微专题 一元二次方程6大核心题型突破（专项训练）数学新教材沪教版五四制八年级上册

微专题 一元二次方程6大核心题型突破 题型1 由一元二次方程的定义求参数 1 题型2 由一元二次方程的解求参数 2 题型3 一元二次方程的解的估算 3 题型4 一元二次方程的特征根 4 题型5 一元二次方程的公共根 4 题型6 换元法的运用 5 ►易错诊断一 忽略一元二次方程概念中的条件而致错 ►易错诊断二 不能准确确定一元二次方程的各项系数而致错 由一元二次方程的定义求参数 例1 已知关于x的方程是一元二次方程，则k的值为（    ） A． B． C．2 D．不能确定 【变式1-1】若是方程的一个解，则代数式的值为 ． 【变式1-2】若关于x的方程是一元二次方程，则m的值为 ． 【变式1-3】已知是关于的一元二次方程，则 ． 【方法规律】 确定一元二次方程待定字母的值(或取值范围)的步骤 (1)列:根据一元二次方程的定义,未知数的最高次数等于2,二次项系数不为零，列出关于某个字母的方程或不等式组; (2)解:解方程或不等式组; (3)定:确定字母的值(或取值范围). 由一元二次方程的解求参数 例2 已知m是方程的一个根，则的值为 ． 【变式2-1】已知是方程的一个实数根，则的值为 ． 【变式2-2】是一元二次方程的一个实数根，则代数式＝ ． 【变式2-3】阅读与思考 定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如和有且只有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”． (1)根据所学定义，下列方程属于“同伴方程”的有______；（只填写序号即可） ①；②；③ (2)关于x的一元二次方程与为“同伴方程”，求m的值； (3)若关于x的一元二次方程（）同时满足和，且与互为“同伴方程”，求n的值． 【变式2-4】已知关于x的一元二次方程，如果a，b，c满足，我们就称这个一元二次方程为波浪方程． (1)判断方程是否为波浪方程，并说明理由． (2)已知关于x的波浪方程的一个根是，求a，b的值． 反思总结 已知方程的一个根，求代数式或待定系数的值时，可根据一元二次方程的根的定义，把根代入原方程,得到一个关于某个字母的方程，通过方程巧求代数式的值或解方程求字母的值. 一元二次方程的解的估算 例3 根据关于的二次函数，可列表如下： 0 0.5 1 1.1 1.2 1.3 0.84 2.29 方程的正数解满足（    ） A．解的整数部分是0，十分位是5 B．解的整数部分是0，十分位是8 C．解的整数部分是1，十分位是1 D．解的整数部分是1，十分位是2 【变式3-1】根据下表中x与的对应值判断一元二次方程的一个解的取值范围是（    ） x … 0.59 0.60 0.61 0.62 0.63 … … 0.0044 0.0269 … A． B． C． D． 【变式3-2】根据下列表格对应值： x 判断关于x的方程的一个解x的范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】探索一元二次方程的一个正数解的过程如下表： x 0 1 2 3 4 5 13 23 从表中可以看出方程的一个正数解在相邻整数a和b之间，则整数a，b分别是 ． 一元二次方程的特征根 例4 在一元二次方程中，若满足关系式，则这个方程必有一个根为 ． 【变式4-1】若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0中二次项系数与常数项之和等于一次项系数,那么方程必有一根为 . 【变式4-2】若方程ax2+bx+c=0（a≠0）满足9a﹣3b+c=0，则方程必有一根为 ． 一元二次方程的公共根 例5 对于一些特殊的方程，我们给出定义：若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”．已知关于的一元二次方程和一元一次方程为“相伴方程”，则的值为 ． 【变式5-1】若两个关于x的一元二次方程和有且只有一个相同的实数根，则m的值为 ． 【变式5-2】已知下面三个关于的一元二次方程，，恰好有一个相同的实数根，则的值为 ． 【变式5-3】若实数，且方程和方程有一个相同的实数根，则m的值为 ． 换元法的运用 例6 若关于的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的一半． 解：设所求方程的根为，则，所以．把代入已知方程，得，化简，得所求方程为．这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 应用：已知方程，求一个关于的一元二次方程，使它的根是已知方程根的相反数，则所求方程为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】若关于的一元二次方程有一个根为，则方程必有一根为（  ） A． B． C． D． 【变式6-3】问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为y，则，所以，把代入已知方程， 得． 化简，得，故所求方程为． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式） (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为______． (2)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别比已知方程根小1，则所求方程为______． (3)已知关于x的一元二次方程（）有两个实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数． ►易错诊断一 忽略一元二次方程概念中的条件而致错 【例1】当为何值时，方程是关于的一元二次方程？ 解 根据题意，得，且. 解，得， 解，得， 所以.所以当时，原方程是关于的一元二次方程.（注：注意这一隐含条件.） 