18000×12 =10500(元) 18000× 5 7+5 =18000 12 =7500(元) 答：哪吒玩偶的销售额是10500元，敖丙玩偶的销售额是7500元。 肥【对应练习】 1.【新情境·传统文化主题】出自房山区琉璃河遗址西周墓的伯矩鬲（古代煮粥的锅），是 首都博物馆的镇馆之宝。伯矩鬲的金属成分主要是铜和锡，还含有少量铅和其他微量元素，其 铜、锡、铅的配比约为21：3：1。己知其中的铜含量约为63千克，伯矩鬲中含锡约多少千克？ 第2页共16页 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 们矩鬲 【答案】0.9千克 【分析】把铜、锡、铅的重量和看作单位“1，铜、锡、铅的配比约为21：3：1，即铜占铜、 锡、铅的重量和的3对应的是铜的重量63千克，求单位1，用铜的重量2 21 21+3+1' 求出铜、锡、铅的重量和：锡占铜、锡、铅重量和的用铜、锡、铅的重量和×2 21+3+1 即可求出锡的重量。 【详解】6.3÷。 21 3 21+3+121+3+1 6,321x3 2525 =6.3× 253 2125 =0.9(千克) 答：伯矩鬲中含锡约0.9千克。 2.【新情境·传统文化主题】《考工记》是我国春秋时期的一部文献，记述了官营手工业各 工种规范和制造工艺。缚是当时的一种重要农具，制造镈所需铜和锡的比是5：1。如果制造 件镈需要铜和锡共4920克，那么需要铜多少克？ 【答案】4100克 【分析】根据题意，把制造镈所需铜的质量看作5份，所需锡的质量看作1份，已知制造一件 镈需要铜和锡共4920克，用4920克除以制造一件缚需要铜和锡的份数和，求出一份的量是多 少克，再乘铜的质量对应的份数，即可求出需要铜多少克。 【详解】4920(5+1)×5 =4920÷6×5 =820×5 =4100(克) 答：需要铜4100克。 3.【新情境·科技生活主题】神舟十八号载人飞船于2024年4月25日20时58分57秒在酒 泉卫星发射中心成功发射。为了普及航天知识，赵老师制作了一个面积是360平方分米的宣传 第3页共16页 西学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 栏，其中“航天英雄版面占总面积的号，剩下的面积按3：2分给航天知识”和航天历程版面。 “航天知识”和“航天历程”版面的面积各是多少平方分米？ 【答案】“航天知识“版面的面积是120平方分米，“航天历程“版面的面积是80平方分米 【分析】把赵老师制作的宣传栏的总面积看作单位“1”，其中“航天英雄版面占总面积的 则剩下的占总面积的1一号，根据分数乘法的意义：求一个数的几分之几是多少，用乘法，用 360×(1一号)列式求出剩下的面积：再根据按比例分配的方法，把3：2看作份数比，用剩下 的面积除以份数和，求出1份是多少平方分米，再分别乘3、2即可求出“航天知识”和“航天历 程”版面的面积各是多少平方分米。 【详解】360×1-4) 0 =360x5 =200(平方分米) 200÷(3+2) =200:5 =40(平方分米) 40×3=120(平方分米) 40×2=80(平方分米) 答：“航天知识“版面的面积是120平方分米，“航天历程“版面的面积是80平方分米。 新 素养培优 吕【典型例题】 【新素养·创新意识】小区有一个长12米、宽8米的长方形水池，物业计划将其扩建。方案 一：长增加4米，宽保持不变；方案二：宽增加3米，长保持不变。居民讨论时，有人认为方 案一的面积增加更多”，也有人觉得“方案二的形状更接近正方形，更美观”。 (1)分别计算两种扩建方案后水池的面积，并求出面积比原来增加了多少平方米。 (2)“面积增加更多”和“形状更接近正方形哪个更合理？结合数学概念（如面积变化量、长 宽比)说明你的观点。 第4页共16页 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【答案】(1)方案一：128平方米：32平方米 方案二：132平方米；36平方米 (2)方案二；观点见详解 【分析】(1)根据长方形的面积=长×宽，分别计算原来水池的面积以及两种扩建方案后水池 的面积，再分别用两种扩建方案后水池的面积减去原来水池的面积，求出扩建后比原来增加的 面积。 (2)“面积增加更多”，比较上一题中两种扩建方案水池比原来增加的面积，得出哪种方案的 面积增加得更多即可。 “形状更接近正方形”，因为正方形的长宽比为1：1，长宽比越接近1，形状越接近正方形；据 此分别求出原水池、两种扩建方案中长方形的长宽比，即可得解。 【详解】(1)原水池面积： 原长12米，原宽8米，原面积=12×8=96（平方米） 方案一（长增加4米，宽不变）： 新长：12+4=16（米），宽：8米，新面积：16×8=128（平方米） 面积增加量：128一96=32（平方米） 方案二（宽增加3米，长不变）： 长：12米，新宽：8+3=11（米），新面积：12×11=132（平方米） 面积增加量：132-96=36（平方米） 答：方案一：扩建后的水池面积是128平方米，比原来增加了32平方米：方案二：扩建后的 水池面积是132平方米，比原来增加了36平方米。 (2)面积增加量：方案二(36平方米)>方案一(32平方米)，因此方案二的面积增加量更 多。 长宽比：正方形的长宽比为1：1，长宽比越接近1，形状越接近正方形（美观性通常与对称性 相关)。 原水池长宽比：12：8=12÷8=1.5，即长是宽的1.5倍 方案一长宽比：16：8=16÷8=2，即长是宽的2倍： 方案二长宽比：12：11=12÷11≈1.09，即长是宽的1.09倍。 显然，方案二的长宽比更接近1，形状更接近正方形。 答：若以“面积增加更多”为目标，方案二更合理：若以“形状更接近正方形”为目标，方案二同 第5页共16页 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 样更合理（因长宽比更接近1）。因此，方案二更合理。 Q【对应练习】 1.【新素养·创新意识】现有一批沙棘树苗共2340株，需种植于一沙地。甲工人单独种需 12小时；乙工人单独种需15小时。现两人全程合作种完这批树苗。完工时，甲工人种了多少 株？ (1)根据以下两位同学的思路，完成填空。 小梦：可以先计算两人合作的工作时间，再利用“ ×=工作量”的数量关系解决问 题。 小晨：b =5:4既表示两人的之比，也表示之比。 (2)我选择了 的解题思路，并列式解答。 【答案】(1)答题空1：工作效率： 答题空2：工作时间； 答题空3：工作效率； 答题空4：工作量。 (2)小晨；见详解。（二选一） 【分析】(1)答题空1、答题空2：根据“工作效率×工作时间=工作量”来解决； 答题空3、答题空4：根据两人的工作效率的比就是工作量的比来解决。 (2)答题空1：小晨。可以选择小晨的思路来列式解答。也可以选择小梦的思路来列式解答。 (二选一)。 【详解】(1)小梦：因为“工作效率×工作时间=工作量”，所以她是利用工程问题的数量关系 来解决问题；所以答题空1：工作效率：答题空2：工作时间。 小晨：表示甲工人的工作效率，5表示乙工人的工作效率。在相同时间内，他们的工作效 率之比就是他们的工作量之比；所以答题空3：工作效率；答题空4：工作量。 (2)小晨。（二选一） 小晨：洁 60) =60):(5 =5:4 第6页共16页 学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 甲：2340x5 4+5 =2340号 =1300(株) 答：甲工人种了1300株。 小梦： 甲：2340÷12=195（株/时） 乙：2340÷15=156（株/时） 合作时间： 2340÷(195+156) =2340:351 20 3 (小时) 甲：195×20 =1300(株) 答：甲工人种了1300株。 2.【新素养·创新意识】要用30立方米混凝土浇一段水泥路，混凝土按照水泥、沙子、石子 1:1.3:2.5配比。1立方米混凝土大约重3吨。 (1)浇这段路需要水泥多少吨？ (2)根据信息，提出一个不同的数学问题并列式计算。 列式： 【答案】(1)18.75吨 (2)浇这段路需要沙子多少吨： 24.375吨 【分析】(1)已知1立方米混凝土大约重3吨，那么30立方米混凝土重(30×3)吨。 