专题02 整式的加减特殊题型强化练习（专项训练）数学冀教版2024七年级上册

专题02 整式的加减特殊题型强化练习 目录 A题型建模・专项突破 题型一、整式加减中的无关型问题 1 题型二、整式加减中的缺项型问题 2 题型三、整式加减中的错看型问题 3 题型四、整式加减中的整体性问题 5 题型五、整式加减中的规律型问题 6 题型六、整式加减中的新定义问题 8 题型一、整式加减中的无关型问题 1．无论x，y取什么值，多项式的值都等于定值8，则n的值为（    ） A． B．3 C． D．6 2．多项式的值（    ） A．只与x有关 B．只与y有关 C．与x，y均有关 D．与x，y均无关 3．已知，，若的值与x无关．则y的值为（　　） A． B． C． D． 4．多项式的值与x的取值无关，则的值为 ． 5．已知多项式与的值无关，则的值为 ． 6．若代数式的值与字母的取值无关，则代数式的值为 ． 7．已知多项式，． (1)求； (2)当，时，求的值； (3)若的值与x无关，求y的值． 8．（1）先化简，再求值：，其中． （2）已知 ． ①求； ②若的值与a的取值无关，求b的值． 题型二、整式加减中的缺项型问题 9．已知关于x的多项式不含项，则m的值为（　　） A． B． C． D． 10．若关于a，b的多项式中不含有项，则m的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 11．如果关于x的多项式合并后不含项和项，则a，b的值分别是（    ） A．， B．， C．， D．2， 12．当 时，多项式中不含项． 13．若多项式与多项式的和不含二次项，则等于 ． 14．已知关于的多项式不含和项，则 ． 15．定义新运算“*”： (1)计算 的值； (2)若 ， ，且的结果中不含项，求的值． 16．已知关于的多项式合并后不含项和项，求的值． 题型三、整式加减中的错看型问题 17．有这样一道题：“先化简，再求值：，其中”，甲同学做题时把错抄成了，乙同学没抄错，但他们做出来的结果却一样，你能说明这是为什么吗？并求出这个结果． 18．阅读与思考:阅读下列材料，完成后面任务． 一天，我在某杂志上看到这样一道题：小红和小英在完成题目“化简”时，发现系数“”被墨迹污染了，下面是她俩的对话： 小红：小英，我想，被墨迹污染的系数是 小英：你猜错啦!我查了一下，这道题的答案是一个常数呀！...... 任务： (1)根据材料中小红的话，化简式子． (2)根据材料中小英的话，求这道问题中的系数“”及该式子的结果． 19．（1）小刚在做“计算的值，其中，”这道题时，把，错看成“，”，但他计算的结果也是正确的，请你说明这是怎么回事． （2）李兵同学在计算时，由于马虎，将“”错看成了“”，求得的结果为，请你帮助李兵同学求出这道题的正确结果． 20．学习了整式的加减法之后，老师给出了一道课堂练习题：已知两个关于的多项式、，其中，求． 小强同学把“”错看成“”，求出的结果为． (1)填空：多项式的次数为 ，常数项为 ； (2)请帮小强同学求出的正确答案； (3)若当取任意数值时，的值都是一个常数，求的值． 21．小刚一回家就认真地做数学课上老师布置的一道数学题：已知两个多项式和，其中，，求．由于粗心，小刚把多项式中的系数漏掉了，已知本题的正确答案是，试求这道试题中多项式中的系数，并求出的值． 22．小明在抄写一个四次单项式时，把字母，的指数漏掉了，请写出原单项式一种可能的情况： 23．某同学做作业时把代数式化简后的结果错抄成了，抄错后代入的值答案为，正确答案应为，则的值为 ． 24．已知，，均为多项式，小方同学在计算“”时，误将符号抄错而计算成了“”，得到的结果是若，，则 ． 题型四、整式加减中的整体性问题 25．理解与思考：整体代换是数学的一种思想方法，例如：，则 ；我们将作为一个整体代入，则原式．仿照上面的解题方法，完成下面的问题： (1)若，则 ； (2)如果，求的值； (3)若，，求的值． 26．阅读材料：我们知道，，类似的，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛。 (1)把看成一个整体，化简：______； (2)运用“整体思想”化简：． 27．阅读与思考：整体思考是一种重要的解决数学问题的策略．例如：已知当时，代数式的值为2024，则当时，代数式的值是多少？ 解：当时，代数式的值为2024， 则， ． 当时，． 请认真阅读上面例题的解答过程，完成下面问题． (1)若，则________． (2)已知，，求的值． 28．阅读材料：我们知道，，类似的，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 尝试应用： (1)把看成一个整体，合并______； (2)已知，运用“整体思想”求的值； (3)若，，则______． 29．我们知道，，类似的，若把看成一个整体，则．“整体思想”是数学解题中一种非常重要的数学思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． (1)把看成一个整体，合并 ． (2)已知，求的值． (3)已知，． ① ； ②求的值． 30．“整体思想”是数学解题中一种非常重要的数学思想方法．它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 【教材呈现】如图是人教版七年级上册数学教材的部分内容． 把和各看成一个整体，对下列各式进行化简： （1）； （2）． 【问题解决】 （1）对上面方框中（2）的式子进行化简，写出化简过程； 【简单应用】 （2）①已知，则______； ②已知，求的值； 【拓展提高】 （3）已知，求整式的值． 31．阅读材料：我们知道，，类似地，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是数学解题中的一种重要的思想方法，在多项式的化简与求值中应用广泛． (1)把看成一个整体，化简代数式的结果是 ； (2)已知，则的值是 ； (3)已知，则的值是 ． 