易错攻克 确定一元二次方程的待定系数时，易忽视一元二次方程的一般形式中这个隐含条件. ►易错诊断二 不能准确确定一元二次方程的各项系数而致错 【例2】写出一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项. 解 把原方程化为一般形式为，①——→先化成一般形式. 所以二次项系数是，一次项系数是，常数项是.② （注：注意各项前面的符号.） 易错攻克 ①在写出一元二次方程各项的系数时，应先把方程化成一般形式. ②在写一元二次方程各项的系数时，易漏掉一次项系数和常数项前面的符号. 试卷第1页，共3页 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题 一元二次方程6大核心题型突破 题型1 由一元二次方程的定义求参数 1 题型2 由一元二次方程的解求参数 2 题型3 一元二次方程的解的估算 6 题型4 一元二次方程的特征根 8 题型5 一元二次方程的公共根 10 题型6 换元法的运用 12 ►易错诊断一 忽略一元二次方程概念中的条件而致错 ►易错诊断二 不能准确确定一元二次方程的各项系数而致错 由一元二次方程的定义求参数 例1 已知关于x的方程是一元二次方程，则k的值为（   ） A． B． C．2 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题主要考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义（只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程，其一般形式是（））是解题的关键． 根据一元二次方程的定义，未知数最高次数为且二次项系数不为，据此列方程和不等式求解的值． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴且． 由，得． 由，得． ∴． 故选：． 【变式1-1】若是方程的一个解，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的解，代数式求值，利用方程解的定义，将代入方程得到，然后变形代入计算解答即可． 【详解】解：因为是方程 的一个解， 所以 ，即 ， 则代数式， 故答案为：． 【变式1-2】若关于x的方程是一元二次方程，则m的值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查一元二次方程的定义及解一元二次方程，理解一元二次方程的定义是解题关键． 根据一元二次方程的定义（只含有一个未知数且未知数的最高次数是2次的整式方程），求m的值，注意二次项的系数不为0． 【详解】解：∵是一元二次方程， ， 解得：， 又， ， ∴， 故答案为：． 【变式1-3】已知是关于的一元二次方程，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查一元二次方程的定义，解题的关键是根据一元二次方程的定义列出关于的条件并求解． 根据一元二次方程的定义，未知数最高次数是2且二次项系数不为0，根据题意列出关于的条件，进而求解的值． 【详解】解：因为是关于的一元二次方程，所以需要满足： 二次项系数不为0，即，解得， 未知数的最高次数是2，即， 解，可得，即或， 又因为．所以． 故答案为：1． 【方法规律】 确定一元二次方程待定字母的值(或取值范围)的步骤 (1)列:根据一元二次方程的定义,未知数的最高次数等于2,二次项系数不为零，列出关于某个字母的方程或不等式组; (2)解:解方程或不等式组; (3)定:确定字母的值(或取值范围). 由一元二次方程的解求参数 例2 已知m是方程的一个根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查方程的根的定义，整式的运算，熟练掌握方程的根的定义和整体代入思想是解题的关键，根据题意得到，，再化简，代入即可得到答案． 【详解】解：∵m是方程的一个根， ∴ ∴，， ∴ ． 故答案为：． 【变式2-1】已知是方程的一个实数根，则的值为 ． 【答案】2030 【分析】本题主要考查一元二次方程的解，正确运算是解题的关键． 将代入得，进而即可求解； 【详解】解：将代入，得， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式2-2】是一元二次方程的一个实数根，则代数式＝ ． 【答案】3 【分析】本题考查了一元二次方程的解，代数式化简求值，整体代入是解答本题的关键． 根据一元二次方程根的定义，由是方程的根，可得，代入代数式并简化． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个实数根， ∴ ，即； 代数式， 又 ∵ ， ∴ ． 故原式． 故答案为：3． 【变式2-3】阅读与思考 定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如和有且只有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”． (1)根据所学定义，下列方程属于“同伴方程”的有______；（只填写序号即可） ①；②；③ (2)关于x的一元二次方程与为“同伴方程”，求m的值； (3)若关于x的一元二次方程（）同时满足和，且与互为“同伴方程”，求n的值． 【答案】(1)①③ (2) 或 (3) 或 【分析】本题考查了一元二次方程的解、新定义“同伴方程”． 分别求出三个方程的解，根据“同伴方程”的定义进行判断即可； 先求出一元二次方程的解，，根据一元二次方程与为“同伴方程”，分情况求解即可； 一元二次方程（）同时满足和，可知方程的解为，，分情况求出值即可． 【详解】（1）解：解方程， 可得：，； 解方程， 可得：； 解方程， 可得：，； 其中方程和方程有且只有一个相同的实数根， 方程是“同伴方程”； （2）解：解方程， 可得：，， 当相同的根是时， 把代入方程， 可得：， 解得：； 此时方程为，可得：，，符合题意； 当相同的根是时， 把代入方程， 可得：， 解得：， 此时方程为，可得：，，符合题意； 的值是或； （3）解：关于x的一元二次方程同时满足和， 方程的解是，， 方程的解为，， 方程与方程是“同伴方程”， 或， 或． 