已知混凝土按照水泥、沙子、石子1：1.3：2.5配比，即水泥占1份，沙子占1.3份，石子占 2.5份，一共是(1+1.3+2.5)份： 先用混凝土的总吨数除以总份数，求出一份数，也就是需要水泥的吨数。 (2)根据信息，提出数学问题，如：浇这段路需要沙子多少吨？ 用混凝土的总质量除以总份数，求出一份数，再用一份数乘沙子占的份数，即可求出需要沙子 第7页共16页 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 的吨数。 【详解】(1)30×3=90（吨） 90÷(1+1.3+2.5) =90:4.8 =18.75(吨) 答：浇这段路需要水泥18.75吨。 (2)提问：浇这段路需要沙子多少吨？（答案不唯一） 列式：90-(1+1.3+2.5)×1.3 =90÷4.8×1.3 =18.75×1.3 =24.375(吨) 答：浇这段路需要沙子24.375吨。 3.【新素养·创新意识】甲和乙共有84枚邮票， 甲邮票数量的，和乙邮票数量的，相等。甲 和乙各有多少枚邮票？ 下面是文锋和肖弘的解法。 解：设甲有x枚邮票，则乙有(84一x) 甲：84÷(3+4)×3=36（枚） 枚邮票。 乙：84÷(3+4)×4=48（枚） 3x+4(84-x)=84 11 4 文锋() 肖弘() (1)文锋和肖弘的解法对吗？对的画V”,错的画×”。 (2)请你将解法正确同学的思路进一步解释清楚，写在下面。 (3)请你将错误解法改正过来。 【答案】见详解 【分析】文锋：文锋想通过按比分配问题的解题方法解答。求一个数的几分之几是多少用乘法， 假设；甲=4乙=1，根据积：因数=另一个因数，分别计算出甲和乙，两数相除又叫两个数的 比，根据比的意义，确定甲和乙的数量比。将比的前后项看成份数，总数量÷总份数=一份数， 份数分别乘甲和乙的对应份数，即可求出甲和乙的数量； 肖弘：肖弘想通过列方程进行解答。求一个数的几分之几是多少用乘法，设甲有x枚邮票，则 第8页共16页 学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 乙有(84-x)枚，根据甲的数量×；=乙的数量×4，列出方程求出x的值是甲的数量，总数 量一甲的数量=乙的数量。 根据以上分析逐项完成三个小题即可。 【详解】(1) 解：设甲有x枚邮票，则乙有(84一x) 甲：84÷(3+4)×3=36（枚） 枚邮票。 乙：84÷(3+4)×4=48（枚） 3X+484-x)=84 文锋（√） 肖弘(×) (2)假设；甲=4乙=1 甲=1写=13=3 乙=14=1×4=4 甲乙数量比：3：4 份数：84÷(3十4) =84÷7 =12(枚) 甲：12×3=36（枚） 乙：12×4=48（枚） 综合算式：甲：84÷(3+4)×3 =84÷7×3 =36(枚) 乙：84÷(3+4)×4 =84÷7×4 =48(枚) (3)解：设甲有x枚邮票，则乙有(84一x)枚邮票。 x=284-x) 34 3=21-x 4 第9页共16页 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3+4x=21-1x 11 1 X+一X 34 44 7 =21 12 77 21*12 7 X÷ 1212 -21号 X=36 84-36=48(枚) 答：甲和乙各有36枚、48枚邮票。 新 趋势命题 吕【典型例题】 【新趋势·图形结合与创新探究】如图1所示，有一个长方形的操场ABCD,麓麓（点P)从 A点出发顺时针方向跑步，速度为1米/秒。麓麓（点P)和A点、B点构成一个三角形PAB, 它的面积随着时间的变化而变化（如图2，当运动时间为2秒时，三角形PAB的面积为50平 方米)。 △PAB面积(m) 300-- D 50 图1 02 时间（秒） 图2 (1)求长方形操场ABCD的长和宽分别是多少米？ (2)连接BD两点，若线段BD和AP相交于点N,当三角形PBN的面积与三角形ABN的 面积比为1：2时，P点的运动时间为()秒。 【答案】(1)长：50米；宽：12米 (2)37或68 【分析】(1)当运动时间为2秒时，AP的长度是(2×1)米，此时三角形的底是AB,高是 AP,根据三角形的底=面积×2÷高列式计算即可求出AB的长度；当P运动到D点时三角形 第10页共16页