32．阅读：我们知道，，类似地，我们也可以将看成一个整体，则请根据上面的提示和范例，解决下面的问题： (1)把看成一个整体，则将合并的结果为______； (2)已知，求的值； (3)已知，，，求的值． 题型五、整式加减中的规律型问题 33．观察下列各式的特征： ；；；，根据规律，解决相关问题： (1)根据上面的规律，将下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不能写出计算结果）： ①_____； ②_____； (2)当时， _______，当时，_____； (3)用合理的方法计算： ． 34．下列等式： ；；；；… (1)仿写：____________；第个式子是__________________． (2)从计算结果中找规律，利用规律计算：=____________； (3)计算：（由此拓展写出具体过程） ①； ②． 35．认真观察下面的序列等式的变化，寻找“将一项拆成两项”的规律：，，，，…．用上面的思路，解决下列问题： (1)写出上面序列等式的第n个等式； (2)计算：． 36．【观察思考】 ； ； ； ； …… 【尝试探索】 （1）将写成6个连续奇数的和：___________； 【规律表达】 （2）任意大于1的正整数的三次幂可以写成个连续奇数的和，则这个连续奇数中最大的数可以表示为___________（用含的代数式表示）； 【规律应用】 （3）若可以写成个连续奇数的和，其中有一个奇数是2025，求的值． 37．在整数除法体系中，一个正整数除以3的余数规律蕴含着深刻的数学逻辑．若我们把一个正整数除以3所得的余数记作“模3”，例如：记作“12模”；记作“16模”；记作“11模． (1)直接写出结果：36模______；360模_______． (2)①命题：如果模，其中为正整数，那么模3．这个命题是真命题，证明过程如下： 证明：若模，其中为正整数，则能被3整除，可以设； 则； 所以能被3整除， 即模3． ②命题：如果模，其中为正整数，那么模．是否正确？若正确，请证明，若不正确，举例说明： (3)证明：如果模模，其中、为正整数，那么模． 38．乘方之美、乘方之趣、乘方之奇，有多少耐人寻味且神奇的现象隐藏于乘方之中．观察下列等式：，，，，，，，，，，……解答下列三个问题： (1)的末位数字是 ． (2)求的末位数字． (3)观察下列等式：，，，，…，想一想：等式左边各个幂的底数与右边幂的底数有什么关系，再利用这一规律计算的值． 39．数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法．我国著名数学家华罗庚曾说：“数以形而直观，形以数而入微”，通过图形的直观特征发现数量之间的关系，达到化隐为显，以形助数的目的，使问题简捷地得以解决．请用数形结合的方法解决下面问题： 【观察分析】 用大小一样的正方形按如图方式拼成长方形．现用两种方法求解阴影部分黑色小正方形的个数： （1）填空： ①从图①中可以得到：，因此图①中共有________个黑色小正方形； ②从图②中可以得到：，因此图②中共有________个黑色小正方形； ③从图③中可以得到：________________，因此图③中共有个黑色小正方形； 【规律总结】 （2）由此可以猜想：图中共有________个黑色小正方形，请你用图①~④检验你总结到的规律； （3）根据上面发现，我们还可以得到猜想：________； 【探究应用】（4）根据你发现的结论，计算：； 【拓展应用】（5）计算：． 40．观察式子中的规律，并回答问题． (1)观察发现 ①； ②； ③； ④；．．．．．． 式子④中_______，______； (2)规律提炼：写出第个等式（用含有字母的式子表示）； (3)问题解决：求的值． 题型六、整式加减中的新定义问题 41．对于有理数a、b，定义新运算：，等式右边是通常的加、减法和乘法运算． (1)计算的值； (2)对于任意有理数a、b，有 ；（填“”或“”或“”） (3)比较与的大小，并说明理由． 42．定义：若，则称是“最佳拍档数”．例如：、因此3和是一组“最佳拍档数”． (1)8与_________是一组“最佳拍档数”； (2)若“是一组“最佳拍档数”，请求出的值． 43．定义一种新运算：观察下列各式： ， ， ， ． (1)请你想想： ； (2)若那么 （填“”或“”）； (3)先化简，再求值：，其中 44．定义：若一个多项式的各项系数之和为7的整数倍，则称这个多项式为“标准多项式”．例如：多项式的系数和为，所以多项式是“标准多项式”．请根据这个定义解答下列问题： (1)在下列多项式中，属于“标准多项式”的是______；（填写序号） ①；②；③． (2)若多项式是关于x，y的“标准多项式”（其中m、n均为整数），则多项式也是关于x，y的“标准多多项式”吗？若是，请说明理由；若不是，请举出反例． (3)已知，，，且（其中m，，t均为整数），请证明多项式也是关于x，y的“标准多项式”． 45．我们定义：对于数对，若，则称为“和积等数对”．如：因为，，所以都是“和积等数对”． (1)下列数对中，是“和积等数对”的是 ；（填序号） ①；②；③． (2)若是“和积等数对”，求代数式的值． 46．定义：已知M，N都是关于x的多项式，若（，且k不含字母），则称M是N的“平移式”，k叫做M关于N的“平移值”．例如：，，，则称M是N的“平移式”，M关于N的“平移值”为4． (1)若，，则M是N的“平移式”吗？为什么？ (2)对于常数m，n，有，，若M是N的“平移式”，且“平移值”为3，求m，n的值； (3)若A，B，M都是关于x的多项式，且，．，且，试问：M是N的“平移式”吗？如果是，求出m，n的值及“平移值”；如果不是，请说明理由． 47．观察下列两个等式：，，给出定义如下：我们称使等式成立的一对有理数“，”为“共生有理数对”，记为，如：数对，都是“共生有理数对”． (1)通过计算判断数对是不是“共生有理数对”； (2)若是“共生有理数对”，则“” “共生有理数对”（填“是”或“不是”）； (3)如果是“共生有理数对”，且，求的值． 48．定义一种新的运算，观察下列各式： ； (1)请你用代数式表示的结果； (2)小丁说：“与互为相反数”，小丁的说法正确吗？如果正确，请说明理由；如果不正确，请举例说明； (3)若，请计算的值． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 整式的加减特殊题型强化练习 目录 A题型建模・专项突破 题型一、整式加减中的无关型问题 1 题型二、整式加减中的缺项型问题 2 题型三、整式加减中的错看型问题 3 题型四、整式加减中的整体性问题 5 题型五、整式加减中的规律型问题 6 题型六、整式加减中的新定义问题 8 题型一、整式加减中的无关型问题 1．无论x，y取什么值，多项式的值都等于定值8，则n的值为（    ） A． B．3 C． D．6 【答案】B 【分析】本题考查了整式的加减，代数式求值，掌握整式的加减是解题的关键．先化简代数式，再根据题意得出，得出n的值． 【详解】解： ， ∵无论x，y取什么值的值都等于定值8， ∴， ∴， 故选：B． 2．多项式的值（    ） A．只与x有关 B．只与y有关 C．与x，y均有关 D．与x，y均无关 【答案】A 【分析】本题考查了整式的加减，正确的运算是解题的关键． 原式去括号合并后，即可作出判断． 【详解】解： ∴只与有关， 故选：A ． 3．已知，，若的值与x无关．则y的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查整式加减的计算，解题关键在于能够理解的值与x的取值无关，即令含x的项系数和为0即可． 先按照去括号法则去掉整式中的小括号，再合并整式中的同类项，将化简，再根据的值与x无关，令含x的项系数和为0即可． 【详解】解：∵，， ∴ ∵的值与x的值无关， ∴ 解得：． 故选：D． 4．多项式的值与x的取值无关，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减运算，代数式求值． 先化简多项式，再根据“值与x的取值无关”求出，，最后代入计算即可． 【详解】解： ． ∵多项式的值与x的取值无关， ∴，， ∴，， 即． 故答案为：． 5．已知多项式与的值无关，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减无关型问题，先合并同类项，再根据多项式的值与的值无关，得到项的系数为，解方程即可求解，掌握整式的加减运算法则是解题的关键． 【详解】解：， ∵多项式与的值无关， ∴， ∴， 故答案为：． 6．若代数式的值与字母的取值无关，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的加减，解一元一次方程，正确理解多项式与取值无关的意义是解题的关键． 直接去括号合并同类项，再利用关于的系数为0，即可得出答案． 【详解】解：， ， ， 代数式的值与字母的取值无关， ， 解得， ． 故答案为：4． 7．已知多项式，． (1)求； (2)当，时，求的值； (3)若的值与x无关，求y的值． 【答案】(1)； (2)2； (3)2． 【分析】此题考查了整式的加减-化简求值，正确合并同类项是解题的关键， （1）直接利用整式的加减运算法则计算得出答案； （2）直接把，的值代入得出答案； （3）根据的值与的取值无关，得出的系数和为零，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ， ； （2）解：当，时， 原式 ， ， ， ； （3）解：∵，其值与的取值无关， ∴， ∴． 8．（1）先化简，再求值：，其中． （2）已知 ． ①求； ②若的值与a的取值无关，求b的值． 【答案】（1），；（2）①；② 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，整式加减中的无关型问题，熟知整式的加减计算法则是解题的关键． （1）先去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可； （2）①根据整式的加减计算法则求解即可；②根据可得，据此可得答案． 【详解】解：（1） ， 当时，原式； （2）①∵， ∴ ； ②∵，且的值与a的取值无关， ∴， ∴． 题型二、整式加减中的缺项型问题 9．已知关于x的多项式不含项，则m的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了整式加减中的无关项问题．先合并同类项，然后根据多项式中不含项，可得，即可求解． 【详解】解：∵关于x的多项式不含项， 且 ， ∴． ∴． 故选：B． 10．若关于a，b的多项式中不含有项，则m的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了整式的加减，熟练合并同类项的计算是解本题的关键，去括号，合并同类项，使得项的系数为零，即可求出m的值． 【详解】解： ， 原式不含有项， ，即， 的值为6． 故选：D． 11．如果关于x的多项式合并后不含项和项，则a，b的值分别是（    ） A．， B．， C．， D．2， 【答案】B 【分析】本题考查了多项式的项，根据题意求得即可． 【详解】解：∵关于的多项式不含和x的项， ∴，， ∴， 故选B． 12．当 时，多项式中不含项． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减． 先合并同类项，再根据不含项计算即可． 【详解】解：， ∵多项式中不含项， ∴， ∴． 故答案为：． 13．若多项式与多项式的和不含二次项，则等于 ． 【答案】4 【分析】本题考查了整式加减中的无关型问题，熟练掌握运算法则是解题关键．先计算整式的加减可得两个多项式的和为，再根据二次项的系数等于0求解即可得． 【详解】解： ， ∵多项式与多项式的和不含二次项， ∴， ∴， 故答案为：4． 14．已知关于的多项式不含和项，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式的项，代数式求值．由关于x的多项式不含和项，可得，，计算求解m，n的值，然后代入求解即可． 【详解】解：∵关于的多项式不含和项， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 15．定义新运算“*”： (1)计算 的值； (2)若 ， ，且的结果中不含项，求的值． 【答案】(1)10 (2) 【分析】本题主要考查了整式加减运算，有理数混合运算，解题的关键是熟练掌握整式加减运算法则，准确计算． （1）根据题干提供的信息列式计算即可； （2）根据题干求出，再根据合并结果中不含项，得出，求出a的值即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： 因为的结果中不含项， 所以项的系数为0， 即， 解得． 16．已知关于的多项式合并后不含项和项，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了合并同类项，根据合并同类项后不含项和项，可得：，，再把字母的值代入代数式求值即可． 【详解】解： ， 合并同类项后不含项和项， ，， 解得：，， ． 题型三、整式加减中的错看型问题 17．有这样一道题：“先化简，再求值：，其中”，甲同学做题时把错抄成了，乙同学没抄错，但他们做出来的结果却一样，你能说明这是为什么吗？并求出这个结果． 【答案】能，13 【分析】本题考查了整式的加减运算，解题的关键是熟练地掌握整式的加减运算法则.原式去括号合并得到结果，即可做出判断． 【详解】解：因为 ， 所以该整式的值与x的取值无关，即无论x取何值，该整式的值都为13． 18．阅读与思考:阅读下列材料，完成后面任务． 一天，我在某杂志上看到这样一道题：小红和小英在完成题目“化简”时，发现系数“”被墨迹污染了，下面是她俩的对话： 小红：小英，我想，被墨迹污染的系数是 小英：你猜错啦!我查了一下，这道题的答案是一个常数呀！...... 任务： (1)根据材料中小红的话，化简式子． (2)根据材料中小英的话，求这道问题中的系数“”及该式子的结果． 【答案】(1) (2)系数“”为；该式子的结果为 【分析】本题主要考查整式的加减，熟练掌握合并同类项是解题的关键； （1）先去括号，再合并同类项，进而得出答案； （2）先去括号，再合并同类项，再利用结果是常数，得出答案． 【详解】（1）∵系数是， ． （2）原式 ， 计算结果是常数， ∴， ． 19．（1）小刚在做“计算的值，其中，”这道题时，把，错看成“，”，但他计算的结果也是正确的，请你说明这是怎么回事． （2）李兵同学在计算时，由于马虎，将“”错看成了“”，求得的结果为，请你帮助李兵同学求出这道题的正确结果． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，整式的加减计算： （1）先把原式去括号，然后合并同类项化简得到，再根据绝对值相同的两个数的平方的结果相等即可得到结论； （2）先根据题意求出，再计算出即可． 【详解】解：（1） ， ∵a取正负2时，的结果相等，b取正负1时，的结果相等， ∴把，错看成“，”，最后计算的结果相同，都是正确的； （2）由题意得，， ∴ ， ∴ ． 20．学习了整式的加减法之后，老师给出了一道课堂练习题：已知两个关于的多项式、，其中，求． 小强同学把“”错看成“”，求出的结果为． (1)填空：多项式的次数为 ，常数项为 ； (2)请帮小强同学求出的正确答案； (3)若当取任意数值时，的值都是一个常数，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了多项式的项和次数，整式的加减运算以及无关型问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先整理得，故多项式的次数为，常数项为，即可作答． （2）因为，且，故，再把，，分别代入，进行计算化简，即可作答． （3）先得出，结合当取任意数值时，的值都是一个常数，故，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，， 多项式的次数为，常数项为； 故答案为： （2）解：∵，且， ， ； （3）解： ． 当取任意数值时，的值都是一个常数， ， ． 21．小刚一回家就认真地做数学课上老师布置的一道数学题：已知两个多项式和，其中，，求．由于粗心，小刚把多项式中的系数漏掉了，已知本题的正确答案是，试求这道试题中多项式中的系数，并求出的值． 【答案】2， 【分析】首先根据题意列式求出B中的系数，然后再计算即可． 【详解】解：由题意，得． 故，即多项式中的系数是2． 所以 ． 【点睛】此题考查了整式的加减混合运算，解题的关键是熟练掌握整式的加减混合运算法则． 22．小明在抄写一个四次单项式时，把字母，的指数漏掉了，请写出原单项式一种可能的情况： 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查单项式的次数，解题的关键是掌握单项式的次数：一个单项式中所有字母的指数的和． 【详解】解：∵单项式是一个四次单项式， ∴字母，的指数之和为， 根据题意：，的指数不能为， ∴原单项式为：或或． 故答案为：（答案不唯一） 23．某同学做作业时把代数式化简后的结果错抄成了，抄错后代入的值答案为，正确答案应为，则的值为 ． 【答案】-12 【分析】根据题意，，将两式相减即可 【详解】解:x-y= =-15+3 =-12． 故答案为：． 【点睛】本题考查了代数式的化简求值，确定x、y对应的式子是解题的关键 24．已知，，均为多项式，小方同学在计算“”时，误将符号抄错而计算成了“”，得到的结果是若，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的加减运算．先根据，求出B，再求出，即可． 【详解】解：根据题意，得 ， ∴ ， 故答案为：． 题型四、整式加减中的整体性问题 25．理解与思考：整体代换是数学的一种思想方法，例如：，则 ；我们将作为一个整体代入，则原式．仿照上面的解题方法，完成下面的问题： (1)若，则 ； (2)如果，求的值； (3)若，，求的值． 【答案】(1) (2)11 (3)64 【分析】此题考查了整式的加减−化简求值，熟练掌握运算法则、运用整体思想是解本题的关键． （1）根据题意得出，整体代入，即可求解； （2）先化简代数式，将，整体代入，即可求解； （3）依题意得出，，整体代入，即可求解． 【详解】（1）解：∵； ∴ ∴； （2）， ； （3），， ∴，， ． 26．阅读材料：我们知道，，类似的，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛。 (1)把看成一个整体，化简：______； (2)运用“整体思想”化简：． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题考查了合并同类项，掌握整体思想求解代数式的值是解题关键． （1）（2）运用“整体思想”合并同类项即可． 【详解】（1）解： 故答案为：2． （2） 27．阅读与思考：整体思考是一种重要的解决数学问题的策略．例如：已知当时，代数式的值为2024，则当时，代数式的值是多少？ 解：当时，代数式的值为2024， 则， ． 当时，． 请认真阅读上面例题的解答过程，完成下面问题． (1)若，则________． (2)已知，，求的值． 【答案】(1)3 (2)2 【分析】此题考查了整式的加减、代数式求值，熟练掌握整式的加减运算法则是解题的关键． （1）原式变形，再整体代入求解即可； （2）原式变形后，把已知等式整体代入计算即可求出值． 【详解】（1）解：∵， 原式； 故答案为：3； （2）解：∵，， ∴ ． 28．阅读材料：我们知道，，类似的，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 尝试应用： (1)把看成一个整体，合并______； (2)已知，运用“整体思想”求的值； (3)若，，则______． 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】本题考查了代数式的求值、合并同类项，掌握整体代入法求代数式的值是解题关键． （1）运用“整体思想”合并同类项即可； （2）先合并同类项，再运用“整体思想”代入求值即可； （3）把写成，再整体代入即可得出结果． 【详解】（1）解： ； 故答案为：2； （2）解：∵， ∴ ； （3）解：∵，， ∴ ； 故答案为：． 29．我们知道，，类似的，若把看成一个整体，则．“整体思想”是数学解题中一种非常重要的数学思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． (1)把看成一个整体，合并 ． (2)已知，求的值． (3)已知，． ① ； ②求的值． 【答案】(1) (2) (3)①；② 【分析】（）根据合并同类项法则计算即可； （）把代数式变形为，再代入已知计算即可； （）①把已知相加即可求解；②把已知代入进行化简，最后再把的值代入计算即可； 本题考查了合并同类项，代数式求值，掌握整体思想是解题的关键． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：∵， ∴； （3）解：①∵，， ∴， 即， ∴， 故答案为：； ②∵，， ∴ ． 30．“整体思想”是数学解题中一种非常重要的数学思想方法．它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 【教材呈现】如图是人教版七年级上册数学教材的部分内容． 把和各看成一个整体，对下列各式进行化简： （1）； （2）． 【问题解决】 （1）对上面方框中（2）的式子进行化简，写出化简过程； 【简单应用】 （2）①已知，则______； ②已知，求的值； 【拓展提高】 （3）已知，求整式的值． 【答案】（1）（2）①1；②24；（3） 【分析】本题考查化简求值，灵活运用各种化简的方法是本题的关键． （1）先分别将和看成一个整体化简即可； （2）①将整体代入计算； ②将看成一个整体后化简，并将代入计算； （3）将原式写成形式，将整体代入计算即可． 【详解】解：（1） ； （2）①∵， ∴ ， 故答案为：1； ②∵， ∴ ； （3） ， ∵， ∴原式． 31．阅读材料：我们知道，，类似地，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是数学解题中的一种重要的思想方法，在多项式的化简与求值中应用广泛． (1)把看成一个整体，化简代数式的结果是 ； (2)已知，则的值是 ； (3)已知，则的值是 ． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了整式的加减，运用整体思想并熟练掌握整式运算中的相关运算法则是解题的关键． （1）把看作一个整体，合并即可得到结果； （2）原式前两项提取3变形后，将已知整式的值代入计算即可求解； （3）由已知得到①，②，再计算即可求出值． 【详解】（1）解：把看成一个整体， ； （2）解：∵， ∴； （3）解：∵，， ∴①，②， 得，， ∴． 32．阅读：我们知道，，类似地，我们也可以将看成一个整体，则请根据上面的提示和范例，解决下面的问题： (1)把看成一个整体，则将合并的结果为______； (2)已知，求的值； (3)已知，，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了合并同类项，代数式求值，去括号和添括号： （1）根据合并同类项的计算法则求解即可； （2）根据，利用整体代入法求解即可； （3）把所求式子去括号，变形为，利用整体代入法求解即可． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 当时，原式； （3）解：原式 当，，时， 原式． 题型五、整式加减中的规律型问题 33．观察下列各式的特征： ；；；，根据规律，解决相关问题： (1)根据上面的规律，将下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不能写出计算结果）： ①_____； ②_____； (2)当时， _______，当时，_____； (3)用合理的方法计算： ． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】本题主要考查了化简绝对值，解题的关键是掌握正数的绝对值的它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0． （1）根据正数的绝对值的它本身，负数的绝对值是它的相反数，即可解答； （2）根据正数的绝对值的它本身，负数的绝对值是它的相反数，即可解答； （3）先将绝对值化简，再进行计算即可． 【详解】（1）解：①，② 故答案为：，； （2）解：当时， 当时， 故答案为：， （3）解： ． 34．下列等式： ；；；；… (1)仿写：____________；第个式子是__________________． (2)从计算结果中找规律，利用规律计算：=____________； (3)计算：（由此拓展写出具体过程） ①； ②． 【答案】(1)； (2) (3)①；② 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，正确理解题意找到规律是解题的关键． （1）观察可知两个相邻正整数的乘积的倒数等于这两个正整数的倒数的差，据此求解即可； （2）根据（1）的规律把所求式子裂项求解即可； （3）①先把所求式子变形为，再根据（1）的规律把所求式子裂项求解即可；②先把原式变形为，进一步变形为，据此求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ……， 以此类推可知，， ∴； （2）解： ； （3）解：① ； ② ． 35．认真观察下面的序列等式的变化，寻找“将一项拆成两项”的规律：，，，，…．用上面的思路，解决下列问题： (1)写出上面序列等式的第n个等式； (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查数字类规律探索，正确确定式子变化规律是解题关键． （1）根据所给式子得规律即可； （2）将原式化为，再计算即可． 【详解】（1）解：根据题意，可知第n个等式为； （2）原式 ． 36．【观察思考】 ； ； ； ； …… 【尝试探索】 （1）将写成6个连续奇数的和：___________； 【规律表达】 （2）任意大于1的正整数的三次幂可以写成个连续奇数的和，则这个连续奇数中最大的数可以表示为___________（用含的代数式表示）； 【规律应用】 （3）若可以写成个连续奇数的和，其中有一个奇数是2025，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了整式的规律， 根据题目给出的规律得到相应的表达式是解题的关键； （1）根据题目给出的规律，可以发现每个正整数的三次幂可表示为个连续奇数的和，推导这些奇数的起始数，起始数是； （2）推导出最大数的表达式，最大数是； （3）根据最大数表示，根据，先大约猜出在45附近取值，即可得到结果； 【详解】解：（1）∵起始数是， ∴当时，起始数为：31， ∴． 故答案为：； （2）由最大数是化简为； 故答案为：； （3）∵， ∴． 37．在整数除法体系中，一个正整数除以3的余数规律蕴含着深刻的数学逻辑．若我们把一个正整数除以3所得的余数记作“模3”，例如：记作“12模”；记作“16模”；记作“11模． (1)直接写出结果：36模______；360模_______． (2)①命题：如果模，其中为正整数，那么模3．这个命题是真命题，证明过程如下： 证明：若模，其中为正整数，则能被3整除，可以设； 则； 所以能被3整除， 即模3． ②命题：如果模，其中为正整数，那么模．是否正确？若正确，请证明，若不正确，举例说明： (3)证明：如果模模，其中、为正整数，那么模． 【答案】(1)0；0； (2)②正确，证明见解析； (3)见解析． 【分析】本题主要考查了整式的加减混合运算的应用： （1）根据新定义解答即可求解； （2）根据命题①的证明方法解答，即可求解； （3）根据题意设，，可得，即可解答． 【详解】（1）解：，， ∴模；模； 故答案为：0；0 （2）解：②正确 证明：若模，其中为正整数，则除以3余1，可以设； 则； 因为能被3整除，10除以3余1， 所以模， 即模． （3）证明：因为模，模， 所以设，， ， 所以模， 所以模． 38．乘方之美、乘方之趣、乘方之奇，有多少耐人寻味且神奇的现象隐藏于乘方之中．观察下列等式：，，，，，，，，，，……解答下列三个问题： (1)的末位数字是 ． (2)求的末位数字． (3)观察下列等式：，，，，…，想一想：等式左边各个幂的底数与右边幂的底数有什么关系，再利用这一规律计算的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查乘方的末位数字规律以及乘方运算的规律应用． 第()题通过观察已知的乘方等式，找出乘方末位数字的循环规律，进而确定的末位数字； 第()题先根据()中发现的末位数字规律，分别计算出到末位数字的和，再确定其末位数字； 第()题先观察等式左边各个幂的底数与右边幂的底数的关系，得出规律，再利用该规律计算的值； 【详解】（1）解：观察已知的乘方等式：，，，，，，，，，，…… 可以发现末位数字是以这个数字为一个循环周期， 刚好经过了个完整的循环周期， ∴的末位数字是． （2）由()可知，一个循环周期内末位数字的和为：， 从到刚好经过了个完整的循环周期， ∴的各项末位数字之和为， ∵的末位数字是， ∴的末位数字是0． （3）观察等式：，，，， 可以发现等式左边各个幂的底数之和等于右边幂的底数， 即，，，， 根据上述规律，右边幂的底数为， 根据等差数列求和公式(其中为项数，为首项，为末项)， 可得. 所以． 39．数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法．我国著名数学家华罗庚曾说：“数以形而直观，形以数而入微”，通过图形的直观特征发现数量之间的关系，达到化隐为显，以形助数的目的，使问题简捷地得以解决．请用数形结合的方法解决下面问题： 【观察分析】 用大小一样的正方形按如图方式拼成长方形．现用两种方法求解阴影部分黑色小正方形的个数： （1）填空： ①从图①中可以得到：，因此图①中共有________个黑色小正方形； ②从图②中可以得到：，因此图②中共有________个黑色小正方形； ③从图③中可以得到：________________，因此图③中共有个黑色小正方形； 【规律总结】 （2）由此可以猜想：图中共有________个黑色小正方形，请你用图①~④检验你总结到的规律； （3）根据上面发现，我们还可以得到猜想：________； 【探究应用】（4）根据你发现的结论，计算：； 【拓展应用】（5）计算：． 【答案】（1）①；②；③；；（2）；（3）；（4）；（5） 【分析】本题考查图形的变化规律， （1）①数出图①中黑色小正方形的个数即可； ②数出图②中黑色小正方形的个数即可； ③结合①、②的等式即可得出结果； （2）结合①、②、③等式右边的形式猜想出结果即可； （3）结合（1）和（2）可得结论； （4）利用（3）的结论进行计算即可； （5）将转化为，再利用（3）的结论进行计算即可， 找出规律并利用规律解决问题是解题的关键． 【详解】解：（1）①从图①中可以得到：，因此图①中共有个黑色小正方形， 故答案为：； ②从图②中可以得到：，因此图②中共有个黑色小正方形， 故答案为：； ③从图③中可以得到：，因此图③中共有个黑色小正方形， 故答案为：；； （2）∵图①中黑色小正方形的个数为：（个）， 图②中黑色小正方形的个数为：（个）， 图③中黑色小正方形的个数为：可以得到：（个）， 图④中黑色小正方形的个数为：可以得到：（个）， …… 由此可以猜想：图中共有个黑色小正方形， 故答案为：； （3）由（1）和 （2）可知：， 故答案为：； （4）； （5） ． 40．观察式子中的规律，并回答问题． (1)观察发现 ①； ②； ③； ④；．．．．．． 式子④中_______，______； (2)规律提炼：写出第个等式（用含有字母的式子表示）； (3)问题解决：求的值． 【答案】(1)25；6； (2)； (3) 【分析】本题考查用代数式表示数或式子的规律，有理数的混合运算，解题的关键是能找到式子的规律． （1）观察已知算式即可得结果； （2）观察给出的算式，可得规律； （3）由（2）中的规律将式子中的每一项拆成两项，再进行加减运算即可． 【详解】（1）解：（1）④， ∴式子④中，， 故答案为：25；6； （2）由（1）给出的算式可得第n个等式：； （3）原式 ． 题型六、整式加减中的新定义问题 41．对于有理数a、b，定义新运算：，等式右边是通常的加、减法和乘法运算． (1)计算的值； (2)对于任意有理数a、b，有 ；（填“”或“”或“”） (3)比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)7 (2) (3)，理由见解析 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算顺序和运算法则． （1）根据公式计算即可； （2）计算出即可得出答案； （3）先计算出，，再作差法比较即可得出答案． 【详解】（1）解： ； （2）解：，， ∴， 故答案为：； （3）解：， ， ， ， ∴． 42．定义：若，则称是“最佳拍档数”．例如：、因此3和是一组“最佳拍档数”． (1)8与_________是一组“最佳拍档数”； (2)若“是一组“最佳拍档数”，请求出的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了新定义的理解与应用、一元一次方程的求解及代数式的化简求值．解题的关键是紧扣“最佳拍档数”的定义，将新定义转化为数学等式，再结合代数式化简技巧计算． （1）根据定义列关于未知数的方程，求解得到对应数． （2）先化简代数式，将其转化为含的形式，再代入定义中的等式求值． 【详解】（1）解：设所求数为x，根据“最佳拍档数”定义：， 合并同类项：， 移项并化简：， ∴； （2）解：已知m，n是“最佳拍档数”，则， 化简代数式： ， 代入：， ∴. 43．定义一种新运算：观察下列各式： ， ， ， ． (1)请你想想： ； (2)若那么 （填“”或“”）； (3)先化简，再求值：，其中 【答案】(1) (2) (3)，9 【分析】本题考查了新定义，整式的加减运算，化简求值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）观察式子，直接作答即可． （2）先分别表示，，再列式，结合，进行作答即可． （3）先整理得，再把代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：观察题干各式，得 故答案为：； （2）解：依题意，，， 则， ∵ ∴， 即， ∴； 故答案为： （3）解：依题意， 当，时，原式． 44．定义：若一个多项式的各项系数之和为7的整数倍，则称这个多项式为“标准多项式”．例如：多项式的系数和为，所以多项式是“标准多项式”．请根据这个定义解答下列问题： (1)在下列多项式中，属于“标准多项式”的是______；（填写序号） ①；②；③． (2)若多项式是关于x，y的“标准多项式”（其中m、n均为整数），则多项式也是关于x，y的“标准多多项式”吗？若是，请说明理由；若不是，请举出反例． (3)已知，，，且（其中m，，t均为整数），请证明多项式也是关于x，y的“标准多项式”． 【答案】(1)①③ (2)是，理由见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了新定义“标准多项式”，整式的加减运算，理解定义是解题的关键． （1）根据“标准多项式”的定义求解即可； （2）根据多项式是关于，的“标准多项式”，可设（为整数，），则，多项式的系数和为，得到，即可求解； （3）先根据整式加减预算法则求出，再结合“标准多项式”的定义证明即可． 【详解】（1）解：①多项式的系数和为， 该多项式是“标准多项式”， ②多项式的系数和为，不是的整数倍， 该多项式不是“标准多项式”， ③多项式的系数和为， 该多项式是“标准多项式”， 故答案为：①③； （2）解：是，理由如下： 多项式是关于，的“标准多项式”， 为的整数倍， 设（为整数，）， 则， 多项式的系数和为， ， ， 是的整数倍，即是的整数倍， 多项式是关于，的“标准多项式”（其中，均为整数），则多项式也是关于，的“标准多项式”； （3）证明：∵，，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴多项式为， 多项式的系数和为， ∴多项式也是关于x，y的“标准多项式”． 45．我们定义：对于数对，若，则称为“和积等数对”．如：因为，，所以都是“和积等数对”． (1)下列数对中，是“和积等数对”的是 ；（填序号） ①；②；③． (2)若是“和积等数对”，求代数式的值． 【答案】(1)①③ (2)24 【分析】本题考查解一元一次方程，整式的加减—化简求值； （1）根据“和积等数对”的定义即可得到结论； （2）将原式去括号，合并同类项进行化简，然后根据新定义内容列出等式并化简，最后代入求值． 【详解】（1）解：∵， ∴数对是“和积等数对”， ∵， ∴不是“和积等数对”， ∵， ∴数对是“和积等数对”， 故答案为：①③； （2）解： ， ∵是“和积等数对” ∴， ∴原式 ． 46．定义：已知M，N都是关于x的多项式，若（，且k不含字母），则称M是N的“平移式”，k叫做M关于N的“平移值”．例如：，，，则称M是N的“平移式”，M关于N的“平移值”为4． (1)若，，则M是N的“平移式”吗？为什么？ (2)对于常数m，n，有，，若M是N的“平移式”，且“平移值”为3，求m，n的值； (3)若A，B，M都是关于x的多项式，且，．，且，试问：M是N的“平移式”吗？如果是，求出m，n的值及“平移值”；如果不是，请说明理由． 【答案】(1)M不是N的“平移式”，理由见解析 (2)，； (3)当，时，M是N的“平移式”，“平移值”是5 【分析】本题考查了新定义，整式的加减运算，熟练掌握整式的加减运算法则是解题的关键． （1）根据新定义，仿照示例，可判断M不是N的“平移式”； （2）根据题意，得到，代入M，N的代数式，化简可得到结果； （3）先表示出N，判断当的条件，从而得到结果． 【详解】（1）解： M不是N的“平移式”，理由如下： ∵，， ∴ ， ∵， ∴M不是N的“平移式”； （2）解：∵M是N的“平移式”，且“平移值”为3， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，； （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 当，则或， ①若， 时，，， ∴，则M是N的“平移式”，“平移值”是5； ②当，时，， ∴，则M不是N的“平移式”， 综上，当， 时，M是N的“平移式”，“平移值”是5． 47．观察下列两个等式：，，给出定义如下：我们称使等式成立的一对有理数“，”为“共生有理数对”，记为，如：数对，都是“共生有理数对”． (1)通过计算判断数对是不是“共生有理数对”； (2)若是“共生有理数对”，则“” “共生有理数对”（填“是”或“不是”）； (3)如果是“共生有理数对”，且，求的值． 【答案】(1)不是 (2)是 (3) 【分析】本题主要考查了新定义，有理数的运算、代数式求值，整式加减等知识点，理解“共生有理数对”的定义是解题的关键． （）根据“共生有理数对”的定义判断即可； （）由题意可得，然后根据“共生有理数对”的定义判断即可； （）由题意可得，又，从而得出，然后代入即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴不是“共生有理数对”， 故答案为：不是； （2）解：∵是“共生有理数对”， ∴， ∴， ∴”是“共生有理数对， 故答案为：是； （3）解：∵是“共生有理数对”， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的值为． 48．定义一种新的运算，观察下列各式： ； (1)请你用代数式表示的结果； (2)小丁说：“与互为相反数”，小丁的说法正确吗？如果正确，请说明理由；如果不正确，请举例说明； (3)若，请计算的值． 【答案】(1) (2)正确，见解析 (3)1 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，整式加减的化简求值等知识点， （1）根据等式总结规律即可解题； （2）按照规律计算与解题即可； （3）先由得到，然后化简并代入求值； 能总结出新运算的法则的规律是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ， ， ， ， ∴得到式子的结果规律为前项与后项的3倍的和， ∴； （2）小丁的说法正确，理由如下， ∵，， ∴与互为相反数； （3）∵ ， ∴ ∴ ． 1 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