【变式2-4】已知关于x的一元二次方程，如果a，b，c满足，我们就称这个一元二次方程为波浪方程． (1)判断方程是否为波浪方程，并说明理由． (2)已知关于x的波浪方程的一个根是，求a，b的值． 【答案】(1)是 (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解的定义，波浪方程的定义，熟知波浪方程的定义是解题的关键： （1）直接根据波浪方程的定义判断即可； （2）先根据波浪方程的定义得到，再由一元二次方程的解的定义得到，据此联立①②求解即可； 【详解】（1）解：方程为波浪方程，理由如下： 由题意得，， ∴， ∴方程为波浪方程， （2）解：∵关于x的方程为波浪方程， ∴，且， ∴， ∵是关于x的方程的一个根， ∴， 联立①②解得； 反思总结 已知方程的一个根，求代数式或待定系数的值时，可根据一元二次方程的根的定义，把根代入原方程,得到一个关于某个字母的方程，通过方程巧求代数式的值或解方程求字母的值. 一元二次方程的解的估算 例3 根据关于的二次函数，可列表如下： 0 0.5 1 1.1 1.2 1.3 0.84 2.29 方程的正数解满足（    ） A．解的整数部分是0，十分位是5 B．解的整数部分是0，十分位是8 C．解的整数部分是1，十分位是1 D．解的整数部分是1，十分位是2 【答案】C 【分析】观察表格得：一元二次方程的解位于与之间，故其正数解的整数部分是，十分位是即可求解． 【详解】解：观察表格得：一元二次方程的解位于与之间（不包括与）， 方程的正数解满足解的整数部分是，十分位是 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，根据表格得到方程的解位于1.1与1.2之间是解题的关键． 【变式3-1】根据下表中x与的对应值判断一元二次方程的一个解的取值范围是（    ） x … 0.59 0.60 0.61 0.62 0.63 … … 0.0044 0.0269 … A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查求一元二次方程的近似根，找到相邻的两个的值，使的值分别大于0和小于0，即可得出结果． 【详解】解：由表格可知，当时，； 当时，； ∴当时，存在一个的值使， 故一元二次方程的一个解的取值范围是； 故选C． 【变式3-2】根据下列表格对应值： x 判断关于x的方程的一个解x的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查求一元二次方程的近似根，根据表格确定相邻两个未知数的值使的值为一正一负时，得到时，x的取值范围即可． 【详解】解：根据题意得：当时，存在一个x的值，使， ∴关于x的方程的一个解x的范围是． 故选：C． 【变式3-3】探索一元二次方程的一个正数解的过程如下表： x 0 1 2 3 4 5 13 23 从表中可以看出方程的一个正数解在相邻整数a和b之间，则整数a，b分别是 ． 【答案】1、2 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的估算，可求出当时，，当时，，据此可得答案． 【详解】解：∵当时，，当时，， ∵方程的一个正数解在相邻整数a和b之间， ∴， 故答案为：1、2． 一元二次方程的特征根 例4 在一元二次方程中，若满足关系式，则这个方程必有一个根为 ． 【答案】 【分析】先证明推出方程有实数根，设方程的实数根为，根据一元二次方程根与系数的关系得到即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴方程有实数根， 设方程的实数根为， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴这个方程必有一个根为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，正确得到是解题的关键． 【变式4-1】若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0中二次项系数与常数项之和等于一次项系数,那么方程必有一根为 . 【答案】-1 【分析】二次项系数与常数项之和等于一次项系数即a+c=b，即可得a-b+c=0；在关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，令x=-1时，就得到a-b+c=0，所以-1必是该方程的一个根．由此即可解答. 【详解】根据题意，得：a+c=b，即a-b+c=0； 当x=-1时，ax2+bx+c=a（-1）2+b（-1）+c=a-b+c=0， ∴-1必是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根． 故答案为-1. 【点睛】本题考查的是一元二次方程的根的定义，熟记使方程左右两边相等的未知数的值是方程的解是解题的关键． 【变式4-2】若方程ax2+bx+c=0（a≠0）满足9a﹣3b+c=0，则方程必有一根为 ． 【答案】 【分析】将代入方程即可得，则可求得答案． 【详解】方程ax2+bx+c=0（a≠0）满足9a﹣3b+c=0， 时，， 方程必有一根为 故答案为： 【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义，理解一元二次方程的解的定义是解题的关键．一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解． 一元二次方程的公共根 例5 对于一些特殊的方程，我们给出定义：若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”．已知关于的一元二次方程和一元一次方程为“相伴方程”，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，一元二次方程的解，先解一元一次方程可得，将代入一元二次方程，计算即可得解，理解“相伴方程”的定义是解此题的关键． 【详解】解：解一元一次方程可得， ∵关于的一元二次方程和一元一次方程为“相伴方程”， ∴将代入一元二次方程可得， 解得：， 故答案为：． 【变式5-1】若两个关于x的一元二次方程和有且只有一个相同的实数根，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的解，正确地理解题意是解题的关键．两个关于x的一元二次方程和有且只有一个相同的实数根，可设相同实数根为，得到，①，②解方程组即可得到结论． 【详解】解：两个关于x的一元二次方程和有且只有一个相同的实数根， 可设相同实数根为， 得到，① ，② 得：， 当时，解得此时两方程相同，有两个相同实数根，不合题意舍去， 当时，解得， 将代入①，得， 解得，即m的值为2， 故答案为：． 【变式5-2】已知下面三个关于的一元二次方程，，恰好有一个相同的实数根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，把代入，，，然后三个等式相加可得，然后进行确定，从而求解，解题的关键是正确理解使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解． 【详解】解：把代入，，得： ，，， 得：， ∴， ∵， ∴， 故答案是：． 【变式5-3】若实数，且方程和方程有一个相同的实数根，则m的值为 ． 【答案】2 【分析】设是两个方程相同的实数根，然后代入原方程中即可求出答案． 【详解】解：设是两个方程相同的实数根，分别代入得 由方程得， 由方程得． 则有， ∴， ∵，即， ∴，即． 由a为方程的解，则把代入方程， 得方程， 从而解得． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解答关键是注意方程的根是使方程成立的未知数的值． 换元法的运用 例6 若关于的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解，由整理得，根据关于的一元二次方程有一根为进行对比即可求解，正确理解能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解是解题的关键． 【详解】∵， ∴， ∵关于的一元二次方程有一根为， ∴有一根为， 解得， ∴一元二次方程必有一根为， 故选：． 【变式6-1】问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的一半． 解：设所求方程的根为，则，所以．把代入已知方程，得，化简，得所求方程为．这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 应用：已知方程，求一个关于的一元二次方程，使它的根是已知方程根的相反数，则所求方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意得到，代入求解即可； 【详解】由题意可知：， ∴， ∴； 故答案选A． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，关键是根据已知条件找出x，y的关系． 【变式6-2】若关于的一元二次方程有一个根为，则方程必有一根为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把中的看作是整体未知数，再结合题意可得，从而可得方程的解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有一个根为， ∴在方程中， 则把看作是整体未知数，则， ∴， 即有一根为． 故选：C． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的根的含义，掌握“利用整体未知数求解方程的根”是解本题的关键． 【变式6-3】问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为y，则，所以，把代入已知方程， 得． 化简，得，故所求方程为． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式） (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为______． (2)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别比已知方程根小1，则所求方程为______． (3)已知关于x的一元二次方程（）有两个实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查一元二次方程的根，一元二次方程的应用等知识，解题的关键是理解题目中给出的利用方程根的代换求新方程的方法，并应用“换根法”解决问题． （1）设所求方程的根为y，则，得到，然后代入求解即可； （2）设所求方程的根为y，则，得到，然后代入求解即可； （3）设所求方程的根为y，则，得到，然后代入求解即可． 【详解】（1）设所求方程的根为y，则， 所以 把代入，得． 化简得； （2）设所求方程的根是y，则，所以， 把代入方程，得， 化简，得； （3）设所求方程的根为y，则， 所以 把代入，得． 化简得． ►易错诊断一 忽略一元二次方程概念中的条件而致错 【例1】当为何值时，方程是关于的一元二次方程？ 解 根据题意，得，且. 解，得， 解，得， 所以.所以当时，原方程是关于的一元二次方程.（注：注意这一隐含条件.） 易错攻克 确定一元二次方程的待定系数时，易忽视一元二次方程的一般形式中这个隐含条件. ►易错诊断二 不能准确确定一元二次方程的各项系数而致错 【例2】写出一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项. 解 把原方程化为一般形式为，①——→先化成一般形式. 所以二次项系数是，一次项系数是，常数项是.② （注：注意各项前面的符号.） 易错攻克 ①在写出一元二次方程各项的系数时，应先把方程化成一般形式. ②在写一元二次方程各项的系数时，易漏掉一次项系数和常数项前面的符号. 试卷第1页，共3页 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $